精品解析：吉林长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期数学学科大练习（1）（寒假作业验收考试）

2024级高一年级下学期数学学科大练习（1） 寒假作业验收考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】由题意得，，则． 故选：A． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化弦为切，代入求值. 【详解】，故. 故选：D 3. 下列函数中,定义域为的奇函数是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】定义域R,所以舍去B,又为偶函数,为非奇非偶函数, 故选：D. 4. 设，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除AB，根据函数值的符号，可排除C. 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除AB； 当时，，故排除C. 故选：D 6. 已知函数，在上恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据诱导公式和二倍角公式，化简函数，再根据其在上恰有4个零点，可列式求的取值范围. 【详解】因为. 由. 因为，且在上恰有4个零点. 所以，. 故选：A 7. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由可得， 又，则， 故 . 故选：B. 8. 已知函数的图象与轴的交点坐标为，与直线：的三个相邻交点的横坐标依次为，，，且，.当时，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象与轴的交点坐标求的值；由的关系求两条相邻对称轴方程，可求的值，从而确定的解析式；等价转化不等式，利用不等式恒成立求的范围. 【详解】由题意知，所以．又，所以． 由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，， 所以函数的最小正周期，所以， 所以． 当时，，． 由，得，所以， 所以，解得. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列公式比较大小，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由指数函数的性质确定ABC，乘后结合对数函数单调性确定D. 【详解】对于选项A：由于在上是单调递增函数，故，故A错误； 对于选项B：因为，且在上是单调递增函数， 所以，即，故B正确； 对于选项C：因为，，故，故C正确； 对于选项D：， 所以，即，故D错误； 故选：AD. 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的单调递增区间为 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】由余弦型函数的相关性质逐项求解判断即可. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，故A对； 对于B选项，由得， 所以，函数的单调递增区间为，故B错； 对于C选项，当时，， 由可得，所以，函数在区间上只有一个零点，故C对； 对于D选项，当时，，则， 则函数在区间上的值域为，故D错. 故选：AC. 11. 已知函数，若，且，则下列结论正确是（ ） A. B. C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数的图象，利用对数的运算性质可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】由可得，解得. 作出函数的图象如下图所示： 由图象可得， 由，可得，即，得，A选项正确； 令，解得， 当时，令，解得，由于，， 所以，函数的图象关于直线对称， 则点、关于直线对称，可得，B选项错误； ，C选项正确； ，下面证明函数在上减函数， 任取、且，则， ，则，，所以， 所以，函数在上为减函数， ，则，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数值常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件确定，，再结合关系求结论. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 故答案为：, 13. 已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数、对数函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】不妨取，由可得，所以，函数在上为减函数， 且，则，解得. 因此，实数取值范围是. 故答案为：. 14. 如图，OPQ是以O为圆心，半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，AB在线段OP上，ABCD是扇形的内接矩形，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，表达出，，利用三角恒等变换得到，求出最大值，得到答案. 【详解】设，， 则， 故， 则，则， 则 ， 因为，所以， 故当，即时，取得最大值， 最大值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共3小题，共47分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）根据诱导公式将所求角转化为已知角求解即可. 【小问1详解】 ， ， 则； 【小问2详解】 由（1）得，，则， 又， 故． 16. 已知定义在R上的函数满足且，． （1）求的解析式； （2）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，代入计算可得； （2）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可. 【小问1详解】 由题意知，， 即，所以， 故. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在R上单调递增， 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数m的取值范围是. 【点睛】不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 17. 已知函数． （1）若对任意，有恒成立，求实数的取值范围； （2）求函数在区间内的零点个数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用条件证明，然后证明当时满足条件，即可得到的取值范围是； （2）令求出，再由的范围可得答案． 【小问1详解】 ①一方面，有成立，即，从而； ②另一方面，当时，对有，故，从而 . 从而有恒成立，满足条件. 综合①②，可知的取值范围是； 【小问2详解】 令得，即，所以函数的零点为. 因为，所以，得，即，从而全部的零点为. 所以在区间内的零点个数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一年级下学期数学学科大练习（1） 寒假作业验收考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中,定义域为的奇函数是 A. B. C. D. 4. 设，且，则最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，在上恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象与轴的交点坐标为，与直线：的三个相邻交点的横坐标依次为，，，且，.当时，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列公式比较大小，错误的是（ ） A. B. C D. 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的单调递增区间为 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间上的值域为 11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 13. 已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是_________. 14. 如图，OPQ是以O为圆心，半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，AB在线段OP上，ABCD是扇形的内接矩形，则的最大值为__________. 四、解答题：本大题共3小题，共47分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知． （1）化简； （2）若，求的值． 16. 已知定义在R上的函数满足且，． （1）求的解析式； （2）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围． 17 已知函数． （1）若对任意，有恒成立，求实数的取值范围； （2）求函数在区间内的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $