5.3 课时4 导数的实际应用 同步训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3 课时4 导数的实际应用 (30分钟 100分) 班级　　　　　　　姓名　　　　　　　成绩　　　　　  A级 基础训练题 1.(9分)如果某圆柱轴截面的周长l为定值,则其体积的最大值为 (　　) A.()3π B.()3π C.()3π D.()3π 2.(9分)某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数:y1=17x2,生产总成本y2(万元)也是产量x(千台)的函数:y2=2x3-x2(x>0).为使利润最大,应生产该产品 (　　) A.6千台 B.7千台 C.8千台 D.9千台 3.(9分)做一个容积为256 m3的方底无盖水箱,当所用材料最省时,它的高为 (　　) A.6 m B.8 m C.4 m D.2 m 4.(9分)要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高为 (　　) A.cm B.cm C.cm D.cm 5.(9分)如图,某出版社出版一读物,一页上所印的文字占去150 cm2,上、下要留1.5 cm空白,左、右要留1 cm空白.出版商为节约纸张,应选用的尺寸为 (　　) A.左右长12 cm,上下长18 cm B.左右长12 cm,上下长19 cm C.左右长11 cm,上下长18 cm D.左右长13 cm,上下长17 cm 6.(9分)某一件商品的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,则当每件商品的定价为　　　　元时,利润最大.  7.(9分)电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则其速度应定为　　　.  B级 素养提升题 8.(9分)(多选题)如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2 km,从P点沿海岸正东12 km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h,步行的速度为5 km/h,时间t(单位:h)表示他从小岛到城镇的时间,x(单位:km)表示此人将船停在海岸处距P点的距离.设u=+x,v=-x,则 (　　) A.函数v=f(u)为减函数 B.15t-u-4v=32 C.当x=1.5时,此人从小岛到城镇花费的时间最少 D.当x=4时,此人从小岛到城镇花费的时间不超过3 h 9.(14分)某种产品每件成本为6元,若每件售价为x元(x>6),则年销量为u万件.已知-u与(x-)2成正比,且当售价为10元时,年销量为28万件,则该产品的年最大利润为多少万元? C级 情景创新题 10.(14分)据以往的经验,某国际期刊的影响因素与本期刊当年发表论文的篇数x(百篇)有关.本期刊每年最多发表论文3000篇,正影响因素h(x)=,负影响因素l(x)=0.27x+1,影响因素是正影响因素与负影响因素的差. (1)求影响因素f(x)与论文的年发表数量x(百篇)的函数关系式; (2)该期刊年发表论文多少篇时影响因素最大? 参 考 答 案 1.A　解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l, ∴h=,V=πr2h=πr2l-2πr3(0<r<). 则V'=lπr-6πr2,令V'=0,得r=0或r=,而r>0,∴r=是其唯一的极值点.∴当r=时,V取得最大值,最大值为()3π. 2.A　解析:产品利润y=y1-y2=17x2-2x3+x2=18x2-2x3(x>0),y'=36x-6x2.令y'=0,得x=0(舍去)或x=6.当0<x<6时,y'>0,当x>6时,y'<0,即当x=6时,y取最大值.∴当生产该产品6千台时,利润最大. 3.C　解析:设底面边长为x m,高为h m,则有x2h=256,所以h=.所用材料的面积设为S m2,则有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2,S'=2x-,令S'=0,得x=8,因此h==4(m). 4.D　解析:设圆锥的高为x cm,则底面半径为 cm.其体积为V=πx(202-x2)(0<x<20),V'=π(400-3x2).令V'=0,解得x1=,x2=-(舍去).当0<x<时,V'>0;当<x<20时,V'<0.所以当x=时,V取最大值. 5.A　解析:设所印文字区域的左右长为x cm,则上下长为cm,所以纸张的左右长为(x+2)cm,上下长为(+3)cm,所以纸张的面积S=(x+2)(+3)=3x++156.所以S'=3-,令S'=0,解得x=10(负值舍去).当x>10时,S单调递增;当0<x<10时,S单调递减.所以当x=10时,Smin=216(cm2),此时纸张的左右长为12 cm,上下长为18 cm.故当纸张的边长分别为12 cm,18 cm时最节约. 6.115　解析:利润为S(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6000,S'(x)=-2x+230.由S'(x)=0,得x=115,这时的利润达到最大. 7.40　解析:由题设知y'=x2-39x-40, 令y'>0,解得x>40或x<-1, 故函数y=x3-x2-40x(x>0)在[40,+∞)上递增,在(0,40]上递减. ∴当x=40时,y取得最小值,此时耗电量最小. 8.AC　解析:∵u=+x,v=-x,∴uv=(+x)(-x)=4,∴v=,是减函数,故选项A正确;由题意可知t=+,0≤x≤12,∴15t=5+3(12-x)=5-3x+36=(+x)+(4-4x)+36=u+4v+36,∴15t-u-4v=36,故选项B错误;∵t=+,0≤x≤12,∴t'=×-=,令t'=0,得x=(负值舍去),当x∈(0,)时,t'<0,t单调递减,当x∈(,12)时,t'>0,t单调递增,∴当x=时,t最小,且最短时间为 h,故选项C正确;当x=4时,t=+>3,故选项D错误. 9.解析:设-u=k(x-)2. 因为当售价为10元时,年销量为28万件, 所以-28=k(10-)2,解得k=2, 所以u=-2(x-)2+=-2x2+21x+18. 所以年利润f(x)=(x-6)(-2x2+21x+18)=-2x3+33x2-108x-108, f'(x)=-6x2+66x-108=-6(x-2)(x-9), 令f'(x)=0,得x=2或x=9,又x>6,则x=9. 当6<x<9时,f'(x)>0;当x>9时,f'(x)<0, 所以x=9为f(x)的极大值点,也是最大值点. 所以当x=9时,年利润最大,最大年利润为f(9)=135万元. 10.解析:(1)因为f(x)=h(x)-l(x),所以f(x)=. (2)当0<x≤10时,f'(x)=0.81-,令f'(x)=0,得x=9或x=-9(舍去).当x∈(0,9)时,f'(x)>0,f(x)是增函数,当x∈(9,10)时,f'(x)<0,f(x)是减函数. 所以当x=9时,f(x)取得最大值3.86. 当10<x≤30时,f(x)=9.8-(0.27x+)≤9.8-2=9.8-6=3.8. 而3.8<3.86, 所以当发表数量为900篇时影响因素最大. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$