专题01 一次函数的图象与性质常考题型（专项训练）数学新教材北京版八年级下册

专题01 一次函数的图象与性质常考题型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正比例函数的图象与性质 1 题型二、画一次函数的图象 2 题型三、已知函数经过的象限求参数范围 3 题型四、一次函数图象平移问题 5 题型五、根据一次函数的增减性求参数 6 题型六、比较一次函数值的大小 8 题型七、一次函数的规律探究问题 9 题型八、求直线围成的图形面积 11 题型九、一次函数与几何综合 11 题型十、求一次函数的解析式 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正比例函数的图象与性质 1．已知正比例函数（k是常数，）的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．如图为某函数的图像，当时，图像上存在个不同的点使得恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较与的大小． 题型二、画一次函数的图象 4．已知一次函数的图像经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)画出该函数的图像； (3)判断点是否在该函数的图像上． 5．在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并分别指出图象经过哪些象限． (1)； (2)； (3)； 6．已知一次函数的图象经过点， (1)①求k，b的值； ②在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象； (2)直接写出函数图像与x轴交点坐标：______； 题型三、已知函数经过的象限求参数范围 7．已知函数，m为常数． (1)若该函数的图象与直线平行，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 8．已知函数，（为常数）． (1)若该函数的图象与直线平行，求的值； (2)若这个函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限，求的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数的值又大于函数的值，直接写出的取值范围． 题型四、一次函数图象平移问题 10．如图，平面直角坐标系中，函数的图象过点，将图象向上平移2个单位长度后与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)求的面积． 11．如图，直线经过点和，线段两个端点的坐标分别为，． (1)求直线的表达式； (2)若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 12．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与交于点，直线是一次函数的图象． (1)求直线的表达式； (2)当直线把线段分为两部分时，求的值； (3)若直线与直线不能围成三角形，直接写出的值． 题型五、根据一次函数的增减性求参数 13．已知一次函数的图像经过点、． (1)求k、b的值； (2)画出这个函数的图像； (3)当时，y的取值范围是______． 14．一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 15．研究一次函数时，发现和的取值变化，会带来函数性质的变化． (1)若，且这个一次函数的图像过点． 求和的值； 若，求的取值范围； (2)设函数，（为常数，）． 若函数和同时满足以下三个条件： 条件：随的增大而增大； 条件：当时，； 条件：当时，的最大值为．求的值． 题型六、比较一次函数值的大小 16．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点，在该函数图象上，且，比较与的大小． 17．已知一次函数（k，b是常数，且）． (1)若，点在一次函数图象上，求的值． (2)若，求一次函数图象与轴的交点坐标． (3)若，，点，在一次函数图象上，且，判断q，n的大小关系． 18．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求函数表达式； (2)判断点是否在函数图象上； (3)已知，在函数的图象上，，比较b与d的大小，并说明理由． (4)将一次函数的图象向下平移m个单位后恰好经过，则m的值为________． 题型七、一次函数的规律探究问题 19．在平面直角坐标系中，直线l经过点，点按如图所示的规律排列在直线l上．若直线l上任意相邻两个点的横坐标都相差1，纵坐标也都相差1，若点（为正整数）的纵坐标为，则n的值为（    ） A．4042 B．4043 C．4044 D．4045 20．正方形，，，⋯按如图所示放置，点，，，⋯和，，，⋯分别在直线和轴上，则点的纵坐标是 ． 21．如图，点在x轴上，且，过点作轴交直线于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线交x轴于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线于点，……，按照此方法一直作下去． (1)写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　； (2)按照上述规律，点的坐标是 　 　． 题型八、求直线围成的图形面积 22．如图，直线：分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B交x轴于点 (1)求点A的坐标； (2)当时，求的面积． 23．已知直线与直线相交于点，直线经过点． (1)求m的值； (2)求直线的解析式； (3)求两条直线与y轴围成的三角形的面积． 24．已知点． (1)在平面直角坐标系中画出A，B，C三点并求直线的解析式； (2)求的面积； (3)已知一次函数（a为常数）． ①求证：一次函数的图象一定经过点A； ②若一次函数的图象与线段有交点，直接写出a的取值范围． 题型九、一次函数与几何综合 25．已知点、在直线上，直线l和函数的图象交于点B．    (1)求直线l的表达式； (2)若点B的横坐标为1，求的面积． 26．如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点 (1)求的值及点、的坐标； (2)求的面积； (3)若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标． 27．在如图所示的平面直角坐标系中，将经过点的直线：向下平移5个单位得到直线，直线经过点． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)若点，都在直线上，请比较和的大小； (3)若直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 题型十、求一次函数的解析式 28．已知将二元一次方程化为一次函数后，经过画图发现，其图象与x轴的交点的横坐标为． (1)请将二元一次方程化为一次函数的形式． (2)这个函数的图象不经过第几象限？ (3)求这个一次函数的图象与y轴的交点坐标． 29．如图，直线：分别与x轴、y轴交于，B两点．过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且．求直线的函数表达式． 30．在平面直角坐标系中，已知直线经过点和． (1)求直线的表达式及该直线与轴交点的坐标； (2)若当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0，直接写出的取值范围． 1．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·四川德阳·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏扬州·三模）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（  ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知一次函数的图象过点，，且函数图象经过第二、四象限，当时，，则该一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 ． 6．（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 7．（2025·广东佛山·三模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为 ． 8．（2025·甘肃平凉·三模）对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，．当时，；如：，，若关于的函数为．则该函数的最小值为 ． 9．（2025·江苏苏州·模拟预测）直线和直线相交于点，分别与轴相交于点和点．求的面积． 10．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，的长是一元二次方程的两个根，直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)是直线上一动点，设的面积为，请求出关于的函数解析式； (3)直线上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数的图象与性质常考题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正比例函数的图象与性质 1 题型二、画一次函数的图象 2 题型三、已知函数经过的象限求参数范围 3 题型四、一次函数图象平移问题 5 题型五、根据一次函数的增减性求参数 6 题型六、比较一次函数值的大小 8 题型七、一次函数的规律探究问题 9 题型八、求直线围成的图形面积 11 题型九、一次函数与几何综合 11 题型十、求一次函数的解析式 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正比例函数的图象与性质 1．已知正比例函数（k是常数，）的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点满足函数解析式成为解题的关键． 先利用已知点求出正比例函数的比例系数k，得到函数解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：将点代入正比例函数解析式，得：，解得：． ∴正比例函数解析式为， A．将代入得，即不在该正比例函数图象上，故该选项不符合题意； B．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项符合题意； C．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项符合题意； D．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项不符合题意． 故选B． 2．如图为某函数的图像，当时，图像上存在个不同的点使得恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键． 设，判断出点，，……，在正比例函数上，根据图象判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有4个交点，即可得到答案． 【详解】解：设， 则……，， 即点，，……，在正比例函数上， 如图，正比例函数的图象与某函数的图象（）最多有4个交点， ∴k的最大取值为4， 故选：C． 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较与的大小． 【答案】(1) (2)点A在图象上 (3)时， 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求解析式，正比例函数的性质与系数的关系，熟练掌握正比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）将点A的横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A是否在这个函数图象上； （3）根据正比例函数的增减性，即可比较，的大小． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴这个函数解析式为． （2）解：当时，， ∴点在这个函数图象上． （3）解：∵， ∴y随着x增大而减小， ∵图象上的两点，，且， ∴． 题型二、画一次函数的图象 4．已知一次函数的图像经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)画出该函数的图像； (3)判断点是否在该函数的图像上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点在该函数图像上 【分析】本题主要考查一次函数，解题的关键在于数值运算． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据两点确定一条直线画函数图象即可； （3）代入已知点的坐标即可求解． 【详解】（1）解：设该一次函数的表达式为， 将点和点代入得： ， 解得， 所以该函数表达式为． （2）解：过点和点作图即可：    （3）解：当时，，所以点在该函数图像上． 5．在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并分别指出图象经过哪些象限． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)图见解析，图象经过第一和第三象限 (2)图见解析，图象经过第一、第三和第四象限 (3)图见解析，图象经过第一、第二和第三象限 【分析】本题主要考查了画一次函数的图象，判断图象经过的象限，解题的关键是掌握描点法． （1）根据正比例函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定点的坐标，然后作经过原点和该点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可； （2）根据一次函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定两个点的坐标，然后作经过两个点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可； （3）根据一次函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定两个点的坐标，然后作经过两个点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， 当时，， ∴过原点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一和第三象限； （2）解：如图，直线即为所求， 当时，， 当时，， ∴过点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一、第三和第四象限； （3）解：如图，直线即为所求， 当时，， 当时，， ∴过点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一、第二和第三象限； 6．已知一次函数的图象经过点， (1)①求k，b的值； ②在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象； (2)直接写出函数图像与x轴交点坐标：______； 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数的图象与性质． （1）①把点，，分别代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可； ②在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象； （2）根据函数图象与轴的交点坐标特征，列方程即可解答． 【详解】（1）解：①根据题意把点，，分别代入得： ， 解得； ②画出函数图象如下： （2）解：当时，可得， 解得， 所以函数图象与轴交点坐标为， 故答案为：． 题型三、已知函数经过的象限求参数范围 7．已知函数，m为常数． (1)若该函数的图象与直线平行，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式（组），掌握相关知识是解决问题的关键． （1）两直线平行，则两直线的解析式中x的系数相等，据此解答即可； （2）一次函数图象不经过第二象限，即函数图象经过一、三、四象限或只经过一、三象限，则x的系数为正数，常数项为负数或零，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象平行于直线， ， ； （2）解：函数是一次函数，且不经过第二象限， ∴且， ∴， ∴m的取值范围是． 8．已知函数，（为常数）． (1)若该函数的图象与直线平行，求的值； (2)若这个函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两条直线的平行问题，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象与直平行得出，解方程求出的值，即可； （2）依据题意，由函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限得出，解不等式组，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵函数的图象与直平行， ∴， 解得：． （2）解：∵函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限， ∴ 解得：． 9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数的值又大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关键． （）先求出，再把点代入求出的值，进而可得出答案； （）画出图象，然后根据图象即可求解； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴， ∴一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图， 当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数即的值，又大于函数的值， ∴． 题型四、一次函数图象平移问题 10．如图，平面直角坐标系中，函数的图象过点，将图象向上平移2个单位长度后与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的相关计算是解题的关键； （1）用待定系数法求出函数解析式，然后根据函数解析式平移的性质得到直线的解析式； （2）由（1）可得直线的解析式，求出点点的坐标，再根据三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， ． 将函数的图象向上平移个单位长度后得到的图象的解析式为， 即， 则直线的函数解析式为． （2）解：在中， 令，得； 令，得， ，， ，， ． ∴的面积为． 11．如图，直线经过点和，线段两个端点的坐标分别为，． (1)求直线的表达式； (2)若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、中点坐标公式、一次函数图象的平移规律以及一元一次方程的解法，熟练掌握待定系数法和一次函数图象平移规律是解题的关键． （1）已知直线上两点坐标，利用待定系数法列方程组，求解直线的斜率和截距，从而得到直线表达式． （2）先根据中点坐标公式求出线段的中点坐标，再根据上加下减的平移规律写出平移后的直线解析式，最后将中点坐标代入解析式，解方程求出的值． 【详解】（1）解：∵直线经过点和， ∴将两点坐标代入解析式，得 ， ∴解得， ∴直线AB的表达式为； （2）解：∵线段CD的端点为，， ∴线段CD的中点坐标为， ∵直线AB向上平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴将点代入解析式，得， ∴解得． 12．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与交于点，直线是一次函数的图象． (1)求直线的表达式； (2)当直线把线段分为两部分时，求的值； (3)若直线与直线不能围成三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数表达式、一次函数图象上点的坐标特征、两条直线的相交与平行问题，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）先求出点C的坐标，然后把B、C的坐标代入求解即可； （2）分别求出和与x轴的交点坐标，然后结合“直线把线段分为两部分”构造关于k的方程求解即可； （3）分直线经过点C或直线∥或直线∥三种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：对于直线，当时，， 解得， ∴， ∴， 对于直线，当时，， 解得， ∴直线与x轴交于， ∵直线把线段分为两部分， ∴或， 解得或； （3）解：对于直线，当时，， ∴直线与y轴交于， ∵直线与直线不能围成三角形， ∴分三种情况讨论：①当直线经过点时， ∴， 解得； ②当时，； ③当时， ∴或或． 题型五、根据一次函数的增减性求参数 13．已知一次函数的图像经过点、． (1)求k、b的值； (2)画出这个函数的图像； (3)当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关键是正确得出函数解析式． （1）将点、代入，运用待定系数法求解； （2）两点法，过点、作直线，即可确定函数的图象． （3）先求出当时，，再结合图象y随x增大而减小，即可判断得解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点、． ∴， ∴； （2）解：过点、作直线，可得的图象，作图如下： （3）解：由图象可知，∵当时，， ∴当时，y的取值范围是． 故答案为：． 14．一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得一次函数的表达式为，再分和两种情况讨论，利用函数y的最大值和最小值的差是6，列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：代入点，得， ∴， ∴一次函数的表达式为， ∴当时，；当时，， 当时，y随着的增大而增大， 则函数y在取得最大值，在取得最小值， ∴， 解得； 当时，y随着的增大而减小， 则函数y在取得最大值，在取得最小值， ∴， 解得； ∴综上，a的值为或． 15．研究一次函数时，发现和的取值变化，会带来函数性质的变化． (1)若，且这个一次函数的图像过点． 求和的值； 若，求的取值范围； (2)设函数，（为常数，）． 若函数和同时满足以下三个条件： 条件：随的增大而增大； 条件：当时，； 条件：当时，的最大值为．求的值． 【答案】(1)，；； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． （）根据，则，把代入直线，从而求解； 由得当，；当，，然后通过一次函数的性质即可求解； （）由题意得，当，；当，；可得：，所以，随的增大而减小，所以，；可得，，从而求出的值． 【详解】（1）解：若，则， 把代入直线， 可得， 所以， 所以， 由得，当，；当，； 因为，随的增大而增大， 所以； （2）解：由题意得：， 当，；当，；可得：， 所以，随的增大而减小， 所以，； 可得：，， 所以． 题型六、比较一次函数值的大小 16．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点，在该函数图象上，且，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求函数的解析式，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据一次函数的图象和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得， 解得 ∴该一次函数的解析式为； （2）解：∵，且， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 17．已知一次函数（k，b是常数，且）． (1)若，点在一次函数图象上，求的值． (2)若，求一次函数图象与轴的交点坐标． (3)若，，点，在一次函数图象上，且，判断q，n的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）将，点代入一次函数解析式即可求出的值； （2）把代入，令可求出即可得解； （3）分别求出，的取值范围，根据一次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：把代入得， 又点在一次函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 令，则， ∵， ∴， 解得：， 所以，一次函数与轴的交点坐标为； （3）解：由已知得，， ∴， 又， ∴， ∴； ∴一次函数中，函数值随的增大而减小， ∵点，在一次函数图象上，且， ∴． 18．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求函数表达式； (2)判断点是否在函数图象上； (3)已知，在函数的图象上，，比较b与d的大小，并说明理由． (4)将一次函数的图象向下平移m个单位后恰好经过，则m的值为________． 【答案】(1) (2)不在 (3) (4)11 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出时的值即可判断求解； （3）利用一次函数的性质解答即可； （4）将点代入平移后的解析式，即可求出m的值． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为 （），将、 代入： 解得：． ∴函数表达式为． （2）解：将代入，得． 故点C不在函数图象上． （3）解：∵函数表达式中， ∴一次函数y随x的增大而减小． ∵，在函数的图象上，， ∴． （4）解：∵函数图象向下平移m个单位后， ∴表达式为． 将代入得： ，即， 解得． 题型七、一次函数的规律探究问题 19．在平面直角坐标系中，直线l经过点，点按如图所示的规律排列在直线l上．若直线l上任意相邻两个点的横坐标都相差1，纵坐标也都相差1，若点（为正整数）的纵坐标为，则n的值为（    ） A．4042 B．4043 C．4044 D．4045 【答案】B 【分析】观察可以发现：①n为奇数时，横坐标纵坐标变化得出规律；②n为偶数时，横坐标纵坐标变化得出规律，再求解即可． 【详解】解：观察①n为奇数时，横坐标变化： 纵坐标变化为： ， ②n为偶数时，横坐标变化： 纵坐标变化为：， ∵点（n为正整数）的纵坐标为， ∴，解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，找出坐标的规律是解题的关键． 20．正方形，，，⋯按如图所示放置，点，，，⋯和，，，⋯分别在直线和轴上，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征与规律探究，关键是通过归纳前几个点的坐标找出规律．先根据直线求出前几个点的坐标，再结合正方形的边长与点纵坐标相等的性质，得到对应点的纵坐标，进而总结出纵坐标的代数式，最后代入计算． 【详解】解：∵点在直线上，当时，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴的纵坐标为； ∵点在直线上，当时，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴的纵坐标为； ∵点在直线上，当时，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴的纵坐标为； …… 以此类推，可归纳得点的纵坐标为． 当时，点的纵坐标为； 故答案为：． 21．如图，点在x轴上，且，过点作轴交直线于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线交x轴于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线于点，……，按照此方法一直作下去． (1)写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　； (2)按照上述规律，点的坐标是 　 　． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先由得到点的坐标，然后求得点的坐标，再结合等腰直角三角形的性质得到点、点的坐标； （2）根据点、、的坐标得出点的规律，从而得到点的坐标． 【详解】（1）解：， 点的坐标为， 轴交直线于点，当时，， 点的坐标为， ， 为等腰直角三角形， ， 直线交轴于点， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 轴交直线交轴于点，当时，， 点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， 故答案为：，，． （2）解：由，，可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质得到系列点的坐标得出规律． 题型八、求直线围成的图形面积 22．如图，直线：分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B交x轴于点 (1)求点A的坐标； (2)当时，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，令，则，又，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，当时，函数为，则令，则，故，又直线经过点，进而可得直线，再令，则，解得，从而，又，则，故可得的面积为； 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为； （2）解：当时，函数为， 令，则， ， 直线经过点B， ∴，解得：， 直线， 令，则， 解得：， ， ， ， 的面积为． 23．已知直线与直线相交于点，直线经过点． (1)求m的值； (2)求直线的解析式； (3)求两条直线与y轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)3 (2) (3)1 【分析】本题考查一次函数的交点，待定系数法求一次函数和与坐标轴所围成图形的面积，掌握待定系数法和求与坐标轴的交点坐标是解题的关键． （1）已知x的值，代入求y的值，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）根据题意先求出与y轴的交点坐标，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：在直线上， ， 则m的值为3； （2）， ， 直线经过点和， ，解得， 直线的解析式为； （3）如图，与y轴交于点C，与y轴交于点D， 当时，，则， 当时，，则， ， 又， ， 则两条直线与y轴围成的三角形的面积为1． 24．已知点． (1)在平面直角坐标系中画出A，B，C三点并求直线的解析式； (2)求的面积； (3)已知一次函数（a为常数）． ①求证：一次函数的图象一定经过点A； ②若一次函数的图象与线段有交点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)见解析， (2) (3)①见解析；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求直线解析式，利用网格求三角形的面积，判断直线是否经过点，一次函数的图象和性质等，解题的关键掌握以上性质． （1）在坐标系中找出点的位置，然后利用待定系数法求直线解析式即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）①将点的横坐标代入函数解析式求值，然后与点的纵坐标对比即可； ②将线段端点坐标代入函数解析式求出值，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中画出A，B，C三点，如图所示， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：； （3）解：①由得， 当时，代入得， ，与点的纵坐标相等， ∴图象必经过A点； ②一次函数的图象与线段有交点， 把代入直线得， ∴， 把代入直线得， ∴， 当时，不是一次函数， 综上a的取值范围为且． 题型九、一次函数与几何综合 25．已知点、在直线上，直线l和函数的图象交于点B．    (1)求直线l的表达式； (2)若点B的横坐标为1，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与几何综合． （1）利用待定系数法即可求得直线l的表达式； （2）先根据已知条件得出点B的坐标，进而求得函数的表达式，求得点D的坐标，从而得出的距离，最后利用三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点A，C在直线l上， 将点A，C代入得，， 解得， ∴直线l的表达式为． （2）解：∵点B是直线与的交点，点B的横坐标为1， ∴点B坐标为， 又∵点B在函数上， 将点B代入得：， ∴解析式为， ∴点D坐标为， ∴， ∴． 26．如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点 (1)求的值及点、的坐标； (2)求的面积； (3)若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)2 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了两条直线相交问题，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积． （1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； （2）根据待定系数法，可得的解析式，根据函数值为零，可得点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案； （3）设，可得，然后根据时，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， 得， 解得， 一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、， 当时，， 解得，即， 当时，，即， ，，； （2）解：把点代入一次函数，得，解得， ， 当时，，即． ， ； （3）解：点是轴上的一个动点，设， ， ，， ， 或， 点的坐标为或． 27．在如图所示的平面直角坐标系中，将经过点的直线：向下平移5个单位得到直线，直线经过点． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)若点，都在直线上，请比较和的大小； (3)若直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的表达式，一次函数的图像与性质，平移问题，解题的关键是利用数形结合思想，从图像角度出发求出k的取值范围． （1）将点A代入中求出b值，得到的解析式，再根据平移的性质得到的解析式，将点B坐标代入，可得m值； （2）利用一次函数的性质求解即可； （3）分别将点A和点B代入：中，求出对应k值，再根据与线段有公共点，结合图像得出结果． 【详解】（1）解：将的坐标代入中， 得， 解得， ∴， 向下平移5个单位，得，即． 将的坐标代入中， 得， ∴． （2）解：∵直线，， ∴随着的增大而增大， ∵点，都在直线上，， ∴． （3）解：当经过点时，， 解得； 当经过点B时，， 解得． ∴当直线与线段有公共点时，或． 题型十、求一次函数的解析式 28．已知将二元一次方程化为一次函数后，经过画图发现，其图象与x轴的交点的横坐标为． (1)请将二元一次方程化为一次函数的形式． (2)这个函数的图象不经过第几象限？ (3)求这个一次函数的图象与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)这个函数的图象不经过第四象限 (3) 【分析】（1）把时的函数值为代入二元一次方程即可求出的值，从而求出其解析式； （2）根据，，可知该一次函数的图象所经过的象限，就可判断这个函数的图象不经过第几象限； （3）令，代入函数解析式．就可得到函数与轴的交点的纵坐标，而横坐标是，由此可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，一次函数的图象过点， 将，代入二元一次方程，得， 解得． 故化为一次函数的形式为． （2）解：在中， ，， ∴这个函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． （3）解：当时，． 故一次函数的图象与轴的交点坐标为． 【点睛】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 29．如图，直线：分别与x轴、y轴交于，B两点．过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且．求直线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，熟练掌握求解析式的方法是解题的关键； 先把点的坐标代入，求出的值，即可得到点的坐标，再根据比值即可求得点的坐标，则可设出的解析式，将点坐标代入解析式即可求得． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 即． 当时，， 即点B的坐标是， ． ， ， ∴点的坐标是． 设直线的函数表达式为． 把点C的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式是． 30．在平面直角坐标系中，已知直线经过点和． (1)求直线的表达式及该直线与轴交点的坐标； (2)若当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，一次函数的图象与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直线经过点和，利用待定系数法即可求得表达式，然后求得当时，的值，得到与轴的交点的坐标； （2）根据函数的值小于函数的值，且大于0，列出不等式组求得，结合，得到，解之即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点和， ∴，解得， ∴该直线的表达式为， ∵当时，， ∴该直线与轴交点的坐标为． （2）解：根据题意可得， 解得 ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 1．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 2．（2025·四川德阳·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答． 根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，本题得以解决． 【详解】解∶当时，函数是经过原点的直线，经过第一、三象限，函数是经过第一、二、三象限的直线，没有符合题意的选项∶ 当时，函数是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数是经过第一、三、四象限的直线，选项C符合题意； 故选∶ C． 3．（2025·江苏扬州·三模）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 由解析式求出点和点的坐标，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得，，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，，时，， ，， ． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中，， 即， 解得：， ． 故选：B． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知一次函数的图象过点，，且函数图象经过第二、四象限，当时，，则该一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，，则，所以，从而得到，然后根据一次函数的性质得到，所以，从而确定一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． 故选：B． 5．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及不等式恒成立问题，熟练掌握一次函数表达式的变形和不等式恒成立的条件是解题的关键．先将两个一次函数整理成一般式，根据无论取何值都有，得出关于的不等式恒成立的条件，进而求解的取值范围． 【详解】解：，． ， ， 整理得． 因为无论取何值，该不等式始终成立，所以一次项系数，即， 此时不等式变为， ， ， ． 故答案为：． 6．（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是解题的关键．先根据“友好点”的定义找出友好点坐标之间的关系，设出直线上一点及其友好点，得出直线的斜率，再结合直线与坐标轴围成三角形面积求出直线表达式． 【详解】设点在直线上，其友好点也在直线l上， 设直线l的解析式为，将点和代入解析式得： ，解得， ∴直线l的表达式为， 当时，，即直线l与y轴交点为， 当时， ，解得，即直线l与x轴交点为， ∴， ∴， ∴直线的表达式或． 故答案为：或． 7．（2025·广东佛山·三模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据所给一次函数解析式，得出y随x的增大而减小，再结合A，B两点纵坐标的大小关系，得出横坐标的大小关系即可解决问题． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：因为一次函数的解析式为， 所以y随x的增大而减小． 又因为， 所以 故答案为： 8．（2025·甘肃平凉·三模）对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，．当时，；如：，，若关于的函数为．则该函数的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据新定义得到时，，当时，，分别求出两种情况下的函数的最小值，进行判断即可． 【详解】解：当，即：时，， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，有最小值为：； 当，即：时，， ∴随着的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，， 故该函数的最小值为2； 故答案为：2． 9．（2025·江苏苏州·模拟预测）直线和直线相交于点，分别与轴相交于点和点．求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中直线与坐标轴围成的面积，掌握一次函数交点的计算方法，图形面积的计算方法是解题的关键．根据两条直线相交，可联立方程组求得点的坐标，根据直线与坐标轴有交点可求得点的坐标，如图所示，可得，过点作于点，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据题意得方程组，解得， ∴， 在直线中，当时，，解得， ∴， 在直线中，当时，，解得， ∴， 如图所示，过点作于点，      ∴，， ∴． 10．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，的长是一元二次方程的两个根，直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)是直线上一动点，设的面积为，请求出关于的函数解析式； (3)直线上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形定义，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用是解题的关键． （）求出，，再用待定系数法可得直线解析式为； （）求出，，，根据三角形面积公式可得； （）设，可得，，，然后分三种情况列方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：由得：，， ∴，， 设直线解析式为，把代入得：， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：在中，令得， ∴， ∵， ∴， ∵是直线上一动点， ∴， ∴， ∴； （3）解：直线上存在点，使为等腰三角形，理由如下： 设， ∵，， ∴，，， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得（此时，重合，舍去）或， ∴； 当时，， 解得或， ∴或； 综上所述，的坐标为或或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $