8.3三角形的中位线（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年苏科版数学八年级下册

八年级苏科版数学下册 第八章 四边形 8.3三角形的中位线 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.探索并掌握三角形中位线的概念、性质; 2.会利用三角形中位线的性质解决问题; 3.经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的思想方法 活动 1.按下图的方式将一张三角形包装纸折叠成一个矩形信封. 2.你能在图中找到哪些相等的线段? B A D C E A′ M N 根据上面的折叠过程，可得DA=DA’，DB=DA’，所以DA=DB. 同理可得EA=EC，即D，E分别是边AB，AC的中点. 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线(medianlineoftriangle). 如图，在△ABC中， D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点， DE，DF，EF都是△ ABC的中位线. B A C D E F B A C D E 是 如图，完成下列操作，并回答问题: 1.剪一张三角形纸片ABC. 2.沿中位线DE将纸片剪成两部分，拼得的图形是平行四边形吗? 尝试 探索： 问题1：要判定一个四边形是平行四边形，须具备什么条件？ 问题2：结合题目所给的条件，你认为应该选用哪种方法来说明拼得的四边形BCFD是平行四边形？ 问题3：DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？ DE∥BC 且DE=BC 你能说明理由吗？ D B A C E F 证明：延长DE到点F，使EF＝DE ，连接CF． ∵ 点E是AC的中点，∴ AE＝CE． 在△ADE和△CFE中， ， ∴ △ADE≌△CFE． ∴ AD＝CF，∠ADE＝∠F． ∴ CF∥BD． ∵ D是AB的中点，∴ AD＝BD， ∴ BD＝CF． ∴ 四边形BCFD是平行四边形． ∴ DF∥BC，DE＝DF＝BC． 新课讲解 于是，我们得到三角形的中位线定理: 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. A B C D E 如图，在△ABC中， 如果D，E分别是边AB，AC的中点， 那么DE∥BC，DE=BC. B A C D E F G H 例 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．连接EF，FG，GH，HE．求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：连接AC． ∵ E，F分别是边AB，BC的中点， ∴ EF∥AC，EF＝AC（三角形的中位线定理）． 同理可得 GH∥AC，GH＝AC. ∴ EF∥AC，EF＝GH． ∴四边形EFGH是平行四边形． 教材P88 例题 1.如图，在中，对角线，交于点， 是边 的中点，连接，若 ，则 的长为( ) B A. B. C. D. 解析： 四边形 是平行四边形， . 是边 的中点，是 的中位线， . ， . 变式训练 探究 由例题可知，首尾顺次连接四边形ABCD的各边中点，可以得到一个平行四边形，那么，当四边形ABCD满足什么条件时，所得的平行四边形是矩形、菱形或正方形呢? 顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否相等. 原四边形两条对角线的关系 中点四边形的形状 垂直 矩形 相等 菱形 垂直且相等 正方形 既不垂直也不相等 平行四边形 解：△DEF的周长等于△ ABC周长的, △ DEF的面积等于△ ABC面积的 D、E、F分别是ABC各边的中点, ∴DE= AC=AF=CF,DF= BC=BE=CE,EF= AB=AD=BD. ∴ADEF的周长=DE+DF+EF= AC+ BC+ AB = (AC+BC+AB)= △ ABC周长的. ∵DE=AF=CF,DF=BE=CE，EF=AD=BD, ∴△ DEF≌ △ EDB ≌ △ CFE ≌ △ FAD. ∵ △ ABC的面积= △ DEF的面积+ △ EDB的面积+ △ CFE的面积+ △ FAD的面积， ∴ △ DEF的面积等于ABC面积的 教材P89 练习 课内练习 1.如图，D，E，F是ABC各边的中点，△DEF与△ABC的周长、面积之间分别有怎样的数量关系?证明你的结论. B A C D F E 2.如图，A，B两地被建筑物阻隔，为测量A，B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取边CA，CB的中点D，E. (1)若DE的长为36m，求A，B两地的距离; (2)若D，E两点之间也有阻隔，你有什么解决办法? 解：(1)∵D,E是AC,BC的中点 ∴DE是△ ABC的中位线 ∴ AB =2DE ∵DE=36m ∴AB=2x 36=72m (2)分别取CD、CE的中点M、N．测得MN的长，由AB＝2DE＝4MN， 即可求出A、B两地的距离． 基础巩固题 知识点1 三角形中位线定理 1.如图,在中，已知，分别为边， 的中点，连接 ，若 ，则 等于( ) A A. B. C. D. 【解析】，分别为边，的中点，是 的中位 线，， .故选A. 思路分析 根据由三角形中位线定理所得的平行关系进行角度计算即可. 2.【2025安徽蚌埠期中】如图，在四边形中，， 分别是 ，的中点．若，，，则 的长为 ___． 4 【解析】如图，连接,分别是，的中点， 是 的中位线，,， ， 即 ， 在中， ， ，故答案为4． 15 知识点2 三角形中位线定理的应用 3.【2024江苏南京鼓楼区模拟】如图，是的中位线， 平分交于点，若，，则边 的长为 ( ) B A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】是的中位线，，， ， ，平分， ， ，， ， . 16 4.如图，将沿着它的中位线对折，点落在 处. 若 ， ，则 的度数是______. 【解析】 , , 是的中位线， , , , , ,故答案为 . 17 能力提升题 5.[德阳中考]如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，如果BD＝AC，四边形EFGH的面积为24，且HF＝6，则GH＝(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 【点拨】如图，连接EG，与HF交于点O， ∵E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点， ∴易得EH＝BD，FG＝ BD，EF＝ AC，GH＝ AC. ∵BD＝AC，∴EH＝FG＝EF＝GH，∴四边形EFGH是菱形． ∴EG⊥HF，OH＝ HF＝3，OG＝ EG，∴∠HOG＝90°. ∵四边形EFGH的面积为24，HF＝6，∴24＝ ×6×EG，解得EG＝8，∴OG＝ EG＝4. ∴在Rt△HOG中， GH＝＝ ＝5，故选B. B 6.如图，△ABC中，D是BC的中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝4，AC＝7，则DE＝________. 19 7.[南通月考]如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点. (1)猜想四边形EFGH的形状，并证明你的猜想． 解：四边形EFGH是菱形．证明如下：如图，连接AC，BD， ∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB＋∠APD＝∠APD＋∠CPD，即∠BPD＝∠APC. 在△BPD和△APC中，PB=PA，∠BPD= ∠ APC，PD=PC，∴△BPD≌△APC(SAS)，∴BD＝AC. ∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点， ∴EF，FG，GH，EH分别为△ABC，△DBC，△ADC，△ABD的中位线， ∴EF＝AC，FG＝ BD，GH＝ AC，EH＝ BD， ∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH是菱形． 解：四边形EFGH是正方形． 【点拨】设AC，BD交于点O，∵PC＝PD，G为CD的中点，∴PG⊥CD.∵PG＝DG， ∴∠PDG＝45°.易知PG＝CG，∴∠PCG＝45°， ∴∠PDG＋∠PCG＝90°，由(1)可知△BPD≌△APC， ∴∠PDB＝∠PCA，∴∠AOD＝∠ODC＋∠OCD＝90°，∴AC⊥BD. 易得EH∥BD，HG∥AC， ∴∠EHG＝90°，∴菱形EFGH为正方形． (2)连接PG，若PG＝DG，直接判断四边形EFGH的形状． 20 8.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.求证：∠BME＝∠CNE； 证明：如图①，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF. ∵E，F分别是AD，BC的中点，∴HF，HE分别是△BCD，△ABD的中位线． ∴HF∥CN，HE∥BM， HF＝CD，HE＝ AB. 又∵AB＝CD，∴HF＝HE.∴∠HEF＝∠HFE.∵HF∥CN，HE∥BM， ∴∠HFE＝∠CNE，∠HEF＝∠BME.∴∠BME＝∠CNE. 解：△OMN是等腰三角形． 【点拨】如图②，取BD的中点H，连接HE，HF.∵E，F分别是BC，AD的中点， ∴HF，HE分别是△ABD，△BCD的中位线． ∴HF∥AB，HE∥CD，HF＝AB，HE＝ CD. 又∵AB＝CD，∴HF＝HE.∴∠HFE＝∠HEF.∵HF∥AB，HE∥CD， ∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN. ∴∠ONM＝∠OMN.∴OM＝ON.∴△OMN是等腰三角形． (2)如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N.请直接写出△OMN的形状． 21 三角形的中位线 定义 定理 应用 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线． 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 表示位置关系：证明两条直线平行； 表示数量关系：证明线段相等或倍分． 中点四边形 课堂小结 教科书第89页练习 第1，2题 布置作业 [点拨]延长BE交AC于F.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE. ∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°.在△AEB和△AEF中， ∴△AEB≌△AEF(ASA)．∴AF＝AB＝4，BE＝EF.∴FC＝AC－AF＝7－4＝3. ∵D是BC的中点，BE＝EF，∴DE＝FC＝. $