精品解析：湖北孝感市楚天协作体2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合及交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：C． 2. 已知为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用 求解. 【详解】，虚部为－1 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用，实现与的转化求值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 所以，所以，所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：B. 4. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 3或0 D. 4或1 【答案】C 【解析】 【分析】由的夹角均为和夹角均为 ，两类情况讨论，通过求模的平方即可求解. 【详解】当的夹角均为时， 则 ， ； 当的夹角均为 时， 所以 综上或0； 故选：C 5. 若函数是奇函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，结合函数表达式建立方程求解的值. 【详解】是奇函数， 为偶函数， 为奇函数， . 故选：D. 6. 已知圆与直线相交于两点，当最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方程确定直线过定点，圆的圆心为，半径为.过圆心作交直线于点 ，分析可知，当重合时，取得最大值，此时取得最大值，从而取得最大值.由斜率公式及两垂直直线斜率乘积为可得的值. 【详解】，得. ，解得. 所以直线过定点. 由，得. 所以圆心的坐标为，圆的半径为. 过圆心作交直线于点 ，因为 ，所以. 所以当最小时，也最小. ，，且在上单调递减， 所以当最小时，最大. 显然，当，即重合时，取得最大值. 此时，直线的斜率为， 所以直线的斜率为，解得. 故选：A. 7. 已知四面体 满足均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过空间直角坐标系法求解，利用坐标定位各顶点，再根据外接球心到各顶点距离相等的性质列方程求解. 【详解】由为等腰直角三角形（，），得 ， 由 为等腰三角形（ ，），用余弦定理： 验证AB BD：，故 ， 又 ，，得 平面 ； 建立空间直角坐标系，，（在 轴，在轴），点：由 几何关系，可以得，过点作轴的垂线，依据勾股定理自然可得； 设外接球心为 ，则， 由：， 由：， 由 ：， 化简得； 因此，球心，半径：， 故选：B 8. 若，则下列不等关系一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对已知等式进行恒等变形，通过构造函数，利用数形结合思想进行判断即可. 【详解】当时，显然不成立， 当时，由， 令，设， 在同一直角坐标系内画出三个函数的图象如下图所示： 由数形结合思想可知：只有选项C不可能， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，判断A，C；由的单调性判断B；利用作差法判断D. 【详解】A项：当时，命题不成立，所以A错误； B项：为上的增函数，且，所以B正确； C项：时，命题不成立，例如，，所以C错误； D项：， 若，则，所以， 即，所以D正确. 故选：BD. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 一组数据48，49，53，54，55，55，55，57的下四分位数为51 B. 在成对样本数据分析中相关系数 ，表示两个变量之间没有线性相关关系 C. 经验回归方程为时的观测值为34，则残差为0.009 D. 将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差 【答案】ABC 【解析】 【分析】由下四分位数的概念计算可判断A；根据相关系数的概念可判断B；根据残差的定义计算可判断C；设两层数据分别为，，计算出总体方差可判断D. 【详解】对于A，，下四分位数为：，故A正确； 对于B，相关系数 ，表示变量没有线性相关关系，故B正确； 对于C，，残差，故C正确； 对于D，不妨设两层数据分别为，，， 因为，所以总体平均数， 则，， 所以总体方差为， ， 则 ， 只有，或时才有，否则，故D错误. 故选：ABC 11. 已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（ ） A. 的横坐标为 B. 直线与双曲线相切 C. 的最大值是 D. 若轴，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图所示，内切圆与三边的切点分别为 ，延长交于，连接．对于A选项：由内切圆的性质求解；对于B选项：与的外角平分线相互垂直，由双曲线的光学性质得解；对于C：设内切圆的半径为，，化简可得，通过计算得解；对于D选项：利用重心的性质及角平分线定理及余弦定理求出，通过计算得到的范围. 【详解】如图所示，内切圆与三边的切点分别为 ， 延长交于，连接． 对于A选项：由题意可知、、， ，，可知， ，所以内心的横坐标为，故A正确； 对于B选项：与的外角平分线相互垂直， 由双曲线的光学性质可知直线是双曲线在点处的切线，故B正确； 对于C：设，则有， 其中 为双曲线的离心率，设内切圆的半径为， 则有，化简可得， 两边同时平方，代入， 化简可得，所以，故C错误； 对于D选项：轴，由重心的性质可知， 由题意及角平分线定理可知， 则， 在中，由余弦定理可知， 代入数据可得 ， 因为，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义结合题意列式计算即可求解. 【详解】， ， 由题意可得，解得. 故答案为：. 13. 已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，满足，则椭圆的离心率_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，，在分别由余弦定理解得，计算即可求解. 【详解】因为，所以可设过点的直线与椭圆在第一象限的交点为，如图所示： 设，则，，， 由题意可得，， 在分别由余弦定理解得： ，， 即，， 解得，，即. 故答案为：. 14. 已知，则_____；_____． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】赋值法即可求出；为的系数，即从所有因式中选2个因式取项，其余因式取常数项，再将这些乘积相加，结合等比数列前 项和公式求解即可. 【详解】令，易知 ． 令， 则 ， 代入化简可得． 故答案为：1；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为的内角所对的边， 且． （1）求； （2）已知是边的中点，求的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形内角和定理、辅助角公式进行求解即可； （2）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 根据正弦定理有 ． 因为， 所以 ， ， 则有， ． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理可知 ，当且仅当 时，“”成立． 是的中点，， 两边平方得，即， 由（1）知，代入得， ， ， 所以的最大值为． 16. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧面 是正三角形，侧面 底面 是的中点． （1）求证： 平面 ； （2）试问在线段上是否存在一点，使得平面与底面 所成夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】(1)用线面垂直判定定理证明 平面 ； (2)建立空间直角坐标系后用参数表示点，求出平面的法向量，结合底面法向量与二面角余弦值列方程，求解. 【小问1详解】 由题意可知， 侧面 底面 ，侧面 底面平面 ， 平面， 又平面 ，平面 ， 平面 ． 【小问2详解】 如图，分别取、的中点、，连接、、， 已知两两垂直，则以为坐标原点，为 轴建立空间直角坐标系 由题意可知，， 设，则，又 所以， 设平面的法向量为，则， 代入数值可得， 不妨令，则，，故， 由题意可知，即为平面 的法向量，则有， 所以，等号两边平方，化简后可得， 解得或 （舍去），所以. 17. 2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； （3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）可应用二项分布求解3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）应用互斥事件的和事件的概率和条件概率求解即可； （3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为 ，分别求出，进而可得不同取值时的概率，列出分布列，求出期望即可. 【小问1详解】 记3人中通过第一轮的人数为， 由题意可知， 记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件 ， 则. 【小问2详解】 记随机选择小明、小华、小方的事件分别为，通过第二轮的事件记为， 则由题意可知， 则， 所以. 【小问3详解】 记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为 ， 则， ， ， 由 相互独立可知， ， ， 所以的分布列是 0 1 2 3 则的数学期望是． 18. 已知函数 为无理数且 （1）求在区间的最值； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）对于，证明： ． 【答案】（1） ． （2） （3）由（2）可知 在恒成立， 则有在恒成立， 令 ，则有恒成立， 所以， 又， 则 . 【解析】 【分析】（1）通过二次求导，确定在区间 的单调性，即可求解； （2）通过讨论 ，说明 使得 不符合题意，得到，再通过放缩 ，构造函数 ，通过二次求导确定单调性即可求解； （3）由（2）得到，推出，再结合，即可求证. 【小问1详解】 ，可知 ， 令 ，则， 易得当 时， ，当 时， ， 即在 单调递减，在 上单调递增， ，则在 单调递增， 所以 ． 【小问2详解】 构造函数 ， ， 易知 ，若 ， 则 使得在 上单调递减， ，与题意矛盾， 则 ， 此时 ， 令 ，只需证 在恒成立即可． ， 令 ，则， 恒成立，即 在单调递增， 在单调递增，则 恒成立， 所以的取值范围是 . 【小问3详解】 略 19. 已知点是抛物线的焦点，是抛物线上的一点且有． （1）求抛物线的方程； （2）已知点，连接、并延长交抛物线于另外一点． （i）若抛物线上有且仅有3个点使得的面积均为定值，求的值； （ii）已知点、是抛物线上异于、的两点，且 是 的角平分线．请问直线是否过定点，若过定点，求出点的坐标，若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）16；（ii）直线过定点． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，则点的坐标为，代入计算即可求解； （2）（i）直线与抛物线联立方程可得，结合图象可知，计算即可求解；（ii）结合题意，当斜率不存在时，不符合题意，斜率存在时，设直线斜率为，则过点的直线可表示为，计算可得，设，计算可得，进而计算可解. 【小问1详解】 由题意可知，则点的坐标为， 代入抛物线方程解得 或（舍去），所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 （i）由题意可知直线的方程为 ， 直线与抛物线联立可得， 解得， 所以，所以． 如图所示，由图象可知，对任意面积，抛物线位于直线 右上方的部分均存在2点使得的面积均为定值， 则抛物线在直线 的左下方部分存在唯一的一点满足条件， 此时到直线 的距离达到最大值，即在处的切线与直线 平行， 当 时，抛物线方程为，所以， 则到直线 的距离为， 所以定值． （ii）是 的角平分线，所以点到直线 的距离相等， 设该距离为定值． 当的斜率不存在时， 由题意可知，易知此时与轴平行，不满足题意， 所以的斜率均存在． 设过点的直线斜率为，则过点的直线可表示为， 则有，则有， 设，则， 两式相减可得， 利用点斜式方程可得， 由，化简可得，， 结合，易知直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 3或0 D. 4或1 5. 若函数是奇函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 6. 已知圆与直线相交于两点，当最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知四面体满足均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则下列不等关系一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 一组数据48，49，53，54，55，55，55，57的下四分位数为51 B. 在成对样本数据分析中相关系数 ，表示两个变量之间没有线性相关关系 C. 经验回归方程为时的观测值为34，则残差为0.009 D. 将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差 11. 已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（ ） A. 的横坐标为 B. 直线与双曲线相切 C. 的最大值是 D. 若轴，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则 _____． 13. 已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，满足，则椭圆的离心率_____． 14. 已知，则_____；_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为的内角所对的边，且． （1）求； （2）已知是边 的中点，求的最大值． 16. 如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的正方形，侧面 是正三角形，侧面 底面 是的中点． （1）求证： 平面 ； （2）试问在线段上是否存在一点，使得平面与底面所成夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 17. 2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； （3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 18. 已知函数 为无理数且 （1）求在区间的最值； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）对于，证明： ． 19. 已知点是抛物线的焦点，是抛物线上的一点且有． （1）求抛物线的方程； （2）已知点，连接、并延长交抛物线于另外一点． （i）若抛物线上有且仅有3个点使得的面积均为定值，求的值； （ii）已知点、是抛物线上异于、的两点，且 是 的角平分线．请问直线是否过定点，若过定点，求出点的坐标，若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $