1.5.2 矩形的判定课件 2025-2026学年湘教版 数学八年级下册

1.5.2 矩形的判定 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理; 2.能熟练运用矩形的判定定理进行简单的计算和证明． 学习目标 BY YUSHEN 22051 小明在商场买了一个相框，在路上遇到了好朋友小虎，小虎看了相框感觉这个相框不是合格，不是标准的矩形，小明想运用学过的知识验证下，你们能帮帮他吗？ 情境导入 BY YUSHEN 22051 问题1：前边我们学习了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立. 问题2：四边形至少有几个角是直角就是矩形呢？ A B D C (有1个角是直角) A B D C (有2个角是直角) A B D C (有3个角是直角) 新知讲解 BY YUSHEN 22051 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 . 你能证明上述猜想吗？ 小芳同学由“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？ 新知讲解 BY YUSHEN 22051 A B C D 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC ，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 矩形的判定定理1 三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： ∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90°， ∴四边形 ABCD 是矩形. A B C D 归纳 BY YUSHEN 22051 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 巩固练习 BY YUSHEN 22051 情境 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化． α α α 思考 当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形． 如何证明呢？ 新知讲解 BY YUSHEN 22051 已知：平行四边形ABCD中，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D 证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AB=DC. ∴ △ABC≌ △DCB(SSS). ∴ ∠ABC=∠DCB. 又∵ AC=DB，BC=CB， ∵ AB//CD， ∴ ∠ABC=∠DCB=90°. ∴四边形ABCD是矩形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ ∠ABC+∠DCB=180°. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 矩形的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. (对角线相等且互相平分的四边形是矩形.) A B C D 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形. (或OA=OC=OB=OD) 归纳 BY YUSHEN 22051 回到情境，现在你可以帮小明检测所买的相框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？ 方案1：分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，那么相框符合规格； 方案2：测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，那么相框符合规格； 方案3：分别测量出相框四边和两条对角线的长度，如果相框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么相框符合规格. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 例1 如图，在□ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数． 　 A　 B　 C　 D　 O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA = OC = AC， OB=OD= BD. 又∵OA = OD， ∴AC = BD. ∴四边形 ABCD 是矩形. ∴∠BAD = 90°. 又∵∠OAD = 50°， ∴∠OAB = 40°. 例题讲解 BY YUSHEN 22051 例2 如图，在□ABCD 中，它的两条对角线相交于点O. (1) 如果□ABCD 是矩形，试问：△OBC 是什么样的三角形？ (2) 如果△OBC 是等腰三角形，且 OB = OC，那么□ABCD 是矩形吗？ 　 A　 B　 C　 D　 O 解：(1)因为□ABCD 是矩形， 所以 AC 与 DB 相等且互相平分， 于是 OB = DB = AC = OC， 所以△OBC 是等腰三角形. (2) 因为△OBC 是等腰三角形，且OB = OC， 所以 AC = 2OC = 2OB = BD. 因此，□ABCD 是矩形. 例题讲解 BY YUSHEN 22051 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定▱ABCD是矩形的是 (　　) A．AC=BD B．AC=BC C．AD=BC D．AB=AD A A B C D O 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 证明：∵ 四边形ABCD 为平行四边形， ∴OB = OD，OA=OC 又∵BM = DN ，∴OM=ON ∴ 四边形AMCN为平行四边形. 又∵ AC = 2MO，∴ AC = MN. ∴平行四边形AMCN是矩形. 2. 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， 其中M，N是BD上的两点，且BM = DN，AC = 2MO. 求证：四边形AMCN 是矩形. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形． A B C D 证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°， ∴∠ADC=90°. 又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13， 即AB2+BC2=AC2 ∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°. ∴四边形ABCD是矩形． 满足132=52+122， 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $