精品解析：河南郑州高新区朗悦慧外国语中学等校2025-2026学年上学期八年级数学期末试题

2025-2026学年上期八年级数学学科期末试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中是无理数的是（　　） A. B. C. 0.12 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点P在x轴的下方，y轴右侧，且到x轴的距离为5，到y轴距离为1，则点P的坐标为（ ） A. (1,-5) B. (5,1) C. (-1,5) D. (5,-1) 4. 我校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为95分，复赛成绩为90分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小颖同学的总成绩为（　　） A. 91分 B. 89分 C. 92分 D. 90分 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 6. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，点在上方，连接，． ，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 正比例函数的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中 ， ，则每个直角三角形的面积为（　　） A. 64 B. 54 C. 108 D. 48 10. 小明从家中去往A地，匀速前进，小明出发后，小明的爸爸发现小明的数学书落在了家中，于是按照小明步行的路线匀速追赶小明，爸爸将数学书送给小明后（不计停留时间），又按原路原速返回．当小明到达目的地时，爸爸恰好也到达家中，小明和爸爸离家的距离与小明的步行时间的函数关系图象如图所示．下列说法正确的有（　　）个 ① ；②；③小明爸爸的速度是；④小明爸爸出发或时两人相距． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______（填“、或”）． 12. 函数与的图像如图所示，两图像交点的横坐标为4，则二元一次方程组的解是______. 13. 如图，长方形OABC放在数轴上，，，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为_______． 14. 如图，一个无盖的长方体盒子的长为 ，宽为，高为 ，点离点的距离为 ．一只蚂蚁如果要沿着该盒子的表面从点爬到点，那么需要爬行的最短路程为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为轴上一点，将沿所在的直线翻折后，使得点的对应点恰好落在轴上，则点坐标为___________． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程组． 17. 某市射击队为了从，两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将，两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】（1）小明计算平均数，（环），___________（环）；通过散点图比较：___________（填“>”“<”或“=”）； （2）小颖计算四分位数并绘制了、两名运动员的箱线图．①处应填___________环，②处应填___________环；③处应填___________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数___________选手射击成绩的中位数（填或）； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① ② 9.5 10 8 8.5 9 ③ 10 【作出决策】（3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 18. 如图，，，点在第一象限，轴且． （1）点的坐标是___________； （2）将，，三点的纵坐标分别乘以，横坐标保持不变，得到点，，，请在平面直角坐标系中画出；与的位置关系是___________； （3）在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形的面积为3？若存在，请直接写出点的坐标． 19. 命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． （1）已知：如图，___________，；求证：___________． （2）证明： （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 20. 秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤组的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤组的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 7 11 12 （斤） 0.75 1.00 2.00 2.25 3.25 3.50 （1）在上表、的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断错误的一对是___________；（用坐标表示）． （2）求与之间的函数关系式． （3）求当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤砣到秤组的水平距离是多少厘米． 21. 2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． （1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ （2）现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 22. 数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 23. 在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“旋垂点”．例如：如图1，，，三点中，因为，且，所以点为2的“旋垂点”． （1）①点，，则___________2的“旋垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图2，若点，，则点是4的“旋垂点”，则点的坐标为___________． （2）如图3，若点为，一次函数上存在2的“旋垂点”，点在轴上，求2的“旋垂点”的坐标． （3）若在直线上存在无数个5的“旋垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在内，，，连接，直接写出 的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上期八年级数学学科期末试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中是无理数的是（　　） A. B. C. 0.12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，直接根据无理数的定义判断即可. 【详解】解：，，0.12是有理数，是无理数， 故选：D 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，包括合并同类项、化简以及乘法公式的应用，根据二次根式的运算法则判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、， 故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、 ，故选项符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点P在x轴的下方，y轴右侧，且到x轴的距离为5，到y轴距离为1，则点P的坐标为（ ） A. (1,-5) B. (5,1) C. (-1,5) D. (5,-1) 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出点P在第四象限，再根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】∵点P在x轴下方，y轴的右侧，∴点P在第四象限． ∵点P到x轴的距离为5，到y轴的距离是1，∴点P的横坐标为1，纵坐标为﹣5，∴点P的坐标为（1，﹣5）． 故选A． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 4. 我校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为95分，复赛成绩为90分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小颖同学的总成绩为（　　） A. 91分 B. 89分 C. 92分 D. 90分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，解题关键是根据加权平均数的计算公式，将初赛成绩和复赛成绩分别乘以对应的权重后求和得到总成绩． 【详解】解：∵总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占计算， ∴小颖的总成绩为（分）， 故选：A． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据垂线的性质，数轴与实数，平行线的判定，平行线的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题，不符合题意； B、数轴上的每一个点都有一个实数与它对应，原命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题为真命题，符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 6. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 7. 如图，已知，点在 上方，连接，． ，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，理解题意，作出辅助线是解题关键． 过点作 ，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点作 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 正比例函数的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，根据正比例函数得图象经过第二，四象限，可得，求出k的取值范围，再结合关系式得出答案即可． 【详解】∵正比例函数得图象经过第二，四象限， ∴， 解得， ∴一次函数经过一，二，四象限． 故选：C． 9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中 ， ，则每个直角三角形的面积为（　　） A. 64 B. 54 C. 108 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件 联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得 ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴每个直角三角形的面积为 ， 故选：B． 10. 小明从家中去往A地，匀速前进，小明出发后，小明的爸爸发现小明的数学书落在了家中，于是按照小明步行的路线匀速追赶小明，爸爸将数学书送给小明后（不计停留时间），又按原路原速返回．当小明到达目的地时，爸爸恰好也到达家中，小明和爸爸离家的距离与小明的步行时间的函数关系图象如图所示．下列说法正确的有（　　）个 ① ；②；③小明爸爸的速度是；④小明爸爸出发或时两人相距． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象及一元一次方程的应用，读懂函数图象，利用路程、速度与时间的关系是解题的关键． 根据函数图象中的数据，可以计算出小明步行的速度、爸爸的速度以及a、b的值，即可判断①②③；④分两种情况，然后分别计算出相应的时间，即可求解． 【详解】解：①∵小明出发后，小明的爸爸发现小明的数学书落在了家中，于是按照小明步行的路线匀速追赶小明， ∴ ，故①正确； ②由图象得：小明的速度为：， 小明共用时10分钟，爸爸用时分钟， ∴小明爸爸追上小明用时4分钟， 此时小明走的路程为：米，故②正确； 爸爸的速度为：，故③正确； ④设小明爸爸出发后的时间为，小明出发的时间为： 爸爸出发后与小明相遇之前：， 解得； 小明与爸爸相遇之后：， 解得； 综上所述，当小明与爸爸相距时，小明爸爸出发或，故④错误； 故选：C 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______（填“、或”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的大小比较，灵活运用作差法比较大小成为解题的关键． 先作差，然后判断正负，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 函数与的图像如图所示，两图像交点的横坐标为4，则二元一次方程组的解是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图像交点坐标是二元一次方程组的解，即可得答案． 【详解】解：两图像交点的横坐标为4， 交点的纵坐标坐标是：， 的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握函数图像交点坐标是二元一次方程组的解． 13. 如图，长方形OABC放在数轴上，，，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出AC，然后根据数轴写出点P所表示的数即可． 【详解】解：∵长方形OABC的长OA为2，宽OC为1， ∴由勾股定理得，， ∴， ∵点A表示的数是2， ∴点P表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，主要是无理数在数轴上的表示，熟记定理是解题的关键． 14. 如图，一个无盖的长方体盒子的长为 ，宽为，高为 ，点离点的距离为 ．一只蚂蚁如果要沿着该盒子的表面从点爬到点，那么需要爬行的最短路程为___________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．解题的关键是熟练掌握几何体的展开图及勾股定理． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ， ∴在 中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ， ∴在 中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是25， 故答案为：25． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为轴上一点，将沿所在的直线翻折后，使得点的对应点恰好落在轴上，则点坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理等知识，先由勾股定理求出，再根据翻折的性质得，，设，分两种情况：当点P在x轴的正半轴上时；当点P在x轴的负半轴上时，分别根据列方程求解即可． 【详解】解：∵点为，点为， ∴，， ∴， ∵将沿所在的直线翻折后，使得点的对应点恰好落在轴上， ∴，， 设， 分以下两种情况： 当点P在x轴的正半轴上时，如图： 则，， ∵， ∴， 解得， ∴点坐标为； 当点P在x轴的负半轴上时，如图： 则，，，， ∴， 解得， ∴点坐标为． 综上所述，点坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的混合运算的法则和解二元一次方程组的步骤是关键． （1）先化简二次根式，并利用平方差公式计算，再计算二次根式的除法和括号里的减法，最后算减法即可； （2）根据加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）原式； （2）， ①②，得， 解得， 将代入②得，， 解得 ， 原方程组的解为． 17. 某市射击队为了从，两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将，两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】（1）小明计算平均数，（环），___________（环）；通过散点图比较：___________（填“>”“<”或“=”）； （2）小颖计算四分位数并绘制了、两名运动员的箱线图．①处应填___________环，②处应填___________环；③处应填___________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数___________选手射击成绩的中位数（填或）； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① ② 9.5 10 8 8.5 9 ③ 10 【作出决策】（3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9，；（2），9，，=；（3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，求众数，求中位数，根据方差判断稳定性，求四分位数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据平均数和方差的意义解答即可； （2）先把选手A，B的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：运动员B的平均数为： （环）， 根据散点图得：运动员A的成绩的波动比运动员B大， ∴． 故答案为：9，； （2）解：选手A的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， ∴下四分位数为，即； 中位数为，即； 选手B的数据从小到大排列为8，8，9，9，9，9，10，10， ∴上四分位数为，即， 基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数等于选手B射击成绩的中位数，． 故答案为：，9，，=； （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛， 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 18. 如图，，，点在第一象限，轴且． （1）点的坐标是___________； （2）将，，三点的纵坐标分别乘以，横坐标保持不变，得到点，，，请在平面直角坐标系中画出；与的位置关系是___________； （3）在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形的面积为3？若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）见解析；关于x轴对称 （3）或 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意可直接得出点B的坐标为； （2）根据题意可得点，，的坐标，再描点连线即可，可知与关于x轴对称； （3）设点P的坐标为，根据题意得，求出a的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵点在第一象限，轴且，， ∴点B的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得，，， 如图，即为所求． 与的位置关系是关于x轴对称． 故答案为：关于x轴对称； 【小问3详解】 解：存在，设， 由（2）图可知与y轴交于点，如图， ， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 19. 命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． （1）已知：如图，___________，；求证：___________． （2）证明： （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】（1）平分，平分； （2）见解析 （3）真 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． （1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）写出已知和求证，然后证明即可． 【小问1详解】 解：如图，分别交 ，于， ，平分，平分，．求证：． 故答案为：分别交 ，于， ，平分，平分；； 【小问2详解】 证明：平分 平分， ， ， ； 【小问3详解】 命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是真命题， 已知：，被所截， 平分， 平分，求证：； 证明如下： 如图所示， ∵，被所截， 平分， 平分， ∴，，， ∴， ∴． 20. 秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤组的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤组的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 7 11 12 （斤） 0.75 1.00 2.00 2.25 3.25 3.50 （1）在上表、的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断错误的一对是___________；（用坐标表示）． （2）求与之间的函数关系式． （3）求当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤砣到秤组的水平距离是多少厘米． 【答案】（1） 解：观察图象可知：，这组数据错误． 故答案为： ； （2） （3）16厘米 【解析】 【分析】此题考查画一次函数的图象的方法，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用，正确计算是解此题的关键． （1）利用描点法画出图形即可判断； （2）设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可； （3）根据（2）中求得的函数解析式，当 时，可求得秤杆上秤砣到秤组的水平距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）的图象可知，与的关系满足一次函数， 设与的函数解析式为，把， ， ， 代入可得： ，解得， 与之间的函数关系式是； 【小问3详解】 当 时， ， 解得， 当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤砣到秤组的水平距离是16厘米． 21. 2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． （1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ （2）现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 【答案】（1）1辆小货车一次满载运输300件，1辆大货车一次满载运输400件 （2）够用，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，弄清量与量之间的关系是解答本题的关键． （1）设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车辆，大货车辆，列出方程，然后根据、均为整数进行列举，再计算费用进行比较即可． 【小问1详解】 解：设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品， 依题意得：， 解得：， 答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品． 【小问2详解】 解：该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下： 设租用小货车辆，大货车辆， 依题意得： 又，均为正整数， 当，；当， ； 或 共有2种租车方案， 方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为； 方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为； ；； 该组委会计划支出4000元用于租车，够用． 22. 数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】（1）12米 （2）7米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子 的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为x米，则绳子 的长为米， 由题意知：米， ， 在 中， ， ， 解得： ， 答：旗杆的高度12米； 【小问2详解】 解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 23. 在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“旋垂点”．例如：如图1，，，三点中，因为，且，所以点为2的“旋垂点”． （1）①点，，则___________2的“旋垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图2，若点，，则点是4的“旋垂点”，则点的坐标为___________． （2）如图3，若点为，一次函数上存在2的“旋垂点”，点在轴上，求2的“旋垂点”的坐标． （3）若在直线上存在无数个5的“旋垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在内，，，连接，直接写出 的面积． 【答案】（1）①是；②或 （2）或 （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）①根据“旋垂点”的定义，进行判断即可； ②分两种情况：C分在B点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）根据是否在原点分情况讨论，设，如图，过作轴于点，证明，进而得或，再根据点在上，则，解方程即可； （3）同理求出，得到点在 上，则  ，再由勾股定理逆定理得为直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，，， ∴ ， ，，， ∴，， ∴， 则是2的“旋垂点”， 故答案为：是； ②分以下两种情况： 当点C在点B上方时，过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F和点E，   ∵点，，且点C是4的“旋垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当点C在点B下方时，过点B作x轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作 于点E，如图所示：    ∵点，，且点C是4的“旋垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或； 【小问2详解】 解：∵与轴交点， ∴，， ∴当在原点，在点时，是2的“旋垂点”，此时 当不在原点时，设， 如图，过作轴于点， 轴， ， ， ， ， ， ，， ，， 即， 点在上， ， 解得， ， 或； 【小问3详解】 解：∵直线上存在无数个5的“旋垂点”， ∴点，，， 设， 过点作轴于点，如图所示：    由（1）同理可得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在 上， 即直线为 ， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴   ， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 即 的面积为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $