精品解析：新疆维吾尔自治区省直辖县级行政单位图木舒克市2024-2025学年中考一模数学试题

新疆维吾尔新疆生产建设兵团图木舒克市2024-2025学年中考一模数学试题 考生请注意： 1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记． 2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上． 3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成，则这个几何体的左视图的面积为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2. 如图，在矩形 中， ，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，半⊙O的半径为2，点P是⊙O直径AB延长线上的一点，PT切⊙O于点T，M是OP的中点，射线TM与半⊙O交于点C．若∠P＝20°，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 1+ B. 1+ C. 2sin20°+ D. 4. 如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于点G， 的平分线交于点F，交的延长线于点H， 与交于点O，连接 ，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 5. 对于不等式组，下列说法正确的是（　　） A. 此不等式组的正整数解为1，2，3 B. 此不等式组的解集为 C. 此不等式组有5个整数解 D. 此不等式组无解 6. 某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（　 　） A. 22x=16（27﹣x） B. 16x=22（27﹣x） C. 2×16x=22（27﹣x） D. 2×22x=16（27﹣x） 7. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 下列各数中，比﹣1大1的是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. ﹣3 9. 如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“我”字的一面相对面上的字是（　　） A. 国 B. 厉 C. 害 D. 了 10. 将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是(　　) A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 11. 如图，等边△ABC的边长为4，点D，E分别是BC，AC的中点，动点M从点A向点B匀速运动，同时动点N沿B﹣D﹣E匀速运动，点M，N同时出发且运动速度相同，点M到点B时两点同时停止运动，设点M走过的路程为x，△AMN的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 12. 下列几何体中，主视图和左视图都是矩形的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使，，测得，则A，B间的距离为_________m． 14. 若数据2、3、5、3、8的众数是a，则中位数是b，则a﹣b等于_____． 15. 对于函数y= ，当函数y﹤-3时，自变量x的取值范围是____________ . 16. 一个扇形的面积是πcm，半径是3cm，则此扇形的弧长是_____． 17. 方程的根为_____． 18. 如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝5，CD＝8，则AE＝______． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，某游乐园有一个滑梯，高度 为3米，倾斜角度为．为了改善滑梯 的安全性能，把倾斜角由减至 ，调整后的滑梯比原滑梯 增加多少米?(精确到 米)(参考数据：) 20. 如图，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=﹣x2+c的图象相交于A（﹣1，2），B（2，n）两点． （1）求一次函数和二次函数的解析式； （2）根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围； （3）设二次函数y=﹣x2+c的图象与y轴相交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积． 21. 如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式； （3）在（2）的条件下，请解答下列问题： ①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值． 22. 如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于、 两点，与反比例函数的图象在第一象限的交点为，轴于，若，，的面积为 ． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，比较与的大小． 23. 咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如下图所示的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答下列问题： ⑴补全条形统计图，“体育”对应扇形的圆心角是 度； ⑵根据以上统计分析，估计该校名学生中喜爱“娱乐”的有 人； ⑶在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有人喜爱新闻节目，若从这 人中随机抽取人去参加“新闻小记者”培训，请用列表法或者画树状图的方法求所抽取的人来自不同班级的概率 24. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a5=　　=　　； （2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=　　=　　（n为正整数）； （3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值． 25. 如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°. （1）求证：BE＝CE （2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2） ①求证：△BEM≌△CEN； ②若AB＝2，求△BMN面积的最大值； ③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值. 26. 中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米. (1)若苗圃园的面积为72平方米，求x； (2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； (3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围. 27. 已知关于的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为，，其中，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆维吾尔新疆生产建设兵团图木舒克市2024-2025学年中考一模数学试题 考生请注意： 1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记． 2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上． 3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成，则这个几何体的左视图的面积为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看到的图形求解即可. 【详解】从左面看，可以看到3个正方形，面积为3， 故选C． 【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图. 2. 如图，在矩形 中， ，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结 ， ，则 的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得 的长，即得答案． 【详解】设 边上的高是h， ， ， ， 动点P在与 平行且与 的距离是2的直线l上， 如图，作点A关于直线l的对称点E，连结 ， ， 则 的长就是所求的最短距离， 在中， ，， ， 即的最小值为． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A关于直线l的对称点E，并得到 的长就是所求的最短距离是解题的关键． 3. 如图，半⊙O的半径为2，点P是⊙O直径AB延长线上的一点，PT切⊙O于点T，M是OP的中点，射线TM与半⊙O交于点C．若∠P＝20°，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 1+ B. 1+ C. 2sin20°+ D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OT、OC，可求得∠COM=30°，作CH⊥AP，垂足为H，则CH=1，于是，S阴影=S△AOC+S扇形OCB，代入可得结论． 【详解】连接OT、OC， ∵PT切⊙O于点T， ∴∠OTP=90°， ∵∠P=20°， ∴∠POT=70°， ∵M是OP的中点， ∴TM=OM=PM， ∴∠MTO=∠POT=70°， ∵OT=OC， ∴∠MTO=∠OCT=70°， ∴∠OCT=180°-2×70°=40°， ∴∠COM=30°， 作CH⊥AP，垂足为H，则CH=OC=1， S阴影=S△AOC+S扇形OCB=OA•CH+=1+， 故选A. 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边的关系． 4. 如图，在中，的平分线交于点E，交 的延长线于点G，的平分线交于点F，交 的延长线于点H， 与交于点O，连接 ，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ，， ， ， ， ，同理可证， ， ， ，故C正确， ，， ，故A正确， ， ， ， ， ，同理可证， ， ，故B正确， 无法证明， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质解决问题． 5. 对于不等式组，下列说法正确的是（　　） A. 此不等式组的正整数解为1，2，3 B. 此不等式组的解集为 C. 此不等式组有5个整数解 D. 此不等式组无解 【答案】A 【解析】 【详解】解：，解①得x≤，解②得x＞﹣1，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤，所以不等式组的整数解为1，2，3．故选A． 点睛：本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． 6. 某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（　 　） A. 22x=16（27﹣x） B. 16x=22（27﹣x） C. 2×16x=22（27﹣x） D. 2×22x=16（27﹣x） 【答案】D 【解析】 【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27-x）人生产螺母， 根据一个螺栓要配两个螺母可得方程2×22x=16（27-x）， 故选D． 7. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据简单概率的计算公式即可得解. 【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是. 故选B. 考点：简单概率计算. 8. 下列各数中，比﹣1大1的是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】用-1加上1，求出比-1大1的是多少即可． 【详解】∵-1+1=0， ∴比-1大1的是0． 故选A． 【点睛】本题考查了有理数加法的运算，解题的关键是要熟练掌握： “先符号，后绝对值”． 9. 如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“我”字的一面相对面上的字是（　　） A. 国 B. 厉 C. 害 D. 了 【答案】A 【解析】 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】∴有“我”字一面的相对面上的字是国. 故答案选A. 【点睛】本题考查的知识点是专题：正方体相对两个面上的文字，解题的关键是熟练的掌握正方体相对两个面上的文字. 10. 将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是(　　) A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 【答案】A 【解析】 【分析】过A点作AB∥a，则有∠1=∠2，由题意易得AB∥b，然后根据平行线的性质及三角板的度数可进行求解． 【详解】解：如图，过A点作AB∥a， ∴∠1=∠2， ∵a∥b， ∴AB∥b， ∴∠3=∠4=30°，而∠2+∠3=45°， ∴∠2=15°， ∴∠1=15°． 故选A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 11. 如图，等边△ABC的边长为4，点D，E分别是BC，AC的中点，动点M从点A向点B匀速运动，同时动点N沿B﹣D﹣E匀速运动，点M，N同时出发且运动速度相同，点M到点B时两点同时停止运动，设点M走过的路程为x，△AMN的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将运动过程分成两段．分段讨论求出解析式即可． 【详解】∵BD=2，∠B=60°， ∴点D到AB距离为， 当0≤x≤2时， y=； 当2≤x≤4时，y=. 根据函数解析式，A符合条件. 故选A． 【点睛】本题为动点问题的函数图象，解答关键是找到动点到达临界点前后的一般图形，分类讨论，求出函数关系式． 12. 下列几何体中，主视图和左视图都是矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此即可求解． 【详解】A.主视图为圆形，左视图为圆，故选项错误； B.主视图为三角形，左视图为三角形，故选项错误； C.主视图为矩形，左视图为矩形，故选项正确； D.主视图为矩形，左视图为圆形，故选项错误. 故答案选：C. 【点睛】本题考查三视图，正确得出各几何体从正面、左面看，所得到的图形是解题关键. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使 ，，测得，则A，B间的距离为_________m． 【答案】100 【解析】 【详解】解：∵点A，B分别是CM，CN的中点， ∴AB是△AMN的中位线， ∴AB=MN， ∵MN=200， ∴AB=100. 故答案为：100. 14. 若数据2、3、5、3、8的众数是a，则中位数是b，则a﹣b等于_____． 【答案】0 【解析】 【分析】将数据排序后，位置在最中间的数值．即将数据分成两部分，一部分大于该数值，一部分小于该数值．中位数的位置：当样本数为奇数时，中位数=(N+1)/2 ; 当样本数为偶数时，中位数为N/2与1+N/2的均值；众数是在一组数据中,出现次数最多的数据．根据定义即可算出． 【详解】2、3、5、3、8中只有3出现两次，其余都是1次，得众数为a=3． 2、3、5、3、8重新排列2、3、3、5、8，中间的数是3,中位数b=3． ∴a﹣b=3-3=0． 故答案为0． 【点睛】中位数与众数的定义． 15. 对于函数y= ，当函数y﹤-3时，自变量x的取值范围是____________ . 【答案】-<x<0 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质：y随x的增大而减小去解答. 【详解】解：函数y= 中，y随x的增大而减小，当函数y﹤-3时 又 函数y= 中， 故答案为-<x<0. 【点睛】此题重点考查学生对反比例函数性质的理解，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键. 16. 一个扇形的面积是πcm，半径是3cm，则此扇形的弧长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求解即可 【详解】根据扇形面积公式. 可得：， ， 故答案：. 【点睛】本题主要考查了扇形的面积和弧长之间的关系, 利用扇形弧长和半径代入公式即可求解, 正确理解公式是解题的关键. 注意在求扇形面积时, 要根据条件选择扇形面积公式. 17. 方程的根为_____． 【答案】﹣2或﹣7 【解析】 【分析】把无理方程转化为整式方程即可解决问题． 【详解】两边平方得到：13+2=25， ∴=6， ∴（x+11）（2-x）=36， 解得x=-2或-7， 经检验x=-2或-7都是原方程的解． 故答案为-2或-7 【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是学会把无理方程转化为整式方程． 18. 如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝5，CD＝8，则AE＝______． 【答案】2 【解析】 【分析】由AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，可得在直角△OCE中, 可得从而可得 【详解】解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E. 在直角△OCE中, 则 故答案为2. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，垂径定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，某游乐园有一个滑梯，高度为3米，倾斜角度为．为了改善滑梯 的安全性能，把倾斜角由减至，调整后的滑梯 比原滑梯 增加多少米?(精确到 米)(参考数据：) 【答案】2.5米 【解析】 【分析】本题考查了三角函数应用，理解三角函数的应用是关键．中，根据的角所对的直角边是斜边的一半得到 的长，然后在中，求得 的长后用即可求得增加的长度． 【详解】解：中， ， ∵米， ∴米， ∵在中， ∴（米）， ∴（米）， ∴调整后的滑梯 比原滑梯 增加米． 20. 如图，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=﹣x2+c的图象相交于A（﹣1，2），B（2，n）两点． （1）求一次函数和二次函数的解析式； （2）根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围； （3）设二次函数y=﹣x2+c的图象与y轴相交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积． 【答案】（1）y=﹣x+1；（2）﹣1＜x＜2；（3）3； 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求一次函数和二次函数的解析式即可. （2）根据图象以及点A,B两点的坐标即可求出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围； （3）连接AC、BC，设直线AB交y轴于点D，根据即可求出△ABC的面积. 【详解】（1）把A（﹣1，2）代入y=﹣x2+c得：﹣1+c=2， 解得：c=3， ∴y=﹣x2+3， 把B（2，n）代入y=﹣x2+3得：n=﹣1， ∴B（2，﹣1）， 把A（﹣1，2）、B（2，﹣1）分别代入y=kx+b得 解得： ∴y=﹣x+1； （2）根据图象得：使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围是﹣1＜x＜2； （3）连接AC、BC，设直线AB交y轴于点D， 把x=0代入y=﹣x2+3得：y=3， ∴C（0，3）， 把x=0代入y=﹣x+1得：y=1， ∴D（0，1）， ∴CD=3﹣1=2， 则 【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积公式等，掌握待定系数法是解题的关键. 21. 如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式； （3）在（2）的条件下，请解答下列问题： ①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值． 【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x﹣1；（3）P（）或P（﹣4.5，0）；当t=时，S△MDN的最大值为． 【解析】 【分析】（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到结果； （2）在y=-x2+2x+3中，令y=0，则-x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=-x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=-x+b，即可得到结论； （3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，全等只要当或时，△PBC∽△ABD，解方程组得D(4,−5)，求得 设P的坐标为（x，0），代入比例式解得或x=−4.5,即可得到或P(−4.5,0)； ②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，于是得到sin∠BAF 求得求得 由于于是得到即可得到结果． 【详解】(1)由题意知： 解得 ∴二次函数的表达式为 (2)在 中,令y=0,则 解得： ∴B(3,0)， 由已知条件得直线BC的解析式为y=−x+3， ∵AD∥BC， ∴设直线AD的解析式为y=−x+b， ∴0=1+b， ∴b=−1， ∴直线AD的解析式为y=−x−1； (3)①∵BC∥AD， ∴∠DAB=∠CBA， ∴只要当：或时,△PBC∽△ABD， 解得D(4,−5)， ∴ 设P的坐标为(x,0)， 即或 解得或x=−4.5, ∴或P(−4.5,0)， ②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E， 在Rt△AFB中, ∴sin∠BAF ∴ ∴ ∵ 又∵ ∴ ∴当时,的最大值为 【点睛】属于二次函数的综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，锐角三角形函数，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等，综合性比较强，难度较大. 22. 如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于 、 两点，与反比例函数的图象在第一象限的交点为，轴于 ，若，，的面积为 ． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，比较与的大小． 【答案】（1）， （2）当时， ，当时， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象交点问题，待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式． （1）根据三角形的面积得出点A的坐标，结合点B的坐标求出一次函数的解析式，再求出C的坐标，利用待定系数法求解即可求出解析式； （2）由根据函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，的面积为 ， ∴，， ∴， ∴， 将，代入， ∴， ∴ ， ∴， 当时，， ∵，轴于 ， ∴， 代入得， 解得：， ∴． 【小问2详解】 根据函数图象可得：当时， ，当时， ． 23. 咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如下图所示的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答下列问题： ⑴补全条形统计图，“体育”对应扇形的圆心角是 度； ⑵根据以上统计分析，估计该校名学生中喜爱“娱乐”的有 人； ⑶在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有人喜爱新闻节目，若从这 人中随机抽取人去参加“新闻小记者”培训，请用列表法或者画树状图的方法求所抽取的人来自不同班级的概率 【答案】（1）72；（2）700；（3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他类型人数可得体育类人数，用360度乘以体育类人数所占比例即可得；（2）用样本估计总体的思想解决问题；（3）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． 试题解析： （1）调查的学生总数为60÷30%=200（人）， 则体育类人数为200﹣（30+60+70）=40， 补全条形图如下： “体育”对应扇形的圆心角是360°×=72°； （2）估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有：2000×=700（人）， （3）将两班报名的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2，树状图如图所示： 所以P（2名学生来自不同班）=． 考点：扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；用样本估计总体． 24. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a5=　　=　　； （2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=　　=　　（n为正整数）； （3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1． （3）运用变化规律计算即可. 【详解】解：（1）a5=； （2）an=； （3）a1+a2+a3+a4+…+a100 . 25. 如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°. （1）求证：BE＝CE （2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2） ①求证：△BEM≌△CEN； ②若AB＝2，求△BMN面积的最大值； ③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值. 【答案】 （1）证明：如图1中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠A=∠D=90°， ∵E是AD中点， ∴AE=DE， ∴△BAE≌△CDE， ∴BE=CE． （2）①解：如图2中， 由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形， ∴∠EBC=∠ECB=45°， ∵∠ABC=∠BCD=90°， ∴∠EBM=∠ECN=45°， ∵∠MEN=∠BEC=90°， ∴∠BEM=∠CEN， ∵EB=EC， ∴△BEM≌△CEN； ②2；③. 【解析】 【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可； （2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明； ②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； ③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=m，EB=m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题. 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵△BEM≌△CEN， ∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x， ∴S△BMN=•x（4-x）=-（x-2）2+2， ∵-＜0， ∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2． ③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=m，EB=m． ∴EG=m+m=（1+）m， ∵S△BEG=•EG•BN=•BG•EH， ∴EH==m， 在Rt△EBH中，sin∠EBH=． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题， 26. 中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米. (1)若苗圃园的面积为72平方米，求x； (2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； (3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围. 【答案】(1) x=12；(2)苗圃园的面积最大为112.5平方米，最小为88平方米；(3) 6≤x≤10. 【解析】 【分析】（1）根据题意得方程求解即可； （2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式y=x（30-2x）=-2x2+30x，根据二次函数的性质求解即可； （3）由题意得不等式，即可得到结论. 【详解】解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程 x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0． 解得x1＝3，x2＝12． 又∵30－2x≤18，即x≥6， ∴x=12 (2)依题意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11． 面积S＝x(30－2x)＝－2(x－)2＋(6≤x≤11)． ①当x＝时，S有最大值，S最大＝； ②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88． (3)令x(30－2x)＝100，得x2－15x＋50＝0． 解得x1＝5，x2＝1 ∴x的取值范围是6≤x≤10． 27. 已知关于 的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为，，其中，若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 则， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，整理得，再求出判别式的值，即可作答． （2）运用根与系数的关系得，，又结合进行列式计算，得出，最后根据得出符合题意，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵此方程的两个根分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， 解得， 当时，，，符合， 当时，，，不符合，故舍去 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $