精品解析：云南昭通市昭阳区2025年秋季学期期末阶段性评价九年级数学试卷

2025年秋季学期学生综合素养阶段性评价 九年级数学 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆的半径是，则点和圆的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】设圆的半径为，点到圆心的距离为，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外． 【详解】解：∵圆的半径，点到圆心的距离，即， ∴点在圆内． 2. 用公式法解关于的一元二次方程，则公式中的是（ ） A 5 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式中各系数的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的一般式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其中为一次项的系数 ∴一元二次方程的一次项是，即一次项系数． 故选B． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是掌握二次函数的顶点式为，顶点坐标为． 根据二次函数顶点式为，解题即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标， 故选：A． 4. 根据年月日云南省“高质量完成‘十四五’规划”系列新闻发布会·昭通专场信息，年昭通市经济总量预计突破元．请将“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把原数转化为的数确定，再根据原数的整数位数或小数点移动的位数确定，最后匹配选项得到答案． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 对于原数，，， 因此用科学记数法表示为． 5. “中国天眼（FAST）”是具有中国自主知识产权的世界上口径最大的单口径射电望远镜，它突破了射电望远镜的百米极限，开创了建造巨型射电望远镜的新模式，推动中国形成了以天眼为核心、多学科交叉融合的射电天文研究集群，也为全球天文学家提供了顶尖的观测平台．中国天眼（FAST）的反射面索网的中心区域的设计为一个五边形网格．这个五边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，牢记边形的内角和公式为(为多边形的边数，且是大于等于3的整数)是解题的关键，本题据此求解即可． 【详解】解：由多边形内角和公式可知， 五边形的内角和为， 故选：C． 6. 下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式、负整数指数幂的定义及二次根式的性质，需逐一判断各选项等式的正误． 【详解】解：A选项：平方差公式为，A选项等式正确，不符合题意； B选项：完全平方和公式为，与选项中的不符，B选项等式错误，符合题意； C选项：负整数指数幂的定义为，C选项等式正确，不符合题意； D选项：二次根式的性质为，D选项等式正确，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，四边形内接于为延长线上一点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形对角互补的性质．先利用邻补角的定义求出的度数，再结合圆内接四边形对角互补的性质计算． 【详解】解：∵， ∴； 又∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选：A． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 买中奖率为的奖券100张，一定会中奖 B. “同旁内角互补”是必然事件 C. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次正面向上，则抛掷一枚硬币正面向上的概率为 D. 某校有3000名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有80名学生表示喜欢的项目是打羽毛球，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为羽毛球的学生约有1200人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的意义、必然事件的定义及用样本估计总体的方法，需逐个分析选项判断正误． 【详解】解：选项A：中奖率为1%是指每张奖券中奖的可能性为1%，买100张奖券也有可能不中奖，A选项错误，不符合题意； 选项B：只有两直线平行时同旁内角才互补，否则同旁内角不互补，所以“同旁内角互补”是随机事件，B选项错误，不符合题意； 选项C：抛掷质地均匀的硬币，正面向上的概率是固定的，是此次试验的频率，不是概率，C选项错误，不符合题意； 选项D：用样本估计总体，该校喜欢羽毛球的学生约有人，D选项正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，，垂足为，交于点，交于点，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．利用平行线的内错角相等，结合直角的角度关系，求出对应角的度数． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴， 故选：C． 10. 下列关于边长为的正六边形的说法中，错误的是（ ） A. 该正六边形是中心对称图形 B. 该正六边形有6条对称轴 C. 该正六边形的中心角为 D. 该正六边形的面积为 【答案】C 【解析】 【分析】首先，根据中心对称图形的定义判断正六边形是否为中心对称图形；其次，根据对称轴的定义确定正六边形的对称轴数量；然后，利用正边形中心角公式计算正六边形的中心角；最后，通过将正六边形分割为6个全等的等边三角形，计算其总面积． 【详解】解：对于A选项，∵正六边形绕其中心旋转后能与自身重合， ∴该正六边形是中心对称图形，A选项正确； 对于B选项，正六边形有6条对称轴，分别是3条对边的垂直平分线和3条过相对顶点的直线，B选项正确； 对于C选项，正六边形的中心角为，而非，C选项错误； 对于D选项，如图，正六边形的中心为，取边，作于，则． ∵正六边形的边长为，， ∴为的中点，为等边三角形，， 在中，，， ∴， ∴． ∴， ∴，D选项正确． 11. 按某种规律排列的代数式：，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察代数式的符号、分子、分母的变化规律，分别总结后组合得到第个代数式的表达式． 【详解】解： 观察符号规律：第1个为负，第2个为正，第3个为负……，符号可表示为， 分子均为，保持不变， 分母依次为，，，……，分母可表示为， 第个代数式是， 故选A． 12. 若直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则二次函数的大致图象是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中一次函数图象，可以得到，，然后根据二次函数的性质，即可得到二次函数的图象的开口方向，对称轴的位置，即可判断二次函数图象． 【详解】解：根据一次函数图象经过一、二、四象限， ，， 二次函数的图象开口向下，二次函数的对称轴为直线，即对称轴在轴右侧， 故选：D． 13. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，且，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、旋转的性质以及勾股定理，利用旋转得到，进而得出四边形和正方形面积关系，再根据勾股定理求解即可． 【详解】把绕点顺时针旋转到的位置， ， ，， 四边形的面积正方形的面积， ∵，， ， 四边形的面积正方形的面积=， 故选：B． 14. 2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 每支参赛球队需与其余支球队各赛一场，支球队初步计算的比赛场数为场，但此时每场比赛被两支球队各统计了一次，存在重复，因此实际总场数需除以2，再结合已知总场数为场，即可列出正确方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需与其他支球队各进行一场比赛， ∴初步统计的比赛场数为场， 又∵每两支球队的交锋仅算一场，上述统计中每场比赛被重复计算了1次， ∴实际总比赛场数为场， ∴可列出方程． 故选：C． 15. 如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的内切圆、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，则，由勾股定理逆定理可得，易证四边形是正方形，即；再根据三角形内切圆的性质可得，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵的内切圆与边分别相切于点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 故选A． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【解析】 【分析】平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标为，即横、纵坐标均互为相反数．依据该特征，将已知点的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对应对称点的坐标． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为， ∴点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 17. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式在实数范围内有意义条件是被开方数．根据该条件列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得， 故答案为：． 18. 是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】直角三角形的外接圆中，斜边是外接圆的直径，即斜边长度等于外接圆半径的2倍．先根据直角三角形外接圆的性质确定斜边与外接圆直径的关系，再结合已知半径计算斜边长度． 【详解】解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴斜边是其外接圆的直径， ∴． 19. 如图，已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面圆周上一点，且，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为___________． 【答案】##180度 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式．利用“圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图扇形的弧长”这一核心等量关系，先根据底面半径求出底面圆的周长，再设侧面展开图扇形的圆心角为，结合扇形弧长公式建立方程，最后求解方程得到圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为． ∵圆锥底面半径，圆锥母线长， ∴由圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，可得， 解得， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．． 20. （1）解一元二次方程：． （2）下面是某同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程右侧提取公因式得：第一步 移项，得：第二步 方程两边同时除以，得：第三步 移项，得：第四步 系数化为1，得第五步 回答下列问题： ①这位同学的解法从第___________步开始出现错误； ②此方程正确的解应该是___________． 【答案】（1）； （2）①三；②， 【解析】 【分析】（1）方程的左边为完全平方式，可通过配方法直接开方求解，也可利用求根公式计算； （2）该同学在第三步直接除以，忽略了的情况，属于丢根错误，正确做法是通过因式分解将方程转化为两个一元一次方程求解，得到所有根． 【详解】（1）解：， ， ， 解得， 方程的解为； （2）解：①这位同学的解法从第三步开始出现错误， 因为当时，方程两边不能同时除以，否则会丢失这个根； ②， ， 移项得， 提取公因式得， 或， 解得，． 21. 如图，在菱形中，点在边上，点在边上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据菱形的性质，菱形的四条边相等且对角相等，可得到，；再结合题目已知条件，利用角角边的全等判定条件，即可证明与全等． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中，， ∴． 22. 某班举办“品味昭通苹果”主题活动，活动准备了充足的三种优质苹果供同学们品尝：瑞雪（记作A）、维纳斯（记作B）、红富士（记作C）．小明和小华两位同学各自独立地从这三种苹果中随机选择一种品尝，假设两位同学选择每种苹果的可能性相等，且不受他人影响．记小明的选择为，小华的选择为． （1）请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的组合结果； （2）求这两位同学恰好选择同一种苹果的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用列表法与树状图求概率，用列表法或画树状图法列出所有等可能结果是解题的关键． （1）利用列表法或画树状图法列表或画树状图确定所有等可能的组合结果即可； （2）根据（1）确定所有等可能结果数和这两位同学恰好选择同一种苹果的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，有9种等可能结果，分别： ． 列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由表格可知，有9种等可能结果，分别是： ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，所有等可能结果共9种，其中小明和小华两位同学选择同一种苹果的情况有3种，即． 小明和小华两位同学恰好选择同一种苹果的概率为． 23. 如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点． （1）若，判断四边形的形状，并说明理由； （2）证明：． 【答案】（1）四边形为菱形，见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理求出圆心角的度数，再结合为劣弧中点的条件，证明和为等边三角形，进而判定四边形的形状； （2）方法：利用切线性质得到，结合圆周角定理与等腰三角形性质，通过角的计算进行等量代换，证明； 方法：构造圆的直径，利用直径所对圆周角为直角的性质，结合同弧所对圆周角相等，通过角的互余关系完成等量代换，证明． 【小问1详解】 解：四边形为菱形，理由如下： 连接， ， ， 为劣弧的中点， ，， ， 又， ， 又， 和均为等边三角形， ， 四边形为菱形； 【小问2详解】 证明：方法：， ， ， ， 在中，， ， 又与圆相切于点， ， ， 又， ； 方法：连接并延长交圆于点，连接， 为圆的直径， ， 又， ， 直线与圆相切于点， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、切线的性质、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定，熟练运用圆的相关定理和特殊四边形的判定方法是解答本题的关键． 24. 某知名奶茶品牌在2025年1月底于某城市新开设了50家分店．由于市场反响热烈，到3月底新开设分店总数已达到72家．假设从1月底到3月底，每月新开设分店数量的月平均增长率相同． （1）求月平均增长率是多少？ （2）为提升门店收益，某奶茶分店计划用不超过3500元的预算采购原料，制作并销售A款经典奶茶和B款特色果茶．具体信息如下： 产品 每杯原料成本 售价 A款经典奶茶 3元 9元 B款特色果茶 5元 14元 若所有制作的奶茶均能全部售出，且必须一次性准备总计800杯的原料（A款经典奶茶与B款特色果茶的总杯数之和为800）．为使总利润最大，该店应分别采购多少杯A款经典奶茶和B款特色果茶的原料？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）为使利润最大，该奶茶分店应购进A款经典奶茶的原料250杯、B款特色果茶的原料550杯 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出方程、不等式、函数解析式是解题的关键． （1）设月平均增长率是x，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设该店应分别采购m杯A款经典奶茶，采购杯B款特色果茶的原料，总利润为w元，然后根据题意列一元一次不等式求得m的取值范围，再求得总利润w与m的函数关系式，最后根据一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是x， 根据题意可得：， 解得：或（不符合题意舍弃）． 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该店应分别采购m杯A款经典奶茶，采购杯B款特色果茶的原料，总利润为w元， 由题意可得：，解得：， 由题意可得：总利润可得， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取最大值，此时． 答：为使利润最大，该奶茶分店应购进A款经典奶茶的原料250杯、B款特色果茶的原料550杯． 25. 如图，为的直径，为上一点，直线与过点的直线交于圆外一点，于点，且平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积(结果保留)． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用角平分线和等腰三角形性质证明，再由得到，从而证明切线； （2）设半径为，利用勾股定理求出，再求出和扇形的面积，相减得到阴影面积． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接． 设⊙的半径为，则， ∵，， ∴中，， 即，解得， ∴， ， ∵在中，，， ∴点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故图中阴影部分的面积为． 26. 已知抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）当（其中）时，二次函数在该范围内的最大值为，求代数式的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数的性质求最值，代数式化简求值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把点分别代入抛物线，利用待定系数法求出即可； （2）根据抛物线图象在范围内随的增大而增大，即当时，函数有最大值，进而可得，代入代数式化简即可． 【小问1详解】 解：将代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为，且开口向上， 当时，随的增大而增大 当时，函数取得最大值，即有，且， 的值为． 27. 已知和分别是的两条动弦（均不过圆心），圆心到的距离分别为． （1）如图，如果，则___________（填“>”或“=”或“<”）； （2）若的半径为，且满足，请判断线段的长度与的大小关系，并说明理由； （3）若的半径为，连接，求线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形三边关系： （1）连接，根据垂径定理得出，再得出，在中，，在中，，进而可得出； （2）在中，，在中，，再证明，在中，，得出，进而推出，即可得出答案； （3）先求出再得出，，分情况三点共线时，（i）若在圆心的同侧时，取得最小值；（ii）若在圆心的异侧时，取得最大值；情况三点不共线时，在中，根据三角形三边的关系得，进而可得出答案 【小问1详解】 解：． 理由如下：如图所示，连接， ， ， ， 又， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ； 【小问2详解】 的半径为， 在中，， 中，， ， ， ， 在中，， 又， ， ， ， ； 【小问3详解】 ， 是的中点，， ， 在中， ， 由勾股定理得， 同理可得， 情况三点共线时， （i）若在圆心的同侧时，取得最小值， 此时的最小值为； （ii）若在圆心的异侧时，取得最大值， 此时的最大值为； 情况三点不共线时， 在中，根据三角形三边的关系得，即有， 综上可知，线段长度的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期学生综合素养阶段性评价 九年级数学 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆的半径是，则点和圆的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 2. 用公式法解关于的一元二次方程，则公式中的是（ ） A. 5 B. C. 1 D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 根据年月日云南省“高质量完成‘十四五’规划”系列新闻发布会·昭通专场信息，年昭通市经济总量预计突破元．请将“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. “中国天眼（FAST）”是具有中国自主知识产权世界上口径最大的单口径射电望远镜，它突破了射电望远镜的百米极限，开创了建造巨型射电望远镜的新模式，推动中国形成了以天眼为核心、多学科交叉融合的射电天文研究集群，也为全球天文学家提供了顶尖的观测平台．中国天眼（FAST）的反射面索网的中心区域的设计为一个五边形网格．这个五边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 6. 下列等式错误的是（ ） A B. C. D. 7. 如图，四边形内接于为延长线上一点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 买中奖率为的奖券100张，一定会中奖 B. “同旁内角互补”是必然事件 C. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次正面向上，则抛掷一枚硬币正面向上的概率为 D. 某校有3000名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有80名学生表示喜欢的项目是打羽毛球，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为羽毛球的学生约有1200人 9. 如图，，垂足为，交于点，交于点，已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于边长为的正六边形的说法中，错误的是（ ） A. 该正六边形是中心对称图形 B. 该正六边形有6条对称轴 C. 该正六边形的中心角为 D. 该正六边形的面积为 11. 按某种规律排列的代数式：，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 12. 若直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则二次函数的大致图象是(　　) A B. C. D. 13. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，且，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 14. 2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 点关于原点对称的点的坐标是 ． 17. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 18. 是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 19. 如图，已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面圆周上一点，且，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为___________． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．． 20. （1）解一元二次方程：． （2）下面是某同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程右侧提取公因式得：第一步 移项，得：第二步 方程两边同时除以，得：第三步 移项，得：第四步 系数化为1，得第五步 回答下列问题： ①这位同学的解法从第___________步开始出现错误； ②此方程正确的解应该是___________． 21. 如图，在菱形中，点在边上，点在边上，且．求证：． 22. 某班举办“品味昭通苹果”主题活动，活动准备了充足的三种优质苹果供同学们品尝：瑞雪（记作A）、维纳斯（记作B）、红富士（记作C）．小明和小华两位同学各自独立地从这三种苹果中随机选择一种品尝，假设两位同学选择每种苹果的可能性相等，且不受他人影响．记小明的选择为，小华的选择为． （1）请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的组合结果； （2）求这两位同学恰好选择同一种苹果的概率． 23. 如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点． （1）若，判断四边形的形状，并说明理由； （2）证明：． 24. 某知名奶茶品牌在2025年1月底于某城市新开设了50家分店．由于市场反响热烈，到3月底新开设分店总数已达到72家．假设从1月底到3月底，每月新开设分店数量月平均增长率相同． （1）求月平均增长率是多少？ （2）为提升门店收益，某奶茶分店计划用不超过3500元的预算采购原料，制作并销售A款经典奶茶和B款特色果茶．具体信息如下： 产品 每杯原料成本 售价 A款经典奶茶 3元 9元 B款特色果茶 5元 14元 若所有制作的奶茶均能全部售出，且必须一次性准备总计800杯的原料（A款经典奶茶与B款特色果茶的总杯数之和为800）．为使总利润最大，该店应分别采购多少杯A款经典奶茶和B款特色果茶的原料？ 25. 如图，为直径，为上一点，直线与过点的直线交于圆外一点，于点，且平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积(结果保留)． 26. 已知抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）当（其中）时，二次函数在该范围内的最大值为，求代数式的值． 27. 已知和分别是的两条动弦（均不过圆心），圆心到的距离分别为． （1）如图，如果，则___________（填“>”或“=”或“<”）； （2）若的半径为，且满足，请判断线段的长度与的大小关系，并说明理由； （3）若的半径为，连接，求线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $