专题02 一次函数的应用10大题型（专项训练）数学新教材北京版八年级下册

专题02 一次函数的应用10大题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数应用之分配方案问题 1 题型二、一次函数应用之最大利润问题 2 题型三、一次函数应用之行程问题 3 题型四、一次函数应用之工程问题 5 题型五、一次函数应用之分段函数问题 6 题型六、一次函数应用之几何问题 8 题型七、一次函数应用之体积问题 9 题型八、一次函数应用之面积问题 11 题型九、一次函数应用之交点问题 11 题型十、一次函数与距离公式的应用问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数应用之分配方案问题 1．某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 2．某商场推出了两种购物优惠方案．方案一：非会员购物，所有商品打九五折；方案二：交元会费成为该商场会员，则所有商品打九折．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)用（元）表示所购商品原价，分别写出，关于的函数解析式． (2)若某人计划在商场购买价格为元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱． 3．某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 题型二、一次函数应用之最大利润问题 4．为助力乡村振兴，某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.6万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量不超过25吨． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为253万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（注：用二元一次方程组解决问题） (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润w． 5．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元； (2)若甲种剪纸的售价为65元一套，乙种剪纸的售价为50元一套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 6．在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升，已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，一棵成年的阔叶树种，例如杨树每年大约吸收二氧化碳千克，一棵成年的针叶树种，例如冷杉每年大约吸收二氧化碳千克．某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买冷杉棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． (1)直接写出与的函数解析式； (2)杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请问如何购买，才能使这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多能吸收多少二氧化碳？ 题型三、一次函数应用之行程问题 7．已知、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从地出发驶往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程（千米）与该日下午时间（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)直接写出：甲出发_____小时后，乙才开始出发；乙的速度为_____千米时；甲骑自行车在全程的平均速度为_____千米时． (2)求甲出发几小时后与乙在途中相遇？ (3)若甲乙两人佩带了对讲机，且该型号对讲机的最大通讯距离为5千米．求甲乙两人能够通讯的时长． 8．甲、乙两地间的直线公路长为400km，一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行．货车比轿车早出发1h，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1h后轿车故障排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地．已知两车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车所用的时间x（单位：h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)货车的速度是________km/h；轿车的速度是________km/h；t的值为________． (2)求轿车距其出发地的距离y关于所用时间x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90km． 9．综合与探究 问题情境：2025年世界机器人运动大会竞速项目中，甲、乙两款机器人在的直线跑道上进行比赛．他们从跑道的同一起点同时出发，跑到终点，然后沿原路返回起点． 问题探究：比赛过程中，机器人实时位置到起点的距离（单位：）与时间（单位：s）的函数图象（不完整）如图所示，其中折线是甲款机器人的图象，线段是乙款机器人的部分图象，已知对应的函数关系式为． 问题解决： (1)①点的坐标为___________． ②求线段对应的函数关系式． (2)乙款机器人到达终点后，因故障耽误了，然后以原来的速度返回起点，请你在图中画出乙款机器人返回时的大致函数图象（线段），用字母标注两个端点，并写出两个端点的坐标． (3)从乙款机器人到达终点后开始探究，当两款机器人到起点的距离之差为时，直接写出的值． 题型四、一次函数应用之工程问题 10．如图1，长度为6千米的国道两侧有M，N两个城镇，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，N、C之间的乡镇公路长度为千米，M、D之间的乡镇公路长度为千米．为了发展乡镇经济，现需要在国道上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究 (1)通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如表： x/千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y/千米 10.5 6.5 8.5 10.5 12.5 (2)如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点； (3)结合画出的函数图象，解决问题： ①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ ②如图3，有四个城镇M、R、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，使得S沿公路到M、R、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ 11．为顺利通过“全国文明城市”验收，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在20天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需要10天完成． (1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少． 12．为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，我区政府拟对部分公路两旁的人行道地砖，排水管道等公用设施，进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案： 方案一：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用20天； 方案三：若甲、乙两队合作10天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)完成这项工程的规定日期是多少天? (2)在不耽误工期的前提下，你觉得以上哪一种方案最节省工程款?请说明理由． (3)因区政府行动迅速，比原计划提前10天投入施工，因此实际规定的日期比计划多出10天，请你重新设计一种方案，既能在实际规定的日期内完工，又能使工程费用最少，并求出最少费用． 题型五、一次函数应用之分段函数问题 13．某市为鼓励市民节约用水，自来水公司按分段收费标准收费，如图反映的是每月水费 （元）与用水量 （吨）之间的函数关系． (1)当用水量大于或等于10吨时，求关于的函数解析式；（需写出的取值范围） (2)按上述分段收费标准, 小明家四、五月份分别交水费32元和24元，问五月份比四月份节约用水多少吨? 14．河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示． (1)求的值； (2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？ 15．在探究“圆柱体浸入水中时拉力与下降高度的关系”实验中（即图1测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示），相关数据记录如下： 1．弹簧测力计的读数F（单位：，牛顿，只需当作数值单位即可）代表拉力大小； 2．当圆柱体下底面刚接触水面时（对应下降高度），拉力为； 3．当圆柱体完全浸入水中时（对应下降高度），拉力为； 4．下降高度在到之间时，拉力随下降高度的增加呈线性减少（即拉力F与下降高度h成一次函数关系）． 请根据以上信息解答下列问题： (1)分析题意，若图2中下降高度对应拉力a，对应拉力b，则_______，_______； (2)求段与之间的一次函数表达式： (3)若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 题型六、一次函数应用之几何问题 16．如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以A，O，D为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 18．如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点在直线上，直线经过点和点． (1)直接写出点的坐标为_____，直线的函数表达式为______； (2)判断的形状并说明理由； (3)点是直线上一个动点，且，请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中画出满足条件的点，并直接写出点的坐标为______．（不写作法，保留作图痕迹） 题型七、一次函数应用之体积问题 19．【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水x秒，再接开水，直至接满的水杯为止． （备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．） 【问题】 (1)接到温水的体积是 ，接到开水的体积是 ；（用含x的代数式表示） (2)若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？ (3)若水杯接满水后，水杯中温度是，求x的值； (4)记水杯接满水后水杯中温度为，则y关于x的关系式是 ；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出x的取值范围是 ． 20．物体通常有热胀冷缩现象，根据调查及查阅相关资料发现，一定量的酒精在某段温度内体积y（单位：L）和温度x（单位：）有关，下表列出了不同温度时酒精的体积： 温度 0 5 10 15 20 … 体积 … (1)根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点，连线．若体积y（单位：L）和温度x（单位：）在一定范围内符合我们学习过的某种函数关系，则可能是_______函数关系（填“正比例”“一次”“二次”或“反比例”）； (2)根据上述判断，求酒精的体积y与温度x之间的函数关系式； (3)在温度为时，酒精的体积y与温度x也符合此函数关系式，则将这些酒精倒入到最大容量为的量筒中（倾倒过程无损失），试判断是否会有酒精溢出，并说明理由． 21．综合与实践 【项目介绍】图1是我国古代的计时工具吕才漏刻，我们能不能也制作一个计时工具，让“1分钟”看得见． 【实践操作I】图2是数学实践小组甲利用日常生活中的物品制作的计时仪器，水流分别经过纸杯1、2、3，最后流入纸杯4，小组记录了流入纸杯4的水面高度与流水时间的数据（如表1所示），同时又记录了流入纸杯4的水的体积与流水时间的数据（如表2所示）． 表1 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水面高度 0.3 0.7 1.05 1.35 1.6 1.8 1.95 表2 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水的体积 6 10.8 15.6 20.4 25.2 30 34.8    【任务一】通过对表1和表2中数据的分析，小组同学发现______与流水时间t是一次函数关系； 【实践操作II】通过对小组甲数据的分析，为让时间“看得见”，数学实践小组乙改进了实验装置，将水的体积直接转化为仪表盘的刻度，如图所示，小组乙记录了仪表盘刻度值y与流水时间的数据（如表3所示）． 表3 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 仪表盘刻度值y 0.5 0.9 1.3 1.7 2.1 2.5 2.9    【任务二】（1）根据表3数据求仪表盘刻度值y与流水时间的函数解析式； （2）求时，仪表盘的刻度值； （3）自实验开始，在液面不超过纸杯4的高度时，先后两次测量时差为，所得的两次仪表盘的刻度值之和为11.4，则这两次测量的仪表盘的刻度值分别是__________和__________． 题型八、一次函数应用之面积问题 22．如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求的面积． ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的3倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 23．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，连接． (1)方程组的解是________； (2)求的面积； (3)若在轴上存在点（点与点不重合），使得的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点D，连接． (1)求点D的坐标； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 题型九、一次函数应用之交点问题 25．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，，直线与线段有交点，则k的值不可能是（   ） A． B． C．3 D．5 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 27．在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是 ； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是 ． 题型十、一次函数与距离公式的应用问题 28．［了解概念］ 对于给定的一次函数（其中、是常数，且），则称函数为一次函数（其中、是常数，且）的“相关函数”，此“相关函数”的图像记为． ［理解运用］ 已知一次函数， （1）这个一次函数的相关函数是 （2）若点在这个一次函数的相关函数图像上，则 （3）若过点且平行于轴的直线与图像有两个交点、，当时，求的取值范围． ［拓展提升］ 在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，连接，我们发现：线段与一次函数的相关函数的图像的交点个数随着的值的改变而改变，请你探究线段与图像有不同的交点个数时，相应的的取值范围． 29．阅读理解题 在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0（A2+B2≠0）的距离公式为：， 例如，求点P（1，3）到直线4x+3y﹣3＝0的距离． 解：由直线4x+3y﹣3＝0知：A＝4，B＝3，C＝﹣3 所以P（1，3）到直线4x+3y﹣3＝0的距离为： 根据以上材料，解决下列问题： (1)求点P1（-2，4）到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离． (2)若点P2（1，0）到直线x+y+C＝0的距离为，求实数C的值． 30．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 1．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 2．（2021·广东·模拟预测）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为千米，慢车行驶的路程为千米，图中折线表示与x之间的函数关系，线段表示与x之间的函数关系，下列说法正确的是（　　） ①快车的速度为；②慢车的速度；③E点坐标为；④线段的函数关系式为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 3．（2025·湖北·模拟预测）A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距 千米．    4．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 5．（2026·陕西·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间． 数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 箭尺读数y（厘米） (1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出与之间的函数关系式； (2)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为厘米） 6．（2026·陕西西安·一模）周至地处秦岭北麓腹地，花草资源丰富，土蜂养殖历史悠久，所产土蜂蜜色泽金黄、品质地道、口味独特，且纯净无杂，属营养保健佳品．某商户购进了、两种规格的土蜂蜜共80瓶进行销售，其进货价与销售价如表所示： 价格 进货价（元/瓶） 24 20 销售价（元/瓶） 36 28 设该商户购进了种蜂蜜瓶，这两种蜂蜜全部销售完后的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该商户这80瓶蜂蜜全部销售完后的总利润为840元，那么他购进了种蜂蜜多少瓶？ 7．（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 8．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信． 素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等； 素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元； 素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍． 请完成下列任务： 任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 9．（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 10．（2025·云南·模拟预测）某超市购进和销售甲、乙两种商品的信息如表： 商品类别 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种商品 a 78 乙种商品 b 乙种商品的销售总价 y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示： 已知该超市购进甲种商品5千克和乙种商品10千克共需1100元；购进甲种商品20千克和乙种商品10千克共需2000元．已知甲、乙两种商品共进货300千克，其中乙种商品购进x千克，乙种商品购进量不低于80千克且不超过200千克． (1)求a，b的值； (2)设销售甲、乙两种商品所获总利润为元，甲种商品的购进量不超过乙种商品购进量的2倍，且300千克商品全部销售完，求与x的函数关系式，并求的最大值及此时甲、乙两种商品的购进量． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数的应用10大题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数应用之分配方案问题 1 题型二、一次函数应用之最大利润问题 2 题型三、一次函数应用之行程问题 3 题型四、一次函数应用之工程问题 5 题型五、一次函数应用之分段函数问题 6 题型六、一次函数应用之几何问题 8 题型七、一次函数应用之体积问题 9 题型八、一次函数应用之面积问题 11 题型九、一次函数应用之交点问题 11 题型十、一次函数与距离公式的应用问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数应用之分配方案问题 1．某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【答案】(1)(且x为整数) (2)租甲种客车2辆，乙种客车3辆 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）根据题意得租乙种型号辆客车，甲、乙两种型号的客车租金分别为1000元和800元，即可列总费用解析式； （2）根据去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，列不等式组，求出不等式组解集，得到不等式组的整数解，再根据一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵租用甲种客车x辆， ∴租用乙种客车辆， 由题意得，总费用为 (且x为整数)； （2）解：∵去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元， ∴， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴x的取值为2或3， ∵中， ∴y随x增大而增大， ∴当时，总费用最低， ∴租甲种客车2辆，乙种客车辆． 2．某商场推出了两种购物优惠方案．方案一：非会员购物，所有商品打九五折；方案二：交元会费成为该商场会员，则所有商品打九折．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)用（元）表示所购商品原价，分别写出，关于的函数解析式． (2)若某人计划在商场购买价格为元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱． 【答案】(1) ， (2) 选择方案二更省钱 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式． (1)根据优惠方案写出，关于的函数解析式； (2)分别求出当时，、的值，通过比较选择最优方案． 【详解】（1）解：方案一、； 方案二、； （2）解：当时， ； ， ， 选择方案二更省钱． 3．某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 【答案】(1) (2)共10种方案，A种车皮9节，B种车皮21节，最低费用为85500元 (3)或或或或或，所以共6种租车方案． 【分析】本题考查了一次函数的应用和解不等式组、二元一次方程的解等知识点，解题关键在于正确建立函数模型并求解． （1）根据关系，列出函数关系式，化简即可； （2）根据题意列出不等式组，计算出x的取值范围，即可知有10种方案且计算出最低费用； （3）列出方程式，解得其整数解即可． 【详解】（1）解：， 和x之间的函数关系式为； （2）解：， 解得， ∵， ∴ x的可能取值为的整数，共10种方案， 费用函数中，y随x增大而减小， 当时，费用最低， 此时元， 对应方案为A种车皮9节，B 种车皮21节， 故答案为：共10种方案，最低费用为85500元； （3）解：解方程， 化简为，满足，， 整数解有：或或或或或，所以共6种租车方案． 题型二、一次函数应用之最大利润问题 4．为助力乡村振兴，某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.6万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量不超过25吨． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为253万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（注：用二元一次方程组解决问题） (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润w． 【答案】(1)这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为17吨，83吨 (2)该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润w是30万元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出二元一次方程组和一次函数解析式是解题的关键： （1）设这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各吨和吨，根据该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，以及某月销售甲、乙两种特产的总成本为253万元，列出方程组进行求解即可； （2）设销售甲种特产吨，则销售乙种特产吨，根据总利润等于两种特产的利润之和，列出一次函数解析式，根据一次函数性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各吨和吨，由题意，得： ，解得； 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为17吨，83吨； （2）设销售甲种特产吨，则销售乙种特产吨，由题意，得： ， ∴随着的增大而增大， ∵甲特产的销售量不超过25吨， ∴当时，最大为； 即：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润w是30万元． 5．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元； (2)若甲种剪纸的售价为65元一套，乙种剪纸的售价为50元一套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1) 甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元 (2) 甲种剪纸装饰40套，乙种剪纸装饰20套时，所获利润最大，最大利润为800元 【分析】本题主要考查一元一次方程，不等式，一次函数的综合运用，理解数量关系正确列式是关键． （1）设购进一套乙种剪纸的价格是x元，则购进一套甲种剪纸的价格是元，由此列方程求解即可； （2）设购进甲种剪纸套，购进乙种剪纸套，由题意列不等式得到，设利润为，结合题意得到，由此一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设购进一套乙种剪纸的价格是x元，则购进一套甲种剪纸的价格是元， ∴， 解得，， ∴， ∴甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元； （2）解：设购进甲种剪纸套，购进乙种剪纸套， ∴， ∴， 设利润为， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，，此时， ∴甲种剪纸装饰40套，乙种剪纸装饰20套时，所获利润最大，最大利润为800元． 6．在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升，已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，一棵成年的阔叶树种，例如杨树每年大约吸收二氧化碳千克，一棵成年的针叶树种，例如冷杉每年大约吸收二氧化碳千克．某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买冷杉棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． (1)直接写出与的函数解析式； (2)杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请问如何购买，才能使这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多能吸收多少二氧化碳？ 【答案】(1) (2)当购买冷杉时，一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多为13046千克 【分析】（1）根据购买冷杉棵，则购买杨树棵，根据题意，得，计算即可． （2）根据购买冷杉棵，则购买杨树棵，根据题意，得，计算即可． 本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据购买冷杉棵，则购买杨树棵，根据题意，得． （2）解：根据购买冷杉棵，则购买杨树棵， 根据题意，得， 解得， 故， 由， 一次函数随x的增大而减小，且x是整数， 故当时，一年内吸收的二氧化碳总量最多， 最大为（千克）， 答：当购买冷杉时，一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多为13046千克． 题型三、一次函数应用之行程问题 7．已知、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从地出发驶往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程（千米）与该日下午时间（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)直接写出：甲出发_____小时后，乙才开始出发；乙的速度为_____千米时；甲骑自行车在全程的平均速度为_____千米时． (2)求甲出发几小时后与乙在途中相遇？ (3)若甲乙两人佩带了对讲机，且该型号对讲机的最大通讯距离为5千米．求甲乙两人能够通讯的时长． 【答案】(1)；； (2)甲出发小时后与乙在途中相遇 (3)甲乙两人能够通讯的最大时长为小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解此题的关键． （1）观察图象并根据速度路程时间计算即可得解； （2）求出段的函数关系式为，段对应的函数关系式为，结合当二人相遇时，得，计算即可得解； （3）将二人之间的距离不超过千米的时间段加起来即可． 【详解】（1）解：由图可得：甲出发小时后，乙才开始出发； 乙的速度为千米/时； 甲骑自行车在全程的平均速度为千米/时； （2）解：设段的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得， 段的函数关系式为， 同理可得：段对应的函数关系式为， 当二人相遇时，得， 解得， （小时）， 故甲出发小时后与乙在途中相遇； （3）解：二人第一次相遇前，相距千米时，得， 解得； 二人第一次相遇后至乙到达地前，相距千米时，得， 解得：； 由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米，（小时）， 故甲乙两人能够通讯的最大时长为小时． 8．甲、乙两地间的直线公路长为400km，一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行．货车比轿车早出发1h，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1h后轿车故障排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地．已知两车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车所用的时间x（单位：h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)货车的速度是________km/h；轿车的速度是________km/h；t的值为________． (2)求轿车距其出发地的距离y关于所用时间x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90km． 【答案】(1)50；80；3 (2) (3)距货车出发3h或5h两车相距90km 【分析】（1）由函数的图象，结合速度、时间和路程的关系，可得所求； （2）分别求出得、、的坐标，运用待定系数法解得即可； （3）根据题意列方程解答即可，注意分为相遇前和相遇后两种情况． 【详解】（1）解：，，． 由函数图象可知，货车的速度是， 轿车的速度是：， 轿车从出发到出现故障用时． （2）解：由（1）得，，． 设直线的表达式为． ∵过点， ∴，解得， ； 当时，． 设直线的表达式为． ∵过点，， ∴ 解得： ， （3）解：距货车出发或两车相距． 设货车出发小时后两车相距千米， 根据题意得：或, 解得：或． 答：距货车出发或两车相距． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式． 9．综合与探究 问题情境：2025年世界机器人运动大会竞速项目中，甲、乙两款机器人在的直线跑道上进行比赛．他们从跑道的同一起点同时出发，跑到终点，然后沿原路返回起点． 问题探究：比赛过程中，机器人实时位置到起点的距离（单位：）与时间（单位：s）的函数图象（不完整）如图所示，其中折线是甲款机器人的图象，线段是乙款机器人的部分图象，已知对应的函数关系式为． 问题解决： (1)①点的坐标为___________． ②求线段对应的函数关系式． (2)乙款机器人到达终点后，因故障耽误了，然后以原来的速度返回起点，请你在图中画出乙款机器人返回时的大致函数图象（线段），用字母标注两个端点，并写出两个端点的坐标． (3)从乙款机器人到达终点后开始探究，当两款机器人到起点的距离之差为时，直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2)图象见解析； (3)的值为或50 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，用待定系数法求一次函数解析式，看懂图象是解题的关键． （1）①把点M的纵坐标代入函数关系式为，解出即可获解；②已知点O，点P的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）因故障耽误了，代表纵坐标不变，横坐标增加5，以原来的速度返回起点，代表返回时用的时间相同，根据题意则可画出图象； （3）分别求出线段和线段对应的函数关系式，根据甲乙不同的位置情况分类讨论列关系式求解即可． 【详解】（1）解：①∵对应的函数关系式为，观察图象知点M的纵坐标为120， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 故答案为：； ②观察图象知，设线段对应的函数关系式为， 把点代入，得， 解得， ∴线段对应的函数关系式为； （2）解：根据题意画出图象如图所示： ∵乙款机器人到达终点后，因故障耽误了， ∴点的横坐标为， ∴， 因为是以相同的速度返回起点，所以返回所用的时间与来时用的时间相同，为， ∴点的横坐标为， ∴， ∴ ，； （3）解：设线段对应的函数关系式， ∵，， ∴，解得， ∴线段对应的函数关系式， 设线段对应的函数关系式， ∵，， ∴，解得， ∴线段对应的函数关系式， 当时， 当乙款机器人还未动，但与甲款机器人相距时，则有， 解得 当乙款机器人已动但还未到达起点，两款机器人到起点的距离之差为时，则有， 解得或（舍去）， 故答案为：的值为或50． 题型四、一次函数应用之工程问题 10．如图1，长度为6千米的国道两侧有M，N两个城镇，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，N、C之间的乡镇公路长度为千米，M、D之间的乡镇公路长度为千米．为了发展乡镇经济，现需要在国道上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究 (1)通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如表： x/千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y/千米 10.5 6.5 8.5 10.5 12.5 (2)如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点； (3)结合画出的函数图象，解决问题： ①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ ②如图3，有四个城镇M、R、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，使得S沿公路到M、R、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)①C、D之间（含C、D两点）②点D处 【分析】本题考查一次函数实际问题应用． （1）当时，，求出（千米），再令时，计算出，利用，求出，继而得到当时，； （2）将（1）中求得的数值和表中结合，再在平面直角坐标系中标出，连接各点即可得到； （3）①由图形可知，若物流基地修建在两点之外，则距离会大于， 故此得到答案；②由图3可知，D、E段上离点P，的距离相等，再往E点以下距离之和一定变大，再往点以上，到P，的距离之和会变大，故此分析得到答案． 【详解】（1）解：∵A、C之间的距离为2千米，A、T之间的距离为x千米、T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米， ∵当时，，即（千米）， ∴当时，T位于中点处， 此时（千米）； ∵当时，，即（千米）； ∴当时，T位于D处， （千米）； 故答案为：8.5，6.5； （2）解：根据表中坐标画出如下函数图象： ； （3）解：①由图形可知，若物流基地修建在两点之外，则距离会大于， 故若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T应修建在C、D之间（含C、D两点）， 故答案为：C、D之间（含C、D两点）； ②由①可知，若要使物流基地T沿公路到M、R两个城镇的距离之和最小，物流基地T应修建在C、D之间（含C、D两点）， 由图3可知，D、E段上离点P，的距离相等，再往E点以下距离之和一定变大，再往点以上，到P，的距离之和会变大， 故答案为：点D处． 11．为顺利通过“全国文明城市”验收，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在20天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需要10天完成． (1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少． 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天 (2)甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，最小费用为62.5万元 【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用，二元一次方程的实际应用，一次函数的性质； （1）如果设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题； （2）设甲工程队做天，乙工程队做天，先得出，进而求出所需费用，因为需在20天内完成工程，从而确定出最佳方案． 【详解】（1）设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天，由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天． （2）设甲工程队做天，乙工程队做天， 根据题意得：， 整理得，即， 需在20天内完成工程， ，解得， 所需费用， 根据一次函数的性质可得， 越小，所需费用越小， ∴时，费用最少，此时， 即甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小， 最小费用为（万元）， 答：甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，最小费用为62.5万元． 12．为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，我区政府拟对部分公路两旁的人行道地砖，排水管道等公用设施，进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案： 方案一：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用20天； 方案三：若甲、乙两队合作10天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)完成这项工程的规定日期是多少天? (2)在不耽误工期的前提下，你觉得以上哪一种方案最节省工程款?请说明理由． (3)因区政府行动迅速，比原计划提前10天投入施工，因此实际规定的日期比计划多出10天，请你重新设计一种方案，既能在实际规定的日期内完工，又能使工程费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1)规定日期为20天 (2)在不耽误工期的前提下，方案三最节省工程款 (3)当甲队施工5天，乙队施工30天时，工程费用最少为21万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设规定日期为x天，根据题意列出分式方程，求解即可； （2）分别求出三个方案的费用，选出符合题意的方案即可； （3）设甲队施工m天，乙队施工n天，工程费为y元，由题目所给条件得出，再根据n的取值范围和一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）设规定日期为x天，由题意得 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意； 所以，规定日期为20天； （2）方案一：（万元）， 方案二：需要40天，超过工期，不符合题意； 方案三：（万元）， ∵， ∴在不耽误工期的前提下，方案三最节省工程款； （3）由题意得，实际规定日期为（天）， 设甲队施工m天，乙队施工n天，工程费为y元， 则， ∴， 工程款为：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，y最小，此时， 所以，当甲队施工5天，乙队施工30天时，工程费用最少为21万元． 题型五、一次函数应用之分段函数问题 13．某市为鼓励市民节约用水，自来水公司按分段收费标准收费，如图反映的是每月水费 （元）与用水量 （吨）之间的函数关系． (1)当用水量大于或等于10吨时，求关于的函数解析式；（需写出的取值范围） (2)按上述分段收费标准, 小明家四、五月份分别交水费32元和24元，问五月份比四月份节约用水多少吨? 【答案】(1)当用水量10吨时，关于的函数解析式为 (2)五月份比四月份节约用水2.5吨 【分析】（1）设时，关于的函数解析式为，根据图像中已知的坐标（10，30）、（20，70）即可求解； （2）设当时，关于的函数解析式为，根据图像中已知的点求出时的函数关系式；根据小明家四月份交水费32元＞30元，可知四月用水量应超过10吨，即利用可求得小明家四月份用水量为10.5吨，再根据小明家五月份交水费24元＜30元，判断小明家五月用水量应没有超过10吨，即利用即可求得小明家五月份用水量为8吨，则问题得解． 【详解】（1）设时，关于的函数解析式为， 将点（10，30）、（20，70）代入，得： ，解得：， ∴当用水量10吨时，关于的函数解析式为． （2）设当时，关于的函数解析式为， 将点（10，30）代入，得：， 解得：， ∴， ∵小明家四月份交水费32元＞30元， ∴该月用水量应超过10吨， ∴令时，解得； ∴小明家四月份用水量为10.5吨 ∵小明家五月份交水费24元＜30元， ∴该月用水量应没有超过10吨， ∴令时，解得， 即小明家五月份用水量为8吨 10.5 - 8=2.5（吨）． 答：五月份比四月份节约用水2.5吨． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、求解一次函数解析式等知识，根据题意求出一次函数解析式是解答本题的关键． 14．河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示． (1)求的值； (2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大；最大销售额为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用． (1)设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克，列二元一次方程组求出即为甲种水果打折前的售价，根据销售额单价销量即可求出； (2)设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元，根据销售额单价销量可得，利用一次函数的性质求出销售额的最大值． 【详解】（1）解：设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克， 根据题意得：， 解得：， ；   （2）解：设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元， 当时， ； 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，, 此时(千克)， 答：电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大．最大销售额为元. 15．在探究“圆柱体浸入水中时拉力与下降高度的关系”实验中（即图1测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示），相关数据记录如下： 1．弹簧测力计的读数F（单位：，牛顿，只需当作数值单位即可）代表拉力大小； 2．当圆柱体下底面刚接触水面时（对应下降高度），拉力为； 3．当圆柱体完全浸入水中时（对应下降高度），拉力为； 4．下降高度在到之间时，拉力随下降高度的增加呈线性减少（即拉力F与下降高度h成一次函数关系）． 请根据以上信息解答下列问题： (1)分析题意，若图2中下降高度对应拉力a，对应拉力b，则_______，_______； (2)求段与之间的一次函数表达式： (3)若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 【答案】(1)14，8 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据已知直接可得，； （2）利用待定系数法即可得出段与之间的函数表达式； （3）令时，，求出h的值即可得出答案． 【详解】（1）解：根据已知可得：，， 故答案为：14，8； （2）解：设段与之间的函数表达式为， ∴，解得：， ∴； （3）解：在中，令时，， 解得， ∵， ∴圆柱体浸入水中的高度为． 题型六、一次函数应用之几何问题 16．如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 【答案】(1)， (2) (3)3或9 【分析】（1）依据题意，由直线与x轴交于点，则，可得k的值，又直线与y轴交于点，故，则，从而得解； （2）联立方程组，解方程组，进而可以得解； （3）根据直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，分两种情况求出结果即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴，解得：， ∵直线与y轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：由题意，结合（1）联立方程组， 解得：， ∴方程组的解为． （3）解：由题意，∵直线平行于x轴，且到x轴的距离为1， ∴令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 答：直线被，所截得的线段长为3或9． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、待定系数法求一次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以A，O，D为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由求出，把代入即可得b的值； （2）由数形结合思想直接可得，当时，x的取值范围是； （3）设点D的坐标为，根据，，得出，，，分两种情况：当时，当时，分别根据勾股定理，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， 即b的值是； （2）解：由图像可得：当时，就是在图象下方，且两个图象都在x轴的下方，x的取值范围，即； （3）解：设点D的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴点不可能为直角顶点； 当时，， ∴， 解得：， 此时点D的坐标为； 当时，， ∴， 整理得：， 即， ， 开平方得：， 解得：或（舍去）， 此时点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查两条直线相交的问题，两点间距离公式，勾股定理，利用平方根解方程，理解数形结合是解题的关键． 18．如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点在直线上，直线经过点和点． (1)直接写出点的坐标为_____，直线的函数表达式为______； (2)判断的形状并说明理由； (3)点是直线上一个动点，且，请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中画出满足条件的点，并直接写出点的坐标为______．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)， (2)直角三角形，说理过程见解析 (3)作图见解析，或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法、一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理的运用等知识，解题的关键是掌握作辅助线解决问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用两点间距离公式先求出的长度的平方，利用勾股定理逆定理判断即可； （3）根据作一个角等于已知角的作图方法作图，得到两个满足要求点，分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 当时，，解得 ∴点的坐标为，点的坐标为； 把代入得到，解得， ∴， 设直线的函数表达式为，把和代入得到， ， 解得 ∴直线的函数表达式为； （2）解：直角三角形，理由见解析 ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， （3）解：如图，点和点即为所求， 由（1）可知点的坐标为，点的坐标为； ①当点E在线段上时，即为，设与x轴的交点为M， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ． 设直线的解析式为，把代入可得， 解得 ∴直线的函数表达式为． 联立直线和直线的函数解析式得到，， 解得， ∴． ②当点在线段的延长线上时,即为， ∵， ， ， 把代入得到，解得， ． 综上所述，点E的坐标为或． 题型七、一次函数应用之体积问题 19．【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水x秒，再接开水，直至接满的水杯为止． （备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．） 【问题】 (1)接到温水的体积是 ，接到开水的体积是 ；（用含x的代数式表示） (2)若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？ (3)若水杯接满水后，水杯中温度是，求x的值； (4)记水杯接满水后水杯中温度为，则y关于x的关系式是 ；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出x的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2)至少接温水21秒 (3) (4)， 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的应用． （1）利用接到温水的体积温水的水流速度接温水的时间，可用含x的代数式表示出接到温水的体积；利用接到开水的体积整杯水的体积接到温水的体积，即可用含x的代数式表示出接到开水的体积； （2）根据所接的温水的体积不少于开水体积的倍，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （3）利用开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）利用开水体积×开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可找出y关于x的函数关系式，再结合饮水最佳温度是（包括与），即可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：∵温水水流速度为，接温水用时x秒， ∴接到温水的体积是， 又∵共接水， ∴接到开水的体积是． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为21， 即至少应接温水21秒； （3）解：根据题意得：， 解得：， 即x的值为25； （4）解：根据题意得：， ∴， ∵饮水最佳温度是（包括与）， ∴， 解得：， ∴x的取值范围是． 故答案为：，． 20．物体通常有热胀冷缩现象，根据调查及查阅相关资料发现，一定量的酒精在某段温度内体积y（单位：L）和温度x（单位：）有关，下表列出了不同温度时酒精的体积： 温度 0 5 10 15 20 … 体积 … (1)根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点，连线．若体积y（单位：L）和温度x（单位：）在一定范围内符合我们学习过的某种函数关系，则可能是_______函数关系（填“正比例”“一次”“二次”或“反比例”）； (2)根据上述判断，求酒精的体积y与温度x之间的函数关系式； (3)在温度为时，酒精的体积y与温度x也符合此函数关系式，则将这些酒精倒入到最大容量为的量筒中（倾倒过程无损失），试判断是否会有酒精溢出，并说明理由． 【答案】(1)画图见解析，一次 (2) (3)将这些酒精倒入到最大容量为的量筒中（倾倒过程无损失），有酒精溢出．理由见解析 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）先描点，再画图，再根据图象判断函数类型即可； （2）先利用待定系数法求解函数解析式，再检验即可； （3）把代入计算的值，再与比较即可． 【详解】（1）解：如图，描点画图如下： 根据图象可得：体积y（单位：L）和温度x（单位：）的一次函数； （2）解：体积y（单位：L）和温度x（单位：）的解析式为， 把与代入可得： ， 解得：， ∴体积y（单位：L）和温度x（单位：）的解析式为； 经检验，解析式符合题意； （3）解：当时， ∴， ∵， ∴将这些酒精倒入到最大容量为的量筒中（倾倒过程无损失），有酒精溢出． 21．综合与实践 【项目介绍】图1是我国古代的计时工具吕才漏刻，我们能不能也制作一个计时工具，让“1分钟”看得见． 【实践操作I】图2是数学实践小组甲利用日常生活中的物品制作的计时仪器，水流分别经过纸杯1、2、3，最后流入纸杯4，小组记录了流入纸杯4的水面高度与流水时间的数据（如表1所示），同时又记录了流入纸杯4的水的体积与流水时间的数据（如表2所示）． 表1 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水面高度 0.3 0.7 1.05 1.35 1.6 1.8 1.95 表2 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水的体积 6 10.8 15.6 20.4 25.2 30 34.8    【任务一】通过对表1和表2中数据的分析，小组同学发现______与流水时间t是一次函数关系； 【实践操作II】通过对小组甲数据的分析，为让时间“看得见”，数学实践小组乙改进了实验装置，将水的体积直接转化为仪表盘的刻度，如图所示，小组乙记录了仪表盘刻度值y与流水时间的数据（如表3所示）． 表3 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 仪表盘刻度值y 0.5 0.9 1.3 1.7 2.1 2.5 2.9    【任务二】（1）根据表3数据求仪表盘刻度值y与流水时间的函数解析式； （2）求时，仪表盘的刻度值； （3）自实验开始，在液面不超过纸杯4的高度时，先后两次测量时差为，所得的两次仪表盘的刻度值之和为11.4，则这两次测量的仪表盘的刻度值分别是__________和__________． 【答案】任务一：水的体积V；任务二：（1），（2）仪表盘的刻度值为4.1；（3）1.7，9.7 【分析】本题考查一次函数的应用． 任务一：根据一次函数变量之间的变化特点判断即可； 任务二：（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）当时，求出对应y的值即可； （3）设分钟时，仪表盘的刻度值为，分钟时，仪表盘的刻度值为，根据题意得①，②，②①，得，进而可得，再结合两次仪表盘的刻度值之和为11.4，可得，的二元一次方程，解方程即可． 【详解】解：任务一：通过对表1和表2中数据的分析，小组同学发现水的体积V与流水时间t是一次函数关系， 故答案为：水的体积V； 任务二：（1）设仪表盘刻度y与流水时间t的函数解析式为， 将和代入， 得 解得， ； （2）当时，， 即仪表盘的刻度值为4.1； （3）设分钟时，仪表盘的刻度值为，分钟时，仪表盘的刻度值为． 则①，②， ②①，得， ， ， ， ， 解得， 故答案为：1.7；9.7． 题型八、一次函数应用之面积问题 22．如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求的面积． ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的3倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①6，②存在，点P的坐标为或 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和两直线交点的坐标等知识 （1）利用待定系数法求出直线l的表达式即可； （2）①联立两直线得到方程组，求出点C的坐标，即可求出答案； ②的面积是面积的3倍得到，设，则，即可求出答案． 【详解】（1）解：把A，D两点代入：       解得： （2）①     解得         ②的面积是面积的3倍 设     或      点P的坐标为或 23．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，连接． (1)方程组的解是________； (2)求的面积； (3)若在轴上存在点（点与点不重合），使得的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据直线与直线的交点坐标即可得； （2）设直线与轴的交点为点，先利用待定系数法求出，再分别求出点的坐标，然后根据的面积等于求解即可得； （3）设直线与轴的交点为点，先求出点的坐标，从而可得，再根据的面积等于建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：方程组可转化为， 所以这个方程组的解为直线与直线的交点的横坐标、纵坐标， 即方程组的解是， 故答案为：． （2）解：如图，设直线与轴的交点为点， 将点代入得：，解得， ∴， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴的边上的高为， ∴的面积为． （3）解：如图，设直线与轴的交点为点， 由（2）已得：， 当时，，解得，即， 设点的坐标为，则， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∵的面积与的面积相等，且的面积为10， ∴， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）， 所以点得坐标为． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点D，连接． (1)求点D的坐标； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算． （1）联立与的解析式，解方程组即可求解； （2）先求出，再根据图象即可求解； （3）设，根据或即可求解． 【详解】（1）解：∵与交于点D， 则，联立，解得：， ∴点D的坐标为； （2）令，得， ∴， ∴． （3）根据题意得：， 设， 令，得， ∴， 如图： ， 解得：， 或， 解得：， 故或． 题型九、一次函数应用之交点问题 25．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，，直线与线段有交点，则k的值不可能是（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】当直线与线段的交点为A点时，把代入，求出，根据一次函数的有关性质得到当时直线与线段有交点；当直线与线段的交点为B点时，把代，求出，根据一次函数的有关性质得到当时直线与线段有交点，从而能得到正确选项． 【详解】把代入得，，解得， ∴当直线与线段有交点，且过第二、四象限时，k满足的条件为； 把代入得，，解得， ∴当直线与线段有交点，且过第一、三象限时，k满足的条件为． 即或． 所以直线与线段有交点，则k的值不可能是． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：当时，图象必过第一、三象限，k越大直线越靠近y轴；当时，图象必过第二、四象限，k越小直线越靠近y轴． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，求两条直线的交点坐标，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．分别求出直线经过点和点时对应的值，即可得出答案． 【详解】解：把代入得：， ∴， 联立， 解得 ∴点的坐标为， 当直线经过点，则， 解得， 当直线经过点，则， 解得：， ∵直线与线段有交点， ∴的取值范围为或． 故选：D． 27．在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是 ； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 ； 【分析】本题考查一次函数的定点问题以及一次函数与线段的交点问题，关键在于掌握恒过定点的求法，以及通过计算直线经过线段端点时的值来确定的取值范围． （1）对于直线，令含的项的系数为0，即可求出恒过的定点坐标； （2）先分别求出直线经过线段的两个端点、时的值，再结合定点与线段的位置关系，确定直线与线段有且只有一个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：对于直线，当时，无论取何值，， ∴直线恒过的定点坐标是； 故答案为：． （2）解：当直线经过点时，将，代入， 得，解得； 当直线经过点时，将，代入， 得，解得； ∵直线恒过定点， ∴结合线段的位置可知，当直线的系数满足时，直线与线段有且只有一个交点． 故答案为：． 题型十、一次函数与距离公式的应用问题 28．［了解概念］ 对于给定的一次函数（其中、是常数，且），则称函数为一次函数（其中、是常数，且）的“相关函数”，此“相关函数”的图像记为． ［理解运用］ 已知一次函数， （1）这个一次函数的相关函数是 （2）若点在这个一次函数的相关函数图像上，则 （3）若过点且平行于轴的直线与图像有两个交点、，当时，求的取值范围． ［拓展提升］ 在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，连接，我们发现：线段与一次函数的相关函数的图像的交点个数随着的值的改变而改变，请你探究线段与图像有不同的交点个数时，相应的的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）；拓展提升：当或时，线段与图像有一个交点，当时，线段与图像有两个交点． 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据关联函数的定义求解即可； （2）根据“相关函数”的定义，分两种情况：当时，当时，将代入函数解析式求解即可； （3）作直线，与图像交于点、，点在点的左侧，根据“相关函数”的定义表示出点、的坐标，进而表示出，即可求解； 拓展提升：先求出线段的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的关联函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）一次函数的相关函数是， 故答案为：； （2）点在一次函数的相关函数图像上， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或， 故答案为：或； （3）如图，作直线，与图像交于点、，点在点的左侧， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，， 图像与轴交于点， 当时，直线才与图象有两个交点， ； 拓展提升：设线段的解析式为，将点、代入得： ， 解得：， 线段的解析式为， 当时，， 线段与 轴 的 交 点 坐 标 为， 当时，联立， 解得：， 要使交点在内，则， 解得：， 当时，联立， 解得：， 要使交点在内，则， 解得：， 当或时，线段与图像有一个交点，当时，线段与图像有两个交点． 29．阅读理解题 在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0（A2+B2≠0）的距离公式为：， 例如，求点P（1，3）到直线4x+3y﹣3＝0的距离． 解：由直线4x+3y﹣3＝0知：A＝4，B＝3，C＝﹣3 所以P（1，3）到直线4x+3y﹣3＝0的距离为： 根据以上材料，解决下列问题： (1)求点P1（-2，4）到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离． (2)若点P2（1，0）到直线x+y+C＝0的距离为，求实数C的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点到直线的距离公式代入求解即可； （2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：由直线知：，，， 所以到直线的距离为：； （2）∵点到直线的距离为， ， ∴， 解得：或． 【点睛】本题考查点到直线的距离公式的知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 30．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)或，见解析； (3) 【分析】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键． （1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）根据“直角距离”的定义得，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）先根据题意可得点C的坐标为，根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点、， ∴， ∴与原点的“直角距离”等于1的点是， 故答案为：； （2）解：设， ∵点与原点的“直角距离”， ∴， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或， 如图1所示， 故答案为：或； （3）解：∵点的坐标为，， 同（2）可得：则点在正方形边上，如图2， ∴，，，， 又∵点在直线， 由图2可知：的最大值是过点的直线，的最小值是过的直线， 把点的坐标代入中，，解得：， 把点的坐标代入中，，解得：， 故的取值范围是：． 1．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 【答案】C 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断A；由图象得全程，乙车行完全程用3小时，得速度为，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到1小时，求出甲、乙两车相距可判断D． 【详解】解：由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误； 由图象得全程，乙车行完全程用，平均速度为，故选项B错误； 设甲车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 设乙车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 联立， 解得， ∴乙车出发时，追上了甲车，故选项C正确； 由图象得A，B两地的距离为 甲车速度为， 所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距，故选项D错误； 故选：C． 2．（2021·广东·模拟预测）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为千米，慢车行驶的路程为千米，图中折线表示与x之间的函数关系，线段表示与x之间的函数关系，下列说法正确的是（　　） ①快车的速度为；②慢车的速度；③E点坐标为；④线段的函数关系式为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，利用一次函数的性质和数形结合思想是解题的关键． 根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度以及E点坐标；设线段所表示的y与x之间的函数表达式是，利用待定系数法解答即可求出线段的函数关系式． 【详解】快车的速度为：（千米/小时），故①说法正确； 慢车的速度为：（千米/小时），故②说法正确； 点E的横坐标为：，则点E的坐标为，故③说法正确； 快车从点E到点C用的时间为：（小时）， 则点C的坐标为， 设线段所表示的y与x之间的函数表达式是， ，解得， 即线段所表示的y与x之间的函数表达式是，故④说法正确； 故选：D． 3．（2025·湖北·模拟预测）A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距 千米．    【答案】150 【分析】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求出函数解析式，观察图形找出点的坐标再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据图形找出点、的坐标利用待定系数法求出线段的函数解析式，代入求出点的坐标，由此即可得出直线的解析式，再在直线的解析式中代入求出点的坐标，将点的横坐标代入线段的解析式中求出值，将其与做差即可得出结论． 【详解】解：观察图形可得出：点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， ，解得：， 线段的解析式为． 当时，， 点的坐标为， 直线的解析式为． 在直线上，当时，有，解得：， 点的坐标为． 在线段中，当时，， 千米． 故答案为：． 4．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可． 【详解】，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确； 总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确； 汽车共行驶了，结论错误； 汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确． 故答案为：． 5．（2026·陕西·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间． 数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 箭尺读数y（厘米） (1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出与之间的函数关系式； (2)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为厘米） 【答案】(1) (2)下午点 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）把代入（）中所求解析式，求出x值即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式， 由，得， 解得， ∴． （2）解：当时，， ∴， 则， ∴下午点． 6．（2026·陕西西安·一模）周至地处秦岭北麓腹地，花草资源丰富，土蜂养殖历史悠久，所产土蜂蜜色泽金黄、品质地道、口味独特，且纯净无杂，属营养保健佳品．某商户购进了、两种规格的土蜂蜜共80瓶进行销售，其进货价与销售价如表所示： 价格 进货价（元/瓶） 24 20 销售价（元/瓶） 36 28 设该商户购进了种蜂蜜瓶，这两种蜂蜜全部销售完后的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该商户这80瓶蜂蜜全部销售完后的总利润为840元，那么他购进了种蜂蜜多少瓶？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)50 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）设购进了A种蜂蜜x瓶，则B种蜂蜜为瓶，则，求出A、B两种蜂蜜每瓶利润，进而列函数解析式即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设购进了A种蜂蜜x瓶，则B种蜂蜜为瓶，则 A种蜂蜜每瓶利润为元，B种蜂蜜每瓶利润为元， 总利润（，且x为整数）； （2）解：由题意，， 代入，得， 解得． 答：他购进了A种蜂蜜50瓶． 7．（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 【答案】(1)A类书籍进货单价为25元，B为45元 (2)有三种方案：A进110本，B进130本；A进111本，B进129本；A进112本, B进128本 (3)A进110本，B进130本能使获利最大，最大获利为2350元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用， （1）设A类书籍进货单价为 x元，B类书籍进货单价为 y元，利用两类书籍的本数和花费费用列方程组求解； （2）设进A 类书籍m本，B类书箱为本，利用金额范围及利润列不等式组求解； （3）列出一次函数关系式，再根据（2）可知结果． 【详解】（1）解：设A 类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元； （2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为本， ， 解：①得，， 解：②得，， ∴， ∴有三种方案： 1．A进110本，B进130本． 2．A进111本，B进129本． 3. A进112本, B进128本； （3）解：设获利为w元，根据题意，得 ， ∵， ∴获利w随着m的增大而减小， 当时，获利w最大， 当时，即， 选第一种方案： 获利（元）， 所以最大获利为2350元． 8．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信． 素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等； 素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元； 素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍． 请完成下列任务： 任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个扎染布80元，每个民族木雕60元； 任务二：当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式，一次函数的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元，结合题意列二元一次方程组求解即可； 任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个，结合题意，列不等式得到，设购买总费用为，结合一次函数图像的性质即可求解． 【详解】解：任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元， ∴， 解得，， ∴每个扎染布80元，每个民族木雕60元； 任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个， ∵购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍 ∴， 解得，， 设购买总费用为， ∴， ∵， ∴越小，的值越小， ∴当购买扎染布20个时，购买总费用的最低，此时，购买民族木雕个，总费用为元， ∴当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元． 9．（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1) (2)购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）根据题意求得自变量x的取值范围，，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式是， 把代入得， ， 解得， 当时，与之间的函数关系式是； 当时，设与之间的函数关系式是， 则， 解得， 当时，与之间的函数关系式是． ； （2）解：购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍， ， 解得， ， ， 随的增大而减小． 当时，W最小，最小值为（元）， 种非遗文创用品：（件）． 答：购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 10．（2025·云南·模拟预测）某超市购进和销售甲、乙两种商品的信息如表： 商品类别 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种商品 a 78 乙种商品 b 乙种商品的销售总价 y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示： 已知该超市购进甲种商品5千克和乙种商品10千克共需1100元；购进甲种商品20千克和乙种商品10千克共需2000元．已知甲、乙两种商品共进货300千克，其中乙种商品购进x千克，乙种商品购进量不低于80千克且不超过200千克． (1)求a，b的值； (2)设销售甲、乙两种商品所获总利润为元，甲种商品的购进量不超过乙种商品购进量的2倍，且300千克商品全部销售完，求与x的函数关系式，并求的最大值及此时甲、乙两种商品的购进量． 【答案】(1)a的值为60，b的值为80 (2)与的函数关系式为，当甲种商品购进200千克，乙种商品购进100千克时，取得最大值，的最大值为5600 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的图象以及一次函数的应用，其中理解题意列出正确的关系式是解题的关键． （1）根据题意列关于、的方程组即可得出结论． （2）根据题意列出与的函数关系式即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得 解得， 答：a的值为60，b的值为80． （2）解：∵甲、乙两种商品共进货300千克，且乙种商品购进x千克， ∴甲种商品购进千克． ∵甲种商品的购进量不超过乙种商品购进量的2倍， ∴， 解得． ∵乙种商品购进量不低于80千克且不超过200千克， ∴． ∴． 设， ∵图象经过点和点， ∴， 解得， 即， 此时利润． ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 此时． 答：与的函数关系式为，当甲种商品购进200千克，乙种商品购进100千克时，取得最大值，的最大值为5600． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $