5.3 导数在研究函数中的应用 同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3导数在研究函数中的应用 （2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册） 一、单选题 1．函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 2．函数的极小值点为（   ） A．0 B． C．5 D． 3．若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 4．函数的极小值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 5．若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若函数 在区间 上有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图是导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 10（2025高考·全国Ⅱ）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 11．已知函数，其中，则下列命题正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 三、填空题 12．函数的最小值为 . 13．已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点，设点，则直线的斜率为 . 14（2024高考·全国甲）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 四、解答题 15．已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 16.已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于 直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 17．已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最值. 18．已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 19（2024高考·新课标Ⅱ）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3导数在研究函数中的应用 （2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册） 一、单选题 1．函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，令导数小于零求解． 【详解】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为. 故选：D. 2．函数的极小值点为（   ） A．0 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】求得，得到函数的单调性，结合极小值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，即为函数的极小值点. 故选：B. 3．若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合的解集为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数的减区间为，即不等式的解集为， 所以，且，解得， 所以且，解得. 故选：A. 4．函数的极小值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值. 【详解】由， 可得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为. 故选：B． 5．若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设函数，问题转化为恒成立，求的取值范围. 【详解】设，因为函数总在直线的上方， 所以在上恒成立. 因为， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以， 由. 故选：C 6．若函数 在区间 上有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，判断的单调性和极值，根据有两解得出的范围. 【详解】令，则， 令，则由知， 在上，单调递减， 在上，，单调递增， 且，，， ∵，，∴， 所以若函数在上有两个零点， 则实数m的取值范围为． 故选：B． 7．已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，得到恒成立，转化为在恒成立，即，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为且， 因为函数在定义域内单调递增，所以恒成立， 即在恒成立，即， 设，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以. 故选：A. 8．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数得，令，然后利用导数求出函数的最大值，即可求解. 【详解】对任意的，不等式恒成立， 即对任意的，不等式恒成立， 令，则， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，所以，即实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 9．如图是导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 【答案】BC 【分析】根据图象可得出在各个区间上的符号即可逐项分析求解. 【详解】由导函数的图象可得： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 A：由表格可知：在区间上单调递减，故A不正确； B：是的极小值点，故B正确； C：在区间上是减函数，在区间上是增函数，故C正确； 时,，所以不是极小值，故D不正确． 综上可知：只有BC正确． 故选：BC． 10（2025高考·全国Ⅱ）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 11．已知函数，其中，则下列命题正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 【答案】BCD 【分析】利用导数的正负来分析函数的单调性，从而可以确定是否有极值，然后利用最小值大于0来确定函数没有零点，对于选项D，则利用分离参变量，构造函数求导，研究单调性及取值规律，从而可确定参数范围. 【详解】当时，，则， 由，因为定义域， 所以的单调减区间为和，故A错误； 由，可得， 由于，则可解得， 所以在上单调递增，同上可得：在和上单调递减， 则的极小值为，无极大值，故B正确； 当时，，此时函数无零点， 当时，由上可得， 因为，所以，即， 则此时函数也无零点，故C正确； 由方程可得：， 令，则， 由，可得，由，可得， 则在时单调递减，在时单调递增， 又因为，当时，，当时，， 所以要使得方程有两个实数解，则只需要，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 12．函数的最小值为 . 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性后可求最值. 【详解】易知， 所以时，，即此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以，即该函数的最小值为. 故答案为： 13．已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点，设点，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】由导数为0结合韦达定理可得，通过斜率计算公式化简即可得结果. 【详解】由题意知的定义域为， 且. 令，得，此方程有两个不相等的实数根， 其中， 故直线的斜率为 ， 即直线的斜率为. 故答案为：. 14（2024高考·全国甲）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 四、解答题 15．已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 【分析】（1）利用导数计算研究函数的单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性及零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减， （2）易知，，， 当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 又， 所以当时，，所以，在内没有零点。 又 因为在上单调递增，所以在内有唯一零点， 所以在上有且仅有一个零点. 16.已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于 直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【分析】（1）求导数，由切线平行于直线可知道的值，建立方程解得的值； （2）由（1）得导数，令，从而得到函数单调递增区间，列表得到函数的极值. 【详解】（1）由题意得， 曲线在点处的切线平行于直线， ，； （2）由（1）可得， 令得或，列表如下： 1 3 ＋ 0 － 0 ＋ 递增 极大值 递减 极小值 递增 极大值为，极小值为. 17．已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最值. 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 18．已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 【分析】（1）求出函数的导函数，由求出的值，再检验即可； （2）由题意在上恒成立，则，结合（1）中函数的单调性求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，依题意可得，解得. 当时，定义域为，且， 所以当或时，当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处有极小值，所以符合题意. （2）由题意在上恒成立，所以只需， 由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 因为，所以， 即，所以. 19（2024高考·新课标Ⅱ）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $