（解决问题专项）专题18 找次品问题（专项训练）-2025-2026学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测（通用版）

2025-2026学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 在小学生迈向中学的关键转折点上，小升初不仅是对六年学习成果的检验，更是对学生综合能力的一次重要评估。数学作为一门基础性与思维性并重的学科，在这一过程中尤为关键。《2025-2026学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为这一关键阶段量身打造的系统复习资料，旨在帮助学生夯实基础、拓展思维、提升能力，从容迎接升学挑战。 小升初数学考试不仅考查学生对基础知识的掌握程度，更注重他们在真实情境中分析问题、解决问题的能力。为此，本套资料以“讲—练—测”三位一体的设计理念，构建科学高效的复习路径： “讲”是知识的系统梳理与思维引导。我们以清晰易懂的语言，对数与代数、图形与几何、统计与概率等核心板块进行结构化讲解，注重知识之间的联系与迁移。通过典型例题的逐步解析，帮助学生理解解题思路，掌握方法本质，从而做到触类旁通。 “练”是能力的巩固与提升。我们依据小升初命题趋势，精心设计梯度合理、题型全面的练习题，涵盖基础巩固题、能力拓展题和综合应用题等多个层次。学生可在练习中强化记忆、熟练技巧，逐步建立解题信心。 “测”是效果的检验与反馈。每个复习阶段配有贴合真实考试要求的测评卷，帮助学生检测学习成效，发现薄弱环节。详尽的答案解析不仅指出错误原因，更提供思路指引，引导学生养成反思与总结的学习习惯。 我们相信，有效的复习不仅是知识的重复，更是方法的优化与思维的重建。愿这套融合讲解、练习与测评的复习资料，成为学生冲刺路上的得力助手，帮助他们在小升初的考场上沉着应对，稳健发挥，迈向更加广阔的学习天地。 2026年1月 （解决问题专项）专题18 找次品问题 一、解答题 1．一架天平只有5g和30g两个砝码，要把300g白砂糖平均分成3份，至少要称几次？请写出称量方案。 2．有6袋咖啡，编号是①~⑥，其中4袋一样重，是合格产品，另外2袋都比标准质量轻10g，是不合格产品。用天平称了三次，结果如下：①＋②比③＋④重，⑤＋⑥和③＋④一样重，⑤＋③比⑥＋④重。这两袋不合格的产品分别是几号？ 3．外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 4．有5个砝码，它们的质量分别为100克、101克、102克、104克、107克，但它们的外观完全相同，无法看出轻重。现有一台带指针的台秤，它可以称出300克以内的物体的质量，怎样称至少3次就可以保证找出质量为100克的砝码？请写出操作步骤。 5．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出称法。 6．有9袋白糖，其中有8袋都是千克，另一袋也近似于千克，你能利用一架没有砝码的天平找出这袋白糖吗？能判断出它比千克多还是少吗？请说明你的办法。 7．有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 8．六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 9．平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。 10．近年来我国新能源汽车制造业发展迅速，截止到2022年我国新能源汽车产销连续8年全球第一，这归功于新能源汽车制造企业的科技研发和精益求精。质检员王师傅发现19个零件中有一个不合格的零件，比其他零件轻一些，他用天平至少称几次能保证找到这个不合格的零件？ 11．有10箱小球，每箱100个。根据标准，每个小球的质量应该为10克，但这10箱中，混进了一箱次品，次品的外观与正品没有区别，只是每个小球的质量比正品少1克。怎样只称一次就将这箱次品小球找出来？ 12．中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果能用天平称，至少称几次能保证找出这副不足200克的中药？ 13．为了加强体育训练，五（1）班新购进了11个沙包，其中有一个沙包略轻。用天平至少称几次才能保证找出这个质量较轻的沙包？请你用合适的方法描述出过程。 14．福建物产丰富，有很多地方盛产水果，才溪脐橙产自著名革命老区上杭县才溪镇，被评为“福建省名牌农产品”。王伯伯准备了12箱脐橙寄往外地，其中11箱质量相同，另外有1箱质量稍轻一些，至少称几次能保证找出这箱轻一些的脐橙？（请你试着用图表示称的过程） 15．我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？ 16．爸爸买来13本信笺，这13本信笺的质量相同，淘气的小强从一本信笺中撕了几页，你能用天平把这本被撕过的信笺找出来吗？至少需要几次？ 17．一个古玩商店的经理不小心将1枚假铜币混入了7枚真铜币当中，原来的7枚真铜币外观、颜色、形状完全相同，假铜币与真铜币外观一样，只是质量不一样，假铜币质量轻一些。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从8枚铜币中找出假铜币？你能用画图和文字写出你的想法吗？ 18．有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 19．仓库里有16箱同一规格的零件。李师傅只记得从其中某一箱中用去3个，但现在无法凭眼睛看出哪一箱是用过的，若要数，由于零件较小，很难数清。李师傅只好找来一架无砝码的天平称，最少要称几次？ 20．一个商人有10袋金子，每袋里有10锭金子，有9个袋子里的金子每锭是10两，只有一个袋子里的金子每锭只有9两，你能只用天平称一次，就能称出哪袋装的是每锭9两的金子吗？ 21．有101枚硬币，其中100枚质量相同，另一枚是假币。利用天平，至少称（    ）次就可判断假币比真币轻还是重。完成示意图。 22．有81枚外形完全相同的铜扣，其中有一枚比其他80枚都要轻一些，是次品。 （1）用天平，至少称几次就可以保证找出这枚轻一些的铜扣？请你用图示的方法表示出来。 （2）如果天平两边各放40枚铜扣，称一次有可能找出次品吗？ 23．桌面上有一架天平和12个大小相同的金属球，其中有11个是铁球，1个是铅球，铅球比铁球重一些。 （1）如果小丽把12个金属球平均分成3份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ （2）如果小丽把12个金属球平均分成4份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ （3）如果小丽把12个金属球平均分成2份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ 24．采油机模型。 图1是在上海科技馆“地壳探秘”展区有一处石油抽油机模型，乐乐通过观看视频了解到采油机的工作原理是，图形A绕着点O转动后拉动图形B的上下运动，从地壳中采油。 （1）图形A的运动是属于（    ）现象，图形B的运动是属于（    ）现象。 （2）请在图2中画出图A绕点O逆时针旋转90°后的图形。 （3）开采出的石油主要用作燃料油和汽油，是世界上重要的一次性能源之一，石油也是许多化学工业产品的原料。其实几乎所有的塑料都是石油产品，比如：塑料盆、塑料笔杆等。现有11枚外表一模一样的塑料发夹，其中有一枚塑料发夹是次品（重一些）。如果用天平秤，至少称（    ）次，就能保证找出这个次品。 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 在小学生迈向中学的关键转折点上，小升初不仅是对六年学习成果的检验，更是对学生综合能力的一次重要评估。数学作为一门基础性与思维性并重的学科，在这一过程中尤为关键。《2025-2026学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为这一关键阶段量身打造的系统复习资料，旨在帮助学生夯实基础、拓展思维、提升能力，从容迎接升学挑战。 小升初数学考试不仅考查学生对基础知识的掌握程度，更注重他们在真实情境中分析问题、解决问题的能力。为此，本套资料以“讲—练—测”三位一体的设计理念，构建科学高效的复习路径： “讲”是知识的系统梳理与思维引导。我们以清晰易懂的语言，对数与代数、图形与几何、统计与概率等核心板块进行结构化讲解，注重知识之间的联系与迁移。通过典型例题的逐步解析，帮助学生理解解题思路，掌握方法本质，从而做到触类旁通。 “练”是能力的巩固与提升。我们依据小升初命题趋势，精心设计梯度合理、题型全面的练习题，涵盖基础巩固题、能力拓展题和综合应用题等多个层次。学生可在练习中强化记忆、熟练技巧，逐步建立解题信心。 “测”是效果的检验与反馈。每个复习阶段配有贴合真实考试要求的测评卷，帮助学生检测学习成效，发现薄弱环节。详尽的答案解析不仅指出错误原因，更提供思路指引，引导学生养成反思与总结的学习习惯。 我们相信，有效的复习不仅是知识的重复，更是方法的优化与思维的重建。愿这套融合讲解、练习与测评的复习资料，成为学生冲刺路上的得力助手，帮助他们在小升初的考场上沉着应对，稳健发挥，迈向更加广阔的学习天地。 2026年1月 （解决问题专项）专题18 找次品问题 一、解答题 1．一架天平只有5g和30g两个砝码，要把300g白砂糖平均分成3份，至少要称几次？请写出称量方案。 【答案】至少称3次；称量方案见详解 【分析】第一次：用5g砝码和30g砝码称35g糖；第二次：用30g砝码加35g糖称65g糖；第三次：用第一次和第二次的糖共（g）称100g糖，最后剩下的糖也是100g。 【详解】第一次：用砝码称35g糖； 第二次：（g），用30g砝码加35g糖称65g糖； 第三次：（g）第一次和第二次的糖共100g，即可再称出100g糖，最后剩下的糖也是100g。 答：至少要称3次。 【点睛】本题考查了找次品方法的灵活应用，天平的特点是只要平衡，两边一样重。 2．有6袋咖啡，编号是①~⑥，其中4袋一样重，是合格产品，另外2袋都比标准质量轻10g，是不合格产品。用天平称了三次，结果如下：①＋②比③＋④重，⑤＋⑥和③＋④一样重，⑤＋③比⑥＋④重。这两袋不合格的产品分别是几号？ 【答案】这两袋不合格的产品分别是④⑥。 【分析】因为不合格产品轻10克，已知①＋②比③＋④重，说明③和④中有不合格产品，⑤＋⑥与③＋④一样重，说明⑤和⑥中有不合格产品，又因为⑤＋③比⑥＋④重，所以④和⑥是不合格产品。 【详解】由分析可得： 这两袋不合格的产品分别是④号和⑥号。 3．外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 【答案】88克 【分析】由于天平右边的9对中，既有比左边轻的，也有比左边重的，还有与左边一样重的，说明左边的两个球一定不是2个5克，也不是2个4克，则一定是1个4克和1个5克，这样可推出右边较重的3对中都是5克的球，较轻的5对中都是4克的球，一样重的一对中有1个4克和1个5克，进而可求出这些球的总质量。 【详解】3×（5＋5）＋5×（4＋4）＋2×（4＋5） ＝3×10＋5×8＋2×9 ＝30＋40＋18 ＝88（克） 答：这20个球的总重量是88克。 4．有5个砝码，它们的质量分别为100克、101克、102克、104克、107克，但它们的外观完全相同，无法看出轻重。现有一台带指针的台秤，它可以称出300克以内的物体的质量，怎样称至少3次就可以保证找出质量为100克的砝码？请写出操作步骤。 【答案】见详解 【分析】先根据砝码的组合进行筛选，确定范围，再继续精确寻找。先写出第一次称2个砝码，质量有10种可能：201克、202克、204克、207克、203克、205克、208克、206克、209克、211克；如果是前4种，那么100克砝码就在这两个砝码中，再称一次就可以找出来；如果是后6种，那么100克砝码就在没有称的三个砝码中，需要进一步称。据此解答即可。 【详解】第一次称2个砝码，如果质量是201克、202克、204克、207克，那么100克砝码就在这两个砝码中，再称一次就可以找出来； 如果质量是203克、205克、208克、206克、209克、211克，那么100克砝码就在没有称的三个砝码中，再一个一个称两次，就可以找出100克的砝码。 5．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出称法。 【答案】3次；称法见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 因为这台与众不同的天平有三个托盘，因此按照找次品的最优策略，将待分物品分成4份即可。 【详解】将63个乒乓球分成（16、16、16、15），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（16、16、16），不平衡，次品在轻的16个中；将16个分成（4、4、4、4），称（4、4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4个；将4个分成（1、1、1、1），称（1、1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。 答：用该天平最少称3次就保证能找出这个乒乓球。 6．有9袋白糖，其中有8袋都是千克，另一袋也近似于千克，你能利用一架没有砝码的天平找出这袋白糖吗？能判断出它比千克多还是少吗？请说明你的办法。 【答案】能找出这袋白糖；能判断出它比千克多还是少 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】有9袋白糖，其中有一袋是次品，比其它略轻或略重。 第一次称重：先分成（3，3，3），天平两边各放3袋， 情况一：若天平平衡，则次品就在剩下的3袋中； 第二次称重：把3袋分成（1，1，1），天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就在这两袋中； 第三次称重：任意拿出这2袋中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋； 情况二：若天平不平衡，次品就在这6袋中，分别把重的3袋表示为A、B、C，轻的3袋表示为D、E、F； 第二次称重：把A、D、E放到天平一端，F和2袋不是次品的放到天平另一端；①若天平平衡，则次品在B、C中； 第三次称重：任意拿出B、C中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋； 第二次称重：把A、D、E放到天平一端，F和2袋不是次品的放到天平另一端；②若天平不平衡，分为两种情况：（1）放A的那端重；（2）放F的那端重； （1）放A的那端重，则次品在A和F之间； 第三次称重：任意拿出A、F中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋； （2）放F的那端重，则次品在D和E之间； 第三次称重：任意拿出D、E中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋。 最后把找出的次品和1袋标准的白糖放在天平两端，即可确定次品比标准轻还是重。 答：有9袋白糖，其中有8袋都是千克，另一袋也近似于千克，能利用一架没有砝码的天平找出这袋白糖，至少需要称3次，能判断出它比千克多还是少。 7．有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 【答案】3次 【分析】本题考查了利用天平判断物体质量的技能，解决这类问题的关键是每次称重后都要有效地缩小搜索范围。在首次称重时，尽量将物体分为数量相近的三组，这样可以最大化每次称重的信息量。每次称重后，根据结果排除一部分正常或不可能的选项，缩小搜索范围。最终找到质量不同的那一盒。 【详解】一、首次称重： 将16盒糖果分为三组，分别为5盒、5盒和6盒。选择两组各5盒的糖果进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这10盒糖果都是正常的，少一块的糖果一定在未被称重的那组6盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少一块的糖果一定在较轻的那组5盒里。 二、对于情况A的后续称重： 第二次称重：将这6盒糖果分为三组，每组2盒，任选两组进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果在未被称重的2盒中。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 第三次称重：从疑似的2盒糖果中任选一盒与正常的一盒糖果进行称重。 如果平衡，则未称重的那盒是少一块的。 如果不平衡，则较轻的那盒是少一块的。 三、对于情况B的后续称重： 第二次称重：将这5盒糖果分为三组，分别为2盒、2盒和1盒。选择两组各2盒的进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果是单独的那1盒。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 如果在第二次称重后确定少一块的糖果在2盒中，则第三次称重与情况A中的第三次称重相同，即任选一盒与正常的一盒糖果进行称重，以确定哪一盒是少一块的。 综上所述，至少需要三次才能找出来。 答：至少称3次就能够保证找出这盒糖果。 【点睛】对于这类题，一定要用好“分组策略”和“排除法”。 通过合理的分组和称重策略，去排除一部分正常或不可能的情况，缩小搜索范围。一般采用“三分法”，即首次称重时把物体分成尽可能相等的三份。对于未确定的部分，要继续采用类似的分组和称重策略，直到找到异常物体。 8．六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 【答案】 4次，见详解 【分析】根据找次品的办法，一般把饼干平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。 【详解】称第一次：把28盒分成两组，每组14盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组14盒分成两组，分别是7盒，7盒，少几块的盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的那组7盒分成三组，分别是2盒，2盒，3盒，天平每边放2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边； 称第四次：若少几块的那一盒在2盒中，把这2盒分成两组，天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边；若少几块的那一盒在3盒中，把这3盒平均分成3组，先称2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边。 答：至少称4次可以保证找出这盒饼干。 【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法。 9．平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。 【答案】两次 【分析】第一次：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），天平两端各放3份，如果平衡，次品就在剩下的2袋中，再把剩下的2袋放在天平上，一边1袋，如果不平衡，则再轻的一边，把轻的一边的3份再平均分成3份（1，1，1），天平两边各放1份，如果平衡，次品在比较轻的一端，如果不平衡，剩下的1个是次品，所以至少秤2次能保证找出次品。 【详解】结合分析可知：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），称一次，无论次品是在3袋中还是在2袋中，只要再称一次即可找到次品。 答：至少称两次能找出次品。 10．近年来我国新能源汽车制造业发展迅速，截止到2022年我国新能源汽车产销连续8年全球第一，这归功于新能源汽车制造企业的科技研发和精益求精。质检员王师傅发现19个零件中有一个不合格的零件，比其他零件轻一些，他用天平至少称几次能保证找到这个不合格的零件？ 【答案】3次 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将19个零件分成（6、6、7），先称（6、6），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，即次品在7个中；将7个分成（2、2、3），先称（2、2），考虑最不利的情况，即次品在3个中；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡都可确定次品，共3次。 答：他用天平至少称3次能保证找到这个不合格的零件。 11．有10箱小球，每箱100个。根据标准，每个小球的质量应该为10克，但这10箱中，混进了一箱次品，次品的外观与正品没有区别，只是每个小球的质量比正品少1克。怎样只称一次就将这箱次品小球找出来？ 【答案】见详解 【分析】把箱子按1~10的顺序编上号码，1号箱取1个小球，2号箱取2个小球，3号箱取3个小球，⋯⋯，10号箱取10个小球。1＋2＋3＋⋯＋10＝55个，55×10＝550（克），称出的质量比550克少几克，次品就是几号箱，据此解答。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6） ＝11＋11＋11＋11＋11 ＝11×5 ＝55（个） 55×10＝550（克） 答：称出的质量比550克少几克，次品就是几号箱，这样只称一次就可以将这箱次品小球找出来。 【点睛】本题考查找次品问题，明确每个小球的质量比正品少1克是解题的关键。 12．中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果能用天平称，至少称几次能保证找出这副不足200克的中药？ 【答案】2次 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】可以把9副中药平均分成3份，每份（3，3，3），任取2份，分别放在天平两端； （1）若天平平衡，则质量较轻的在未取的3副中，再按照下面天平不平衡的方法操作； （2）若天平不平衡，把天平较高端的3副中，平均分为（1，1，1），任取2副分别放在天平两端； 若天平平衡，则质量较轻的是未取的那副； 若天平不平衡，天平较高端的那副即为质量较轻的那副。 答：如果能用天平称，至少称2次能保证找出这副不足200克的中药。 【点睛】本题主要考查找次品，关键注意每次取中药的数量。 13．为了加强体育训练，五（1）班新购进了11个沙包，其中有一个沙包略轻。用天平至少称几次才能保证找出这个质量较轻的沙包？请你用合适的方法描述出过程。 【答案】3次，过程见详解 【分析】找次品中，可将11个沙包分为4、4、3共3份，在天平上称相同数量的，如果平衡则在3个沙包一份，再重复上述操作直到天平不平衡时，向上的一端的沙包是轻的。如果第一次称天平不平衡，则较轻的沙包在向上的一端的四个沙包中；再将它分成2、2共两份，再进行上述操作，要进行三次称量得出。 【详解】至少需要称量3次； 过程：将11个分成3份：4，4，3；第一次称重，在天平两边各放4个，手里留3个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的3个分为1，1，1，在天平两边各放1个，手里留1个， a.如果天平平衡，则次品在手里； b.如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘中； （2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的4个中，将这4个中的2个在天平两边各放1个，手里留2个， a.如果天平不平衡，则找到次品在上升的天平托盘中； b.如果天平平衡，则次品在手中的2个中，接下来，将这2个分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 故至少称3次能保证找出次品。 【点睛】本题主要考查的是找次品的方法，解题的关键是熟练掌握找次品的方法，进而得出答案。 14．福建物产丰富，有很多地方盛产水果，才溪脐橙产自著名革命老区上杭县才溪镇，被评为“福建省名牌农产品”。王伯伯准备了12箱脐橙寄往外地，其中11箱质量相同，另外有1箱质量稍轻一些，至少称几次能保证找出这箱轻一些的脐橙？（请你试着用图表示称的过程） 【答案】3次 【分析】分成每6箱一组，用天平称，因有一箱质量不足，所以找出轻的一组，再把轻的一组任意3箱分成一组用天平称，再找出轻的一组，再任取2箱用天平称，若天平平衡，则没称的1箱是次品，若不平衡测轻的是次品，据此解答。 【详解】把12箱分成两组：6箱为1组，进行第一次称量，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中； 由此再把较轻的一端的6箱分成2组：3箱为1组，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中； 由此再把较轻的一端的3箱分成3组：1箱为1组，取两箱称量，如果左右相等，那么说明剩下的1箱就是次品。如果左右不相等，那么次品就是较轻的那一箱； 答：至少称3次就能能保证找出这箱轻一些的脐橙，称量过程如下图所示： 【点睛】根据天平的平衡性进行称量，找到质量较轻的物品，合理分组是解题的关键。 15．我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？ 【答案】3次 【分析】要尽快找到这盒次品，可把15盒茶叶分成5、5、5三组，通过将等量的茶叶盒放到天平两端逐次称重，期间根据天平的平衡情况，随时调整下一次的称量对象，直至找到次品为止，据此解答。 【详解】第一次：每边放5盒，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较高端的5盒中； 第二次：将天平较高的那端5盒茶叶分成2、2、1三组，先把数量是2盒的两份放入天平两端，若天平平衡，则次品是未拿的1盒，若天平不平衡，次品在天平较高端的2盒中； 第三次：将含有次品的2盒茶叶，分成2份，放入天平两端，天平较高端的茶叶是次品； 因此，至少称3次可以保证找出次品。 【点睛】依据天平平衡原理解决问题是解答本题的关键，分组时要尽量平均分，不能平均分的最多和最少只能相差1。 16．爸爸买来13本信笺，这13本信笺的质量相同，淘气的小强从一本信笺中撕了几页，你能用天平把这本被撕过的信笺找出来吗？至少需要几次？ 【答案】能；3次 【分析】根据题意可知，一本被撕了几页的信笺质量就比原来信笺的质量轻，由于信笺数大于3本，考虑将其分为三组（6，6，1），接下来将前两组称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将信笺平均分成两组进行称重，即可解答。 【详解】将这13本信笺分成3组（6，6，1）； 第一次称量：在天平两边各放6本，可能出现两种情况：（把少的那本看做被撕过的） ①如果天平平衡，则次品是剩余的那本； ②如果天平不平衡，则次品在托盘上升那边6本里； 第二次称量：取托盘上升的6本，在左、有盘中分别放3本，上升部分有次品； 第三次称量：取托盘上升的3本中的2本，分别放在天平的左、右盘中，如果天平平衡，说明剩下的一个是次品，如果不平衡，则上升是次品。 答：能用天平把这本被斯过的信笺找出来，至少需要3次。 【点睛】本题属于找次品问题，需要明确：质量轻的一本是被撕过的信笺。 17．一个古玩商店的经理不小心将1枚假铜币混入了7枚真铜币当中，原来的7枚真铜币外观、颜色、形状完全相同，假铜币与真铜币外观一样，只是质量不一样，假铜币质量轻一些。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从8枚铜币中找出假铜币？你能用画图和文字写出你的想法吗？ 【答案】2次 【分析】把8枚铜币分成3份，即（3，3，2），第一次称，天平两端各放3枚，如果天平不平衡，次品就在较轻的3枚中；如果天平平衡，次品在剩下的2枚中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3枚铜币分成（1，1，1），第二次称，天平两端各放1枚，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一枚；如果天平平衡，次品是剩下的那1枚。至少称2次，就能保证帮助经理从8枚铜币中找出假铜币。 【详解】如图： 答：至少称2次，就能保证帮助经理从8枚铜币中找出假铜币。 【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 18．有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 【答案】4次 【分析】将61盒分成20盒、20盒、21盒，称量同是20盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。若轻的一盒在20盒这份，将20盒分成7盒、7盒、6盒，称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面；同理若轻的一盒在21盒这份，将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。以此类推直到找出次品为止，就能知道至少称量几次能找出轻的一盒。 【详解】第一次称量：将61盒分成20盒、20盒、21盒，找到轻的一盒在哪份里面； 第二次称量：将20盒分成7盒、7盒、6盒，找到轻的一盒在哪份里面；或者将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面； 第三次称量：找到6盒或者7盒里轻的一盒； 第四次称量：找到2盒或者3盒里轻的一盒。 答：至少称量4次能找出轻的一盒。 【点睛】本题考查运用优化策略找次品问题，找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证所称量的次数最少。 19．仓库里有16箱同一规格的零件。李师傅只记得从其中某一箱中用去3个，但现在无法凭眼睛看出哪一箱是用过的，若要数，由于零件较小，很难数清。李师傅只好找来一架无砝码的天平称，最少要称几次？ 【答案】3次 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将16箱分成（5、5、6），先称（5、5），只考虑最不利的情况，平衡，次品在6箱中；再将6箱分成（2、2、2），称（2、2），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中2箱；再称1次即可确定次品，共3次。 答：最少要称3次。 【点睛】关键是掌握找次品的最优策略。 20．一个商人有10袋金子，每袋里有10锭金子，有9个袋子里的金子每锭是10两，只有一个袋子里的金子每锭只有9两，你能只用天平称一次，就能称出哪袋装的是每锭9两的金子吗？ 【答案】能 【分析】将每袋金子标号，1、2、3…，1号取1锭金子，2号取2锭金子，……，将取出的金子一起称，少了几两就是第几号袋子。 【详解】由分析可得：将每袋金子标号，1、2、3…，1号取1锭金子，2号取2锭金子，……，将取出的金子一起称，少了几两就是第几号袋子。 答：能一次称出哪袋装的是每锭9两的金子。 21．有101枚硬币，其中100枚质量相同，另一枚是假币。利用天平，至少称（    ）次就可判断假币比真币轻还是重。完成示意图。 【答案】图见详解；2 【分析】把101枚硬币，尽可能三等分，根据找次品的常用方法解答即可。 【详解】 有101枚硬币，其中100枚质量相同，另一枚是假币。利用天平，至少称2次就可判断假币比真币轻还是重。 【点睛】本题主要考查根据天平平衡的原理解决问题的能力。 22．有81枚外形完全相同的铜扣，其中有一枚比其他80枚都要轻一些，是次品。 （1）用天平，至少称几次就可以保证找出这枚轻一些的铜扣？请你用图示的方法表示出来。 （2）如果天平两边各放40枚铜扣，称一次有可能找出次品吗？ 【答案】见详解 【分析】（1）把81枚铜扣平均分成3份，每份27枚，第一次两端各放27枚，称第一次找出次品所在的27枚；把27平均分成3份，每份9枚；第二次称找出次品所在的9枚；把9平均分成3份，每份3枚，第三次称找出次品所在的3枚；把3枚平均分成3份，第四次称找出次品。 （2）把天平两端各放40枚，称一次有可能找出次品。 【详解】（1）4次 （2）如果天平两边各放40枚铜扣，如果天平平衡，那么剩下的1枚就是次品，称一次有可能找出次品。 【点睛】当物品的数量在28～81个时，即33＜物品的数量≤34，至少称4次能保证找出次品。 23．桌面上有一架天平和12个大小相同的金属球，其中有11个是铁球，1个是铅球，铅球比铁球重一些。 （1）如果小丽把12个金属球平均分成3份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ （2）如果小丽把12个金属球平均分成4份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ （3）如果小丽把12个金属球平均分成2份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ 【答案】（1）3次 （2）3次 （3）3次 【分析】（1）先把12个球平均分成3份，每份是4个，任取两份进行称量，可以确定铅球在较重的那一份中；再把重的这份分成（2，2）进行称量，此时可以确定铅球在哪一份中；最后把重的那2个球分成（1，1），进行称量，最终找出铅球； （2）先把12个球平均分成4份，每份是3个，任取两份进行称量，要称两次，从而确定铅球在哪一份（3个）中；再把这份的3个球分成（1，1，1）进行称量，称量一次，最终找出铅球； （3）先把12个球平均分成2份，称量一次，找出铅球在哪一份；再把这6个球平均分成（3，3），称量一次，找出铅球在哪一份；最后把3个球分成（1，1，1），称量一次，最终找出铅球，据此解答。 【详解】（1）如果小丽把12个金属球平均分成3份，先取两份放在天平两边称，若平衡，则将另外一份平分成2份放在天平两边称，称出较重的一份，再将其分成两份，放在天平两边称，重的就是铅球；若不平衡，则将较重的一份平均分成2份放在天平两边，称出较重的一份，再将其分成两份，放在天平两边称，重的就是铅球，故至少称3次。 （2）如果小丽把12个金属球平均分成4份，先在天平两边各放一份，看天平是否平衡，再把另两份放在天平两边，看天平是否平衡，则较重的一份含有铅球，此时取两个金属球放在天平两端，如果平衡，则剩余的一个是铅球，如果不平衡，较重的一个是铅球，故至少称3次。 （3）如果小丽把12个金属球平均分成2份，先在天平两边各放一份，称出较重的一份，将较重的一份分成两份放在天平两边，再称出较重的一份，此时取两个金属球放在天平两端，如果平衡，则剩余的一个是铅球，如果不平衡，较重的一个是铅球，故至少称3次。 24．采油机模型。 图1是在上海科技馆“地壳探秘”展区有一处石油抽油机模型，乐乐通过观看视频了解到采油机的工作原理是，图形A绕着点O转动后拉动图形B的上下运动，从地壳中采油。 （1）图形A的运动是属于（    ）现象，图形B的运动是属于（    ）现象。 （2）请在图2中画出图A绕点O逆时针旋转90°后的图形。 （3）开采出的石油主要用作燃料油和汽油，是世界上重要的一次性能源之一，石油也是许多化学工业产品的原料。其实几乎所有的塑料都是石油产品，比如：塑料盆、塑料笔杆等。现有11枚外表一模一样的塑料发夹，其中有一枚塑料发夹是次品（重一些）。如果用天平秤，至少称（    ）次，就能保证找出这个次品。 【答案】（1）旋转；平移 （2）见详解 （3）3 【分析】（1）旋转的意义：在平面内，把一个图形围绕某一固定点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度的过程，称为旋转。这个点为旋转中心，旋转的角度叫旋转角。 平移的意义：在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定距离的过程，称为平移。据此解答； （2）根据旋转的特征，图形2绕点O逆时针旋转90°后，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，得到旋转后的图像， （3）把11枚塑料发夹分成3份，其中两份是5枚，一份是1枚，把两份5枚的塑料发夹放在天平上称，如果天平平衡，那么剩下的一份1枚的塑料发夹就是次品；如果天平不平衡，次品在重的那份里，再把重的那份分成3份，两份是2枚，一份是1枚；再把两份2枚的放在天平上称，如果平横，那么剩下的一份的就是次品；如果天平不平衡，次品在重的那份里，再把重的那份分成2份，一份1枚，放在天平上称，重的就是次品，因此至少称3次，就能保证找出这个次品，据此解答。 【详解】（1）图形A的运动是属于旋转运动，图形B的运动是属于平移运动。 （2）如下图： （3）根据分析可知，开采出的石油主要用作燃料油和汽油，是世界上重要的一次性能源之一，石油也是许多化学工业产品的原料。其实几乎所有的塑料都是石油产品，比如：塑料盆、塑料笔杆等。现有11枚外表一模一样的塑料发夹，其中有一枚塑料发夹是次品（重一些）。如果用天平秤，至少称3次，就能保证找出这个次品。 学科网（北京）股份有限公司 $