6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 巩固练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示巩固练习 一、单选题 1．已知平面向量，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，可得，的坐标，根据向量垂直坐标的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即，解得. 故选：D 2．如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求. 【详解】以为原点建立平面直角坐标系，如图：    设（），则，所以，，所以，， 由，又，所以. 所以. 故选：B 3．已知正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，当时，（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设，则，，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，利用向量的夹角公式求出的值，即可得，再利用同角三角函数关系求得的值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则、，设，则，，故，. 所以， 当时，，即，则， 故， 则， 结合题意可知为锐角，则可得，则， 故. 故选：A 4．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，   ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：C 5．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量的意义计算即可求得的值. 【详解】， 由题意知，所以，所以，即=2， 解得. 故选：C. 6．在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可设（），利用表示出，再利用二次函数值域的求法求解. 【详解】如图： 设（）， 则，又， 所以. 所以， ,（）. 所以当时，取得最小值为:； 当时，取得最大值为:. 所以. 故选：A 二、多选题 7．已知向量，，，，且，则（    ） A．与的夹角为 B．在上的投影向量为 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量夹角余弦公式计算求解判断A，应用投影向量公式计算判断B，应用向量垂直及平行的坐标公式计算求解判断C，应用模长坐标公式计算判断D. 【详解】，与的夹角为， 所以A正确； 因为在上的投影向量为，所以B正确； 由且，得， 解得或，则或，所以C不正确； 当时，， 当时，，故D正确. 故选：ABD. 8．已知是边长为3的等边三角形，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若点是边上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】以中点为坐标原点，以，所在直线建立平面直角坐标系，然后利用向量的坐标运算即可对A、B、C判断求解；设，，可求得，从而可得，即可对D判断求解. 【详解】以中点为坐标原点，以，所在直线建立平面直角坐标系，如图， 则，，，， 由，，可得，， A：，，故A正确； B：，，则，故B正确； C：，，则，故C错误； D：设，，可得， 则，， 所以， 又因为，所以当时取得最小值，故D正确. 故选：ABD.    三、填空题 9．已知平面向量，向量与夹角的余弦值为，且，为实数，则 . 【答案】 【分析】根据已知及向量夹角、垂直的坐标表示得、，即可得. 【详解】由夹角公式， 又， . 故答案为： 10．已知点，，如果，那么点的坐标为 ；设点，且是钝角，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过向量坐标运算及向量相等关系求出点的坐标；利用向量夹角为钝角推出向量数量积小于0，列不等式求出的取值范围． 【详解】，，设点，则， ，，即，； ，， 是钝角，，又 ， 若,则 的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题 11．已知点，向量. (1)求向量与的夹角； (2)若点在轴上，且，求点的坐标. 【分析】（1）根据向量的夹角公式计算即可； （2）设，再由向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】（1）， 又，所以， 则向量与的夹角； （2）设，，， ，， 解得或， 所以点的坐标为或． 12．已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 【分析】（1）直接由数量积的坐标运算公式计算即可求解； （2）根据向量线性运算和模的坐标计算公式求解即可； （3）根据向量线性运算和数量积的坐标计算公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以. 13．已知向量． (1)若，求的值； (2)若为钝角，求的取值范围． 【分析】（1）利用“两向量和与差的模相等”等价于“两向量垂直”的性质，由数量积为零建立方程解得. （2）由数量积为负确定夹角的余弦为负，得到关于的不等式，再排除反向共线这一夹角为的特殊情况，得到最终范围. 【详解】（1）由，两边平方得, 展开并消去和，得 计算 令，解得. （2）若为钝角，则，即, 若,则,解得：, 当时，虽有 但是共线且反向，. 故m的取值范围为 。 14．在平面直角坐标系中，，，，点，满足，，，点是的中点. (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示，以及向量数量积的坐标表示，求出的函数解析式，根据参数范围，求出结果； （2）根据向量垂直的性质，以及向量数量积的坐标表示，列出方程，根据判别式，说明是否有解. 【详解】（1） 如图所示，因为点是的中点，所以， 则， 可知， 则，因为，所以； （2）由（1）可得，， 所以， 若，则有，即， 化简得，因为，所以方程无解， 即不存在实数，使得 。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示巩固练习 一、单选题 1．已知平面向量，若，则=（   ） A． B． C． D． 2．如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，当时，（ ） A． B． C． D． 4．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 5．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知向量，，，，且，则（    ） A．与的夹角为 B．在上的投影向量为 C． D． 8．已知是边长为3的等边三角形，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若点是边上的动点，则的最小值为 三、填空题 9．已知平面向量，向量与夹角的余弦值为，且，为实数，则 . 10．已知点，，如果，那么点的坐标为 ；设点，且是钝角，则的取值范围是 ． 四、解答题 11．已知点，向量. (1)求向量与的夹角； (2)若点在轴上，且，求点的坐标. 12．已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 13．已知向量． (1)若，求的值； (2)若为钝角，求的取值范围． 14．在平面直角坐标系中，，，，点，满足，，，点是的中点. (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $