精品解析：广东廉江市第八中学2025-2026学年上学期八年级数学学情自测（四）

2025—2026学年度第一学期 八年级《数学》阶段训练题（四） 说明：1.本试卷共4页，考测范围：第13至18章，答题时间：120分钟，满分：120分； 2.请将答案正确填写在答题卡相应的位置上． 一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：B． 2. 下列各式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可． 【详解】解：A、，原式不是最简分式，故本选项错误； B、，原式不是最简分式，故本选项错误； C、，原式不是最简分式，故本选项错误； D、中分子、分母不含公因式，原式是最简分式，故本选项正确； 故选：D． 3. 如图，在和中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据判定后可得，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， 则中，． 故选：． 4. 如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点．根据等腰三角形的性质，得到，再根据是的角平分线得到，然后利用三角形外角性质计算即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：A． 5. 李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 美丽中国 B. 我爱中国 C. 我爱美 D. 我爱美丽 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用． 先提取公因式，再提根据完全平方公式分解因式，再根据对应的汉字判断即可． 【详解】解： ， ∵对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， ∴组合结果只有B“我爱中国”符合， 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法、负整数指数幂、合并同类项等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法、负整数指数幂、合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 7. 甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，请你选出正确的作图是（　　） 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地，如图所示，先要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，在图中确定休息点的位置 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到和两边的距离相等，可得点在的角平分线上，据此判断即可． 【详解】解：∵点到和两边的距离相等， ∴点在的角平分线上， 甲图所作为和的角平分线的交点，点不在边上，不符合题意； 乙图与没有相交，不符合题意； 丙图所作为的角平分线与交于点，符合题意； 丁图所作为线段的垂直平分线，不能使到和两边的距离相等，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了尺规作图，作角平分线以及垂直平分线，熟练掌握尺规作图作角平分线以及垂直平分线是解本题的关键． 8. 如图，在中，是上的一点，，点是的中点，与相交于点，设，，的面积分别为，，，且，则(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题需先分别求出，再根据即可求出结果． 【详解】解：， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积计算，解题的关键是在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化． 9. 已知，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值，熟练掌握多项式乘以多项式及整式的化简求值是解题的关键．先根据多项式乘以多项式的运算法则进行化简，然后将，代入计算即可． 【详解】解：， 当，时， 原式． 故选：C． 10. 关于x的方程 去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（ ） A. B. 4 C. 或 D. 或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法和增根的定义，根据分式方程的解法，化简成整式方程，再根据增根的定义算出增根代入整式方程，即可求得答案； 【详解】解：， 方程两边同时乘以， ， ， ， 令时，是方程的增根； ∴或 故答案选：C． 二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使分式无意义，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式无意义的条件，即分母为0时分式无意义.的分母即为所求. 【详解】解：分式无意义， ∴ 解得：． 故答案为：1． 12. 用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查公因式，掌握公因式的定义是解题的关键． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：， 故多项式各项的公因式是． 故答案为：． 13. 如图，若，且，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质．根据全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，结合已知条件和角度的计算即可求得． 【详解】解：， ， 即， ， ， ． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若是一个完全平方式，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，明确式子中首尾两项与中间项的关系，进而确定系数m的值． 根据完全平方公式的结构，将与对比，确定首尾项分别对应和求出a和b的值，再通过中间项系数与的关系计算注意完全平方公式有“和”与“差”两种形式，故m有两个值． 【详解】若是一个完全平方式， 根据完全平方公式 式子中对应则对应则， 中间项对应即， 化简得 因此，即m ． 故答案为：． 15. 如图，点M在等边的边上，，射线垂足为点C，点P是射线上一动点，点N是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 _______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到，，作点M关于的对称点G，作，交于点P，可推出当时，的值最小，的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，据此即可求解． 【详解】是等边三角形， ，， 作点M关于直线的对称点G，过G作于N，交于P， 则此时，的值最小， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 三.解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，共21分） 16. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：， 方程两边乘，得． 解得． 检验：当时，， 原分式方程的解为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．先把括号内通分和除法化为乘法，再把因式分解，然后约分，再最后把x的值代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式 18. 如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的空地，预计在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． （1）请用m，n表示观景台的面积；（结果化为最简） （2）如果修建观景台的费用为每平方米200元．若，那么修建观景台需要费用多少元？ 【答案】（1）观景台的面积为平方米 （2）修建观景台需要费用为29400元 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值： （1）用最大的长方形面积减去三块空白部分的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求结合，求出观景台的面积，进而求出费用即可． 【小问1详解】 解：阴影部分的面积为： ， 答：观景台的面积为平方米； 【小问2详解】 解：当，时， 原式（平方米）， （元）． 答：修建观景台需要费用为29400元． 四.解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 在和中， ． （2） 解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征． （1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 21. 某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． （1）一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； （2）该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】（1）80 （2）190 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【小问1详解】 设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． 【小问2详解】 设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 五.解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： （1）算法赏析：若满足，求的值． 解：设，则 ……请继续完成计算； （2）算法体验：若满足，求的值； （3）算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为117，求长方形的面积． 【答案】（1）12 （2）200 （3）54 【解析】 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据完全平方公式可得可求得此题结果； （2）设，，则，，再利用完全平方公式求解即可； （3）正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为，可得，设，，则，，利用可求出答案． 【小问1详解】 解：设，则， ； 【小问2详解】 解：设，，则，， ∴ ； 【小问3详解】 解：正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为， 则有， 设，，则，， 所以长方形的面积为： ， 答：长方形的面积为54． 23. 【问题情境】在和中，，，． （1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________； （2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？ （3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：成立，证明：如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3） ， 如图3，过点C作，，垂足分别为M、N， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答； （2）证明，得到，又由，得到，即可解答； （3），如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到． 【小问1详解】 证明：如图1， 在和中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期 八年级《数学》阶段训练题（四） 说明：1.本试卷共4页，考测范围：第13至18章，答题时间：120分钟，满分：120分； 2.请将答案正确填写在答题卡相应的位置上． 一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在和中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 美丽中国 B. 我爱中国 C. 我爱美 D. 我爱美丽 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，请你选出正确的作图是（　　） 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地，如图所示，先要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，在图中确定休息点的位置 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，在中，是上的一点，，点是的中点，与相交于点，设，，的面积分别为，，，且，则(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知，，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 关于x的方程 去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（ ） A. B. 4 C. 或 D. 或4 二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使分式无意义，则 ______． 12. 用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是___________． 13. 如图，若，且，，则的度数是______． 14. 若是一个完全平方式，则的值是__________． 15. 如图，点M在等边的边上，，射线垂足为点C，点P是射线上一动点，点N是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 _______． 三.解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，共21分） 16. 解分式方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的空地，预计在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． （1）请用m，n表示观景台的面积；（结果化为最简） （2）如果修建观景台的费用为每平方米200元．若，那么修建观景台需要费用多少元？ 四.解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 20. 如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 21. 某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． （1）一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； （2）该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 五.解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： （1）算法赏析：若满足，求的值． 解：设，则 ……请继续完成计算； （2）算法体验：若满足，求的值； （3）算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为117，求长方形的面积． 23. 【问题情境】在和中，，，． （1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________； （2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？ （3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $