专题02 二次根式的运算技巧与难点突破（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题02 二次根式的运算技巧与难点突破 目录 典例详解 类型一、二次根式的乘除运算与化简技巧 类型二、二次根式的加减乘除混合运算 压轴专练 类型一、二次根式的乘除运算与化简技巧 1．运算法则 乘法法则、除法法则、积的算术平方根、商的算术平方根。 2．运算中的易错点与技巧 ① 根号外因数的乘除：系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除； ② 将根号外的因式移到根号内时，要注意符号（只有非负数才能移入根号内）； ③ 被开方数是多项式时，要先因式分解再应用法则。 例1．（13-14九年级上·重庆江津·月考）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 变式1-1．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键． 将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可． 【详解】原式 ． 故答案为 变式1-2．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．先根据乘法分配律展开，再计算乘除法，然后根据二次根式的性质化简，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 变式1-3．（2023八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． （2）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 类型二、二次根式的加减乘除混合运算 1．混合运算顺序 ① 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减； ② 有括号的先算括号里面的； ③ 同一级运算按从左到右的顺序进行。 2．运算技巧与方法 ① 先将各二次根式化为最简二次根式； ② 合并同类二次根式（类似于合并同类项）； ③ 乘法公式在二次根式运算中仍然适用。 例2．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式混合运算，核心运用平方差、完全平方公式，同时涉及二次根式化简与同类二次根式合并的运算规则；先利用平方差公式计算，再化简二次根式接着用完全平方公式展开，最后去括号并合并同类二次根式，得到最终结果． 【详解】解： ． 变式2-1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 【答案】任务一：；任务二：是，理由见解析；知识应用（1）：；（2）： 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法． 任务一：根据有理化因式的定义，寻找与相乘后结果为有理数的式子； 任务二：通过计算两式的乘积判断是否为有理化因式； 知识应用：（1）利用分母有理化将每项化为差的形式，通过求和化简； （2）利用分子有理化将差的形式转化为分式，通过比较分母大小得出结论． 【详解】解：任务一：为有理数． ∴的一个有理化因式为； 任务二：∵ ，为有理数， ∴与互为有理化因式． 知识应用：（1） ， ． （2） ， ， ， ， 即． 变式2-2．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 先将分式通分，再把字母的值代入相应的式子运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， 一、填空题 1．（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，根据得出，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 二、解答题 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，首先根据二次根式的性质把算式中的各部分分别化简，可得：原式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 3.（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 4.（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算及化简，熟练掌握二次根式的化简方法和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行化简即可； （2）先将除法转化为乘法，再计算二次根式的乘法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由题意得，， 原式． 5.（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘除混合运算等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 6.（25-26八年级上·陕西西安·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了零次幂，绝对值，二次根式的性质，二次根式的加减运算，完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）先化简二次根式，零次幂，绝对值，再进行加减运算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7.（25-26八年级上·上海·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，分母有理化，再计算加减即可； （2）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，立方根的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关运算法则进行求解． （1）根据立方根和二次根式的性质化简，然后计算即可； （2）利用二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9.（21-22八年级下·安徽蚌埠·月考）[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，运用平方差公式进行运算，分母有理化，关键是读懂题中材料提供的解法，并能正确应用． （1）根据运用平方差公式进行运算，将分母有理化； （2）对每一项分母有理化，再去括号，合并同类二次根式． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ． 10.（24-25八年级下·安徽池州·期末）计算： 【答案】6 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式根据完全平方公式和平方差公式将括号展开后再合并即可． 【详解】解： ． 11．（24-25八年级下·安徽六安·月考）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．利用二次根式的乘法和完全平方公式进行计算，再进行加减运算即可． 【详解】解： 12．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，． (1)求和的值； (2)请直接利用（1）的结果． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)； (2)①244；②62 【分析】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式以及分式的加减运算．能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则即可求出，根据二次根式的乘法法则即可求出； （2）（1）先根据完全平方公式变成，再代入求出答案即可 （2）先通分，得到，再代入求值，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ，； （2）解：由（1）得，， ①； ②． 13．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘除法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次根式的运算技巧与难点突破 目录 典例详解 类型一、二次根式的乘除运算与化简技巧 类型二、二次根式的加减乘除混合运算 压轴专练 典例详解 类型一、二次根式的乘除运算与化简技巧 1.运算法则 乘法法则、除法法则、积的算术平方根、商的算术平方根。 2.运算中的易错点与技巧 ①根号外因数的乘除：系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除： ②将根号外的因式移到根号内时，要注意符号（只有非负数才能移入根号内）； ③被开方数是多项式时，要先因式分解再应用法则。 例1.(13-14九年级上重庆江津月考)计算： ÷√ab 等于() ab B.↓ab √ab D.bab ab b 变式1-1.(24-25八年级下.全国课后作业) 的结果为】 变式1-2.(23-24八年级下.安徽毫州期末)计算：√6x⑧+√5)-4V21÷V7 变式1-3.(2023八年级上全国专题练习)计算： 导o网： e 类型二、二次根式的加减乘除混合运算 1/4 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.混合运算顺序 ①先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减： ②有括号的先算括号里面的； ③同一级运算按从左到右的顺序进行。 2.运算技巧与方法 ①先将各二次根式化为最简二次根式： ②合并同类二次根式（类似于合并同类项）： ③乘法公式在二次根式运算中仍然适用。 例2.(25.26八年级上安徽宿州期末)计算：(5-25++6V写-（人5-2。 变式21.(25-26八年级上湖南郴州·期中)【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的 式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式. 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的 2-√5 2-V5 根号，这个过程就是分母有理化，如：2+万2+52-52-(、列 =2-5 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子 有理化， 如：2+5-2+52-.2-5 1 2-√5 2-32-5 【问题解决】 任务一：请写出√2的一个有理化因数为 任务二：√1-√5与-√5-√1是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出们-√5的一个 有理化因式： 【知识应用】 1 1 1 (1)请利用分母有理化知识，化简： +5++5+5+4++65+V6: (2)请利用分子有理化知识，比较大小：√2025-√2024与√2026-√2025. 变式2-2.(24-25八年级下安徽淮准北月考)已知x= ，y= √5-2 V5+2 压轴专练 一、填空题 1.(2025安徽模拟预测)若a=5+1,则a-2a+3的值为 2 2/4 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二、解答题 22425八年级下奖敬芜满期未)计算：压x9+历： 3.(2024八年级下安徽专题练习)计算：22×÷35. 4.（25-26七年级上·北京海淀·期末)化简： (1)V45a2b; e哈个悟 52526八年缀上上袋明期末)计第：名6（写a面）7后a0b0 6.(25-26八年级上·陕西西安·月考)计算： )2--3)2+3-+3-°； 2万-3万+3)-(4-7. 7.(25-26八年级上·上海月考)计算 m-- g丽网E 8.（25-26八年级上·安徽宿州月考)计算： 03+64-3016 223-V2-5N27-⑧)： 9.(21-22八年级下·安徽蚌埠月考)[核心素养]阅读下面的解答过程： 1×2- =√2-1： 2+1(2+2-1 1x5-V2) =5-2; 3+2(3+23-2) 4。…4。 根据以上解答过程解决下列问题： 1 05+2- 3/4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 1 1 1 ②试球1+2+2+5+V5+V4++79+v80+80+8的值. 10.(24-25八年级下安徽池州期末)计算：(V6-V2-(5+V5)(5-5)+45 11.(24-25八年级下安徽六安月考)计算：√5×(2V5-√30)-(2-√5)2 12.(2425八年级下安徽阜阳期中)已知x=(V5+V5,y=(5-5, (1)求x+y和y的值： (2)请直接利用(1)的结果. ①求x2-xy+y2的值； ②求上+艺的值， x V 13.(24-25八年级下.安徽马鞍山期中)计算： (1)√18-98+√8： ②s-54+2+3-51+6) 4/4