专题 20.8 勾股定理与方程思想（知识梳理 + 题型精析 +真题专练）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理勾股定理与方程思想的知识体系，以“几何问题代数化”为核心，将勾股定理基本原理与方程模型（如折叠问题、动点问题等）按“知识要点-常见模型-题型应用”递进组织，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，既有三角形折叠、矩形折叠等高频基础题型，又有动点问题、最值问题等培优拓展题，如“矩形折叠中利用对应边相等列方程求边长”，培养学生数学思维与模型意识。真题专练覆盖中考常见题型，基础学生掌握方程建模方法，优秀学生提升综合应用能力，助力教师实施分层教学与精准复习。

专题 20.8 勾股定理与方程思想（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识要点】勾股定理 1 【题型 1】已知直角三角形两边关系，求边长 2 【题型 2】勾股定理与三角形折叠问题（高频考点） 5 【题型 3】勾股定理与矩形折叠问题（高频考点） 9 【题型 4】勾股定理与三角形作高求长度 13 【题型 5】勾股定理与动点问题（培优） 18 【题型 6】勾股定理与实际问题 24 【题型 7】勾股定理与最值问题（培优） 28 【题型 8】勾股定理与其他问题 34 二. 中考真题 41 （一）单选题（3题） 41 （二）填空题（7题） 44 一.知识梳理与题型精析 【知识点】勾股定理 （1）基本思想：把几何问题转化为设未知数→列方程→解方程的代数问题. （2）依据：直角三角形中，两条直角边为，，斜边为，则：. （3）常见方程模型： 已知两边和差、倍分关系，求边长； 折叠问题：利用对应边相等列方程； 作高问题：同一高用两种方式表示； 动点问题：用含字母式子表示边长，再用勾股定理； 实际问题：梯子、门框、折断竹子等建模. 【题型 1】已知直角三角形两边关系，求边长 【例题1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，且． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角平分线的判定，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式；含30度角的直角三角形的性质； （1）先证明平分，再证明．可得，下进一步求解即可； （2）证明，在中，根据勾股定理得，再进一步求解即可． （1）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∵， ∴， 解得． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，直线为的垂直平分线，交于点D，连接，已知，，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，正确利用勾股定理是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，令，则，在中，利用勾股定理求出即可． 解：直线为的垂直平分线， ， 令，则， 在中，， ， 解得，， ． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“三角形”．在中，，若是“三角形”，则的长等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理的应用，需分两种情况讨论：边上的中线等于、边上的中线等于，结合勾股定理计算的长度，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，不可能等于斜边，故无需考虑斜边的情况． 解：分两种情况计算： 当边上的中线等于时，如图1，， ∵，为边上的中线且， ∴， 在中，根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）， 可得， 当边上的中线等于时，如图2， 设的长为x，则边上的中线，， 在中，根据勾股定理， ， 代入，，， 得， 解得（边长为正，舍去负根）． 综上所述，的长为或． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：在上作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查基本作图，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握垂直平分线的尺规作图和性质是解题的关键． （1）作的垂直平分线，可得，即，根据可得； （2）根据题意，得，设，再根据勾股定理，列方程，求解即可． （1）解：如图，点即为所作图形； （2）， ， 连接， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 故． 【题型 2】勾股定理与三角形折叠问题（高频考点） 【例题2】（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出，由折叠的性质可推出，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 解：∵在直角三角形纸片中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则 ． 【答案】3 本题考查的是翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用x表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 解：设， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， 则， 由勾股定理得，， 解得， ∴． 故答案为：3． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，则的度数为_____； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠性质得，结合三角形内角和定理即可求解； （2）由折叠性质得，设，则，结合勾股定理即可得解． （1）解：由折叠性质得， 中，， 即， 又，， ， 故答案为：； （2）解：由折叠性质得， 设，则， 中，， 即， 解得， 即． 【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠性质． 【题型 3】勾股定理与矩形折叠问题（高频考点） 【例题2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将长方形沿折叠，点恰好落在边上的点处，求的长． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．因为将折叠使点恰好落在边上的点，，已知，由勾股定理可求得长，则可求，设，则，，在中用勾股定理列方程即可． 解：∵在长方形中，，， ∴，，， 又∵将折叠使点恰好落在边上的点， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， 即的长为5． 【变式1】（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点，则的长是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理； 先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 解：由折叠得，， ∵在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键． 通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 解：∵四边形是长方形，且，， ∴，，， 设， ∴， 由折叠性质得：，，， ∵直线恰好经过点B， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； （1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 【题型 4】勾股定理与三角形作高求长度 【例题4】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，点D在边上，． (1)求边上的高； (2)求的长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． （1）过点A作于点M，由勾股定理可得出，即可求出答案； （2）过点B作于点N，由勾股定理得出，即可得出答案． （1）解：过点A作于点M， ∵， ∴M是的中点， ∵， ∴， ∴， 即边上的高为4； （2）过点B作于点N， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至点D，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了，则橡皮筋原长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 根据题意得出为等腰三角形，假设，根据勾股定理列出方程求解即可． 解：根据题意可知，点为线段的中点，且， ∴，为等腰三角形， ∴， 假设，则， 根据勾股定理得，， 即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，，则边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握利用勾股定理列方程求解三角形高的方法是解题的关键． 过点作于，设，则在和中，分别用勾股定理表示，列方程求出，再求出的长度． 解：过点作于， ∴，， 设，则 在中， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图， 在中，，D是的中点，于E，于F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）连接，由等腰三角形三线合一可知平分 ，已知，由角平分线性质定理可证； （2）由已知可证，由等腰三角形三线合一可知，则，设，则，，根据勾股定理列方程即可求得，则可求． （1）证明：连接， D是中点， ∴ 平分 ， ； （2）解： ， ， D是的中点， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ 解得（负值舍去）， ∴， ∵， 【题型 5】勾股定理与动点问题（培优） 【例题5】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，一动点D从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为t． (1)求； (2)当时，求； (3)若平分，求t． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），结合勾股定理建立方程求解是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）先求出当时，点运动到上，，再利用勾股定理即可求解； （3）过点作，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用股定即可求解． （1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵， 当时，点运动的距离为， 此时，点运动到上， 则， ∵， ∴； （3）解：如图，过点作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， 根据题意，，则， ∵， ∴，即， 解得． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质、长方形的性质、勾股定理等知识；由长方形的性质得出，，，由折叠的性质得，，证、、三点共线，设，①点在线段上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点在线段的延长线上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 解：四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 设， 当为直角三角形时，则， ， 、、三点共线， 分两种情况： ①点在线段上时，如图1所示： 则， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； ②点在线段的延长线上时，如图2所示： 则， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； 综上所述，当为直角三角形时，的长为或； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形纸片中，，，点为线段延长线上的一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上时，则的长为（   ） A．8 B．10 C．14 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 解：∵在长方形纸片中，，， ∴， ∵把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上 ∴， 在中， ∴ ， 设，则， 在中， ∴ 解得：， 即的长为， 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒一个单位长度的速度向终点运动，连接．当点的运动时间为 秒时，与的一边垂直． 【答案】或4或 【分析】该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，一元一次方程，解题的关键是分类讨论． 设点的运动时间为秒，则，过点作，根据在中，，得出，根据勾股定理得出，分三种情况：当时；当时，当时，分别求解即可． 解：设点的运动时间为秒，则， 过点作， ∵在中，， ∴， ∴， 当时，点与点重合， 此时，， ∴秒； 当时，如图， 则， 即， 解得：秒； 当时，如图， 则， 即， 解得：秒； 综上，当点的运动时间为或4或秒时，与的一边垂直． 故答案为：或4或． 【变式4】（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，两点，射线于点．若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，则的长为 ． 【答案】7或8 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质，由题意得：，，，再由勾股定理可得，分两种情况：当时，，得出，则；当时，，则，，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 解：由题意得：，，， ， 如图，当时， ， ， ； 如图，当时， ， ， ； 综上所述，的长为7或8， 故答案为：7或8． 【题型 6】勾股定理与实际问题 【例题6】（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． （1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．当梯子稳定摆放时，它的顶端离地，则梯子长度约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设梯子底端到墙的距离为，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 解：设梯子底端到墙的距离为，则梯子长度为， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 则， ∴梯子长度为， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·上海松江·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，由勾股定理得，列出方程，并解方程即可得到答案． 解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多， 设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 在中，，， 由勾股定理得：，则， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． （1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 【题型 7】勾股定理与最值问题（培优） 【例题7】（23-24八年级下·北京海淀·月考）在中，，点D是边的中点，点E是边上的动点，点F是边上的动点，则的最小值是 ，取到最小值时长为 ． 【答案】 3 / 【分析】如图：作点D关于直线的对称点G，连接交于点H，过点G作，交于点E，此时，G、E、F三点共线，且是垂线段，可得取得最小值，由平行线的判定和性质可得，依据等角对等边及含有角的直角三角形的特殊性质可得、，利用勾股定理可得，在中，，设，则，运用勾股定理可得，在中，继续利用勾股定理及含有角的直角三角形的特殊性质即可解答． 解：∵D为的中点， ∴， 如图：作点D关于直线的对称点G，连接交于点H，过点G作，交于点E，此时，G、E、F三点共线，且是垂线段，可得取得最小值， ∵点D关于直线的对称点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，   ∴， 在中，， ∵为等腰三角形，且， ∴， 在中，，设，则， ∴，解得：或（舍去）， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，   ∴，． 故答案为：3，． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质、平行线的判定和性质、勾股定理及含有角的直角三角形的特殊性质、等腰三角形三线合一的性质等知识点，理解题意、作出相应辅助线构造直角三角形是解题关键． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，连接，证明，则，即点在射线上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当时，即共线时，周长有最小值，根据直角三角形的性质得，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，连接， ∵，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴当时，即共线时，周长有最小值， ∵， ∴，， ∴， ∵与点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∴周长最小值为， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于E，于点，，已知为线段上一动点，为线段上一动点，在点、运动过程中，的最小值是 ；此时，的值为 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考出了垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，设相交于O，根据等腰三角形的性质可证是线段的垂直平分线，即，则；当且仅当，A、M、N在一条直线上，且时，有最小值，此时点M和O重合，点N和点D重合，即；如图：连接，则，理由勾股定理列方程可求得，易得，最后代入即可解答． 解：如图：连接，设相交于O， ∵，于点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当且仅当，A、M、N在一条直线上，且时，有最小值，此时点M和O重合，点N和点D重合，即， 如图：连接，则， 中，， ∴ ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：9，． 【变式3】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点E的边上， ，点P是线段AC上一动点，点F是线段上一动点， ．当的值最小时， 【答案】 10 / 【分析】根据勾股定理即可求出；作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P，通过证明得出，，进而得出，根据勾股定理列出方程求解即可． 解：在中，由勾股定理可得：， 作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P． ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得：． 故答案为：10，． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据题意做出辅助线构建全等三角形，根据勾股定理列出方程求解． 【题型 8】勾股定理与其他问题 【例题8】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，是边上两点，平分，． (1)求证：； (2)若，求线段的长； (3)点是射线上一点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)的值为或 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质定理、等角对等边，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）易证，即可得证； （2）设，则，，，再在中利用勾股定理建立方程求解即可； （3）分两种情况，当点在线段上时，当点在射线上时，在中，再通过勾股定理求解即可得解． （1）证明：在中，，， ， 平分， ， ， ； （2）解：在中，， 设，则， ， ，， ， ， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ； （3）解：设， 由（2）知，，，， ， 当点在线段上时，如图，过作于点， 设，则， 在中，， 即， 解得， ，， ， ， ，， ； 当点在射线上时，如图， 此时同第一种情况：， ，， ； 综上，的值为或． 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在锐角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为定值，H是边上靠近点A的三等分点，，记正方形的面积为x，正方形的面积为y，当的度数发生变化时，下列代数式不变的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理得到． 由正方形的面积公式得到，，由勾股定理得到，于是得到，因此，而，得到，即可得到是定值． 解：∵正方形的面积为x，正方形的面积为y， ∴，， ∵， ∴， ∵H是边上靠近点A的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的面积为定值， ∴是定值． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键． 连接并延长交于，在中和中，分别使用勾股定理得，，再即可求得，代入可得即可求解． 解：连接并延长交于， ，， 则， 在中，， 即， 在中，， 即， 由得：， 解得， 代入得：， ， ， （米）． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． （1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形中线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2. 中考真题 （一）单选题（3题） 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    （二）填空题（7题） 4．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 5．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）是直角三角形，，，则的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键根据直角三角形的性质，我们需要分情况讨论哪个角是直角，从而求出的长度． 解：在中，当，如图 ， ． ，， ， 解得或（舍去）； 在中，当， ，， ． 故答案为∶2或． 6．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 7．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，根据勾股定理求解即可． 解：由折叠的性质，得， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 解得. 故答案为：3． 8．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 9．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 10．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ． 【答案】7或9/9或7 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则，利用勾股定理得出得长度，根据三角形面积公式得出长，设，则，表示出，利用勾股定理计算即可． 解：如图，过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得，即， 解得或9， 即或9， 故答案为：7或9． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 20.8 勾股定理与方程思想（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识要点】勾股定理 1 【题型 1】已知直角三角形两边关系，求边长 2 【题型 2】勾股定理与三角形折叠问题（高频考点） 5 【题型 3】勾股定理与矩形折叠问题（高频考点） 9 【题型 4】勾股定理与三角形作高求长度 13 【题型 5】勾股定理与动点问题（培优） 18 【题型 6】勾股定理与实际问题 24 【题型 7】勾股定理与最值问题（培优） 28 【题型 8】勾股定理与其他问题 34 二. 中考真题 41 （一）单选题（3题） 41 （二）填空题（7题） 44 一.知识梳理与题型精析 【知识点】勾股定理 （1）基本思想：把几何问题转化为设未知数→列方程→解方程的代数问题. （2）依据：直角三角形中，两条直角边为，，斜边为，则：. （3）常见方程模型： 已知两边和差、倍分关系，求边长； 折叠问题：利用对应边相等列方程； 作高问题：同一高用两种方式表示； 动点问题：用含字母式子表示边长，再用勾股定理； 实际问题：梯子、门框、折断竹子等建模. 【题型 1】已知直角三角形两边关系，求边长 【例题1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，且． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，直线为的垂直平分线，交于点D，连接，已知，，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“三角形”．在中，，若是“三角形”，则的长等于 ． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：在上作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的长． 【题型 2】勾股定理与三角形折叠问题（高频考点） 【例题2】（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，则的度数为_____； (2)若，，求的长． 【题型 3】勾股定理与矩形折叠问题（高频考点） 【例题2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将长方形沿折叠，点恰好落在边上的点处，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点，则的长是（   ） A． B．5 C． D．6 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【题型 4】勾股定理与三角形作高求长度 【例题4】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，点D在边上，． (1)求边上的高； (2)求的长． 【变式1】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至点D，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了，则橡皮筋原长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，，则边上的高为 ． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图， 在中，，D是的中点，于E，于F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型 5】勾股定理与动点问题（培优） 【例题5】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，一动点D从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为t． (1)求； (2)当时，求； (3)若平分，求t． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形纸片中，，，点为线段延长线上的一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上时，则的长为（   ） A．8 B．10 C．14 D．12 【变式3】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒一个单位长度的速度向终点运动，连接．当点的运动时间为 秒时，与的一边垂直． 【变式4】（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，两点，射线于点．若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，则的长为 ． 【题型 6】勾股定理与实际问题 【例题6】（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．当梯子稳定摆放时，它的顶端离地，则梯子长度约为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海松江·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为 m． 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【题型 7】勾股定理与最值问题（培优） 【例题7】（23-24八年级下·北京海淀·月考）在中，，点D是边的中点，点E是边上的动点，点F是边上的动点，则的最小值是 ，取到最小值时长为 ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于E，于点，，已知为线段上一动点，为线段上一动点，在点、运动过程中，的最小值是 ；此时，的值为 ． 【变式3】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点E的边上， ，点P是线段AC上一动点，点F是线段上一动点， ．当的值最小时， 【题型 8】勾股定理与其他问题 【例题8】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，是边上两点，平分，． (1)求证：； (2)若，求线段的长； (3)点是射线上一点，若，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在锐角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为定值，H是边上靠近点A的三等分点，，记正方形的面积为x，正方形的面积为y，当的度数发生变化时，下列代数式不变的为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆的高度为 米． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 2. 中考真题 （一）单选题（3题） 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． （二）填空题（7题） 4．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 5．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）是直角三角形，，，则的长为 ． 6．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 7．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 8．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 9．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 10．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $