21.2.3三角形的中位线（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册 第二十一章 四边形 21.2.3三角形的中位线 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1. 理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 通过对三角形中位线的观察、测量获得猜想，进一步验证猜想，提高学生合情推理能力和逻辑思维能力． 3. 能熟练运用三角形的中位线定理进行证明和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力． 前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题. 下面利用平行四边形研究三角形的有关问题. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. F 一个三角形有几条中位线？ 一个三角形有三条中位线. 三角形的中位线和中线一样吗？ A B C D E F A B C 不一样. 三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段. 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段， 三角形的中位线 三角形的中线 图示 符号语言 ∵ D,E,F 分别是 BC,CA,AB 边的中点，∴ DE,EF,FD 是△ABC 的中位线. ∵ D,E,F 分别是 BC,CA,AB 边的中点，∴ AD,BE,CF 是△ABC 的中线. 区别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段. 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段. 辨析 三角形的中位线与三角形的中线的区别 观察下图，你能发现 △ABC 的中位线 DE 与边 BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与 BC 之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？ 我们猜想：DE ∥ BC，DE = BC. A B C D E 怎么证明呢？ A B C D E F 证四边形 ADCF 是平行四边形 CF DA CF BD 四边形 DBCF 是平行四边形 DE∥BC，DF = BC = 2DE 【思路分析】 方法一 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 的中点. 求证：DE ∥ BC，且 DE = BC. 证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵ AE = EC，DE = EF， ∴ 四边形 ADCF 是平行四边形， ∴ CF DA. 又 D 是 AB 的中点， ∴ CF BD. ∴ 四边形 DBCF 是平行四边形. ∴ DF BC. 又 DE = DF， ∴ DE ∥ BC，且 DE = BC. 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 的中点. 求证：DE ∥ BC，且 DE = BC. A B C D E F 中位线 倍长 构造全等三角形 平行四边形 作等长延长线 得线段相等、角相等 得线段相等、平行 F 【思路分析】 A B C D E 方法二 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 的中点. 求证：DE ∥ BC，且 DE = BC. 证明：如图，延长DE到F，使EF = DE，连接CF. 在△ADE和△CFE中， ∵AE=CE，∠ADE=∠CEF，DE = FE， ∴△ADE≌△CFE. ∴∠A =∠ECF，AD = CF.∴CF∥AB. ∵BD = AD， ∴CF = BD. ∴四边形DBCF是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DF∥BC（平行四边形的定义）， DF = BC（平行四边形的对边相等）. ∴ DE∥BC，DE=BC. F A B C D E 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 的中点. 求证：DE ∥ BC，且 DE = BC. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 几何语言： 三角形的中位线定理： A B C D E ∴DE∥BC，且 DE = BC . 在△ABC 中， ∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点， 可用于证明两直线平行、线段的相等或倍分关系. 教材P64 例题 例6 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形. A B F C H D G E 已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形. 分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形. 证明：连接 AC. ∵ AH = HD，CG = GD， ∴ HG ∥ AC，且 HG = AC. 同理 EF ∥ AC，且 EF = AC. ∴ HG EF. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. 1.如图21.2－30，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A＝ 30°，AC＝，点D，E分别是边AC，BC的中点，连接DE. 解：∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线. ∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠A＝30°.∵∠C＝90°，∴∠CED＝90°－ ∠CDE＝60°. 求：(1)∠CED的度数； 解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝， ∴AB＝2BC，BC2＋AC2＝AB2，即BC2＋3＝4BC2，∴BC＝1，∴AB＝2. 由(1)知DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝1. (2)线段DE的长. 变式训练 教材P65 练习 课内练习 1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么它们是平行四边形？ 解：能画出 3 个， 分别为 ▱BDFE，▱DECF，▱DEFA. 理由如下： 由三角形的中位线定理可得 DF ∥ BC，DE ∥ AC，EF ∥ AB， ∴ 四边形 BDFE，四边形 DECF，四边形 DEFA 均为平行四边形. B C A E D F G O 2. 如图，△ABC 的中线 BD，CE 相交于点 O，且 F，G 分别是 OB，OC 的中点. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形. 证明：∵ BD 和 CE 是 △ABC 的两条中线， ∴ DE 是 △ABC 的中位线， ∴ DE =BC，DE ∥ BC. ∵ F，G 分别是 OB，OC 的中点， ∴ FG 是 △OBC 的中位线， ∴ FG = BC，FG ∥ BC， ∴ DE = FG，DE ∥ FG， ∴ 四边形 DEFG 是平行四边形. A C B 3. 如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC 和 BC. 怎样利用三角形的中位线定理测出A，B两点间的距离？ 解：分别取 CA 和 CB 的中点 M，N，连接 MN，然后测出 MN 的长度，则 AB = 2MN. M N 基础巩固题 知识点1 一条中位线的问题 1.【2024广西崇左期末】如图，在中， ， ，于点，.若，分别为， 的 中点，则 的长为( ) C A.1 B.2 C. D. 【解析】， ， ， ， .设 ，则 ，, （负值已舍去）, .，分别为，的中点，是 的中位线， ，故选C. 2.【2024重庆渝中区期末】如图，在平行四边形 中， ，,分别为边,的中点，连接,, . 当平分时， 的长为_____. 【解析】如图，设与的交点为平分 ， ，, 分别为边 ,的中点，， ， ，， ， ，，，故答案为 . 19 知识点2 多条中位线的问题 3.【2025福建南平期中】如图，在中，，分别是边， 上的中 线，与相交于点，，则 __． 【解析】分别取，的中点，，连接，，， ，如图.由题可知点，分别是边，上的中点， ， 点, 分别是，的中点， ,，，，， 四边形为平行四边形， ， ， ．故答案为 ． 20 4.【2024山东泰安期末】如图，已知四边形中， ， ，，点,分别是边,的中点，连接 ， 则 的长是_____. 【解析】如图，取的中点，连接,,分别是边 , 的中点，且， 且 ， ， .故答案为 . 21 能力提升题 5.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为(　　) A．12 B．14 C．24 D．21 A 6.在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，如图是甲、乙两名同学添辅助线的作法： 甲：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC． 乙：如图，过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F． A 其中能够用来证明三角形中位线定理的是(　　) A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 23 7.[2025北京海淀区模拟]如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点． (1)求证：四边形DEFG为平行四边形； 证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC. ∵点G，F分别为BH，CH的中点，∴GF∥BC，GF＝ BC， ∴GF∥DE，GF＝DE，∴四边形DEFG为平行四边形． (2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长． 解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝2. ∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°. 又∵BD＝3，∴BG＝＝ ＝. 24 三角形的中位线 定义 连接三角形两边中点的线段 定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 课堂小结 教科书第65页练习 第1,2,3题 布置作业 $