第四章因式分解单元提升测试卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第四章因式分解单元提升测试卷 一、单选题（每题3分.共计30分） 1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是(). A.x(x-1)）=x2-x B.x2-2x+1=x(x-2)+1 1 C.x2-y2=(x+y)(x-y) D.2+1=xx+) 2.多项式2x3y2+3x4y3-6x2y中，各项的公因式是(). A. B.x'y C.2x2y D 3.下列各式中不能进行因式分解的是() A.a2-9b2 B.p2-2pq+g2 C.a2+a+1 D.p4-g2 4.下列各多项式中，可以用完全平方公式分解因式的是() A.a2-2ab+4b2 B.9m2-12m+4n2 C.9-6y+y2 D.x2-2xy-y2 5.把多项式2a2m-6a2因式分解，结果正确的是() A.2a(am-3) B.2a2(m-3 C.ma-3)2 D.ma+3)a-3) 6.下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是() A.(a+4)(a-4=a2-16 B.x3-x=x(x2-1) C.1-4x+4x2=(1-2x)2 D.x2+y2=(x+y)(x-y) 7.下列多项式，不能分解因式的有() ①-9x2+y2; ②-a2-b2: ③-a2+2ab-b2; ④2a2b-8ab+8b; ⑤x2-3x-4. 试卷第1页，共3页 3x'y A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.已知多项式x23xk分解因式后有一个因式是(x-4),则k的值为() A.4 B.-4 C.12 D.-12 9.分解因式a-2a2+1的结果是（) A.(a-12 B.(a+1)2 C.(a+1)2(a-1)2D.(a+1(a-l 10.在实数范围内因式分解：x2-2x-1,下列选项中正确的是（) A.(x+1+V2)(x+1-V2) B.(x-1+V2x-1-V2) C.(x-1+22)x-1-22） D.(x-2+V2)x-2-V2 二、填空题（每题3分.共计18分） 11.1.23×512-1.23×492= 12.因式分解：x2-10xy-24y2= 13.已知x-y=5,则x2-y2-10y的值是 14.在对多项式am+bm+an+bn进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式=am+bm+(an+bn=ma+b+n(a+b=(a+b)(m+n),这种方法叫做分组分解法. 请你运用分组分解法，把4x2+4x-y2+1分解因式的结果为 15.已知a=3-√2，b=2+√2，则代数式(a2-6a+9)(b2-4b+4)的值为 16.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m、n的平方差，且m-n>1,则称这个正 整数为“智慧优数”.例如：16=52-32,16就是一个“智慧优数”，可以利用 m2-n2=(m+n(m-n进行研究.若将“智慧优数”从小到大排列，则第5个“智慧优数” 是 三、解答题（每题9分.共计72分） 17.下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)(m+n)(m-n)=m2-n2; (2)4a2-b2=(2a+b)(2a-b); (3)5a+10b=5(a+2b): (4)x2-2x+1=x(x-2)+1. 试卷第1页，共3页 18.把下列各式因式分解： (1)5a-b-mb-a. (2)-(3m-2n3+2(2n-3m2. (3)2x-32-(4x-6). 19.分解因式： (1)m2-4; (2)3ax2-6ax+3a. (2)解：3ax2-6ar+3a=3ax2-2x+1=3ax-1)2. 20.探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？ ()观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答： (填“能”或“不能”)； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道x+a)x+b)=x2+a+b)x+ab,将该式从右到左 地使用，即可对形如x2+(a+b)x+ab的多项式进行因式分解，即： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b); 此类多项式x2+a+b)x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为 这两数之和. (2)猜想并填空：x2+8x+15=x2+(一十)x+×=（x+)(x+): (③)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①x2+8x+12②x2-x-12 21.因式分解： 1 01+2m+ (2)m+m)2-4m+n+4. (3)m+n2-4mn. 22.(1)因式分解：m+1)(m-4)+3m (2)在实数范围内分解因式：x2-4x-1. 23.在分解因式x2+ar+b时，甲看错了b,分解结果为x+1(x-6);乙看错了a,分解结 试卷第1页，共3页 果为x+2(x+3),求a+b的值. 24.已知整数a,b,m,n.满足a-b=mn,a≠b (1)求证：a2-b2-2mnb为正数； (2)若n为偶数，判断am+bm是奇数还是偶数，并说明理由. 试卷第1页，共3页 第四章因式分解单元提升测试卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握好相关知识是关键． 因式分解是指把一个多项式化为几个整式的积的形式，依据此定义逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：从整式的积转化为多项式，是整式乘法，不符合因式分解定义，故A错误； 对于选项B：右边是整式与常数的和，不是整式的积，不符合定义，故B错误； 对于选项C：将多项式转化为两个整式与的积，符合因式分解定义，故C正确； 对于选项D：右边的不是整式，不符合因式分解的定义，故D错误． 故选：C． 2．多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【详解】解：∵ 各项系数的最大公约数是， ∵ 多项式各项都含有的相同字母为， ∵ 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 各项的公因式是． 故答案为：． 3．下列各式中不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，通过因式分解的常用方法（如平方差公式、完全平方公式）或判别式判断各选项是否能分解． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项 C：，不能进行因式分解，符合题意； 选项 D：，不符合题意； 故选：C． 4．下列各多项式中，可以用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用完全平方公式进行因式分解的能力，解题的关键是了解完全平方公式的结构特点，准确记忆公式，会根据公式的结构判定多项式是否是完全平方式． 可以用完全平方公式分解因式的多项式必须是完全平方式，符合结构，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、中，，中间项应为，而非，不符合完全平方式结构，故该选项不符合题意； B、中，，，中间项应为，而非，不符合完全平方式结构，故该选项不符合题意； C、，符合完全平方式结构，故该选项符合题意； D、中，为负项，不满足完全平方式中两个平方项同号的要求，不符合结构，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．把多项式因式分解，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用提公因式法进行分解，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴ 结果为 ， 故选：B． 6．下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据定义逐一判定即可得答案． 【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、分解不彻底，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、无法因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C 7．下列多项式，不能分解因式的有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了多项式因式分解的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题需依据初中因式分解的方法（提公因式法、公式法、十字相乘法），逐个判断多项式能否分解因式，统计不能分解的个数后确定答案，即可求解； 【详解】①∵， ∴由平方差公式可得，原式，能分解因式． ②∵，在实数范围内无法分解， ∴原式不能分解因式． ③∵， ∴由完全平方公式可得，原式，能分解因式． ④∵， ∴由完全平方公式可得，原式，能分解因式． ⑤∵可通过十字相乘法，将拆分为和1，且， ∴原式，能分解因式． 综上，不能分解因式的只有1个， 故选：A； 8．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于的方程是解此题的关键．因多项式有一个因式是，则当时，多项式的值为零，由此得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵多项式有一个因式是， ∴当时，多项式值为零，即， 解得， 即k的值为． 故选：B． 9．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 10．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 二、填空题(每题3分.共计18分) 11． ． 【答案】246 【分析】本题考查利用平方差公式进行简算，逆用乘法分配律和平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：246 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 13．已知，则的值是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平方差公式及代数式的化简与求值，先利用平方差公式分解，代入后化简，再代入已知条件计算结果． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：25． 14．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法，将多项式分组为完全平方式与平方差形式，然后应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．已知，，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的计算，掌握配方法构造完全平方是解题的关键． 将代数式中的二次三项式分别配成完全平方形式，然后代入数值计算． 【详解】解：由完全平方公式，得 ，． 代入 ，，得 ，． 所以 ，． 因此原式 ． 故答案为：4． 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m、n的平方差，且，则称这个正整数为 “智慧优数”．例如：，16 就是一个 “智慧优数”，可以利用进行研究．若将  “智慧优数” 从小到大排列，则第 5 个 “智慧优数”是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 根据智慧优数的定义，枚举满足条件的平方差，从小到大排列并去重，找到第5个数，即可解题． 【详解】解：、为正整数且． 则当，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； …．将所得数从小到大排列并去重，得序列：，，，，，…， 故第5个智慧优数为． 故答案为：． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是因式分解． (2)是因式分解． (3)是因式分解． (4)不是因式分解． 【分析】本题考查的知识点为因式分解，因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式． （1）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； （2）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； （3）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； （4）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； 【详解】（1）左边是，是整式的积， 右边是，是多项式， 这是整式乘法，不是因式分解． （2）左边是，是多项式， 右边是，是整式的积，并且等式成立， 符合因式分解定义， 故该变形为因式分解． （3）左边是，是多项式， 右边是，是整式的积，并且等式成立， 符合因式分解定义， 故该变形为因式分解． （4）左边是，是多项式， 右边是，不是整式的积，而是和的形式， 不符合因式分解定义． 18．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握先变形构造公因式，再提取公因式化简多项式是解题的关键． （1）先将变形为，使两项出现公因式，再提取公因式； （2）先将变形为，使两项出现公因式，再提取公因式； （3）先将变形为，使两项出现公因式，再提取公因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 19．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 20．探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 21．因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，以及整体思想的应用，掌握识别完全平方形式是解题的关键． （1）观察式子结构，符合完全平方和公式的形式，直接套用公式分解； （2）将看作整体，用完全平方公式分解； （3）先展开多项式，合并同类项后得到完全平方形式，再分解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 22．（1）因式分解： （2）在实数范围内分解因式：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，然后运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 23．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 24．已知整数．满足． (1)求证：为正数； (2)若为偶数，判断是奇数还是偶数，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是偶数，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、奇数和偶数的识别等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． （1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明． （2）由，，，为整数，为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，得出为偶数，即可得出为偶数． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴为正数． （2）解：为偶数，理由如下： ∵，，，为整数，为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴为偶数， ∴，同为偶数或者同为奇数， ∴为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴是偶数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $