8.2 特殊的平行四边形 课件 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

苏科版数学8年级下册培优精做课件 8.2 特殊的平行四边形 第8章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月28日 2026年2月28日星期六8时49分35秒 2026年2月28日星期六8时49分36秒 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 示例 1 矩形与平行四边形的关 系 2 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形 的所有性质外，还具有自身独特的性质（如下表）.#1.2 性质 符号语言 图示 角 矩形的四个 角都是直角. 四边形 是 矩形， . 3 性质 符号语言 图示 对角 线 矩形的对角 线相等. 四边形 是 矩形, . _______________ 4 性质 符号语言 图示 对称 性 矩形是中心 对称图形， 也是轴对称 图形，它每 组对边中点 连线所在的 直线就是它 的对称轴. 直线， 是矩形 的两条对称 轴. 5 典例1 如图，在矩形中，对角线， 相交于点 ，且 .若， 则 的长为 ( ) C A.B.3 C. D.6 解析： 四边形 是矩形， , . ， ， ， 是等边三角形， . ，， . 6 返回 D 1. [无锡期末]矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　　) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 中考考法 7 返回 2. C 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　) A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD 中考考法 返回 3. B 在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若 ∠AOB＝60°，BD＝8，则CD＝(　　) A．6 B．4 C．3 D．5 中考考法 判定方法 符号语言 图示 角 有一个角是直 角的平行四边 形是矩形（定义法）. 在 中， ， 是矩 形. 10 判定方法 符号语言 图示 角 三个角是直角 的四边形是矩 形（判定定理 1）. 在四边形 中， ， 四边形 是矩形. 11 判定方法 符号语言 图示 对 角 线 对角线相等的 平行四边形是 矩形（判定定理2）. 在 中， ， 是矩 形. 12 典例2 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是 ( ) C A.测量两条对角线是否相等 B.度量两个角是不是 C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D.测量两组对边是否分别相等 13 典例3 如图，在中， ，平分 .四边形 是平行四边形，交于 点，连接.求证：四边形 是矩形. 证明：，平分， ， . 四边形是平行四边形，， ， ， 四边形 是平行四边形. ， ， 四边形 是矩形. 14 1.两条平行线之间的距离： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作 两条平行线之间的距离. 15 典例10 如图，在正方形中，点， 分别在边，上，， ， 则____ . 60 解析： 四边形 是正方形， ， . 在和中， , . ， ， ， . 16 返回 4. 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(1，3)，则AC的长为________. 中考考法 返回 5. 30° 如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠OAE＝15°，则∠AEO的度数为________. 中考考法 返回 6. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝2OA＝2OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠AOB＝∠OAD＋∠ODA＝2∠ODA. ∵∠AFD＝2∠ADB，∴∠AFD＝∠AOB， ∴AO＝AF＝5，∴BD＝2OA＝10. (4分)如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，点E为BC边上一点，连接AE交BD于点F，∠AFD＝2∠ADB，AF＝5，求BD的长. 中考考法 三种距离之间的区别与联系 两点间的距 离 点到直线的距 离 两条平行线之间的距离 示 意 图 20 两点间的距 离 点到直线的距 离 两条平行线之间的距离 区 别 连接两点的 线段的长 度. 点到直线的垂 线段的长度. 两条平行线中，从一条直线上任 意一点到另一条直线的垂线段的 长度. 联 系 都是指某一条线段的长度. （注意：距离是数值） 21 2.性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直 线的距离都相等，即两条平行线之间的距离处处相等. 一般性结论:两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. 符号语言：如图所示，，是直线上任意两点， ，，， . 22 典例4 如图，已知，在 上， 并且，为垂足，，是 上 任意两点，点在上.设 的面积为 ，的面积为，的面积为 ，小颖认为 ，请帮小颖说明理由. 解： ，，，的边 上的高相等， ，， 这三个三角形同底等高， ，， 这三个三角形的面积相等， 即 . 23 1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 示例 2 菱形与平行四边形的关 系 24 2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形 的所有性质外，还具有自身独特的性质,总结如下表.#1.7 性质 符号语言 图示 边 菱形的四条边 相等. 四边形 是菱形, . _____________________ 25 性质 符号语言 图示 对角 线 菱形的对角线 互相垂直. （性质定理） 四边形 是菱形, . 26 性质 符号语言 图示 对称 性 菱形是中心对 称图形，也是 轴对称图形， 它的每条对角 线所在的直线 就是它的对称 轴. 直线， 是 菱形 的两 条对称轴. 27 3.菱形的面积#1.8 公式 由来 文字语 言 符号语言 图示 菱形 的面 积公 式 菱形 是平 行四 边形. 菱形的 面积 底× 高. . 28 公式 由来 文字语 言 符号语言 图示 菱形 的面 积公 式 菱形 的对 角线 互相 垂直. 菱形的面积 对角线长的乘积的一 半. 29 对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长的乘积的 一半.（证明方法同上述推导过程）#1.8.1.1 ）. 菱形的面积的推导过程：#1.8 30 典例5 如图，菱形 的周长为 20，对角线，相交于点，是 的中点，则 的长是( ) A A.2.5 B.3 C.4 D.5 解析： 31 返回 B 1. [南通期末]下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是(　　) A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 中考考法 32 返回 2. D [苏州月考]如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是(　　) A．8 B．15 C．10 D．6 中考考法 返回 3. A 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A在x轴上，顶点C的坐标是(－3，4)，则顶点B的坐标是(　　) A．(2，4) B．(4，2) C．(2，3) D．(3，2) 中考考法 返回 4. 15 [云南中考]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是________. 中考考法 返回 5. 25° [盐城月考]如图，在菱形ABCD中，AC和BD交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BAC＝25°，则∠OED的度数是________. 中考考法 判定方法 符号语言 图示 边 有一组邻边相等的平行 四边形是菱形. （ 定义法） 在 中， ， 是菱 形. 37 判定方法 符号语言 图示 边 四边相等的四边形是菱 形.（判定定理） 在四边形 中， ， 四边形 是菱形. 38 判定方法 符号语言 图示 对 角 线 对角线互相垂直的平行 四边形是菱形. （判定定理） 在 中， ， 是菱 形. 39 典例6 已知的对角线， 相交 于点，请你添加一个适当的条件，使 成为一个菱形.你添 加的条件是________________________.（填一个即可） （答案不唯一） 解析：因为四边形 是平行四边形，所以只要添加一组邻边相 等就可以，或者使得对角线互相垂直，故答案可以为 或 或或或 等. 40 典例7 如图，在中，，分别是 ， 上的点，且 . 求证：四边形 是菱形. 证明： 四边形 是平行四边形， ， .， . 又， 四边形 是平行四边形. 又， 四边形 是菱形. 41 1.正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形 叫作正方形. 换言之，既是菱形又是矩形的四边形是正方形. 42 2.正方形的判定 判定定理 有一组邻边相等的矩形是正方形.（从矩形出发） 有一个角是直角的菱形是正方形.（从菱形出发） 要判定一个四边形是正方形，只要判定这个四边形既是 矩形又是菱形即可.因此除了正方形的判定定理，还可以“先判定矩 形，再判定对角线互相垂直”或“先判定菱形，再判定对角线相等” 等来判定正方形. 43 敲黑板 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 44 典例8 (2025·乐山中考)如图，在中， 对角线与相交于点 . 小乐同学欲添 加两个条件使得四边形 是正方形， 现有三个条件可供选择：； ； 则正确的组合是__________________.（只需填一种组合即可） 解析：正确的组合是①②或①③. ①②组合： 四边形是平行四边形， ， 四边形 是菱形， . ， 四边形 是矩形， 四边形 是正方形. 45 典例8 (2025·乐山中考)如图，在中， 对角线与相交于点 . 小乐同学欲添 加两个条件使得四边形 是正方形， 现有三个条件可供选择：； ； （或） 则正确的组合是__________________.（只需填一种组合即可） 解析：正确的组合是①②或①③. ①③组合： 四边形是平行四边形， ， 四边形 是菱形. 又 ， 菱形 是正方形. 46 返回 B 1. 添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是(　　) A．AB＝CD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90° D．AC＝BD 中考考法 47 返回 2. C 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是(　　) A．AB＝DB B．BD＝OC C．AC＝BD D．∠ADC＝120° 中考考法 返回 3. 60° 如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，连接BE，AC交于点G，则∠AGE＝________. 中考考法 返回 4. 22.5 如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE＝BD，连接AE，则∠E＝________°. 中考考法 返回 5. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F.已知∠CEF＝α，则∠AEB的度数是________. 中考考法 典例9 如图，等边三角形的顶点,分别在矩形 的 边,上，且 .求证：矩形 是正方形. 证明： 四边形是矩形， . 是等边三角形， , . , , , ， , 矩形 是正方形. 52 正方形具有矩形和菱形的所有性质.总结如下表：#1.12 性质 符号语言 图示 边 正方形的四条边 都相等. （性质定理） 四边形 是正方 形， . ______________________ 53 性质 符号语言 图示 角 正方形的四个角 都是直角. （性质定理） 四边形 是正方 形， . 54 性质 符号语言 图示 对 角 线 正方形的对角线 相等且互相垂直 平分. （性质定理） 四边形 是正方 形， ， ， . 55 性质 符号语言 图示 对 称 性 正方形是中心对 称图形，也是轴 对称图形，过每 组对边中点的两 条直线及两条对 角线所在的直线 是它的对称轴. 直线，，， 均 是正方形的对称轴. 56 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比#1.13 类型 平行四边形 _____________________________ 矩形 __________________________ 菱形 _______________________________ 正方形 ________________________ 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 57 角 特性 四个角都 是直角 四个角都是直 角 对角 线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相 等 对角线互相垂 直 对角线相 等且互相 垂直 对称 性 特性 轴对称图形 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴 58 7. (8分)如图，E是矩形ABCD对角线AC上的点(不与A，C重合)，连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F，连接BF交AC于点G，BE＝AD. (1)求证：∠FEC＝∠FCE； 中考考法 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠DCB＝90°. 又∵BE＝AD，∴BC＝BE.∴∠BEC＝∠BCE. ∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°＝∠DCB. ∴∠BEF－∠BEC＝∠DCB－∠BCE，即∠FEC＝∠FCE. 中考考法 解：BF⊥AC.理由：∵∠FEC＝∠FCE，∴EF＝CF. 又∵BE＝BC，∴易得BF垂直平分CE，即BF⊥AC. (2)试判断线段BF与AC的位置关系，并说明理由. 返回 中考考法 61 返回 8. C [南通月考]如图，在矩形ABCD中，点E为BC边的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，若∠BAE＝α，则∠DAF的度数为(　　) A．45°＋α B．45°－α C．90°－2α 中考考法 返回 9. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB＝6，BC＝8，则AE的长为________. 中考考法 63 10. (4分) 如图，∠POQ＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OP，OQ上，当点B在边OQ上运动时，点A随之在边OP上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝4，在运动的过程中，求点D到点O的最大距离. 中考考法 64 返回 中考考法 11. (8分)(1)【探究规律】如图①，P为▱ABCD内一点，△PAB，△PCD的面积分别记为S1，S2，▱ABCD的面积记为S，试探究S1＋S2与S之间的关系； 中考考法 66 中考考法 (2)【解决问题】如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且AE＝CG＝3，AH＝CF＝2，点P为EG和FH的交点，四边形AEPH，四边形CGPF的面积分别记为S1，S2，求S1＋S2的值. 中考考法 68 返回 中考考法 70 45°＋α D．45°－ 解：如图，取AB的中点E，连接OE，DE，OD， 则AE＝AB＝3.∵OD≤OE＋DE，∴当O，D，E三点共线时，点D到点O的距离最大，最大值为OE＋DE的长． ∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，∠POQ＝90°， ∴AD＝BC＝4，∠DAB＝90°，OE＝AB＝3. ∴DE＝＝＝5. ∴点D到点O的最大距离为3＋5＝8. 解：如图①所示，过点P作EF∥AB. ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC. ∴EF∥CD.∴四边形ABFE，四边形EFCD均为平行四边形．易得S1＝S▱ABFE，S2＝S▱EFCD. 又∵S▱ABFE＋S▱EFCD＝S，∴S1＋S2＝S. 解：如图②所示，过点P作PK⊥AB于点K，延长KP交CD于点T，过点P作PM⊥AD于点M，延长MP交BC于点N，连接PA，PC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD. 又∵PK⊥AB，PM⊥AD，∴PT⊥CD，PN⊥BC. 易知PK＋PT＝KT＝BC＝8，PM＋PN＝MN＝AB＝5. ∴S1＋S2＝AE·PK＋CG·PT＋AH·PM＋CF·PN ＝PK＋PT＋PM＋PN＝KT＋MN＝×8＋5＝17. $