专题 20.9 勾股定理与折叠问题（知识梳理 + 题型精析 +模拟真题）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 20.9 勾股定理与折叠问题（知识梳理+题型精析+模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识要点】 1 【考点一】矩形折叠 2 【题型 1】勾股定理与矩形折叠问题 2 【考点二】直角三角形折叠 7 【题型 2】勾股定理与直角三角形折叠问题 7 【考点三】等腰三角形折叠 12 【题型 3】勾股定理与等腰三角形折叠问题 12 【考点四】正方形折叠 15 【题型 4】勾股定理与正方形折叠问题 16 二. 模拟真题 21 （一）单选题（6题） 21 （二）填空题（6题） 27 （三）解答题（2题） 32 一.知识梳理与题型精析 【知识要点】 1、折叠问题的核心知识：折叠前后，对应边相等、对应角相等，折叠线为对应点的垂直平分线；勾股定理的应用关键：在折叠后形成的直角三角形中，设未知数、表示边长，利用勾股定理列方程求解。 2、通用解题步骤： （1）标已知：在图形上标注出折叠前后相等的边、相等的角； （2）找直角：确定折叠后形成的直角三角形； （3）设未知数：设所求线段或关键线段为，用含的式子表示出直角三角形的另外两边； （4）列方程：根据勾股定理，列出关于的一元一次方程； （5）验答案：求解后，验证答案是否符合图形实际。 【考点一】矩形折叠 核心考点：①沿对角线折叠（最基础，考频最高）；② 沿一边中点或任意点折叠，使一个顶点落在另一条边上；③ 折叠后形成等腰三角形，利用勾股定理求边长、折痕长度。 易错点：忽略折叠后“对应边相等”，无法用未知数表示出直角三角形的三边；混淆折叠后重叠部分的边长关系。 【题型 1】勾股定理与矩形折叠问题 【例题1】（25-26七年级上·全国·期末）如图将长方形纸片 折叠，使得点 D 落在 边上的点M 处，折痕经过点 C，与边 交于点 N． (1)尺规作图：求作点 N，M；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求 的长． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【考点二】直角三角形折叠 核心考点：①沿直角边上的高折叠，使直角顶点落在斜边上；② 沿角平分线折叠，使一个锐角顶点落在另一条边上；③ 折叠后形成两个全等直角三角形，求折痕长度、剩余线段长度。 易错点：折叠后直角三角形的直角顶点位置判断错误；无法结合面积法辅助求解折痕长度。 【题型 2】勾股定理与直角三角形折叠问题 【例题2】（25-26八年级上·江西吉安·月考）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，，，． (1)求折痕的长； (2)求四边形的面积． 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，是的角平分线，，，若，则的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·月考）如图，是一张纸片，，，，先将其折叠，使点与点重合，折痕是， (1)求的长； (2)求重叠部分的面积． 【考点三】等腰三角形折叠 核心考点：① 沿底边上的中线、高、顶角平分线折叠，使两腰重合；② 折叠等腰三角形的一个底角，使顶点落在底边上；③ 折叠后形成直角三角形，利用勾股定理求腰长、底边长。 易错点：等腰三角形折叠后，顶角、底角的角度关系混淆；忽略“三线合一”与折叠的结合应用。 【题型 3】勾股定理与等腰三角形折叠问题 【例题3】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，是一张等腰三角形纸片，，折叠等腰三角形，使点B与边上的M点重合，折痕为，且． (1)若，求的度数； (2)证明为等腰三角形； (3)若，求的长． 【变式1】将一个斜边长为的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠次后得到另一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到又一个等腰直角三角形（如图3），若连续将图的等腰直角三角形折叠次后所得到的等腰直角三角形的斜边长为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为． (1)已知，则 度； (2)在（1）的条件下，如果，则 ． 【考点四】正方形折叠 核心考向：① 沿对角线折叠，使两个顶点重合；② 沿边的中点折叠，使一个顶点落在对角线上；③ 折叠后形成等腰直角三角形，求折痕长度、重叠部分面积。 易错点：正方形边长相等的性质与折叠结合不熟练；无法快速找到折叠后形成的直角三角形。 【题型 4】勾股定理与正方形折叠问题 【例题4】（25-26八年级上·四川成都·期中）在综合与实践课上，蓉宝同学将正方形纸片沿过点A的直线折叠，如图1，使点B落在正方形内部的点G处，折痕为，延长交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求正方形的边长； (3)如图2，过点F作于点M，连接，求的度数． 【变式1】（2023·陕西西安·一模）如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接．若，则的长度为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为 ． 【变式3】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，点E是正方形边上的一点，将沿折叠，得到，延长交于点G． (1)连接，证明：； (2)若，，求的长度． 2. 模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（2025·福建南平·二模）如图，在中，，点D为边上一点，且，点E在边上（点E不与点B、C重合），将沿折叠，使得点B的对应点落在边上，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨）如图，长方形中，，，M、N分别是、边上的点，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川广安·二模）如图，有一张长方形片，，．点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．6 5．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 8．（17-18八年级下·山东德州·月考）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为 ． 9．如图，将一个边长为4的等边△ABC纸片折叠，使点A落在边BC上，折痕分别交边AB，AC于点D，E，则折叠过程中AD的最小值为 ． 10．（2024·新疆·二模）如图，在中，，，P、Q是边上两点，将沿直线折叠，沿直线折叠，使得B、C的对应点重合于点R．当为直角三角形时，线段的长为 ． 11．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    12．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． （三）解答题（2题） 13．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，， (1)试判断折叠后重叠部分的形状，并说明理由． (2)求重叠部分的面积． 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 20.9 勾股定理与折叠问题（知识梳理+题型精析+模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识要点】 1 【考点一】矩形折叠 2 【题型 1】勾股定理与矩形折叠问题 2 【考点二】直角三角形折叠 7 【题型 2】勾股定理与直角三角形折叠问题 7 【考点三】等腰三角形折叠 12 【题型 3】勾股定理与等腰三角形折叠问题 12 【考点四】正方形折叠 15 【题型 4】勾股定理与正方形折叠问题 16 二. 模拟真题 21 （一）单选题（6题） 21 （二）填空题（6题） 27 （三）解答题（2题） 32 一.知识梳理与题型精析 【知识要点】 1、折叠问题的核心知识：折叠前后，对应边相等、对应角相等，折叠线为对应点的垂直平分线；勾股定理的应用关键：在折叠后形成的直角三角形中，设未知数、表示边长，利用勾股定理列方程求解。 2、通用解题步骤： （1）标已知：在图形上标注出折叠前后相等的边、相等的角； （2）找直角：确定折叠后形成的直角三角形； （3）设未知数：设所求线段或关键线段为，用含的式子表示出直角三角形的另外两边； （4）列方程：根据勾股定理，列出关于的一元一次方程； （5）验答案：求解后，验证答案是否符合图形实际。 【考点一】矩形折叠 核心考点：①沿对角线折叠（最基础，考频最高）；② 沿一边中点或任意点折叠，使一个顶点落在另一条边上；③ 折叠后形成等腰三角形，利用勾股定理求边长、折痕长度。 易错点：忽略折叠后“对应边相等”，无法用未知数表示出直角三角形的三边；混淆折叠后重叠部分的边长关系。 【题型 1】勾股定理与矩形折叠问题 【例题1】（25-26七年级上·全国·期末）如图将长方形纸片 折叠，使得点 D 落在 边上的点M 处，折痕经过点 C，与边 交于点 N． (1)尺规作图：求作点 N，M；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了尺规作图-作角平分线、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）以点为圆心作交 于点M ，连接，再根据角平分线的作法作的角平分线即可； （2）连接，由折叠可得，，在 中根据勾股定理求出，设，在 中再结合勾股定理解题即可． （1）解：如图： 作图步骤： ①以点为圆心，为半径画弧交于点； ②以点为圆心，小于的长为半径画弧交于点，交于点； ③分别以点、为圆心，大于长为半径画弧交于点； ④连接并延长交于点； （2）解：连接，由折叠可得，， 在 中，， ∴， 设，则， 在 中，， 即 ， 解得， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，利用勾股定理可以求出，根据折叠的性质可知，设，利用勾股定理可得方程，解方程求出的值，即为的长度，根据线段之间的关系即可求出的长度． 解：四边形为长方形， ，， ∴， 由折叠可知，，，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； （1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 【考点二】直角三角形折叠 核心考点：①沿直角边上的高折叠，使直角顶点落在斜边上；② 沿角平分线折叠，使一个锐角顶点落在另一条边上；③ 折叠后形成两个全等直角三角形，求折痕长度、剩余线段长度。 易错点：折叠后直角三角形的直角顶点位置判断错误；无法结合面积法辅助求解折痕长度。 【题型 2】勾股定理与直角三角形折叠问题 【例题2】（25-26八年级上·江西吉安·月考）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，，，． (1)求折痕的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出，由折叠可知，，．设，则．根据勾股定理可列方程，即可求得，再根据勾股定理即可得解． （2）根据求解即可． （1）解：连接， 在中，，，， ． 由折叠可知， ，，． 设，则． 在中，由勾股定理得：， ， 解得，即． 在中，，， 由勾股定理得：． （2）解：，． ． 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，一元一次方程，掌握相关知识点是解题的关键． 设的长度为x，根据折叠和，可证为直角三角形，用含有x的式子将表示出来，用勾股定理列方程，即可求解． 解：设的长度为x， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，可得， 即，解得， 的长度为． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，是的角平分线，，，若，则的长为 ． 【答案】44 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，二次根式的混合运算等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，利用翻折变换求解． 将沿着翻折，则落在上，点的对应点记为点，连接，记交点为点，则，，，，，导角证明，设，则，在和中，由勾股定理得，求出，再由求解即可． 解：∵是的角平分线 ∴， 将沿着翻折，则落在上，点的对应点记为点，连接，记交点为点， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在和中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·月考）如图，是一张纸片，，，，先将其折叠，使点与点重合，折痕是， (1)求的长； (2)求重叠部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形面积的求解，熟练掌握解决翻折图形的方法为解题关键． （1）先根据勾股定理求出的长，再有折叠性质得到：，设，再由勾股定理求出x的值，进而求出最后结果； （2）由勾股定理求出的长，再由三角形面积公式求出结果． （1）解：，，， ， 根据翻折可得：， 设，根据图形翻折可得：， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 解得：， ； （2）解：在中，， ． 【考点三】等腰三角形折叠 核心考点：① 沿底边上的中线、高、顶角平分线折叠，使两腰重合；② 折叠等腰三角形的一个底角，使顶点落在底边上；③ 折叠后形成直角三角形，利用勾股定理求腰长、底边长。 易错点：等腰三角形折叠后，顶角、底角的角度关系混淆；忽略“三线合一”与折叠的结合应用。 【题型 3】勾股定理与等腰三角形折叠问题 【例题3】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，是一张等腰三角形纸片，，折叠等腰三角形，使点B与边上的M点重合，折痕为，且． (1)若，求的度数； (2)证明为等腰三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据等边对等角以及三角形内角和定理进行求解即可； （2）根据翻折的性质得出相等的角和直角，证明，得出内错角和同位角相等，证明，即可得出结论； （3）假设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． （1）解：∵， ∴， ∴的度数为； （2）证明：如图所示，与交于点， 根据翻折的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3）解：假设，则， 根据勾股定理得， 即 解得， ∴的长为． 【变式1】将一个斜边长为的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠次后得到另一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到又一个等腰直角三角形（如图3），若连续将图的等腰直角三角形折叠次后所得到的等腰直角三角形的斜边长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分别计算折叠两次后的等腰三角形的腰长，归纳总结得到折叠次的等腰三角形的腰长等于的次方，然后根据等腰直角三角形的斜边为腰长的倍，即可表示出图1的等腰直角三角形折叠次后所得到的等腰直角三角形的斜边长． 解：根据题意得出： 第一次折叠后，如图2，腰长为， 第二次折叠后，如图3，腰长为， ， 依此类推，将图1的等腰直角三角形折叠次后新等腰三角形的腰长为， 则将图1的等腰直角三角形折叠次后所得到的等腰直角三角形的斜边长为． 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形折叠问题，图形探究，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的运用，解题的关键是利用勾股定理分别计算出折叠两次后的等腰三角形的腰长，从中发现规律，此类题目难度较大，属于难题． 【变式2】（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为． (1)已知，则 度； (2)在（1）的条件下，如果，则 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题． （1）由，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，可得，即得，而，故； （2）根据，得，设，则，在中，可列方程，即可解得． （1）解：∵， ∴， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 设，则， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， 在中，由勾股定理得， 解得， 故答案为：． 【考点四】正方形折叠 核心考向：① 沿对角线折叠，使两个顶点重合；② 沿边的中点折叠，使一个顶点落在对角线上；③ 折叠后形成等腰直角三角形，求折痕长度、重叠部分面积。 易错点：正方形边长相等的性质与折叠结合不熟练；无法快速找到折叠后形成的直角三角形。 【题型 4】勾股定理与正方形折叠问题 【例题4】（25-26八年级上·四川成都·期中）在综合与实践课上，蓉宝同学将正方形纸片沿过点A的直线折叠，如图1，使点B落在正方形内部的点G处，折痕为，延长交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求正方形的边长； (3)如图2，过点F作于点M，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键： （1）根据证明，即可得证； （2）设正方形的边长为，分别表示出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可； （3）过点作，交于点，交于点，易得，根据折叠的性质，全等三角形的性质，推出为等腰直角三角形，得到，证明，得到，进而得到，等边对等角，求出的度数即可． （1）证明:∵四边形是正方形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵折叠， ∴， 设正方形的边长为，则：， 由（1）知：， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴正方形的边长为6； （3）解：过点作，交于点，交于点，则：， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【变式1】（2023·陕西西安·一模）如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接．若，则的长度为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形可得，再由折叠可得，，，，利用勾股定理可求的长，进而得到，在中，利用勾股定理构造方程，即可求得的长． 解：∵四边形是正方形 ∴ 由折叠可得，，， 故选：A． 【点睛】本题只要考查折叠问题中勾股定理的运用，在这类问题中利用勾股定理构造方程是常用的方法． 【变式2】（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为 ． 【答案】或（或） 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 【变式3】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，点E是正方形边上的一点，将沿折叠，得到，延长交于点G． (1)连接，证明：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，直角三角形全等的判定和性质，勾股定理，折叠的性质； （1）连接，由折叠性质得，根据直角三角形全等的判定条件即可解答； （2）设 ，由折叠性质得，，由三角形全等的性质得，根据勾股定理列方程求解即可解答． （1）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴由折叠性质可得， 是公共边，且， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由折叠性质得，． 设， 由（1）得， 则． 在中：，． ，即， 化简得 ， 解得， ∴ ． 2. 模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠、勾股定理、含的直角三角形的性质，找准相等关系是解题的关键． 根据折叠得到，，再结合含的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 解：由折叠的性质可知：，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得：． ∴． 故选：A ． 2．（2025·福建南平·二模）如图，在中，，点D为边上一点，且，点E在边上（点E不与点B、C重合），将沿折叠，使得点B的对应点落在边上，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握翻折的性质及勾股定理． 根据等腰直角三角形的性质得出，根据翻折的性质和线段的和差得出，最后利用勾股定理即可求解． 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ， 由翻折的性质可得， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 故选：D． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，长方形中，，，M、N分别是、边上的点，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 设，则，进而得出，根据题意和勾股定理得出方程即可得解． 解：设，则， 四边形为长方形， 由折叠性质可得， ， ， ， ， 在中， ， 又在中， ， ， 即， 解得，， 即． 故选：C． 4．（2024·四川广安·二模）如图，有一张长方形片，，．点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．根据折叠的性质得到线段和角相等，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长． 解：∵四边形是长方形， ∴，，． 根据折叠的性质，得 ，， ，． 在中，由勾股定理，得． ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴． 解得． 故选B． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质．由勾股定理得，由折叠得，，则，由，建立方程，解方程，即可求解． 解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：D． 6．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与折叠，直角三角形的性质，由折叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． （二）填空题（6题） 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 分两种情形，当或时，分别画出图形来解答． 解：当时， ∵将沿折叠到， ， ， ∴点三点共线， ， 由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 当时， ， ， ； 不可能为， 综上，或． 故答案为：或． 8．（17-18八年级下·山东德州·月考）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再由三角形面积公式求解． 解：由折叠的性质可得 设，， ∵长方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．如图，将一个边长为4的等边△ABC纸片折叠，使点A落在边BC上，折痕分别交边AB，AC于点D，E，则折叠过程中AD的最小值为 ． 【答案】812 【分析】如图，当DA′⊥BC时，A′D最小，即AD最小，设AD=DA′=x，则BD=4-x，由等边三角形性质可得∠B=60°，得出∠BDA′=30°，BA′=（4-x），运用勾股定理可得：DA′=（4-x），建立方程求解即可． 解：如图，∵△ABC纸片折叠，使点A落在边BC上A′处， ∴AD=A′D， 当DA′⊥BC时，A′D最小，即AD最小， 设AD=DA′=x，则BD=4-x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵∠BA′D=90°， ∴∠BDA′=30°， ∴BA′=BD=（4-x）， ∴DA′=（4-x）， ∴（4-x）=x， 解得：x=8-12， 故答案为：8-12． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，翻折变换的性质等，熟练掌握相关的性质定理是解题关键． 10．（2024·新疆·二模）如图，在中，，，P、Q是边上两点，将沿直线折叠，沿直线折叠，使得B、C的对应点重合于点R．当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】作于F，求出，，勾股定理求出，得到，然后分两种情况讨论，分别求解即可． 解：作于F， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，当时， 由折叠可知，，，，即， 则， ∴，， ∴， ∴，， ∴；        如图所示，当时， 同理可求，，， 则， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠性质、等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，解题关键是作出底边上的高以及分类讨论思想的运用． 11．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 解：∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 12．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，根据勾股定理求解即可． 解：由折叠的性质，得， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 解得. 故答案为：3． （三）解答题（2题） 13．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，， (1)试判断折叠后重叠部分的形状，并说明理由． (2)求重叠部分的面积． 【答案】(1)是等腰三角形．理由见解析 (2)重叠部分的面积为10． 【分析】此题考查了图形的折叠变换，等腰三角形的判定和勾股定理． （1）先根据平行线的性质得到，再由图形折叠的性质可得到，继而可得出，这即可判断出后重叠部分三角形的形状； （2）设长为x，则，在直角三角形中，利用勾股定理可求出x，继而利用三角形面积公式进行计算求解． （1）解：是等腰三角形．理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由图形折叠的性质可知：， ∴． ∴是等腰三角形； （2）解：设，则， 在中， ， 解得：， ∴， ∴． 故重叠部分的面积为10． 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 【答案】(1；(2；(3)的长为或10 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $