精品解析：河南商丘市夏邑县2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试卷

2025—2026学年度第一学期期末考试 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（　　） A. 1 B. C. 0 D. 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是完全平方式，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 7. 某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，点E在上，，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图，平分，P为上一点，且于点D，于点E，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是面积的2倍，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则x应满足条件是______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________． 13. 已知，，则＝_______． 14. 已知，则的值是___________． 15. 如图，中，平分，且平分，于E，于F．如果，则的长是________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2）． 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. （1）先化简．再求值：，其中． （2）解方程：． 19. 如图，在中，是高线，，是角平分线，，相交于点O，，． （1）求度数． （2）求的度数． 20. 如图，在中，，点D在上，连接，并延长至点E，连接，使． （1）作的平分线，交于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 21. 为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． （1）求：足球和排球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 22. 【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． （1）【知识运用】请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”，“”或“”）： ① ；②当时， ； （2）【知识运用】若，试比较与的大小，并说明理由； （3）【类比运用】图（1）是边长为4正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的新正方形，此正方形的面积为；请判断与的大小关系，并说明理由． 23. 【问题提出】 如图1，等边的边长为4，点P在边上，作于点E，Q为边延长线上一点，且，连接交于D，求的长． 小明同学经过思考后认为，过点P作的平行线可以使问题得到解决．请你根据小明同学的思路，求出的长． 【问题拓广】 如图2，等边边长为a，点P在边的延长线上，作的延长线于点E，Q为边上一点，且，连接交于D．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末考试 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不合题意； 故选：C． 2. 纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，,n为第一位有效数字前面0的个数． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数；一般形式为，，n为整数，确定a与n的值是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式，正确掌握运算法则是解题关键． 根据合并同类项的法则，同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式计算即可． 【详解】解：A. ，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项错误； D. ，故此选项正确； 故选：D． 4. 计算的结果是（　　） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选：B． 6. 已知是完全平方式，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．根据是完全平方式可得，再计算完全平方式，由此即可得． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得： ． 故选：A． 8. 如图，，点E在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 9. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解： 解得： 且 ∵关于的分式方程的解是负数， ∴，且 ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 10. 如图，平分，P为上一点，且于点D，于点E，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是面积的2倍，其中正确的个数有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识点．证明，，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵，，， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∵，， ∴，， ∴的面积≠面积的2倍，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，关键是掌握分式的分母不为零，要使分式 有意义，则分母 ，进而即可求解． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴ ，解得 ． 故答案为 ． 12. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 13. 已知，，则＝_______． 【答案】50 【解析】 【分析】根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：50． 【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用是解决此题的关键． 14. 已知，则的值是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，涉及了整式的乘法，负整数指数幂的运算，利用已知，通过平方已知等式，利用完全平方公式展开，将中间项化简后即可求解. 【详解】解：对已知等式两边平方： 展开左边，应用完全平方公式： 移项并合并常数项： 因此，的值为7， 故答案为：7． 15. 如图，中，平分，且平分，于E，于F．如果，则的长是________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想求解． 连接，由平分，于E，于F，根据角平分线的性质，即可得，又由且平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得，则可得，再证，即可得，然后设，由，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵平分，， ∴， ∵且平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，单项式的乘除混合运算． （1）先将负整数幂，零指数幂，乘方化简，再进行计算即可； （2）先根据积乘法运算法则将乘方化简，再根据同底数幂乘除运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. （1）先化简．再求值：，其中． （2）解方程：． 【答案】（1）；；（2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算及解分式方程，掌握运算法则正确计算是解题关键，注意分式方程结果要检验． （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2） 去分母得：， 解得： 检验：当时，， 所以原方程的解为． 19. 如图，在中，是高线，，是角平分线，，相交于点O，，． （1）求的度数． （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线、角之间的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据题意易得到，根据角平分线的性质得到，根据进行计算求解即可； （2）根据题意易得到，根据角平分线的性质得到和，根据进行计算求解即可． 【小问1详解】 解：， ． ， ． 平分，， ， ． 【小问2详解】 解：，， ． ，分别是，的平分线， ，， ． 20. 如图，在中，，点D在上，连接，并延长至点E，连接，使． （1）作的平分线，交于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作法作出即可； （2）由，，得到，根据角平分线的定义可得，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 证明：连接， 由条件可知， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ． 21. 为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． （1）求：足球和排球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】（1）足球的单价是80元，排球的单价是65元； （2）学校最多可以购买70个足球． 【解析】 【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量=总价÷单价，结合用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价=单价×数量，结合购买足球和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元； 【小问2详解】 解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球， 依题意得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为70． 答：学校最多可以购买70个足球． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． （1）【知识运用】请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”，“”或“”）： ① ；②当时， ； （2）【知识运用】若，试比较与的大小，并说明理由； （3）【类比运用】图（1）是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的新正方形，此正方形的面积为；请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）①；② （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算，分式的大小比较，完全平方公式在几何图形中的应用． （1）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （2）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （3）先求出和的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； 故答案为：，； 小问2详解】 解：， 理由如下： ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， 理由如下： ，， ， ． 23. 【问题提出】 如图1，等边的边长为4，点P在边上，作于点E，Q为边延长线上一点，且，连接交于D，求的长． 小明同学经过思考后认为，过点P作的平行线可以使问题得到解决．请你根据小明同学的思路，求出的长． 【问题拓广】 如图2，等边边长为a，点P在边的延长线上，作的延长线于点E，Q为边上一点，且，连接交于D．求的长． 【答案】【问题提出】2；【问题拓广】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的综合，辅助线是解题关键． 【问题提出】过点P作交于点F，得出，，，证明为等边三角形，得出，再证明，证明，得出，进而可得出答案； 【问题拓广】过点P作交的延长线于点F，得出，，，证明为等边三角形，得出，再证明，证明，得出，进而可得出答案． 【详解】解：（1）如图，过点P作交于点F， ，，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， 又 ， ， 又，， ， ， ； （2）过点P作交的延长线于点F， ，，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， 又 ， ， 又，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $