专题04矩形易错必刷题型专项训练(17大题型共计51道题)2025-2026学年湘教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦矩形高频易错点，以17类题型为载体，系统梳理性质判定应用逻辑，通过典题特征与易错点提炼构建解题方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|题型1-7（含折叠、坐标系）|对比辨析矩形与平行四边形性质，勾股定理与折叠性质结合|从性质理解到角度、线段、面积计算，逐步深化性质应用| |判定应用|题型8-10|依据定义与判定定理（对角线相等、直角）添加条件或证明|从判定定理理解到条件补充再到完整证明，构建判定逻辑链| |综合拓展|题型11-17（含动点、最值、实际应用）|性质与判定综合，方程思想解动点最值，建模解决实际问题|性质判定融合，结合动态问题与实际情境，提升综合应用能力|

专题04矩形易错必刷题型专项训练 本专题汇总矩形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.矩形性质理解 题型02.矩形的性质求角度 题型03.矩形的性质求线段长 题型04.矩形的性质求面积 题型05.矩形的性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形与折叠问题 题型08.矩形的判定定理理解 题型09.添条件使四边形是矩形 题型10.证明四边形是矩形 题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型12.由矩形的性质与判定求线段长 题型13.由矩形的性质与判定求面积 题型14.矩形中的动点问题 题型15.矩形中最值问题 题型16.矩形的多结论判断问题 题型17.矩形的实际应用问题 易错必刷题型01.矩形性质理解 典题特征：以选择、填空题形式，对比平行四边形、菱形的性质，考查矩形特有性质（四个角为直角、对角线相等）的辨析。 易错点：①误将“对角线相等”作为所有平行四边形的通用性质；②混淆矩形对角线“相等且平分”与菱形对角线“垂直且平分”的性质差异。 1．如图，矩形的对角线，相交于点O．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点O ∴，，，故A，B，D正确； 根据题意无法证明，故C错误． 2．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为_____________． 【答案】/度 【分析】过点作于点，可知在中，，取中点，连接，可证得为等边三角形，可知，则． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底， ∴平行四边形的高是矩形宽的一半． 在中，， 取中点，连接， 则， ∴，则为等边三角形， ∴， 则． 3．某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． (1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建为通道，通道上要铺设价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据矩形的周长计算即可； （2）分别算出矩形，花坛的面积后得到通道的面积，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴矩形的周长； （2）解：∵矩形绿地的长为，宽为，小矩形花坛的长为，宽为， ∴矩形绿地的面积为，花坛的面积为， ∴通道的面积为， ∵通道上要铺设价为6元的地砖， ∴购买地砖需要花费元． 易错必刷题型02.矩形的性质求角度 典题特征：以矩形为载体，结合对角线、角平分线、三角形内角和定理，计算单个角度或多个角度的和差。 易错点：①未利用矩形对角线相等且平分的性质，忽略对角线所分等腰三角形的底角相等；②未应用矩形的直角条件，按普通平行四边形计算角度导致结果错误。 4．在矩形中，对角线相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义．先根据矩形的性质，结合角平分线的定义求出，利用等腰三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：在矩形中，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，矩形中，的垂直平分线与交于点E，连接．若，则______． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据矩形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，，点分别是的中点．延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，即得，由三角形中位线的性质可得，进而得到，即可求证； （）利用三角形中位线和矩形的性质可得四边形是平行四边形，，即得，得到，再根据角平分线的定义可得，即可得，由等腰三角形的性质得，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 易错必刷题型03.矩形的性质求线段长 典题特征：结合矩形对边相等、对角线相等的性质，搭配勾股定理，计算边长、对角线长或对角线分割出的线段长度。 易错点：①应用勾股定理时，误将矩形对角线当作直角边参与计算；②未利用矩形对边平行且相等的性质，无法建立线段间的等量代换关系。 7．如图，线段为等腰的底边，矩形的对角线与相交于点O，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据矩形对角线相等且互相平分求出的长，再根据等腰三角形底边的定义得出即可求解． 【详解】解：矩形的对角线与相交于点O，， ， 线段为等腰的底边， ． 8．如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．若，则的长为____． 【答案】 【分析】由作图得，垂直平分，得到，然后表示出，由矩形得到，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：由作图得，垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴． 9．已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，根据勾股定理构造出方程． （1）根据矩形的性质可得，再根据角平分线可得，从而得到，即可求证； （2）根据F为的中点，可得，设，根据线段之间的关系，得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴，则， ∴； （2）解：∵F为的中点，， ∴， 设，则，， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴，则， ∴， 在中，∵， ∴，解得，则， 在中，． 易错必刷题型04.矩形的性质求面积 典题特征：直接应用矩形面积公式计算，或结合对角线分割的三角形面积关系，求矩形及相关阴影图形的面积。 易错点：①忽略矩形对角线将矩形分为4个面积相等的等腰三角形，计算时出现重复或遗漏；②未统一单位直接计算，导致面积结果错误。 10．如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，若矩形的面积为，平行四边形的面积为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作于点H，由题意知：，，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点H， 由题意知：，，， ∴， ∴， ∴． 11．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】3 【分析】根据矩形性质得出，，，推出，证出和的面积相等，同理可证：和的面积相等，和的面积相等，即可得出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即和的面积相等， 同理可证：和的面积相等，和的面积相等， 即阴影部分的面积等于矩形的面积的一半， ∵矩形面积是， ∴阴影部分的面积是3． 12．在矩形中，点是上一点，，，，垂足为F． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由勾股定理可求，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，，，， ． ， ． 在和中， ， ； ， ； （2）解：， ， ， ， 四边形的面积． 易错必刷题型05.矩形的性质证明 典题特征：以矩形为背景，证明线段相等、角相等、直线平行或垂直，常结合三角形全等判定定理。 易错点：①未先证明四边形为矩形，直接使用矩形的特殊性质进行推导；②误用平行四边形的通用性质替代矩形的特有性质。 13．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键．根据矩形的性质可得，结合，可证明是等边三角形，所以，再根据对顶角相等即得答案． 【详解】四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选B． 14．如图，已知矩形，，平分交于点E，点F、G分别为、的中点，则的长为_________．    【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理．正确连接辅助线是解题关键． 连接．由矩形的性质可间接证明得出，从而可求出，再由勾股定理可求出，最后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F、G分别为、的中点， ∴， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，点E是的中点，延长相交于点F，连接． (1)求证：； (2)当平分，且时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据矩形的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据角平分线的性质证明是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵点E是的中点， ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴． ∵平分， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∵点E是的中点， ∴． 易错必刷题型06.求矩形在坐标系中的坐标 典题特征：结合平面直角坐标系，利用矩形对边平行且相等、邻边垂直的性质，求顶点或动点的坐标。 易错点：①未考虑矩形边与坐标轴不平行的摆放方式，导致漏解；②计算坐标时忽略象限符号，直接将线段长度作为坐标值。 16．如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)， ∴点D的坐标为（2，1）， ∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， 则2k-k-1=1， 解得：k=2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 17．如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， ∴， 作于点E，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点B和D的坐标可得结论； （2）先得，，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①当时，点N在边上，四边形是梯形， ∵， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴； ②当时，点N在的延长线上， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 综上，点M的坐标为或． 易错必刷题型07.矩形与折叠问题 典题特征：以矩形折叠为背景，利用折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理列方程求解线段长度。 易错点：①无法识别折叠前后的对应边、对应角，不能建立等量关系；②列勾股定理方程时，错误书写折叠后线段的长度表达式。 19．如图，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点交于点，已知与的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据折叠的性质，平行线的性质，推出，再根据三角形的内角和定理求出，即可． 【详解】解：由题意，设，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，矩形是一张长宽比为的标准纸，将矩形纸片沿折叠，使得点C落在点处，且A，，E三点在同一直线上，则______． 【答案】/ 【分析】设矩形的长为，宽为，根据矩形的性质得，，，根据折叠的性质得，，，则，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，即可解答． 【详解】解：设矩形的长为，宽为， 则，，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 21．在矩形中，，． (1)如图1，将矩形沿直线折叠，使点C落在点E处，，相交于点P，求的长． (2)如图2，点M在边上，将矩形沿直线折叠，使点C落在点E处，点D落在点F处，与边相交于点P，若点C，E，M恰好在一条直线上，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质结合折叠的性质证明，得到，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）根据矩形的性质结合折叠的性质证明，得到，证明，得到，进而得到，在中，利用勾股定理可得的长，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， ． 由折叠可得，， ， ． 设，则． 在中，， ， ， 即的长为． （2）解：由折叠可得，，，． 点，，恰好在一条直线上， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ． 在中，， ． 易错必刷题型08.矩形的判定定理理解 典题特征：依托文字表述、图形条件，辨析矩形各类判定定理的适用前提，区分判定定理与性质定理，甄别错误判定说法。 易错点：①忽略判定定理前置条件，直接依据单一条件判定图形为矩形；②混淆矩形判定定理与平行四边形判定定理，定理概念区分不清；③颠倒性质与判定的推理逻辑方向。 22．测量一个桌面是否为矩形，其中正确的是（    ）. A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线是否相等 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定方法，根据矩形判定定理逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、根据三个角是直角的四边形是矩形，可以判定为矩形，原选项符合题意； 、测量两组对边是否相等不可以判定为矩形，原选项不符合题意； 、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，不可以判定为矩形，原选项不符合题意； 、测量对角线是否相等不可以判定为矩形，原选项不符合题意； 故选：． 23．小明手工制作矩形木板，下列测量方法能确定其为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合各选项中的测量数据进行分析即可． 【详解】解：A．只有两个对角是直角，无法判定四边形是矩形，故本选项错误； B．只有两个邻角是直角，只能说明左右两边平行，该四边形可能是直角梯形，故本选项错误； C．由底边两个角是，对边都等于，得出对边平行且相等， 该四边形是平行四边形． 又有一个角是， 该四边形是矩形，故本选项正确； D．只有左边长、上边长及两个底角，无法确定右边长度，可能是直角梯形，故本选项错误． 24．如图，工人王师傅在制作矩形木框时分①、②、③、④四个步骤进行． ①先截出两对符合规格（每对的长度相等）的等宽木条； ②将步骤①中的木条首尾相接钉成②中的四边形木框； ③将直角工具紧靠四边形木框的一个角，调整木框的边框； ④将木框的边框调整至直角工具的两条边与木框无缝隙时停止． (1)步骤②中四边形是平行四边形吗？并说明理由； (2)上述四个步骤结束时，判断王师傅制作的木框是否为矩形，并说明判断依据． 【答案】(1)步骤②中四边形是平行四边形，理由见解析； (2)四个步骤结束时，王师傅制作的木框为矩形，判断依据见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理． （1）根据平行四边形的判定定理，可得四边形的形状； （2）由平行四边形的性质可知对边平行，根据平行线的性质，结合已知可得四边形的内角，根据矩形的判定定理，可得四边形的形状． 【详解】（1）解：步骤②中四边形是平行四边形， 理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 答：步骤②中四边形是平行四边形． （2）解：四个步骤结束时，王师傅制作的木框为矩形， 判断依据： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵步骤④中，， ∴，， ∴四边形为矩形， 答：四个步骤结束时，王师傅制作的木框为矩形． 易错必刷题型09.添条件使四边形是矩形 典题特征：给定平行四边形或一般四边形，添加条件使其成为矩形，考查矩形判定定理的应用。 易错点：①对一般四边形添加“对角线相等”直接判定为矩形，忽略需先为平行四边形；②混淆矩形与菱形的判定条件，添加邻边相等的条件。 25．如图，要使成为矩形，需要添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题．   【详解】解：根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知选项D正确，  故选：D． 26．如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】利用三角形中位线定理，先证明四边形的一组对边平行且相等，从而判定它是平行四边形；再通过添加条件使对角线互相垂直，让平行四边形的一个内角为直角，进而证明它是矩形． 【详解】解：，（答案不唯一）， 如图，连接， ∵ 在中，分别是的中点， ∴，， 同理，在中，分别是的中点， ∴，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 当，平行四边形有一个直角，即成为矩形． 27．如图，点M在的边上，．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件，使为矩形． ①；②；③． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【答案】(1)①（答案不唯一） (2)见解析 【分析】（1）选一个条件即可； （2）先由平行四边形的性质得到，证明，得到，根据平行线的性质得到，即，即可证明为矩形． 【详解】（1）解：添加的条件是①， 故答案为：①（答案不唯一）； （2）证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ． 又， ， 为矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 易错必刷题型10.证明四边形是矩形 典题特征：根据四边形的边、角、对角线条件，结合定义或判定定理，证明该四边形为矩形。 易错点：①仅证明一个角为直角，直接判定四边形为矩形，忽略需先为平行四边形；②未完整说明“三个角为直角”的条件，直接判定为矩形。 28．已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理对各选项逐一判断即可得到结论． 【详解】解： A ：四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），不符合题意； B ：四边形是平行四边形，得， 平行四边形是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形），不符合题意； C ：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），不符合题意； D ：平行四边形本身就满足对角相等，即本来就有，这个条件不能判定平行四边形为矩形，符合题意． 29．已知的对角线，相交于点O，是等边三角形，，则的面积等于_____________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的性质、矩形的判定，勾股定理，熟练掌握勾股定理和矩形的判定是解题的关键． 根据是等边三角形，得出，证出四边形是矩形，再利用勾股定理求得，进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， 由勾股定理得， ∴的面积． 故答案为：． 30．如图，在中，D是上一点，，平分交于点E，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，连接，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得出答案； （2）先根据等腰三角形的性质得，再根据含直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴，即． ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示， ∵， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， 在中，． 易错必刷题型11.由矩形的性质与判定求角度 典题特征：先判定四边形为矩形，再利用矩形性质计算角度；或根据角度条件反推四边形为矩形。 易错点：①判定矩形的条件不充分，导致后续角度计算的依据错误；②未结合矩形对角线的性质，无法建立角度间的等量关系。 31．如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，代入求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，能根据矩形的性质求出的度数是解此题的关键． 32．如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，进而得到，可知四边形是矩形，根据勾股定理求出的值，可知的面积 （2）连接，根据矩形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，证明是等边三角形，可知． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ． ， ， ∴四边形是矩形． ， ， ； （2）解：连接， ∵矩形， ∴， ∵点F是的中点， ， 是等边三角形，点E是的中点， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ． 33．如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【分析】（1）由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，证明 可得结合平行四边形的判定可得结论． （2）由题意可得四边形为矩形，则进而可得则 则． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型12.由矩形的性质与判定求线段长 典题特征：先判定四边形为矩形，再利用矩形对边相等、对角线相等的性质，结合勾股定理求线段长度。 易错点：①判定矩形的条件不严谨，导致后续线段计算的依据错误；②未利用矩形对角线平分的性质，无法建立线段间的等量关系。 34．如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查平移的性质及矩形的判定，理解题意，熟练掌握平移的性质是解题关键． 连接，根据 题意得出，，确定四边形是矩形，再由平移的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵平移， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 35．如图，在梯形中，，，点为边上一点，连接、，已知，，，，那么的长为_____ ． 【答案】5 【分析】设，则，利用勾股定理可得，，则，而，即可建立方程求解． 【详解】解：如图所示，过B作于F点，设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 36．如图，在中，，D为中点，分别过A点，B点作，交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的定义得到四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定和性质得到，即可证明结论成立； （2）证明是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D为中点， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵过点E作于点H， ∴ ∴ 易错必刷题型13.由矩形的性质与判定求面积 典题特征：先判定四边形为矩形，再应用矩形面积公式或结合三角形面积关系求图形面积。 易错点：①判定矩形的过程不完整，直接使用矩形面积公式计算；②忽略矩形对角线分割出的三角形面积关系，导致阴影部分面积计算错误。 37．如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质与判定求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明四边形是矩形，再根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，点D，E，F分别是三边的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∴四边形的面积是()， 故选：B． 38．如图，是内部一点，，且，，依次取、、、中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是____． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得． 【详解】解：点分别是，的中点，且， ， 同理可得：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 39．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）若BC=8，AO=，求四边形AEBC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）18 【分析】（1）只要证明四边形ADBE是平行四边形，且∠ADB=90°即可； （2）求出AB、AD，利用梯形的面积公式解答即可． 【详解】（1）∵AE∥BC，BE∥AD， ∴四边形ADBE是平行四边形．   ∵AB=AC，AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC． 即∠ADB=90°． ∴四边形ADBE为矩形． （2）∵在矩形ADBE中， AO=， ∴DE=AB= 5． ∵D是BC的中点， ∴AE=DB=4， ∴根据勾股定理 ， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型． 易错必刷题型14.矩形中的动点问题 典题特征：以矩形为背景，点在边或对角线上运动，求解线段长度、角度或面积的变化情况。 易错点：①未分类讨论动点的不同位置，导致漏解；②忽略矩形的边长限制，错误判断动点的运动范围。 40．如图，在矩形中，，点在边上由点向点运动，点在边上由点向点运动，两点同时运动同时停止，若点与点的速度分别为和，则经过_____后，四边形成为矩形． 【答案】 【分析】设运动时间为秒，用含的式子表示和，再根据矩形对边相等的性质列方程求解得到时间． 【详解】解：设经过后，四边形为矩形， 四边形为矩形，， ， 点与点的速度分别为和， ，， ， ，解得． 41．如图，在矩形中，，，点M，N分别是边，上的动点，点M不与A，B重合，且，P是五边形内满足且的点．现给出以下结论： ①； ②点P到边，的距离一定相等； ③点P到边，的距离可能相等； ④点P到边的距离的最大值为1； 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，：结合，，判断结论①正误；可证明，判断结论②正误；结合，可判断结论③正误；结合，可判断结论④正误． 【详解】解：如图所示，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，． ∵四边形为矩形， ∴． ∴，． ∴． ∴点，，共线． 同理可得点，，共线． ∵， ∴四边形为矩形． ∴． 同理可得． ∵，，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 结论①正确． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∴点到边，的距离一定相等． 结论②正确． ∵， ∴． ∴． ∴点到边，的距离不相等． 结论③错误． ∵ ∴的最大值为． 结论④错误． 综上所述，结论正确的为①②，共2个． 42．如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一动点，过点作，与线段的延长线交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求的值； (3)若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)四边形是矩形，证明见解析． 【分析】（1）判断出，即可得出结论； （2）根据矩形的性质，证明为等边三角形，即可得出结论； （3）利用等边三角形的性质及（1）的结论证明，继而可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：四边形是矩形， ∵四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 易错必刷题型15.矩形中最值问题 典题特征：结合矩形的性质，求解线段长度、周长或面积的最大值、最小值，常结合轴对称或勾股定理。 易错点：①未利用矩形的对称性确定最值点；②列最值表达式时，忽略变量的取值范围。 43．如图，点是中斜边（不与，重合）上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理求出的长，证明四边形是矩形，推出，则当时，的值最小，即此时的值最小，利用等面积法求出此时的值即可得到答案． 【详解】解：∵在中，为斜边， ∴， ∵，， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴点O为的中点 ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即此时的值最小， 此时有， ∴， ∴， ∴的最小值为． 44．如图，矩形中，，E是边上一动点，连接，过点C作于点P，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 取中点，连接，根据直角三角形斜边中线可得，然后由勾股定理求解，再由三角形三边关系即可求解最值． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上时，取得最小值为． 45．如图，在矩形中，E是上的点，点F在对角线上，． (1)如图①，若点F为中点，连接，写一个与相等的角______； (2)如图②，若点E为中点，连接，若．判断线段与线段的关系，并说明理由； (3)若，是否存在点F，使得最小，若存在，画出点F的位置，并求其最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)（或） (2)且；理由见解析 (3)存在；画图见解析；最小值为3 【分析】（1）根据矩形的性质，得出，根据平行线的性质得出；根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出； （2）根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质得出，，根据勾股定理得出，，根据，得出； （3）作点B关于的对称点，过点作于点E，交于点F，交于点G，根据轴对称可知，，，得出，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出此时最小，即最小，再求出最小值即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴； ∵在中，点F为中点， ∴， ∴； ∴与相等的角为或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴． （3）解：作点B关于的对称点，过点作于点E，交于点F，交于点G，如图所示： 根据轴对称可知：，，， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴， ∵矩形中， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 易错必刷题型16.矩形的多结论判断问题 典题特征：给出矩形背景下的多个结论，判断其正确性，综合考查矩形性质、全等三角形等知识。 易错点：①对矩形对角线、折叠等性质理解不全面，误判结论；②忽略点的位置变化等特殊情况，导致结论判断错误。 46．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①与一定互补；②点到边，的距离一定相等；③点到边，的距离可能相等． 其中正确的是____．(写出所有正确结论的序号) 【答案】①② 【分析】根据矩形的性质得出，又，由四边形内角和为可判断①； 过作，，分别交于，交于，根据且，，可以求出，然后证明，可以判断②； 由，和②的结论可以判断③． 【详解】解：四边形是矩形， ， 又，四边形内角和是， ， 故①正确； 过作，，分别交于，交于， 且， ， 又， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故②正确； ，，并由②易知， 点到边，的距离不相等， 故③错误， 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质，四边形内角和以及三角形内角和定理，解题的关键是对相关知识的掌握和运用． 47．如图．在矩形中，将矩形沿折叠，点D落在点E处，且与交于F，则下列结论①②③④若，则，正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，逐一分析各个结论的正确性，再结合选项选择正确答案即可． 【详解】解：在矩形中，， ∵矩形沿翻折， ∴， ∴， ∴，故①正确； 结论②中未给出任何关于角度的特殊条件，无法通过已知条件推导出， ∴②不一定成立，无特殊条件支持，故②错误； ∵矩形沿翻折， ∴， ∴，， 在矩形中，，， ∴，， 在和中， ， ∴，故③正确； 设，则， 由③可知，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④． 48．如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，平分，延长与相交于点E，下列结论中正确的为（    ） ①四边形为矩形；②为的中位线；③；④≌． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得 是等腰三角形，结合推出是的中点，进而证明四边形是矩形；利用三角形中位线定理判断的性质；利用矩形对角线互相平分及三角形面积公式判断面积关系；通过计算线段长度判断三角形全等． 【详解】解：四边形是平行四边形 ， 平分 四边形是平行四边形 平行四边形是矩形，故①正确； 由上可得，在 中，是的中点， 是 中点 是的中位线，故②正确； 四边形是矩形 对角线互相平分，即是中点 ∵矩形中，， ∴ ∴ 是中点 ，故③正确 在 Rt 中，， 由勾股定理得 ，为中点 与 不全等，故④错误 综上所述，正确的结论是①②③． 易错必刷题型17.矩形的实际应用问题 典题特征：以生活中的矩形物体为背景，结合矩形性质解决实际计算问题。 易错点：①未将实际问题转化为矩形几何模型；②忽略题目中的隐含直角、对边平行条件，导致计算错误。 49．如图，直尺直立在水平桌面上，点不动，转动直尺，使其一顶点靠在竖直墙壁上．观测发现，点、、在同一直线上，顶点到墙壁的距离为，，则直尺长为___________． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质和旋转的性质可得，，，，从而证明，因此．根据含的直角三角形的性质可得，，，则，结合可计算出，因此． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点、、在同一直线上， ∴， 由旋转的性质可得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∵，， ∴． 50．如图，某景区有一个矩形花坛，两条对角线、相交于点，已知，较短边，园艺工人计划沿着对角线铺设一条穿过矩形花坛中心的小路，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，则，然后证明是等边三角形，再通过等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 51．小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如图2，若想要让风筝的离地高度再上升至处，在余线剩的情况下，请判断小明能否成功，并说明理由． 【答案】(1) (2)风筝的离地高度能再上升至处，理由见解析 【分析】（1）作交于点，证明四边形是矩形，由矩形性质得出，，再结合勾股定理即可得解； （2）假设风筝的离地高度能再上升至处，利用勾股定理求出，再结合无理数的估算即可判断该情况能否成立． 【详解】（1）解：作交于点， 由题意得， 四边形是矩形， ，， 中，， ， 故风筝离地面的垂直高度为； （2）解：能；理由如下： 假设风筝的离地高度能再上升至处， 此时， ， 中，， ， ， 即， 故在余线剩的情况下，风筝的离地高度能再上升至处． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04矩形易错必刷题型专项训练 本专题汇总矩形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.矩形性质理解 题型02.矩形的性质求角度 题型03.矩形的性质求线段长 题型04.矩形的性质求面积 题型05.矩形的性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形与折叠问题 题型08.矩形的判定定理理解 题型09.添条件使四边形是矩形 题型10.证明四边形是矩形 题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型12.由矩形的性质与判定求线段长 题型13.由矩形的性质与判定求面积 题型14.矩形中的动点问题 题型15.矩形中最值问题 题型16.矩形的多结论判断问题 题型17.矩形的实际应用问题 易错必刷题型01.矩形性质理解 典题特征：以选择、填空题形式，对比平行四边形、菱形的性质，考查矩形特有性质（四个角为直角、对角线相等）的辨析。 易错点：①误将“对角线相等”作为所有平行四边形的通用性质；②混淆矩形对角线“相等且平分”与菱形对角线“垂直且平分”的性质差异。 1．如图，矩形的对角线，相交于点O．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为_____________． 3．某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． (1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建为通道，通道上要铺设价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 易错必刷题型02.矩形的性质求角度 典题特征：以矩形为载体，结合对角线、角平分线、三角形内角和定理，计算单个角度或多个角度的和差。 易错点：①未利用矩形对角线相等且平分的性质，忽略对角线所分等腰三角形的底角相等；②未应用矩形的直角条件，按普通平行四边形计算角度导致结果错误。 4．在矩形中，对角线相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，矩形中，的垂直平分线与交于点E，连接．若，则______． 6．如图，在中，，点分别是的中点．延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，，求四边形的面积． 易错必刷题型03.矩形的性质求线段长 典题特征：结合矩形对边相等、对角线相等的性质，搭配勾股定理，计算边长、对角线长或对角线分割出的线段长度。 易错点：①应用勾股定理时，误将矩形对角线当作直角边参与计算；②未利用矩形对边平行且相等的性质，无法建立线段间的等量代换关系。 7．如图，线段为等腰的底边，矩形的对角线与相交于点O，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．若，则的长为____． 9．已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 易错必刷题型04.矩形的性质求面积 典题特征：直接应用矩形面积公式计算，或结合对角线分割的三角形面积关系，求矩形及相关阴影图形的面积。 易错点：①忽略矩形对角线将矩形分为4个面积相等的等腰三角形，计算时出现重复或遗漏；②未统一单位直接计算，导致面积结果错误。 10．如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，若矩形的面积为，平行四边形的面积为，则（  ） A． B． C． D． 11．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为__________． 12．在矩形中，点是上一点，，，，垂足为F． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 易错必刷题型05.矩形的性质证明 典题特征：以矩形为背景，证明线段相等、角相等、直线平行或垂直，常结合三角形全等判定定理。 易错点：①未先证明四边形为矩形，直接使用矩形的特殊性质进行推导；②误用平行四边形的通用性质替代矩形的特有性质。 13．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 14．如图，已知矩形，，平分交于点E，点F、G分别为、的中点，则的长为_________．    15．如图，在矩形中，点E是的中点，延长相交于点F，连接． (1)求证：； (2)当平分，且时，求的长． 易错必刷题型06.求矩形在坐标系中的坐标 典题特征：结合平面直角坐标系，利用矩形对边平行且相等、邻边垂直的性质，求顶点或动点的坐标。 易错点：①未考虑矩形边与坐标轴不平行的摆放方式，导致漏解；②计算坐标时忽略象限符号，直接将线段长度作为坐标值。 16．如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 17．如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．    18．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 易错必刷题型07.矩形与折叠问题 典题特征：以矩形折叠为背景，利用折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理列方程求解线段长度。 易错点：①无法识别折叠前后的对应边、对应角，不能建立等量关系；②列勾股定理方程时，错误书写折叠后线段的长度表达式。 19．如图，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点交于点，已知与的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．如图，矩形是一张长宽比为的标准纸，将矩形纸片沿折叠，使得点C落在点处，且A，，E三点在同一直线上，则______． 21．在矩形中，，． (1)如图1，将矩形沿直线折叠，使点C落在点E处，，相交于点P，求的长． (2)如图2，点M在边上，将矩形沿直线折叠，使点C落在点E处，点D落在点F处，与边相交于点P，若点C，E，M恰好在一条直线上，求的长． 易错必刷题型08.矩形的判定定理理解 典题特征：依托文字表述、图形条件，辨析矩形各类判定定理的适用前提，区分判定定理与性质定理，甄别错误判定说法。 易错点：①忽略判定定理前置条件，直接依据单一条件判定图形为矩形；②混淆矩形判定定理与平行四边形判定定理，定理概念区分不清；③颠倒性质与判定的推理逻辑方向。 22．测量一个桌面是否为矩形，其中正确的是（    ）. A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线是否相等 23．小明手工制作矩形木板，下列测量方法能确定其为矩形的是（   ） A． B． C． D． 24．如图，工人王师傅在制作矩形木框时分①、②、③、④四个步骤进行． ①先截出两对符合规格（每对的长度相等）的等宽木条； ②将步骤①中的木条首尾相接钉成②中的四边形木框； ③将直角工具紧靠四边形木框的一个角，调整木框的边框； ④将木框的边框调整至直角工具的两条边与木框无缝隙时停止． (1)步骤②中四边形是平行四边形吗？并说明理由； (2)上述四个步骤结束时，判断王师傅制作的木框是否为矩形，并说明判断依据． 易错必刷题型09.添条件使四边形是矩形 典题特征：给定平行四边形或一般四边形，添加条件使其成为矩形，考查矩形判定定理的应用。 易错点：①对一般四边形添加“对角线相等”直接判定为矩形，忽略需先为平行四边形；②混淆矩形与菱形的判定条件，添加邻边相等的条件。 25．如图，要使成为矩形，需要添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 26．如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 27．如图，点M在的边上，．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件，使为矩形． ①；②；③． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 易错必刷题型10.证明四边形是矩形 典题特征：根据四边形的边、角、对角线条件，结合定义或判定定理，证明该四边形为矩形。 易错点：①仅证明一个角为直角，直接判定四边形为矩形，忽略需先为平行四边形；②未完整说明“三个角为直角”的条件，直接判定为矩形。 28．已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 29．已知的对角线，相交于点O，是等边三角形，，则的面积等于_____________． 30．如图，在中，D是上一点，，平分交于点E，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，连接，求的长． 易错必刷题型11.由矩形的性质与判定求角度 典题特征：先判定四边形为矩形，再利用矩形性质计算角度；或根据角度条件反推四边形为矩形。 易错点：①判定矩形的条件不充分，导致后续角度计算的依据错误；②未结合矩形对角线的性质，无法建立角度间的等量关系。 31．如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 33．如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 易错必刷题型12.由矩形的性质与判定求线段长 典题特征：先判定四边形为矩形，再利用矩形对边相等、对角线相等的性质，结合勾股定理求线段长度。 易错点：①判定矩形的条件不严谨，导致后续线段计算的依据错误；②未利用矩形对角线平分的性质，无法建立线段间的等量关系。 34．如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 35．如图，在梯形中，，，点为边上一点，连接、，已知，，，，那么的长为_____ ． 36．如图，在中，，D为中点，分别过A点，B点作，交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 易错必刷题型13.由矩形的性质与判定求面积 典题特征：先判定四边形为矩形，再应用矩形面积公式或结合三角形面积关系求图形面积。 易错点：①判定矩形的过程不完整，直接使用矩形面积公式计算；②忽略矩形对角线分割出的三角形面积关系，导致阴影部分面积计算错误。 37．如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 38．如图，是内部一点，，且，，依次取、、、中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是____． 39．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）若BC=8，AO=，求四边形AEBC的面积． 易错必刷题型14.矩形中的动点问题 典题特征：以矩形为背景，点在边或对角线上运动，求解线段长度、角度或面积的变化情况。 易错点：①未分类讨论动点的不同位置，导致漏解；②忽略矩形的边长限制，错误判断动点的运动范围。 40．如图，在矩形中，，点在边上由点向点运动，点在边上由点向点运动，两点同时运动同时停止，若点与点的速度分别为和，则经过_____后，四边形成为矩形． 41．如图，在矩形中，，，点M，N分别是边，上的动点，点M不与A，B重合，且，P是五边形内满足且的点．现给出以下结论： ①； ②点P到边，的距离一定相等； ③点P到边，的距离可能相等； ④点P到边的距离的最大值为1； 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一动点，过点作，与线段的延长线交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求的值； (3)若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论． 易错必刷题型15.矩形中最值问题 典题特征：结合矩形的性质，求解线段长度、周长或面积的最大值、最小值，常结合轴对称或勾股定理。 易错点：①未利用矩形的对称性确定最值点；②列最值表达式时，忽略变量的取值范围。 43．如图，点是中斜边（不与，重合）上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 44．如图，矩形中，，E是边上一动点，连接，过点C作于点P，连接，则的最小值为________． 45．如图，在矩形中，E是上的点，点F在对角线上，． (1)如图①，若点F为中点，连接，写一个与相等的角______； (2)如图②，若点E为中点，连接，若．判断线段与线段的关系，并说明理由； (3)若，是否存在点F，使得最小，若存在，画出点F的位置，并求其最小值，若不存在，说明理由． 易错必刷题型16.矩形的多结论判断问题 典题特征：给出矩形背景下的多个结论，判断其正确性，综合考查矩形性质、全等三角形等知识。 易错点：①对矩形对角线、折叠等性质理解不全面，误判结论；②忽略点的位置变化等特殊情况，导致结论判断错误。 46．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①与一定互补；②点到边，的距离一定相等；③点到边，的距离可能相等． 其中正确的是____．(写出所有正确结论的序号) 47．如图．在矩形中，将矩形沿折叠，点D落在点E处，且与交于F，则下列结论①②③④若，则，正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 48．如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，平分，延长与相交于点E，下列结论中正确的为（    ） ①四边形为矩形；②为的中位线；③；④≌． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 易错必刷题型17.矩形的实际应用问题 典题特征：以生活中的矩形物体为背景，结合矩形性质解决实际计算问题。 易错点：①未将实际问题转化为矩形几何模型；②忽略题目中的隐含直角、对边平行条件，导致计算错误。 49．如图，直尺直立在水平桌面上，点不动，转动直尺，使其一顶点靠在竖直墙壁上．观测发现，点、、在同一直线上，顶点到墙壁的距离为，，则直尺长为___________． 50．如图，某景区有一个矩形花坛，两条对角线、相交于点，已知，较短边，园艺工人计划沿着对角线铺设一条穿过矩形花坛中心的小路，则的长是（    ）． A． B． C． D． 51．小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如图2，若想要让风筝的离地高度再上升至处，在余线剩的情况下，请判断小明能否成功，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $