商不变的规律（教学设计）-2025-2026学年数学四年级上册冀教版

商不变的规律 教学设计 教学目标 （1）会用数学的眼光观察：能通过观察一组除法算式中被除数、除数的变化，发现商不变的现象，初步感知 “数学的眼光” 在发现规律中的作用。 （2）会用数学的思维思考：能通过分析被除数和除数的变化关系，归纳出 “商不变的规律”，并理解 “0 除外” 的合理性，提升逻辑推理能力。 （3）会用数学的语言表达：能结合具体算式，用数学语言（如 “被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变”）总结商不变的规律，并能运用该规律进行整十、整百数除法的简便计算。 教学方法 观察法、讨论法、讲授法、练习法、小组合作法 教学重点 （1）通过观察、猜想、验证等数学活动，经历 “发现规律 — 归纳规律 — 完善规律” 的探究过程，发展逻辑推理与数学抽象素养，体会数学规律的严谨性与一致性。 （2）在解决 “整十、整百数除法简化计算”“漏写除数末尾 0 导致的商错误” 等真实情境问题中，理解并运用商不变规律简化运算，培养数学运算的简洁性意识与问题解决能力，体会数学规律的实用价值。 教学难点 （1）学生对 “被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0 除外）” 这一规律核心条件的理解与应用，易忽略 “0 除外” 的必要性，或混淆 “同时” 变化的同步性（如单独改变被除数 / 除数、误将 “乘”“除” 操作混淆）。 （2）在真实情境中逆向运用商不变的规律解决问题（如 “漏写 0” 导致除数 / 被除数变化时求正确商），缺乏对规律本质的灵活迁移能力，难以将抽象规律转化为具体问题的分析方法。 教学过程 一、导入新课 （教师手持写有除法算式的口算卡片走进教室，面带微笑环视学生）同学们，今天我们先来进行一场除法速算小挑战！看谁能又快又准地说出答案 —— 第一题：720÷90=？（学生们迅速反应，前排同学纷纷举手）生 1：720÷90=8！师：非常棒！90×8=720，没错。第二题：360÷60=？生 2：360÷60=6！师：60×6=360，完全正确。 （教师继续提问）第三题：240÷30=？生 3：240÷30=8！师：30×8=240，漂亮！第四题：750÷50=？生 4：750÷50=15！师：50×15=750，对的！第五题：150÷30=？生 5：150÷30=5！师：30×5=150，正确！第六题：630÷90=？生 6：630÷90=7！师：7×90=630，非常棒！（教师将所有口算结果工整板书在黑板左侧：720÷90=8、360÷60=6、240÷30=8、750÷50=15、150÷30=5、630÷90=7） （教师手指黑板上的算式，语气略带神秘）同学们观察一下这些算式的特点：被除数和除数都是整十数，计算时我们直接去掉末尾的 0，就能快速得到商。可如果遇到650÷40这样的题目，末尾没有明显的 0 可以去掉，直接算会不会有点麻烦呢？（学生们小声讨论）今天我们就来学习一个除法小妙招——商不变的规律，让除法计算变得像口算一样轻松！ 二、学习商不变的规律 （1）观察例题，发现初步规律 （教师在黑板右侧用彩色粉笔写下三组算式，用箭头标注变化过程）我们先看黑板右侧的三组算式：12÷4=3，24÷8=3，36÷12=3。请大家分组讨论3 分钟，重点思考三个问题：①被除数、除数和商分别有什么变化？②被除数和除数是怎么变的？③商有没有变？（学生们立刻开始讨论，教师巡视各组，提醒学生 “先看第一组和第二组的变化，再看第二组和第三组的变化”） （教师走到一组学生旁，俯身倾听）好，哪组同学愿意分享你们的发现？（生 7 举手）生 7：老师，这三组的商都是 3，没变！师：非常好！商确实像小闹钟一样 “叮” 地没变！那被除数和除数呢？从第一组到第二组，被除数 12 变成 24，是怎么变的？（生 8 站起来回答）生 8：12×2=24，除数 4×2=8，也是乘了 2！师：（点头）对！12“×2” 变成 24，4“×2” 变成 8，商还是 3。那第二组到第三组呢？24×1.5=36，8×1.5=12，商依然是 3。这里我们可以说 “同时乘 2”“同时乘 1.5”，如果把 1.5 换成分数，也可以说 “同时乘相同的数”。（教师在第一组算式旁板书 “×2”“×2”，第二组到第三组旁标注 “×1.5”“×1.5”） （教师转身在黑板左侧写下反向变化）那反过来，从第三组到第二组，再到第一组，被除数和除数又有什么变化？（生 9 手指黑板）生 9：36÷2=18，12÷2=6，商还是 3！师：没错！36“÷2” 变成 18，12“÷2” 变成 6，商不变。再从第二组到第一组：24÷3=8，8÷3≈2.666？不对，我们换个例子：18÷6=3，6÷2=3，这里 18“÷3”=6，6“÷3”=2，商还是 3！（教师用不同颜色粉笔标注 “÷3”“÷3”） （教师突然提问）如果我把被除数 12 除以 3，除数 4 除以 3，商是多少？（学生们迅速计算）生 10：12÷3=4，4÷3≈1.333？不对，12÷3=4，4÷3=4/3，商变了！师：（微笑）别急，12÷3=4，4÷3=4/3，确实变了，但如果被除数和除数同时除以 3，商是不是不变？（生 11）生 11：应该是 12÷3=4，4÷3=4/3，哦，我算错了！4÷3=4/3，不是 3！师：（故作惊讶）哎呀，那看来刚才的反向变化需要更仔细。我们重新看：第三组 36÷12=3，要变成 24÷8=3，36 到 24 是 “÷1.5”，12 到 8 也是 “÷1.5”，对吗？（学生们点头）所以，必须是 “同时” 除以 “相同的数”，商才不变。 （2）归纳商不变的规律 （教师在黑板中间写下板书：商不变的规律）现在我们把刚才的发现总结一下：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。（教师加重 “同时”“相同”“0 除外” 三个词）为什么要 “0 除外” 呢？（学生们沉思）如果被除数和除数同时除以 0，会怎么样？（生 12）生 12：0 不能做除数！师：对！0 做除数没有意义，所以必须 “0 除外”。我们再验证一下：如果被除数乘 0，除数也乘 0，12÷4=3，0 乘过后是 0÷0，没意义。所以规律的三个关键词是 ——（学生齐答）“同时”“相同的数”“0 除外”！（教师在规律旁画个小笑脸，强调记忆口诀：“同时变，同倍数，0 除外，商不变”） （3）计算并思考：运用规律简化计算 （教师在黑板写下650÷40）我们来试试用商不变规律简化650÷40。先想想：能不能让被除数和除数末尾的 0 “消失”？（学生们尝试计算，有的用竖式，有的直接口算）生 13：650÷40=16 余 10！因为 40×16=640，650-640=10。师：（追问）如果直接用规律，被除数和除数同时除以 10，变成 65÷4=16 余 1，这里的 “1” 是余几呢？（学生们小声争执）生 14：16×4=64，65-64=1，所以余 1！师：（恍然大悟状）哦！这里的 “1” 其实是在 “十位” 上的 1 个十，因为原来的 650 是 65 个十，40 是 4 个十，65÷4=16 余 1（1 个十），所以正确的余数是 1×10=10。（教师用不同颜色的笔标注：650÷40=（650÷10）÷（40÷10）=65÷4=16 余 1（余 1 个十）=16 余 10） （教师出示新题目）现在我们用这个方法计算两道题：7720÷20 和 840÷50。先看 7720÷20：被除数和除数末尾都有 1 个 0，同时除以 10，变成 772÷2=386，对吗？（生 15 验算）20×386=7720，正确！再看 840÷50：被除数和除数同时除以 10，变成 84÷5=16 余 4，这里的 “4” 是 1 个一还是 1 个十？（生 16）生 16：84 是 84 个一，5 是 5 个一，84÷5=16 余 4，所以 4 是 1 个一，原数中余数是 4×10=40，所以 840÷50=16 余 40。（教师板书：840÷50=（840÷10）÷（50÷10）=84÷5=16 余 4（余 4 个十）=16 余 40） （4）议一议：商不变规律的用途 （教师指着黑板上的算式）我们学了商不变规律，它能帮我们解决什么问题呢？（生 17 举手）生 17：算 650÷40 时，不用列竖式，直接用规律变简单了！师：对！比如计算 “7200÷300”，直接算可能麻烦，用规律变成 72÷3=24，一秒得出答案！（生 18 补充）生 18：如果被除数末尾有多个 0，比如 1000÷200，同时除以 100，变成 10÷2=5，比列竖式快多了！师：总结得很好！商不变规律就像给除法算式 “减负”，让整十、整百数的除法计算变得像口算一样轻松，还能避免计算错误。 三、课堂练习 （1）根据规律填空 （教师出示题目）我们用规律来填空，注意 “同时”“相同”“0 除外” 哦！ ①480÷8=60，那么 4800÷80=（ ）。（学生快速回答：60） ②48000÷800=（ ）。（生 19：60，因为 48000÷800=（48000÷100）÷（800÷100）=480÷8=60） ③48÷0.8=（ ）。（生 20：480÷8=60，这里 480÷10=48，8÷10=0.8，所以同时除以 10，商不变，还是 60） ④（480×5）÷（8×5）=（ ）。（生 21：60，因为同时乘 5，商不变） （教师补充）如果题目是 “480÷（8÷2）”，商是多少？（生 22：480÷8×2=60×2=120，因为除数除以 2，商会乘 2） （2）判断计算对错并改正 （出示题目）判断下列计算是否正确，错误的请改正： ①600÷20=3（×），改正：600÷20=30（因为 600÷20=（600÷10）÷（20÷10）=60÷2=30） ②750÷50=15（√），正确！ ③360÷40=9（√），360÷40=（360÷10）÷（40÷10）=36÷4=9 ④840÷50=16.8（√），840÷50=（840÷10）÷（50÷10）=84÷5=16.8 ⑤500÷20=25（√），500÷20=50÷2=25 （教师强调）如果遇到 “720÷80=9” 和 “7200÷80=90”，都要注意：被除数末尾的 0 不能随便去掉，必须 “同时” 乘或除以相同的数！ （3）列竖式计算 （出示题目）用竖式计算，并思考如何用商不变规律简化： ①7800÷600=？（学生尝试竖式：7800÷600，被除数和除数同时除以 100，变成 78÷6=13，竖式商 1 写在十位，3 写在个位，即 13） ②8200÷80=？（8200÷80=（8200÷10）÷（80÷10）=820÷8=102 余 4，即 102.5，竖式计算：820÷8=102 余 4，余 4 在个位，即余 4 个十？不对，8200÷80=820÷8=102 余 4（4 个十），所以 8200÷80=102 余 40） 四、拓展提高 （1）小科的问题 （教师情境导入）小科在计算 “☆÷△=70” 时，不小心把除数△末尾的 0 漏写了（变成△÷10），结果得到商 700。正确的商应该是多少？（学生分组讨论） （生 23 举手）生 23：假设正确算式是 A÷B=70，小科算成 A÷（B÷10）=700，也就是 A÷B×10=700，所以 A÷B=700÷10=70？不对，A÷（B÷10）=A×10÷B=（A÷B）×10=70×10=700，所以正确的商是 70！（教师用箭头标注：漏写 0→除数 ÷10→商 ×10→所以正确商 = 错误商 ÷10） （2）芳芳的问题 （教师情境）芳芳在计算 “因数 × 因数 = 800” 时，把其中一个因数末尾多写了 1 个 0（变成因数 ×10），结果得到积 8000。正确的积是多少？（生 24）生 24：因数 ×10× 另一个因数 = 8000，即积 ×10=8000，所以正确积 = 8000÷10=800？不对，8000÷10=800？哦，题目说 “多写 1 个 0”，所以错误积是正确积 ×10，正确积 = 8000÷10=800？ （教师验证）假设正确因数是 A，另一个是 B，A×B=800，芳芳写成 A×10×B=8000，所以 A×B×10=8000，因此 A×B=8000÷10=800，正确！ （3）小冬的问题 （教师情境）小冬在计算 “★÷■=？” 时，不小心把被除数★末尾的 1 个 0 漏写了（变成★÷10），结果得到商 70。正确的商应该是多少？（生 25）生 25：★÷10÷■=70，即★÷■÷10=70，所以★÷■=70×10=700，正确商是 700！ 五、课堂小结 （教师引导学生回顾）同学们，这节课我们学习了什么规律？（生齐答：商不变的规律！） （教师板书关键词：三个关键词：同时、相同的数、0 除外）谁能完整说出规律？（生 26）生 26：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变！ （教师补充）这个规律就像 “除法魔法”，能让复杂的计算变简单，还能帮我们解决生活中的 “漏写 0” 问题。记住三个关键词：“同时”“相同的数”“0 除外”，以后遇到除法，我们就可以用这个魔法让计算更轻松！ 学科网（北京）股份有限公司 $