专题07 解三角形（高频考点专练）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题07 解三角形 目录 高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（8大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 利用正弦定理解三角形（）​ 题型二 正弦定理与三角形解的存在性和个数（）​ 题型三 利用余弦定理解三角形（） 题型四 三角形中的几何计算（）​ 题型五 解三角形面积与周长（） 题型六 解三角形的实际应用（）​ 题型七 解三角形的最值问题（） 题型八 三角函数与解三角形的综合（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升） 有关解三角形的北京高考试题，解三角形一般以课程学习基础内容为主;大题一般以边角互化为主,求算面积、周长及边长,作为载体的三角函数应引起足够的重视.在备考时应注意以下两点: (1) 熟练掌握正余弦定理及变形，巧妙的进行变角互化，做到灵活驾驭;(2)求算三角形面积周长问题时优先考虑全部换成边好呢还是角好呢，选择合适的条件,快速求解，同时也要注意三角形内部的隐含条件及余弦正负号的准确判断，同学们也要加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养 基础知识必备：熟练正余弦定理边角互换；三角形面积公式的应用；三角恒等变换化简问题 2026高考预测：解三角形小题一般求三角形解的个数、边或角,突出基础性，大题一般侧重面积与周长定值（主要）与最值的问题 重难知识汇总： 1.正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 2.余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 余弦定理的变形公式： 3.三角形中定值面积求算 三角形面积公式 ① ②其中分别为内切圆半径及的周长 推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式 ③（为外接圆的半径） 推导：将代入可得 将代入 可得 ④ ⑤海伦公式（其中） 推导：根据余弦定理的推论 令，整理得 4.三角形中周长定值求算 类型一：已知一角与两边乘积模型 第一步：求两边乘积 第二步：利用余弦定理求出两边之和 类型二：已知一角与三角等量模型 第一步：求三角各自的大小 第二步：利用正弦定理求出三边的长度 常用技巧方法： 1.利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 2.正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 3.利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 4.三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 5.解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角? ⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角 ⑵当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边 ⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题 ⑷当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可 易错避坑提效： 1.忽视三角形三角间的联系与范围限制 在解答过程中易忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思路受阻或解答出现增解现象. 2.利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数。正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。 3.解三角形时，在中忽视的解 解题时容易习惯性约去相同的项，没有注意到约分的条件，当此时，可以左右两边约去，从而造成漏解，所以考生在平时解题养成习惯，什么时候可以约，要牢记。 题型一 利用正弦定理解三角形​ 【例1】（2024·北京东城·二模）在中，，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1-1】（23-24高三上·北京朝阳·期末）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022·北京丰台·一模）在△中，，则（    ） A． B． C． D．或 【变式1-3】（24-25高三上·北京西城·期末）在中，若，，，则 . 题型二 正弦定理与三角形解的存在性和个数​ 【例2】（23-24高一下·北京大兴·期中）在中，，，分别为，，的对边，给出下列四个条件： ①，， ；         ②，，； ③，，；  ④，，． 能判断三角形存在且有唯一解的是（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【变式2-1】（25-26高三上·北京·月考）在中，已知，，，若存在且唯一，则的一个整数取值为 ． 【变式2-2】（2023·北京朝阳·一模）在中，，，． （1）若，则 ； （2）当 （写出一个可能的值）时，满足条件的有两个． 【变式2-3】（22-23高三上·北京大兴·期末）在中，，.若，则 ；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是 . 题型三 利用余弦定理解三角形 【例3】（2024·北京海淀·二模）在中，，则的长为（    ） A．6或 B．6 C． D．3 【变式3-1】（2022·北京通州·一模）在△ABC中，已知，，，则（     ） A．1 B． C．2 D．3 【变式3-2】（2024·北京西城·三模）在中，若，，，则 ， . 【变式3-3】（2023·北京丰台·三模）在中，，则边上的高等于（    ） A． B． C． D． 题型四 三角形中的几何计算​ 【例4】（25-26高三上·北京海淀·期末）在中，是边上的中线，且，的面积为，则 ， . 【变式4-1】（22-23高三上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，、分别在边、上，，且.则值是 ；的面积是 . 【变式4-2】（2023·北京大兴·三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.    (1)求的面积； (2)求的值及的长度. 【变式4-3】（2023·北京丰台·二模）在四边形ABCD中，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求BD的长； (2)求四边形ABCD的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 题型五 解三角形面积与周长 【例5】（2023·北京房山·二模）在中，，，． (1)求； (2)若角为钝角，求的周长． 【变式5-1】（2025·北京昌平·二模）在中，为锐角，． (1)求； (2)若，求的面积． 【变式5-2】（2025·北京朝阳·二模）在中，，且，则 ；面积的最大值为 ． 【变式5-3】（2025·北京·三模）在△ABC中, (1)求∠B； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长. 条件①: ； 条件②：△ABC的面积为； 条件③：AC边上的高等于 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 题型六 解三角形的实际应用​ 【例6】（23-24高一下·北京大兴·期末）如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高=（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高三下·北京海淀·开学考试）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成角.轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向.则此时轮船到灯塔之间的距离为 米. 【变式6-2】（23-24高三上·北京·期中）如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为 km. 【变式6-3】（25-26高三上·北京·月考）如图，甲船从出发以每小时15海里的速度匀速向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船正西方向的处，此时两船相距海里．（将行驶区域视为平面的一部分） (1)求乙船的航行速度（单位：海里/小时）； (2)假设两船一直按照各自现在的方向和速度前行，从甲船到达处开始计时，30分钟内，当甲乙两船之间的距离最小时，甲船距多少海里？ 题型七 解三角形的最值问题 【例7】（2025·北京海淀·三模）已知中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·北京·三模）在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为 ． 【变式7-2】（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是 ． 【变式7-3】（2024·北京石景山·一模）在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 题型八 三角函数与解三角形的综合 【例8】（21-22高三上·北京昌平·期末）已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 【变式8-1】（25-26高三上·北京·开学考试）设函数，其中向量，． (1)求函数的最小正周期与单调递增区间； (2)在中，、、分别是角、、的对边，已知，的面积为，判断的形状，并说明理由． 【变式8-2】（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【变式8-3】（24-25高一下·北京西城·期末）已知函数，且. (1)求a的值和函数的最小正周期； (2)求不等式的解集； (3)在中，，，AD为BC边上的中线，设，，请直接写出的值和BC的长. （限时训练：15分钟） 1．（2025·北京石景山·一模）在中，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（2025·北京海淀·二模）在锐角中，，则的一个可能的取值为（    ） A． B． C．2 D．3 3．（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 4．（2024·北京·三模）在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（2023·北京海淀·模拟预测）在中，若，则一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形 6．（2024·北京门头沟·一模）在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京朝阳·模拟预测）在三角形ABC中，，设，，则（   ）    A． B． C． D． 8．（2023·北京东城·一模）在中，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 9．（2023·北京·模拟预测）已知的三个内角、、所对的边分别为、、，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·北京·三模）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 11．（2025·北京顺义·一模）在中，，，则 . 12．（2025·北京通州·一模）在中，已知，，.则 . 13．（2024·北京顺义·二模）在中，，，，则的面积为 . 14．（2024·北京延庆·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则 ，的面积为 ． 15．（2023·北京·三模）在中，． (1)求； (2)若，的面积为，点在边上且，求线段的长． 16．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 17．（2025·北京·二模）已知中，． (1)求的大小； (2)设为的中点，且，求的面积． 18．（2025·北京海淀·三模）在中，已知． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 解三角形 目录 高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（8大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 利用正弦定理解三角形（）​ 题型二 正弦定理与三角形解的存在性和个数（）​ 题型三 利用余弦定理解三角形（） 题型四 三角形中的几何计算（）​ 题型五 解三角形面积与周长（） 题型六 解三角形的实际应用（）​ 题型七 解三角形的最值问题（） 题型八 三角函数与解三角形的综合（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升） 有关解三角形的北京高考试题，解三角形一般以课程学习基础内容为主;大题一般以边角互化为主,求算面积、周长及边长,作为载体的三角函数应引起足够的重视.在备考时应注意以下两点: (1) 熟练掌握正余弦定理及变形，巧妙的进行变角互化，做到灵活驾驭;(2)求算三角形面积周长问题时优先考虑全部换成边好呢还是角好呢，选择合适的条件,快速求解，同时也要注意三角形内部的隐含条件及余弦正负号的准确判断，同学们也要加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养 基础知识必备：熟练正余弦定理边角互换；三角形面积公式的应用；三角恒等变换化简问题 2026高考预测：解三角形小题一般求三角形解的个数、边或角,突出基础性，大题一般侧重面积与周长定值（主要）与最值的问题 重难知识汇总： 1.正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 2.余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 余弦定理的变形公式： 3.三角形中定值面积求算 三角形面积公式 ① ②其中分别为内切圆半径及的周长 推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式 ③（为外接圆的半径） 推导：将代入可得 将代入 可得 ④ ⑤海伦公式（其中） 推导：根据余弦定理的推论 令，整理得 4.三角形中周长定值求算 类型一：已知一角与两边乘积模型 第一步：求两边乘积 第二步：利用余弦定理求出两边之和 类型二：已知一角与三角等量模型 第一步：求三角各自的大小 第二步：利用正弦定理求出三边的长度 常用技巧方法： 1.利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 2.正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 3.利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 4.三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 5.解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角? ⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角 ⑵当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边 ⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题 ⑷当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可 易错避坑提效： 1.忽视三角形三角间的联系与范围限制 在解答过程中易忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思路受阻或解答出现增解现象. 2.利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数。 正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。 3.解三角形时，在中忽视的解 解题时容易习惯性约去相同的项，没有注意到约分的条件，当此时，可以左右两边约去，从而造成漏解，所以考生在平时解题养成习惯，什么时候可以约，要牢记。 题型一 利用正弦定理解三角形​ 【例1】（2024·北京东城·二模）在中，，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由题意可得：，结合正弦定理运算求解. 【详解】由题意可得：， 由正弦定理可得. 故选：D. 【变式1-1】（23-24高三上·北京朝阳·期末）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系式、正弦定理来求得正确答案. 【详解】由于，所以为钝角，所以， 由正弦定理得. 故选：D 【变式1-2】（2022·北京丰台·一模）在△中，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先求出，再借助正弦定理求解即可. 【详解】由得，由正弦定理得，，解得，又，故，. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高三上·北京西城·期末）在中，若，，，则 . 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数关系得，最后利用正弦定理即可解出. 【详解】因为，为三角形内角，则， 则由正弦定理得，即，解得. 故答案为：. 题型二 正弦定理与三角形解的存在性和个数​ 【例2】（23-24高一下·北京大兴·期中）在中，，，分别为，，的对边，给出下列四个条件： ①，， ；         ②，，； ③，，；  ④，，． 能判断三角形存在且有唯一解的是（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】由正弦定理及三角形的性质分别判断出所给命题的真假． 【详解】①中，，，， 由正弦定理可得，即，可得， 因为角为锐角，所以角有两解，所以①不正确； ②中，由三边为定值，且满足任意两边之和大于第三边，所以②唯一确定三角形；所以②正确； ③中，由两边和夹角确定唯一三角形，可得③正确； ④中，由正弦定理可得，所以不存在这样的三角形，所以④不正确． 故选：B． 【变式2-1】（25-26高三上·北京·月考）在中，已知，，，若存在且唯一，则的一个整数取值为 ． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】法一，根据条件，数形结合，即可求解；法二，根据条件，利用正弦定理得，再结合题设条件得，即可求解. 【详解】法一：如图，，，要使三角形存在且唯一，则. 法二：由正弦定理，得到， 又，则， 因为三角形存在且唯一，所以当时，角存在且唯一． 所以， 又，所以其中一个整数取值为大于等于2的任意整数即可， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 【变式2-2】（2023·北京朝阳·一模）在中，，，． （1）若，则 ； （2）当 （写出一个可能的值）时，满足条件的有两个． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可； （2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理，，即， 解得. （2）因为,, 所以当时，方程有两解， 即， 取即可满足条件（答案不唯一） 故答案为：；6. 【变式2-3】（22-23高三上·北京大兴·期末）在中，，.若，则 ；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是 . 【答案】 2 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）由正弦定理， 代入条件得：， 解得：，所以， 所以若时，为直角三角形， 所以. （2）由正弦定理， 代入条件化简得：， 因为，所以， 所以， 即， 又，所以为锐角，所以，故可取 . 故答案为：2；. 题型三 利用余弦定理解三角形 【例3】（2024·北京海淀·二模）在中，，则的长为（    ） A．6或 B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得, 故或， 故选：A 【变式3-1】（2022·北京通州·一模）在△ABC中，已知，，，则（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】直接利用余弦定理求解即可 【详解】因为在△ABC中，，，， 所以由余弦定理得， ，得， 解得，或（舍去）， 故选：D 【变式3-2】（2024·北京西城·三模）在中，若，，，则 ， . 【答案】 / 【分析】在中，运用正弦定理求得，运用余弦定理求得即可. 【详解】由正弦定理，有，所以， 由余弦定理，有， 解得. 故答案为：，. 【变式3-3】（2023·北京丰台·三模）在中，，则边上的高等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求，再得，利用的面积公式即可求边上的高. 【详解】在中，因为， 由余弦定理得 因为，所以 设边上的高为，则，    所以，即边上的高等于. 故选：B. 题型四 三角形中的几何计算​ 【例4】（25-26高三上·北京海淀·期末）在中，是边上的中线，且，的面积为，则 ， . 【答案】 2 【分析】根据三角形的面积公式和余弦定理进行求解. 【详解】因为是边上的中线，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 即，所以， 故答案为： 【变式4-1】（22-23高三上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，、分别在边、上，，且.则值是 ；的面积是 . 【答案】 / 【分析】分析可得，，在中，利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得的值；求出的长，利用两角和的正弦公式求出的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】因为，则，故， 因为，则为的中点，且， 在中，由正弦定理可得，即， 易知为锐角，故，可得， 所以，，则， ， ，故在中，为锐角，故， 所以，， 因此，. 故答案为：；. 【变式4-2】（2023·北京大兴·三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.    (1)求的面积； (2)求的值及的长度. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据勾股定理可得，结合再根据面积公式求解即可； （2）根据等腰三角形性质可得，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得，然后根据，利用两角和的正弦公式求解，由正弦定理求解即可. 【详解】（1）∵，， ，，; （2），，，则. ，， ，， 又，在中， ， 由正弦定理可知，， . 【变式4-3】（2023·北京丰台·二模）在四边形ABCD中，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求BD的长； (2)求四边形ABCD的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)选①，；选②， (2)选①，；选②， 【分析】（1）选①，利用余弦定理得到；选②，利用互补得到，结合余弦定理列出方程，求出答案； （2）选①，在（1）的基础上，得到⊥，结合三角形面积公式求出和的面积，相加即可；选②，在（1）的基础上求出和，利用三角形面积公式求出和的面积，相加得到答案. 【详解】（1）选①，由余弦定理得， 解得， 选②，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 即，解得. （2）选①，，， 故， 在中，，所以⊥，故， 所以四边形ABCD的面积为； 选②，，故，故， 因为，所以， 故， ， 故四边形ABCD的面积为. 题型五 解三角形面积与周长 【例5】（2023·北京房山·二模）在中，，，． (1)求； (2)若角为钝角，求的周长． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）用二倍角公式及正弦定理即可求解； （2）用角余弦定理即可求出. 【详解】（1） 在中，因为，所以， 因为，，所以， 由，得， 解得 （2）因为，为钝角，所以， 由得， 整理得，解得或（舍），所以. 所以的周长为. 【变式5-1】（2025·北京昌平·二模）在中，为锐角，． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的运算求出角； （2）先根据正弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】（1）由及正弦定理， 得． 因为在中，，所以． 因为，所以． 因为为锐角，所以． （2）由，且，解得． 由余弦定理，得，解得或（舍）． 所以的面积． 【变式5-2】（2025·北京朝阳·二模）在中，，且，则 ；面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数基本关系求出；利用三角形面积公式及基本不等式求出最大值. 【详解】在中，由，得，而，所以； 的面积，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 故答案为：； 【变式5-3】（2025·北京·三模）在△ABC中, (1)求∠B； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长. 条件①: ； 条件②：△ABC的面积为； 条件③：AC边上的高等于 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由余弦定理可求出，再由可求出； （2）若选择①：不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一；若选择②：由面积公式可求得，再代入可得，即可求出△ABC的周长；若选择③：由等面积法可求出，再代入可得，即可求出△ABC的周长. 【详解】（1）由可得， 由余弦定理可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，因为，所以. （2）若选择①：因为，，所以，所以， 则，不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一，故不能选择①. 若选择②：由（1）可得，即， 则，解得， 再代入可得：， 所以△ABC的周长为：. 若选择③：由（1）可得，即， 由可得：， 所以， 又因为AC边上的高等于，， 所以，解得：，所以，， 所以△ABC的周长为：. 题型六 解三角形的实际应用​ 【例6】（23-24高一下·北京大兴·期末）如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高=（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解． 【详解】在中，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以. 故选：C. 【变式6-1】（23-24高三下·北京海淀·开学考试）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成角.轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向.则此时轮船到灯塔之间的距离为 米. 【答案】 【分析】在中，利用条件得到，，，再利用正弦定理建立方程，即可求出结果. 【详解】如图，在中，，，， 由正弦定理，得到，所以， 故答案为：. 【变式6-2】（23-24高三上·北京·期中）如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为 km. 【答案】 【分析】由已知数据，在中用正弦定理求出，中用余弦定理求出即可. 【详解】， ， ，，， 中，由正弦定理，有，则， 中，由余弦定理， 有， 得，即，两点间的距离为. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高三上·北京·月考）如图，甲船从出发以每小时15海里的速度匀速向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船正西方向的处，此时两船相距海里．（将行驶区域视为平面的一部分） (1)求乙船的航行速度（单位：海里/小时）； (2)假设两船一直按照各自现在的方向和速度前行，从甲船到达处开始计时，30分钟内，当甲乙两船之间的距离最小时，甲船距多少海里？ 【答案】(1)30海里/小时 (2) 【分析】（1）连接，由几何知识可得，，再结合余弦定理即可求得，从而可求解. （2）如图以为坐标原点，建立平面直角坐标系，并设甲乙两船之间的距离最小时分别位于，位置，且此时的时间为小时，由（1）及几何知识可得，，从而可得，再结合二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由题意可得，连接， 由题可得，， 所以，且， 所以， 所以在中由余弦定理可得， 即，解得， 所以乙船的航行速度海里/小时. （2）如图以为坐标原点，以及过与平行所在直线为，轴建立平面直角坐标系，如图， 设甲乙两船之间的距离最小时分别位于，位置，且此时的时间为小时， 由（1）可得，则， 又因为，所以， 所以，， 所以， 令为二次函数，且开口向上， 则在对称轴取到最小值，此时， 所以甲乙两船之间的距离最小时在30分钟内， 此时甲船距：海里. 题型七 解三角形的最值问题 【例7】（2025·北京海淀·三模）已知中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理求外接圆半径，在其外接圆中连接，由，讨论的位置情况确定范围. 【详解】由题设，外接圆半径为， 如下图，外接圆中连接，可得，， 所以， 当反向共线时最小，最小值为；当同向共线时最大，最大值为20， 所以. 故选：D 【变式7-1】（2024·北京·三模）在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由余弦定理、基本不等式得出的范围即可得解. 【详解】， 当且仅当，即为等边三角形时，，又  ． 故答案为：. 【变式7-2】（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由三角形面积公式可得，可求出；再根据为钝角限定出，利用正弦定理可得，可得其范围是. 【详解】根据题意可得面积， 可得，即， 又易知为锐角，可得； 由正弦定理可得， 因为为钝角，可得，所以； 可得，因此； 故答案为：；； 【变式7-3】（2024·北京石景山·一模）在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可； （2）由（1）可知，所以，所以将转化为同一个角的三角函数，最后求其值域即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理边化角得： ，所以， 由于在中，，所以， 即，又，所以. （2）由（1）可知，所以， 所以 由于在锐角中，，所以， 所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 题型八 三角函数与解三角形的综合 【例8】（21-22高三上·北京昌平·期末）已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）． 【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值. 【详解】解：（1） ． 的最小正周期为：； 当时， 即当时，函数单调递减， 所以函数单调递减区间为：； （2）因为，所以 ，， ，． 设边上的高为，所以有， 由余弦定理可知：， ，， （当用仅当时，取等号），所以， 因此边上的高的最大值. 【变式8-1】（25-26高三上·北京·开学考试）设函数，其中向量，． (1)求函数的最小正周期与单调递增区间； (2)在中，、、分别是角、、的对边，已知，的面积为，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)直角三角形 【分析】（1）利用向量的数量积运算将函数的解析式化简，即可求解； （2）首先求出角，再利用三角形的面积公式及余弦定理即可求解. 【详解】（1）向量，， ， 函数的最小正周期为； 令，则， 函数的单调递增区间为； （2）是直角三角形.理由如下： ，，， ，，，， 的面积为，，， ，， 由余弦定理得，， ，是直角三角形. 【变式8-2】（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】(1)1 (2) 【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解； 以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解. 【详解】（1）由题意可知：， 因为函数的最小正周期为，且，所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值3，即. 若条件①：因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得，且，则， 可得，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若条件②；因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为，则， 可得， 即，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若选③：因为，则， 整理得，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为. 【变式8-3】（24-25高一下·北京西城·期末）已知函数，且. (1)求a的值和函数的最小正周期； (2)求不等式的解集； (3)在中，，，AD为BC边上的中线，设，，请直接写出的值和BC的长. 【答案】(1)，. (2)，. (3)， 【分析】（1）根据可求的值，利用二倍角公式及三角恒等变换公式，化简函数的解析式，利用求函数的最小正周期. （2）结合函数的性质解不等式. （3）利用余弦定理解三角形即可. 【详解】（1）因为. 由. 所以. 所以函数的最小正周期为：. （2）由，. ，. 所以不等式的解集为，. （3）因为，所以. 由题意：，所以， 所以. 如图： 设，，， 在中，由余弦定理得：① 在中，由余弦定理得：② ①②得：. 在，由余弦定理得：. 所以，因为，所以. 所以，即. （限时训练：15分钟） 1．（2025·北京石景山·一模）在中，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】因为，即，由正弦定理，所以， 所以，又，所以，所以. 故选：A 2．（2025·北京海淀·二模）在锐角中，，则的一个可能的取值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】依题意可得，再由正弦定理将边化角，利用二倍角公式转化为的三角函数，结合的范围及余弦函数的性质计算可得. 【详解】在锐角中，，则，又， 所以， 又，所以，所以， 所以， 故符合题意的只有B. 故选：B 3．（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故选：C. 4．（2024·北京·三模）在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先将代入余弦定理，利用基本不等式得到，从而得到，接着根据得到可能为钝角，不满足成等比数列，从而得答案. 【详解】当成等比数列时，， 所以，当且仅当时等号成立， 又，所以，所以，充分性满足； 当时，， 而当时，为最长的边，不满足成等比数列，必要性不满足. 则“成等比数列”是的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2023·北京海淀·模拟预测）在中，若，则一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理化简计算即可. 【详解】由及余弦定理得：，即. 故选：D 6．（2024·北京门头沟·一模）在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用余弦定理求出，再利用面积公式求解. 【详解】， 解得，则， 所以. 故选：A. 7．（2024·北京朝阳·模拟预测）在三角形ABC中，，设，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在△、△及△中，由正弦定理可得，，从而，再由知D、E是BC的三等分点，得，化简即得求解. 【详解】设则， 设，∵，∴， 在△与△中 由正弦定理，得， 即；， ∴① 在△与△中 由正弦定理，得， 即；， ∴② 由①②，得， ∴，    故选：B. 8．（2023·北京东城·一模）在中，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理得到，，利用同角三角函数基本公式得到，然后利用面积公式求面积即可. 【详解】，，，所以，解得，， 因为，所以，. 故选：C. 9．（2023·北京·模拟预测）已知的三个内角、、所对的边分别为、、，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值. 【详解】因为，由正弦定理可得， 、，则，所以，， 所以，，故. 故选：C. 10．（2025·北京·三模）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 【答案】 2 【分析】根据正弦定理解三角形，根据三角形边角关系判断三角形形状，求得边长. 【详解】 如图所示，在根据正弦定理可得，即，解得， 因为为锐角三角形，所以，可知， 已知是的角平分线，所以,根据三角形外角性质得, 所以是等腰三角形，. 故答案为：；2. 11．（2025·北京顺义·一模）在中，，，则 . 【答案】/ 【分析】先根据正弦定理，结合三角形内角和定理，把化成，再结合，利用二倍角公式可得，再判断角的取值范围，即可求得. 【详解】根据正弦定理，. 所以， 又，所以. 所以， 所以. 因为为三角形内角，所以，所以， 所以. 又，所以，所以为锐角，所以. 故答案为： 12．（2025·北京通州·一模）在中，已知，，.则 . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理求解，即可根据余弦的二倍角公式求解. 【详解】由正弦定理可得，故， 故, 故答案为：. 13．（2024·北京顺义·二模）在中，，，，则的面积为 . 【答案】 【分析】将两边平方，结合余弦定理可得，利用平方关系求出即可得解. 【详解】由余弦定理得①， 又，得②， 联立①②解得， 因为，，所以， 所以. 故答案为： 14．（2024·北京延庆·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则 ，的面积为 ． 【答案】 1 / 【分析】根据题意，利用正弦、余弦定理求得，再运用三角形的面积公式即可求得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为，在中，由余弦定理可得：， 所以，解得：； 所以，由三角形面积公式可得：， 故答案为：；. 15．（2023·北京·三模）在中，． (1)求； (2)若，的面积为，点在边上且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，利用辅助角公式化简，结合三角形内角范围即可求角； （2）根据，代入可得，接着用余弦定理可求，由勾股定理可知，再在中利用勾股定理即可求. 【详解】（1）在中，由正弦定理得：，可得， 又，所以， 所以，即． 因为，所以，所以，可得． （2）因为的面积为，，由（1）知， 所以，得， 所以，可得， 所以，所以． 在直角中，， 可得. 16．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据二倍角公式化简可得解； （2）根据三角形面积可得，再根据等面积法可得角分线长度. 【详解】（1）由已知， 又由正弦定理可得， 又，所以， 则，又，即， 又，，即， 则，所以，； （2）由已知，所以， 因为为角的角分线， 故， 所以， 即， 解得. 17．（2025·北京·二模）已知中，． (1)求的大小； (2)设为的中点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数的关系及正弦二倍角公式化简，即可求解； （2）由正弦定理求得，再结合余弦定理求得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由，得． 由，得，故， 所以． （2）由正弦定理得，，即． 由余弦定理得，， 即，解得或（舍）． 所以， 故． 18．（2025·北京海淀·三模）在中，已知． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)所选条件见解析，. 【分析】（1）法一：由正弦定理及已知可得，再由三角形内角的性质、诱导公式、和角正弦公式并整理得，进而求角的大小；法二：由余弦边角关系及已知得，再由余弦定理求角的大小； （2）根据所选条件，综合运用正余弦定理、三角形面积公式求边上中线的长． 【详解】（1）法一：由正弦定理及，得， 因为， 所以，整理得． 因为，所以，所以，又，所以． 法二：由余弦定理，，代入得：． 整理得：，所以，又，所以． （2）选条件①：取的中点，连接， 由正弦定理及，得， 因为，所以，，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以，即边上中线的长为． 选条件③：取的中点，连接，由正弦定理及，得， 因为的面积为，所以，即， 又，所以，，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以，即边上中线的长为． 选条件②：由，知， 在中，由余弦定理知，， 若，则，该等式恒成立， 即不唯一，不符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $