精品解析：四川达州市大竹县2024--2025学年下学期九年级数学四月学情检测试卷

初三数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，在中，，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点，分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是（ ） A. 6 B. C. 9 D. 2. 有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，代数式的值为（ ） A. －11 B. －1 C. 1 D. 11 4. 下列事件中必然发生的事件是（　　） A. 一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B. 不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式 C. 200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数 5. 一个正比例函数的图象过点(2，﹣3)，它的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k与（k为常数，k≠0）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 7. 中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是() A. B. C. D. 8. 据统计, 2015年广州地铁日均客运量均为人次,将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 9. 在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（　　） A. 1颗 B. 2颗 C. 3颗 D. 4颗 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB＝1，点A在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y＝（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：=____. 12. 如果抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1），那么m的值为_____． 13. 如图，正方形ABCD和正方形OEFG中, 点A和点F的坐标分别为 （3,2)，（－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是_________． 14. 如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则光线从点A到点B经过的路程为____． 15. 若，则________． 16. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 在▱ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形DEBF是矩形； （2）若AF平分DAB，AE=3，BF=4，求▱ABCD的面积． 18. （7分）某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题： 成绩分组 频数 频率 50≤x＜60 8 0.16 60≤x＜70 12 a 70≤x＜80 ■ 0.5 80≤x＜90 3 0.06 90≤x≤100 b c 合计 ■ 1 （1）写出a，b，c的值； （2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分； （3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率． 19. 如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC． （1）求证：直线CD为⊙O的切线； （2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长． 20. A，B两地相距20km．甲、乙两人都由A地去B地，甲骑自行车，平均速度为10km/h；乙乘汽车，平均速度为40km/h，且比甲晚1.5h出发．设甲的骑行时间为x（h）（0≤x≤2） （1）根据题意，填写下表： 时间x（h） 与A地的距离 0.5 1.8 _____ 甲与A地的距离（km） 5 　　 20 乙与A地的距离（km） 0 12 　　 （2）设甲，乙两人与A地的距离为y1（km）和y2（km），写出y1，y2关于x的函数解析式； （3）设甲，乙两人之间的距离为y，当y=12时，求x的值． 21. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点． （1）求证：△ADC∽△ACB； （2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由； （3）若AD＝4，AB＝6，求的值． 22. 某纺织厂生产的产品,原来每件出厂价为80元,成本为60元.由于在生产过程中平均每生产一件产品有0.5的污水排出,现在为了保护环境,需对污水净化处理后再排出.已知每处理1污水的费用为2元,且每月排污设备损耗为8000元.设现在该厂每月生产产品x件,每月纯利润y元： （1）求出y与x的函数关系式.(纯利润=总收入-总支出) （2）当y=106000时,求该厂在这个月中生产产品的件数. 23. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(k＞0)的图像交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图像于点M，交AB于点N，连接BM． (1)求m的值和反比例函数的表达式； (2)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？ 24. 我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． （1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中b班征集到作品 件，请把图2补充完整； （2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？ （3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，请直接写出恰好抽中一男一女的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，在中，，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点，分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是（ ） A. 6 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，设与相切于点E，连接，作垂足为交于，此时垂线段最短，最小值为，求出，如图当在边上时，与重合时，最大值，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，设与相切于点E，连接，作垂足为交于，此时垂线段最短，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，同理可得， ∴， ∴最小值为， 如图，当在边上时，与重合时， 最大值， 长的最大值与最小值的和是9． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形中位线定理，解题的关键是正确找出点取得最大值，最小值时的位置． 2. 有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将两把不同的锁分别用A与B表示，三把钥匙分别用A，B与C表示，且A钥匙能打开A锁，B钥匙能打开B锁，画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，一次打开锁的有2种情况，∴一次打开锁的概率为：．故选B． 点睛：本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 3. 已知，代数式的值为（ ） A. －11 B. －1 C. 1 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的运算法则，先利用已知求出a的值，再将a的值带入所要求解的代数式中即可得到此题答案. 【详解】解：由题意可知：， 原式 故选D． 【点睛】此题考查整式的混合运算，解题的关键在于利用整式的运算法则进行化简求得代数式的值 4. 下列事件中必然发生的事件是（　　） A. 一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B. 不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式 C. 200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案． 【详解】A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误； B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误； C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确； D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键． 5. 一个正比例函数的图象过点(2，﹣3)，它的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据待定系数法求解即可． 【详解】解：设函数的解析式是y＝kx， 根据题意得：2k＝﹣3，解得：k＝﹣． 故函数的解析式是：y＝﹣x． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题关键． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k与（k为常数，k≠0）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A中，由一次函数y=x+k的图象知k<0，由反比例函数y=的图象知k>0，矛盾，所以选项A错误；选项B中，由一次函数y=x+k的图象知k>0，由反比例函数y=的图象知k>0，正确，所以选项B正确；由一次函数y=x+k的图象知，函数图象从左到右上升，所以选项C、D错误． 故选B. 7. 中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行分析． 【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 8. 据统计, 2015年广州地铁日均客运量均为人次,将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂． 【详解】解：6 590 000=6.59×106． 故选：D． 【点睛】本题考查学生对科学记数法的掌握，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 9. 在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（　　） A. 1颗 B. 2颗 C. 3颗 D. 4颗 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：由题意得， 解得：． 故选B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB＝1，点A在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y＝（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先求出A点坐标，再根据图形平移的性质得出A1点的坐标，故可得出反比例函数的解析式，把O1点的横坐标代入即可得出结论． 详解：∵OB=1,AB⊥OB,点A在函数 (x<0)的图象上， ∴当x=−1时，y=2， ∴A(−1,2). ∵此矩形向右平移3个单位长度到的位置， ∴B1(2,0)， ∴A1(2,2). ∵点A1在函数 (x>0)的图象上， ∴k=4， ∴反比例函数的解析式为,O1(3,0)， ∵C1O1⊥x轴， ∴当x=3时, ∴P 故选C. 点睛：考查反比例函数图象上点的坐标特征, 坐标与图形变化-平移，解题的关键是运用双曲线方程求出点A的坐标，利用平移的性质求出点A1的坐标. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：=____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为： 12. 如果抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1），那么m的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】把点（2，1）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+3，即可求出m的值. 【详解】∵抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1）， ∴1= -4+2(m-1)+3,解得m=2,故答案为2. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关系式. 13. 如图，正方形ABCD和正方形OEFG中, 点A和点F的坐标分别为 （3,2)，（－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是_________． 【答案】（1，0）；（﹣5，﹣2）. 【解析】 【分析】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点． 【详解】∵正方形ABCD和正方形OEFG中A和点F的坐标分别为（3，2），（-1，-1）， ∴E（-1，0）、G（0，-1）、D（5，2）、B（3，0）、C（5，0）， （1）当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点时，位似中心就是EC与AG的交点， 设AG所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴，解得． ∴此函数的解析式为y=x-1，与EC的交点坐标是（1，0）； （2）当A和E是对应顶点，C和G是对应顶点时，位似中心就是AE与CG的交点， 设AE所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0）， ，解得， 故此一次函数的解析式为…①， 同理，设CG所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0）， ，解得， 故此直线的解析式为…② 联立①②得 解得，故AE与CG的交点坐标是（-5，-2）． 故答案为：（1，0）、（-5，-2）． 14. 如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则光线从点A到点B经过的路程为____． 【答案】5 【解析】 【分析】题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质及勾股定理，同时渗透光学中反射原理，熟练掌握坐标与图形性质是解决本题关键．作点，使其与点关于轴对称，路径长就是的长度．连接，先证明．再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，延长与x轴交于点， 这束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点， 由反射定律可得，， ， 于． 且， ， ， ， ． 即光线从点到点经过的路径长为5． 故答案为：5． 15. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，解题的关键是将所求式子进行恒等变形，构造出已知条件的形式．由可得，将变形为，再利用整体代入法求解即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 16. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 【答案】x=±2 【解析】 【详解】移项得x2=4， ∴x=±2． 故答案是：x=±2． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 在▱ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形DEBF是矩形； （2）若AF平分DAB，AE=3，BF=4，求▱ABCD的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DCAB，即DFEB． 又∵DF＝BE， ∴四边形DEBF是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠EDB＝90°． ∴四边形DEBF是矩形． （2）32 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可证DFEB，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可证四边形DEBF是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证； （2）根据（1）可知DE=BF，然后根据勾股定理可求AD的长，然后根据角平分线的性质和平行线的性质可求得DF=AD，然后可求CD的长，最后可用平行四边形的面积公式可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形DEBF是矩形， ∴DE＝BF＝4，BD＝DF． ∵DE⊥AB， ∴AD＝＝＝5． ∵DCAB， ∴∠DFA＝∠FAB． ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠FAB． ∴∠DAF＝∠DFA． ∴DF＝AD＝5． ∴BE＝5． ∴AB＝AE＋BE＝3＋5＝8． ∴＝AB·BF＝8×4＝32． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定、勾股定理的应用、平行线的性质和角平分线的性质，解决本题的关键是熟练的掌握以上的性质． 18. （7分）某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题： 成绩分组 频数 频率 50≤x＜60 8 0.16 60≤x＜70 12 a 70≤x＜80 ■ 0.5 80≤x＜90 3 0.06 90≤x≤100 b c 合计 ■ 1 （1）写出a，b，c的值； （2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分； （3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率． 【答案】（1）a=0.24，b=2，c=0.04；（2）600人；（3）人. 【解析】 【分析】（1）利用50≤x＜60的频数和频率，根据公式：频率＝频数÷总数先计算出样本总人数，再分别计算出a，b，c的值； （2）先计算出竞赛分数不低于70分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出1000名学生中竞赛成绩不低于70分的人数； （3）列树形图或列出表格，得到要求的所有情况和2名同学来自一组的情况，利用求概率公式计算出概率. 【详解】解：（1）样本人数为：8÷0.16=50（名） a=12÷50=0.24， 70≤x＜80的人数为：50×0.5=25（名） b=50﹣8﹣12﹣25﹣3=2（名） c=2÷50=0.04 所以a=0.24，b=2，c=0.04； （2）在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6，根据样本估计总体的思想，有： 1000×0.6=600（人） ∴这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分； （3）成绩是80分以上的同学共有5人，其中第4组有3人，不妨记为甲，乙，丙，第5组有2人，不妨记作A，B 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树形图所示，共有20种情况： 抽取两名同学在同一组的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB，BA共8种情况， ∴抽取的2名同学来自同一组的概率P== 【点睛】本题考查了频数、频率、总数间关系及用列表法或树形图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树形图法适合两步或两步以上完成的事件；概率＝所求情况数与总情况数之比． 19. 如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC． （1）求证：直线CD为⊙O的切线； （2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出∠OCF+∠DCB=90°，即可得出答案； （2）利用圆周角定理得出∠ACB=90°，利用相似三角形的判定与性质得出DC的长． 试题解析：（1）连接OC， ∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC， ∴∠CBA=∠ODC， 又∵∠CFD=∠BFO， ∴∠DCB=∠BOF， ∵CO=BO， ∴∠OCF=∠B， ∵∠B+∠BOF=90°， ∴∠OCF+∠DCB=90°， ∴直线CD为⊙O的切线； （2）连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠DCO=∠ACB， 又∵∠D=∠B， ∴△OCD∽△ACB， ∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4， ∴AC=3， ∴，即， 解得：DC=． 考点：切线的判定． 20. A，B两地相距20km．甲、乙两人都由A地去B地，甲骑自行车，平均速度为10km/h；乙乘汽车，平均速度为40km/h，且比甲晚1.5h出发．设甲的骑行时间为x（h）（0≤x≤2） （1）根据题意，填写下表： 时间x（h） 与A地的距离 0.5 1.8 _____ 甲与A地的距离（km） 5 　　 20 乙与A地的距离（km） 0 12 　　 （2）设甲，乙两人与A地的距离为y1（km）和y2（km），写出y1，y2关于x的函数解析式； （3）设甲，乙两人之间的距离为y，当y=12时，求x的值． 【答案】（1）18，2，20（2）（3）当y=12时，x的值是1.2或1.6 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据路程、时间、速度三者间的关系通过计算即可求得相应答案； （Ⅱ）根据路程=速度×时间结合甲、乙的速度以及时间范围即可求得答案； （Ⅲ）根据题意，得，然后分别将y=12代入即可求得答案. 【详解】（Ⅰ）由题意知：甲、乙二人平均速度分别是平均速度为10km/h和40km/h，且比甲晚1.5h出发， 当时间x=1.8 时，甲离开A的距离是10×1.8=18（km）， 当甲离开A的距离20km时，甲的行驶时间是20÷10=2（时）， 此时乙行驶的时间是2﹣1.5=0. 5（时）， 所以乙离开A的距离是40×0.5=20（km）， 故填写下表： （Ⅱ）由题意知： y1=10x（0≤x≤1.5）， y2=； （Ⅲ）根据题意，得， 当0≤x≤1.5时，由10x=12，得x=1.2， 当1.5＜x≤2时，由﹣30x+60=12，得x=1.6， 因此，当y=12时，x的值是1.2或1.6. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，理清题意，弄清各数量间的关系是解题的关键. 21. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点． （1）求证：△ADC∽△ACB； （2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由； （3）若AD＝4，AB＝6，求的值． 【答案】（1）∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠CAB， 又∵AC2=AB•AD， ∴AD：AC=AC：AB， ∴△ADC∽△ACB； （2）CE∥AD， 理由：∵△ADC∽△ACB， ∴∠ACB=∠ADC=90°， 又∵E为AB的中点， ∴∠EAC=∠ECA， ∵∠DAC=∠CAE， ∴∠DAC=∠ECA， ∴CE∥AD； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明； （3）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：（1） 略 （2略 ） （3）∵AD=4，AB=6，CE=AB=AE=3， ∵CE∥AD， ∴∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF， ∴△CEF∽△ADF， ∴==， ∴=． 22. 某纺织厂生产的产品,原来每件出厂价为80元,成本为60元.由于在生产过程中平均每生产一件产品有0.5的污水排出,现在为了保护环境,需对污水净化处理后再排出.已知每处理1污水的费用为2元,且每月排污设备损耗为8000元.设现在该厂每月生产产品x件,每月纯利润y元： （1）求出y与x的函数关系式.(纯利润=总收入-总支出) （2）当y=106000时,求该厂在这个月中生产产品的件数. 【答案】（1）y=19x-8000(x>0且x是整数) （2）6000件 【解析】 【分析】（1）本题的等量关系是：纯利润=产品的出厂单价×产品的数量-产品的成本价×产品的数量-生产过程中的污水处理费-排污设备的损耗，可根据此等量关系来列出总利润与产品数量之间的函数关系式； （2）根据（1）中得出的式子，将y的值代入其中，求出x即可． 【详解】（1）依题意得：y=80x-60x-0.5x•2-8000， 化简得：y=19x-8000， ∴所求的函数关系式为y=19x-8000．（x＞0且x是整数） （2）当y=106000时，代入得：106000=19x-8000， 解得x=6000， ∴这个月该厂生产产品6000件． 【点睛】本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，可根据题意找出等量关系，列出函数式进行求解． 23. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(k＞0)的图像交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图像于点M，交AB于点N，连接BM． (1)求m的值和反比例函数的表达式； (2)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？ 【答案】（1）m＝8，反比例函数的表达式为y＝；（2）当n＝3时，△BMN的面积最大． 【解析】 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）构造二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题. 【详解】解：（1）∵直线y=2x+6经过点A（1，m）， ∴m=2×1+6=8， ∴A（1，8）， ∵反比例函数经过点A（1，8）， ∴8=， ∴k=8， ∴反比例函数的解析式为y=． （2）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n）， ∵0＜n＜6， ∴＜0， ∴S△BMN=×（||+||）×n=×（﹣+）×n=﹣（n﹣3）2+， ∴n=3时，△BMN的面积最大． 24. 我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． （1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中b班征集到作品 件，请把图2补充完整； （2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？ （3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，请直接写出恰好抽中一男一女的概率． 【答案】（1）抽样调查；12；3；（2）60；（3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据只抽取了4个班可知是抽样调查，根据C在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C的人数是5，列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去A、C、D的件数即为B的件数； （2）求出平均每一个班的作品件数，然后乘以班级数14，计算即可得解； （3）画出树状图或列出图表，再根据概率公式列式进行计算即可得解． 试题解析：（1）抽样调查， 所调查的4个班征集到作品数为：5÷=12件，B作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2=3件，故答案为抽样调查；12；3；把图2补充完整如下： （2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品=12÷4=3（件），所以，估计全年级征集到参展作品：3×14=42（件）； （3）画树状图如下： 列表如下： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 —— 男1男2 男1男3 男1女1 男1女2 男2 男2男1 —— 男2男3 男2女1 男2女2 男3 男3男1 男3男2 —— 男3女1 男3女2 女1 女1男1 女1男2 女1男3 —— 女1女2 女2 女2男1 女2男2 女2男3 女2女1 —— 共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，所以，P（一男一女）==，即恰好抽中一男一女的概率是． 考点：1．条形统计图；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．列表法与树状图法；5．图表型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $