精品解析：甘肃金昌市第一中学2025-2026学年下学期学业水平质量检测（三）高三数学试题

金昌市第一中学2026年春季学期学业水平质量检测（三） 高三数学试题 本试卷满分150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合題目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（　　） A. M<N B. M>N C. M≤N D. M≥N 4. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 下列不等式中解集为R的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知f（x5）＝lgx，则f（2）等于 A. lg2 B. lg32 C. lg D. 7. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是(　　) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题，则的否定为： D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. D. 的单调递增区间为 11. 下列式子恒成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数f (x)＝的定义域为，则实数a＝________． 13. 若函数 的图象关于点对称，则实数________． 14. 已知函数在内有零点，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，化简 ； （2）化简 ． 16. （1）求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是R，求实数a的取值范围． 17. 已知 ，其中为常数 （1）当 时，求的值； （2）当时，关于的不等式恒成立，试求的取值范围； 18. 已知函数，为实数． （1）当时，判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （2）是否存在实数，使得在闭区间上的最大值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知关于的不等式. （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； （2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； （3）若不等式对有解，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金昌市第一中学2026年春季学期学业水平质量检测（三） 高三数学试题 本试卷满分150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合題目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的概念求解. 【详解】因为集合， 所以， 故选：B. 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的含义，结合特殊值说明即可. 【详解】设，，显然有，但是不成立； 若，因为，所以有成立. 所以，“”是“”的必要而不充分条件. 故选：C. 3. 已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（　　） A. M<N B. M>N C. M≤N D. M≥N 【答案】B 【解析】 【分析】作出M，N的差，变形并判断符号作答. 【详解】， 所以. 故选：B. 4. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用，结合基本不等式求解. 【详解】因，，满足，则， 于是 ，当且仅当时，即，等号成立， 故的最小值是. 故选：C 5. 下列不等式中解集为R的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别解出各选项对应的一元二次不等式即可求解． 【详解】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意． 6. 已知f（x5）＝lgx，则f（2）等于 A. lg2 B. lg32 C. lg D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析： 令x5＝t，则x＝ （t>0）， ∴f（t）＝lg＝．∴f（2）＝，故选D． 考点：函数值 7. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数性质判断各函数的单调性，结合奇偶性定义判断奇偶性. 【详解】A：由知，在上递增，不符； B：由二次函数性质知，是偶函数，又在上单调递减，符合； C：由在上递增，在定义域上递增，故在上递增， 不符合； D：的定义域为，且，得函数是奇函数，不符. 8. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，和时，由一次函数的单调性与二次函数图象的开口方向，排除一些选项，再由的正负，确定二次函数对称轴的位置，从而可得最后结果. 【详解】若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；若a＜0，同理可排除D.对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.故选C. 【点睛】本题巧妙地利用二次函数与一次函数图象经过特殊点，结合排除法解答．在遇到此类问题时，要牢记在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a的正负决定抛物线开口的方向，c确定抛物线在y轴上的截距，b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题，则的否定为： D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用全称量词命题的真假来判断A，由真子集关系来判断充要关系可推断B，利用命题的否定可判断C，利用不等式的性质可判断D． 【详解】对于选项A：，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为真命题； 对于C：命题，则的否定为：，故C选项为假命题 对于选项D：若，则，故D选项为假命题． 故选：AB. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. D. 的单调递增区间为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数的解析式，求出函数的定义域值域即可判断A、B，求出利用对数运算法则即可求解C，根据复合函数的单调性即可判断D. 【详解】对AB，由，得，则的定义域为，值域为，A，B均正确； 对C，，C正确； 对D，因为，所以，外层函数为增函数， ，令，所以函数定义域为， 内层函数，在上单调递增，上单调递减， 所以的单调递增区间为不是D错误. 故选：ABC 11. 下列式子恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由指数函数、对数函数的单调性比较大小判断选项AB；由对数式的运算和特殊角的正切值判断选项C；由对数式的运算判断选项D. 【详解】A项，指数函数在上单调递增， 由，则，故A正确； B项，对数函数在上单调递增，则， 又，所以，故B正确； C项，，故C错误； D项，，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数f (x)＝的定义域为，则实数a＝________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的成立条件，联立偶次根式被开方数非负、分母不为零的约束，结合给定定义域的端点确定参数的值. 【详解】要使函数有意义，需同时满足： 偶次根式的被开方数非负：，解得； 分母不为零：，即. 已知函数的定义域为，说明上述两个约束的解集交集为，因此根式约束的下界需等于定义域左端点，即，解得； 此时需满足，可保证时自动满足，完全符合定义域要求，故. 13. 若函数 的图象关于点对称，则实数________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，的图象关于对称，不合题意， 当时，的图象关于对称， 又因为函数  的图象关于点对称， 所以， 综上，. 14. 已知函数在内有零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过导数判断函数在区间上的单调性，再结合零点存在定理列不等式求解的取值范围. 【详解】对求导得：. 当时，且，故，因此在上单调递减. 因为在内有零点，结合单调函数的零点存在性质，可得：  ， 计算端点函数值： ，， 代入不等式得： ，解得，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，化简 ； （2）化简 ． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】（1）. （2）， ， . 16. （1）求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是R，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式、根式及指数幂的性质求定义域即可； （2）问题化为在上恒成立，分类讨论研究恒成立，即可得. 【详解】（1）由函数解析式知， 故函数的定义域为； （2）由函数的定义域为，即在上恒成立， 当时，显然，满足要求， 当时，只需恒成立，则， 综上，的取值范围为. 17. 已知 ，其中为常数 （1）当 时，求的值； （2）当时，关于的不等式恒成立，试求的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质代入即可求解；（2）根据对数以及指数形式的变形，可将其转化为均值不等式的形式，利用单调性即可求解最值. 【小问1详解】 得 ⇒ ⇒； 【小问2详解】 ， 令， ， 设 ，则 在上为增函数⇒时，有最小值为2， . 18. 已知函数，为实数． （1）当时，判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （2）是否存在实数，使得在闭区间上的最大值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）单调递减，证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及范围，得出，在利用函数的单调性的定义证明即可； （2）化简函数为分段函数，通过讨论的范围，根据二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 当时, , 所以当时，； 函数在上单调递减． 证明：设且，则 ， ， ，， 又，， ，即， 所以在上单调递减． 【小问2详解】 根据题意，， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减. 当，即时，在上单调递减， ，即，解得. 当即时，在上单调递增，在上单调递减， ，即，解得（舍）. 当，即时，在上单调递增， ，即，解得（舍）. 综上所述，的值为． 19. 已知关于的不等式. （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； （2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； （3）若不等式对有解，求的取值范围. 【答案】（1）不存在实数，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】将转化为， （1）讨论和时的情况； （2），显然该函数单调，所以只需即可. （3）讨论当时，当时，当时，如何对有解，其中，，均为一元二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可. 【小问1详解】 原不等式等价于， 当时，，即，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则且，无解； 综上，不存在实数，使不等式恒成立. 【小问2详解】 设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得即， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 若不等式对有解， 等价于时，有解. 令， 当时，即，此时显然在有解； 当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解； 当时，对称轴为，， 时，有解， 结合一元二次函数图象，易得：或， 解得或（无解）， 又∵， ; 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $