精品解析：福建省名校联盟2026届高三下学期开学联盟考数学试题

数学试题 本试卷共4页，19小题，考试时间120分钟，总分150分. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合. 【详解】由得，解得， 故， 又因为，所以. 故选：C. 2. 若，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简为标准形式，再根据共轭复数的定义得到，最后确定其虚部. 【详解】因为， 所以，其虚部为. 故选：A 3. 双曲线的两条渐近线的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，利用斜率与倾斜角的关系，以及双曲线的对称性，即可求解. 【详解】由双曲线，得，且双曲线的焦点在轴上， 所以，所以双曲线的渐近线方程为， 又渐近线的倾斜角为， 由双曲线的对称性可知双曲线的两条渐近线的夹角为. 故选：B. 4. 已知随机变量，若，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以，又，， 所以，解得. 故选：C. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式直接计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 6. 已知，为锐角，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，将其与已知的分别平方，把两个平方后的式子相加，求解，结合为锐角的条件确定的符号，得到最终结果. 【详解】设，已知. ， 即：，， 因此：，解得. 因为为锐角，所以，， 故，因此. 故选：D 7. 已知等差数列的各项均为正数，记其前项和为，若数列是等差数列，且与的公差相等，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，则等差数列的公差也为，设，可得出的表达式，根据与的关系求出，求出数列的公差，可得出关于的等式，求出的值，可得出数列的通项公式，进而可得出的值. 【详解】设等差数列的公差为，则等差数列的公差也为， 设，则， 当时，， 当时， ， 也满足，即，故， 所以， 因为数列的公差为， 所以，解得或， 若，则，与等差数列各项均为正数不符，舍去； 若，则，对任意的，，符合题意， 故， 故选：B. 8. 已知函数恰有两个极值点，且曲线与x轴相切，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，利用已知可得方程有两个相异正实数解，进而可得，且，，又的极值中有一个为0，不妨设，可得，，进而计算可求得a的取值范围. 【详解】由题意得， 则有两个极值点等价于关于x的方程有两个相异正实数解， 所以，可知，且，， 曲线与x轴相切，则的极值中有一个为0， 不妨设，易知， 所以，， 因为，，，所以， 解得，且，即，且， 令函数，，则， 令，得，则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，所以， 综上所述，a的取值范围为. 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，且，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用题意求得函数的解析式，进而逐项计算判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 又，所以， 所以，所以， 解得或， 又，所以，故A正确； 所以， 当，所以， 所以在区间上单调递增，故B错误； 又，故C正确； 又， 所以不是函数图像的对称轴，故D错误. 故选：AC. 10. 设抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若弦的中点为，则（ ） A. F的坐标为 B. 直线的斜率为1 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出焦点坐标判断A；设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理求出，结合抛物线定义求解判断BCD. 【详解】对于A，抛物线的焦点，A正确； 对于B，设直线的方程为，由，得，设， 由弦的中点为，得，解得，直线的斜率，B正确； 对于C，由选项B知，，，C错误； 对于D，由选项B知，，因此 ，D正确. 故选：ABD 11. 已知棱长为的正四面体的四个顶点、、、均在球的球面上，动点、分别在棱、上（不包括端点），则（ ） A. 面积的最小值为 B. 若恰有两个点满足，则的取值范围是 C. 到平面和到平面的距离之和为定值 D. 若，则的周长不可能为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将正四面体补成正方体，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出点到直线距离最小值，结合三角形的面积公式可判断A选项；求出球心到直线的距离以及、的长，结合图形可判断B选项；利用等体积法可判断C选项；利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项. 【详解】将正四面体补成正方体，以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中，则， ，， 所以点到直线的距离为 当且仅当时，等号成立，即点到直线距离的最小值为， 所以，A对； 对于B选项，易知球心为正方体体对角线的中点，且， 则球心，， 同理可知，所以为等腰直角三角形， 所以球心到直线的距离为， 故恰有两个点满足，则，即的取值范围是，B错； 对于C选项，， 易知、都是边长为的等边三角形， ， 设点到平面、平面的距离分别为、， 由得， 解得，C对； 对于D选项，设，，、， 在中，， 所以在中，由余弦定理，得， 同理，有， 在中，由余弦定理，得， 在直角中，， 所以，即， 由基本不等式，得，即， 令，则，解得，或（舍）， 所以，显然等号可以取得， 在中，， 又，所以， 所以的周长为， 则的周长为定值，不可能为，所以选项D正确， 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若两个单位向量满足，则与的夹角是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过平方运算将模长变为数量积运算的形式，可构造出关于夹角余弦值的方程，从而求得夹角. 【详解】由题意知：，， 所以，所以， 所以，所以， 所以向量与的夹角是. 故答案为：. 13. 在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，设，由角平分线的性质可得，在中，由余弦定理可求得. 【详解】因为的角平分线交于D，所以， 设，又因为，所以， 又因为，设，则，解得， 在中，由余弦定理可得. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，设集合，从U中随机选取2个不同的元素，其对应的点记为A，B，记事件M为“A，O，B三点能构成三角形”，事件N为“的面积恰为整数”，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先确定全集中有9个点，点对的选法数，确定能构成三角形的种数，利用古典概型概率公式求得，利用条件概率公式可求得. 【详解】由题意可得的选法有3种，的选法有3种，所以全集中有9个点. 首先，计算所有可能的点对的种数为， 下面考虑不能构成三角形的情况：①A，B中含原点，此时有8种； ②A，B中不含原点，则O，A，B三点共线，有，，，共3种， 因此，A，O，B三点能构成三角形的种数为，所以； 方法1：①考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况， 有，，，共3对； ②考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况， 有，，，，，，共6对； ③考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对）， 有，，共2对； ④考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对）， 有，，，，共4对； ⑤考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对）， 有，，共2对； 所以， 所以． 方法2：不妨设，，易知的面积为， 则为整数，等价于“为偶数”， 将非原点的8个点按坐标的奇偶性分类如下：（偶，偶）：，，，有3个； （偶，奇）：，，有2个；（奇，偶）：，，有2个；（奇，奇）：，有1个， 令，则d为奇数当且仅当，中恰为一奇一偶， 点对类型为：{（偶，奇），（奇，偶）}，{（偶，奇），（奇，奇）}，{（奇，偶），（奇，奇）}， 有种， 注意到在A，O，B三点能构成三角形的前提下，d为偶数的种数为， 所以， 所以． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为研究某市高三年级学生身高和性别的关系，随机抽取了名高三年级学生，得到如下列联表： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 （1）求列联表中的、的值；将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取人，其中不低于的人数记为，求的期望． （2）依据小概率值的独立性检验，分析高三年级学生的身高是否与性别有关． 附：， 【答案】（1），， （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据可得出、的值，分析可知，利用二项分布的期望公式可得出的值； （2）零假设为高三年级学生的身高与性别无关，计算出的观测值，结合临界值可得出结论. 【小问1详解】 由题意，，， 样本中抽取的不低于的学生的频率为， 将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取人， 其中不低于的人数记为，则，所以． 【小问2详解】 零假设为高三年级学生的身高与性别无关， 由（1）可知， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即该市高三年级学生的身高与性别有关． 16. 记数列的前n项和为，已知． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系，可求数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法可求，利用等比数列的前n项和公式可求得，可求t的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，所以，即， 则是首项为1，公比为3的等比数列， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 因为，， 所以t的取值范围为． 17. 如图，在三棱锥中，与均为等边三角形，平面平面，D是的中点，E是上的动点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点O，连接，，由题意可得，进而计算，利用勾股定理可证； （2）以O为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，设，求得平面的一个法向量与直线的方向向量，利用已知可求得的值，进而利用向量法可求得平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 与均为等边三角形， ， 取中点O，连接，，则有，， 平面平面，平面，平面， 平面平面，，， ，，，，， 在中，有， 在中，有， ， 中，可得，． 【小问2详解】 由（1）可知，，， 如图所示，以O为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设， ，，，，， 则，，，， 设，， 设平面的一个法向量为，则 令，则，设直线与平面的夹角为， 则， 解得，，易得平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，， 平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 在直角坐标系中，点，动点P在直线的左侧，且到直线的距离恒为，记P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）设不经过F的直线l的方程为，已知l交C于M，N两点，且的值与m的值无关． （i）求k的值； （ii）是否存在实数m，使得?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）（ii）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设动点，根据题意列出距离等式，整理后平方化简得到椭圆标准方程； （2）(i)用椭圆左焦半径公式简化，将目标式转化为的形式；联立直线与椭圆方程，用韦达定理表示，令m的系数为 0，结合求解k； (ii)利用角度关系结合三角恒等变换、正弦定理，推导出与的数量关系，结合韦达定理求出的坐标，验证直线是否经过F，判断是否存在符合条件的m. 【小问1详解】 设，由已知，得， 所以，两边平方，化简得C的方程为． 【小问2详解】 （i）设，，由（1）可知，， 所以， 由得， 所以， 且，， 因此， 因为的值与m无关，所以，解得（此时）． （ii）若存在实数m符合题设，则， 所以， 因为， 所以， 在中，由正弦定理，得， 易知，且，所以， 所以， 所以，所以，即， 所以，即， 由（1）可知，所以，， 故，，从而l的方程为， 显然这与l不经过矛盾，所以不存在符合题设的实数m． 19. 已知函数，，，且． （1）讨论函数的单调性； （2）若曲线和存在公切线，求a的取值范围； （3）若存在相异实数m，n，使得，且，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过求导，根据的取值分类讨论导函数的符号，即得原函数的单调性； （2）利用导数的几何意义分别求出曲线在点处的切线方程与曲线在点处的切线方程，由题意得，消去，得，利用求导求得的最小值，即得； （3）依题意将问题转化成函数至少有两个零点，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理分类讨论函数的零点情况即得参数范围. 【小问1详解】 因，， 则， 当时，，在上单调递增； 当时，令，解得， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【小问2详解】 因，则曲线在点处的切线方程为：，即， 又因，则曲线在点处切线方程为，，即， 所以，故，且， 所以，整理得，（*）， 设，则， 当时，，当时，， 故在区间单调递减，在区间单调递增， 所以的极小值，也是最小值为， 由（*），可得，解得，所以a的取值范围是． 【小问3详解】 依题意，且．由得，代入得， 即．设，则，代入上式得，整理得． 同理，设，可得．因为，所以，即． 故问题转化为函数至少有两个零点． 则，设函数，则， 因,当时，,当时，, 在区间上单调递减，在区间上单调递增，且， 若，则，在上单调递减，至多1个零点，不符题意； 若，即，则函数存在两个零点，记为，， 且，其中， 所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增， ， 同理，可得， 设，则， 所以在上单调递减，，即， 所以，， 因为，且， 所以，且，， 所以，且， 所以区间，，上各存在一个零点，所以符合题意； 综上所述，a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 本试卷共4页，19小题，考试时间120分钟，总分150分. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 3. 双曲线的两条渐近线的夹角为（ ） A. B. C. D. 4 已知随机变量，若，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，为锐角，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的各项均为正数，记其前项和为，若数列是等差数列，且与的公差相等，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数恰有两个极值点，且曲线与x轴相切，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，且，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 10. 设抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若弦的中点为，则（ ） A. F坐标为 B. 直线的斜率为1 C. D. 11. 已知棱长为的正四面体的四个顶点、、、均在球的球面上，动点、分别在棱、上（不包括端点），则（ ） A. 面积的最小值为 B. 若恰有两个点满足，则的取值范围是 C. 到平面和到平面的距离之和为定值 D. 若，则的周长不可能为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若两个单位向量满足，则与的夹角是__________. 13. 在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 14. 在平面直角坐标系中，设集合，从U中随机选取2个不同的元素，其对应的点记为A，B，记事件M为“A，O，B三点能构成三角形”，事件N为“的面积恰为整数”，则______；______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为研究某市高三年级学生身高和性别关系，随机抽取了名高三年级学生，得到如下列联表： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 （1）求列联表中、的值；将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取人，其中不低于的人数记为，求的期望． （2）依据小概率值的独立性检验，分析高三年级学生的身高是否与性别有关． 附：， 16. 记数列的前n项和为，已知． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 17. 如图，在三棱锥中，与均为等边三角形，平面平面，D是的中点，E是上的动点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 在直角坐标系中，点，动点P在直线的左侧，且到直线的距离恒为，记P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）设不经过F直线l的方程为，已知l交C于M，N两点，且的值与m的值无关． （i）求k的值； （ii）是否存在实数m，使得?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，，，且． （1）讨论函数的单调性； （2）若曲线和存在公切线，求a的取值范围； （3）若存在相异实数m，n，使得，且，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $