第一章三角形的证明单元提升测试卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明单元提升测试卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，利用旋转角度之和及铅笔的朝向证明三角形内角和为． 【详解】解：∵铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后， ∴三次旋转的角度为， ∵笔尖方向由点A到点B变为点B到点A， ∴旋转角度之和为， 即． 故选：C． 2．在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的性质，利用直角三角形两个锐角互余的性质计算的度数． 【详解】解：是直角三角形，是直角． （直角三角形的两个锐角互余）． 又． ． 故选：D． 3．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，若，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长， 故选：B． 4．如图，中，，平分．已知，，则的长为（     ） A．9 B．13 C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，由等腰三角形三线合一的性质得出，，再由勾股定理即可得出． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∴， 故选A． 5．已知的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：由A、， ∴，故选项A符合题意； 由B、， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； 由C、，设设a、b、c的边长分别为， ∵， ∴是直角三角形，故选项C不符合题意； 由D、，则 ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：A 6．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（   ） A．小明说得不对 B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定进行判断即可． 【详解】解：A、可添条件为“”才能说：“直线是的垂直平分线．”，故小明说的不对，该选项正确； B、添条件为“”，则，不能证明，故该选项错误； C、添条件为“”，在和中，，则， ， 直线是的垂直平分，故该选项正确； D、添条件为“平分”， 在和中，，则， ， 直线是的垂直平分，故该选项正确； 故选：B． 7．如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为50和39，则的面积为（   ） A．1 B．5.5 C．7 D．3.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等，作交于M，作，利用角平分线的性质得到，将三角形的面积转化为三角形的面积来求． 【详解】解：作交于M，作， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵和的面积分别为50和39， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，在中，P、Q分别是、上的点，作，，垂足分别为R、S，若，则这四个结论中正确的有（    ） ①AP平分；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，根据角平分线判定定理即可推出①，根据即可推出②，根据等腰三角形性质推出，推出，根据平行线判定推出③即可；无法证明故④错误． 【详解】解：∵， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故③正确； 在和中，缺少全等条件，故④错误， 故选：B． 9．，上一点，在内部构造与相等的线段，如、、……，则这样的线段最多有（    ）条 A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，同样的方法可得，，再根据一个等腰三角形中不可能有两个角等于即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：，， 则这样的线段最多有8条， 故选：A． 10．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 二、填空题(每题3分.共计18分). 11．如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数为 ．    【答案】/180度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键． 根据三角形全等得到，则，进一步根据平角定义和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 由题意可得，， ∴ 又∵， ∴ 故答案为：． 12．如图，在中，，，，平分交于点，则点到的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等角对等边，角所对的直角边等于斜边的一半，过点作于，由可得，由平分可得，即可得，进而得到，再根据角所对的直角边等于斜边的一半可解． 【详解】解：如图，过点作于，则， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ∴点到的距离是 2 ， 故答案为：2． 13．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 14．如图，已知交于E，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用两直线平行，同位角相等可得，利用等量代换和等腰三角形的判定定理解答即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．在中，是边上的高，，是边上一点，是的中点，连接，，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意易证得，则，设，则及，进而得到、，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，据此列方程求解即可． 【详解】解： 是的外角 设，则 、 是边上的高 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： 解得或（舍去） 故答案为：4． 16．如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/95度 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． 先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及直角三角形的性质．利用等腰三角形的性质得到底角与顶角的关系，设出顶角度数，结合三角形内角和定理求出底角的度数；再根据高的定义得到，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】解：设， ， ， 又， ， 根据三角形内角和定理，， ，解得， ， 是边上的高， ， ． 18．如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【详解】根据已知条件证明，再由有两个角互余的三角形为直角三角形，即可判定是直角三角形． 证明：在中， ， ． ， ． 是直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，利用两锐角互余的三角形为直角三角形是证明此题的关键． 19．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，，则的度数为__________． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的外角和角平分线，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）根据已知角度可推导出的度数，再根据角平分线可得到外角的度数即可求得的度数； （2）根据角平分线推出角相等，再根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和推导出角的关系进而证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：； （2）证明：平分， ． ， ． ， ． 20．如图，在中，，平分，，延长交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质“三线合一”，可得，平分，从而可得，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F． ，平分， ， ，， 平分， ， ， ． 21．为了证明“三角形的内角和是”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． (1)其中不能证明“三角形的内角和是”的是______（填选项）； A．如图1，过点C作 B．如图2，作 C．如图3，过上一点D作， D．如图4，过点C作 (2)请选择可以证明“三角形的内角和为”的一幅图加以证明． 【答案】(1)A (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理的证明及辅助线的作用，解题的关键是理解不同辅助线构造思路与平行线性质、全等三角形性质的结合，判断能否转化角的关系证明内角和为 ． （1）分析各选项辅助线作用：选项A作无法建立角之间的转化关系，不能证明；选项B利用全等三角形性质可转化角；选项C通过平行线性质转移角；选项D借助平行线将角转化为平角，故不能证明的是A． （2）选择合适图形，如选项利用平行线的性质（内错角相等、同位角相等）将三角形三个内角转化为一个平角，进而证明内角和为． 【详解】（1）分析各选项辅助线能否实现角的转化： 选项过点C作此辅助线无法建立三角形内角与其他角的等量关系，不能证明三角形内角和是． 选项作可利用全等三角形对应角相等转化角的关系，能证明． 选项过上一点D作可利用平行线内错角相等转移角，能证明． 选项过点C作可利用平行线内错角相等将内角转化为平角，能证明． 故答案为：A． （2）选择图2（选项B）证明 已知：，作． 求证：． 证明：延长至E， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，又（全等三角形对应角相等） ∴（等量代换）． 即三角形的内角和是． 选择图3（选项C）证明： 已知：． 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 选择图4（选项D）进行证明： 已知：． 求证：． 证明：过点C作延长至 ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 即三角形的内角和是． 22．将两个大小不同的含角的直角三角板和按右图所示的方式摆放，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要运用三角形内角和定理、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质来求解，解题的关键是掌握上述知识点． （1）通过角度计算证明是等边三角形从而得出边相等； （2）利用含角的直角三角形的性质结合求出，再根据角度关系得出的长度即可． 【详解】（1）证明：由题意，得，． 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ． （2）解：由（1）可知，． ，， ． 又， ， ， ． ， ． 23．如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质、等边三角形的性质和判定，关键是灵活运用知识点进行论证求解． （1）运用垂直平分线的判定定理证明即可； （2）证明是等边三角形得，再证明可得结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ， ∴点B、点D在的垂直平分线上， 垂直平分． （2）解：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由（1）可知垂直平分， ， ， ， ， ， ． 24．如图，，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分． (2)若，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质的内容是解题的关键； （1）过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，，根据角平分线的性质得到线段相等，再根据线段相等得到角平分线； （2）利用第一问的结论得到角度，得出三角形的形状为等腰直角三角形推导出边相等，利用勾股定理得到点到的距离． 【详解】（1）解：证明：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，． 平分，，， ， 平分，，， ， ， 又，， 平分． （2）解：由（1）可知，平分， ， 为等腰直角三角形， ． 由勾股定理，得， ， ， ∴点到的距离为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第一章三角形的证明单元提升测试卷 一、单选题（每题3分.共计30分）》 1.如图，铅笔放置在ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B,把铅笔依次绕点A,点C, 点B按逆时针方向旋转∠A,∠C,∠B的度数后，笔尖的方向变为点B到点A,这种变化 说明() A.三角形两边的和大于第三边 B.三角形两边的差小于第三边的 C.三角形三个内角的和等于180 D.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角 的 2.在ABC中，若∠C是直角，∠B=47°，则∠A的度数是() A.127° B.53° C.47° D.43° 3.如图，在ABC中，AB=AC=5,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接 CE,若BE=1,则△AEC的周长为() A.12 B.13 C.14 D.15 4.如图，ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC.已知AB=15,BC=24,则AD的长为 () D A.9 B.13 C.6 D.12 5.已知ABC的三边分别为a,b,c,则下列条件中不能判定ABC是直角三角形的是() A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 B.b2=a2-c2 C.a:b:c=1:V3:2 D.∠A=∠B-∠C 试卷第1页，共3页 6.如图，直线I与线段AB交于点O,点P在直线I上，且PA=PB,小明说：“直线I是AB的 垂直平分线.”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确.”下列判断错误的是() B A.小明说得不对 B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B” C.小亮说得对，可添条件为“P0⊥AB”D.小亮说得对，可添条件为“PO平分∠APB 7.如图，AD是ABC的角平分线，DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的 面积分别为50和39，则aEDF的面积为() A.1 B.5.5 C.7 D.3.5 8.如图，在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别 为R、S,若AQ=PQ,PR=PS,则这四个结论中正确的有() B ①AP平分∠BAC;②AS=AR;③OP∥AR;④△BRP≌△CSP. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9.∠A0B=10°，OA上一点P,在∠AOB内部构造与OR相等的线段，如PP、BB、BB.…, 则这样的线段最多有()条 P A P P o P B A.8 B.9 C.10 D.12 10.在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=25°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点 试卷第1页，共3页 E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C处. ①如图1，当点C落在BC边上时，∠ADC'=50°； ②如图2，当点C落在ABC内部时，∠ADC'+∠BEC'=50°： ③如图3，当点C落在ABC上方时，∠BEC'-∠ADC'=50°； ④当C'E∥AB时，∠CDE=32.5°或∠CDE=123.5°，以上结论正确的个数是（) D D B H 图1 图2 图3 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每题3分.共计18分）. 11.如图，己知△ABC≌△DEF≌aGHI,并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的 度数为」 3 A G2 12.如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD=4,BD平分∠ABC交AC于点D, 则点D到AB的距离是· B 13.如图，ABC的三边长分别是6,9,12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则 S4Bo:SBco:S.c40等于 试卷第1页，共3页 12 14.如图，已知∠A=∠B,CE∥DA,CE交AB于E,且BC=10,则CE= 15.在ABC中，CD是AB边上的高，∠B=2∠A,E是AB边上一点，F是AE的中点， 连接CF,CF=AF,若AD=8,BE=I,则CD的长为 A F D E B 16.如图，在ABC中，AB=AC,D为BC上的一点，∠BAD=25°，在AD的右侧作 ADE,使得AE=AD,LDAE=∠BAC,连接CE、DE,DE交AC于点O,若CE∥AB ,则∠DOC的度数为 D 三、解答题（每题9分.共计72分） 17.如图，在ABC中，AB=AC,∠ABC=2∠A,BD是边AC上的高，求∠DBC的度数. D B 试卷第1页，共3页 18.如图，E是ABC中AC边上的一点，过点E作ED⊥AB,垂足为D,∠I=∠2.求证： ABC是直角三角形. E I9.如图，CE是ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E. B C D (1)若∠B=30°，∠E=40°，则∠BAC的度数为 (2)求证：LBAC=∠B+2LE. 20.如图，在ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,BD=CD,延长BD交AC于点E.若 ∠BDC=94°，求∠ADE的度数， E D 21.为了证明“三角形的内角和是180°”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方 法 图1 图2 图3 图4 (1)其中不能证明“三角形的内角和是180°”的是 (填选项)； A.如图1，过点C作EF=AB B.如图2，作△ABD≌△BAC C.如图3，过AB上一点D作DE∥CB,DF∥AC 试卷第1页，共3页 D.如图4，过点C作CD∥BA (2)请选择可以证明“三角形的内角和为180°”的一幅图加以证明. 22.将两个大小不同的含30°角的直角三角板ABC和ADC按右图所示的方式摆放，∠ABD 的平分线交AD于点E,交AC于点F. 2 (I)求证：AF=EF. (2)若CF=5,求DE的长. 23.如图，ABC是等边三角形，D是ABC外一点，连接AD,CD,BD,过点D作 DE∥AB交AC于点F,交BC于点E,已知AD=CD. D B (I)求证：BD垂直平分AC; (2)若BC=9,DE=5,求EF的长， 24.如图，∠EAF=90°，∠EBC和∠FCB的平分线交于点D,连接AD. E (I)求证：AD平分∠EAF. (2)若AD=12,求点D到BC的距离. 试卷第1页，共3页