陕西省兴平市西郊高级中学2025-2026学年高三上学期第十三次周练数学试卷

数学（十三） 圆锥曲线的方程十滚动内容 (时间：40分钟分值：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的 粉 1.已知E1,F2分别为椭圆5x2+9y2=45的左、右焦点，P为椭圆上一点.若PF,·PF=5,则 点P的横坐标为 A.士2 B.±3 C.4 D.9 B已知双曲线C:一y=1(a>0)的离心率为5 2 2,则a= A.2 B.√2 c号 D合 3.抛物线y=4x2的准线方程是 报 A.x=-1 B=一话 C.y=-1 Dy=一清 4.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在抛物线上，且|PF|=6,则点P到x轴距离为 A.25 B.4 C.2√3 D.3 反荷圆导 62 =1(a>b>0)的焦距为2c,过右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于点A,B,若 毁 |AB=号，则椭圆的离心率为 A② B® 2 c号 D号 6已知双曲线若 =1(a>0,b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交 于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1十d2=6,则双曲 线的标准方程为 苏 c--1 二、选择题：本题共2小题，每小题8分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得8分，有选错的得0分，部分选对的得4分. e 7.抛物线y2=2px(p>0)的准线为1，焦点为F,且经过点A(1,2),点A关于直线1的对称点为 点M,设抛物线上一动点P到直线x=一2的距离为d,则下列选项正确的是 国) A.p=4 噉 B.|PM+d的最小值为2√5+1 C.直线AF与抛物线相交所得弦的长度为4 D.过点M且与抛物线有且只有一个公共点的直线共有两条 第1页（共4页）】 XJC 8.已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的焦距为4，离心率为√2，经过点P(0,1)的直线 与双曲线C的右支交于A,B两点，线段AB的垂直平分线L与y轴交于点T(0,),则下列正 确的结论是 A.实数t的取值范围是（一∞，一4） B.直线AB的斜率可以为正值 C直线AB的斜率的取值范园是(--1) D.该双曲线的实轴长为√2 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分 9.(2024·新课标I卷)设双曲线C号-苦-1a>0,b>0)的左，右焦点分别为风，R,过乃作 平行于y轴的直线交C于A,B两点，若|FA|=13,|AB|=10,则C的离心率为 10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，若A市=2F克，则线段AB的中点 到y轴的距离是 四、解答题：本题共3小题，每小题12分，共36分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤， 1.已知双商线C:普一芳-1a>0,6>0)的焦点与周号十少=1的焦点重合，其渐近线方程 为y=土 32 (1)求双曲线C的方程； (2)若A,B为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线L:y=子x过AB的中点，求直线 AB的斜率. 第2页（共4页）】 XJC 12.已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,2)的距离比到直线l:y=一3的距离小1. (1)求曲线C的方程； (2)过点F(0,2)的直线交曲线C于A,B两点，过A,B两点作曲线C的两条切线，求证：两 切线的交点都在定直线上，并求此直线的方程. 第3页共4页)】 XJC 13.(2024·新课标I卷)已知A(0,3)和P3,号)为椭圆C:若+片-1a>6>0)上两点 (1)求C的离心率； (2)若过P的直线1交C于另一点B,且△ABP的面积为9，求L的方程. 第4页（共4页）】 XJC (十三) 1,B由5x2+9y2=45,得号+若=1， 设P(x,y),F1(-2,0),F2(2,0), PF1·PF2=x2+y2-4=5, 1x2+y2=9. 即x2+y2=9,则 号+苦：解得8 故选B. 2.B双曲线C: y2=1(a>0)中b=1,所以c=√a十1 a 则离心率e==公十更一 ,解得a2=2,所以a=√2（负值舍去） a a 2 故选B 3.D抛物线y=4x可化为云-子，焦点在)轴上，2印=子，∴多-抛物线y=4忙的准线方程是 y=一故选D 4.A设P(两w),2p=4,日名=1，则x+1=6,=5,6=20,6叶=25.放选A 5.D2-号。--音ac,l-G=音e邂得e=号放送D, a 6,A设双曲线的右焦点为F6c,0,将=6代入号一告1，得号一苦-1…y=士号不纺设A(。,艺)】 B(c,一店)）双曲线的一条蒲近线方餐为y=名，即x一5=0， b·c-a· a 则d= Ibc-6I=B(c-b),da= 6·c+a. alc+81=B(c+8), √62+(-a)2 6+(-a)2 d+d=名·2c=26=6,6=3. ”合=2,2=a2+8,a2=3双曲线的标准方程为号-号-1，故选A 7,BCA选项，将A(1,2)代入抛物线方程，解得=2，故A错误；D选项，由A选项知；此时抛物线方程为 y2=4x,故准线为x=一1，由题意M(一3,2)，于是y=2过点M且和抛物线只有一 个交点，过点4斜率不存在的线显然和抛物线不相交，故设)2=6十3》，和抛勒从- 线联立得到)一2=（￥+3），整理得y-4十12+8=0，由4=16一4(12+8） =0,解得=一1或及=子，于是y=一x一1，y=音十3是抛物线的两条切线，综 =4x 上，过点M且与抛物线有且只有一个公共点的直线共有三茶，故D错误；C选项，注 意到A(1,2),F(1,0),故AF⊥x轴，设直线AF与抛物线相交所得弦为AB,根据对称性，|.AB|=2|AF|=4, 故C正确；B选项，设PQ⊥准线，垂足为Q,由题意，|PM十d=|PM|十|PQ|+1,根据抛物线的性质， |PQ|=|PF|,于是|PM|+d=|PM+|PF|+1≥|MF|+1=√(-3-1)+2+1=2V5+1,当P落 在线段MF上取等号，故B正确.故选BC, 8AC设双曲线方程为号-苦=1a>0,b>0),由题意知2=4，名=区，6=2，a=亿，5=2-d=2, ∴.双曲线方程为x2-y2=2,实轴长为2V,D选项错误；设经过点P(0,1)的直线为y=x十1，A(x1,y1), 1一2≠0 △=(-2)z+12(1-2)>0 /y=x+ B(x2,y2),联立 2得1-公)x2虹一3=0，由题意知十a=2>0 ,解得一< x2-3y2= 2 -3 21%=1->0 一1.C选项正确，B造项不正确：设AB的中点为M(0,则西=查=产京%=十1- 已AB的中点M的坐标为(2设AB的垂直平分线L的方程为y=一名十，将点M坐 标代入直线1的方程得已e=(-)·产十，化简得到=产，由-<k<-1,可得一合<1-龙 <0,”,实数t的取值范围为（一o∞，一4）.A选项正确，故选AC 9.三解法一（直接法）由AB|=10及双曲线的对称性得|AP,=AB-5,(题眼)因为1AR=13,所以 2 2a=|AF1|-|AF2|=13-5=8,2c=F1F2|=√TAF1-AF212=√132-5=12，所以a=4,c=6,则C 的离心率e=￡=§=3 a=4=2 解法二（二级结论）因为1AB1=10,所以2沙=10，所以=二立=5，又1AB,1=13,所以1F.R,'=26= a a a √AR,1-(=12,得e=6,所以。+5a+36=0,得a=4,所以C的腐心率6=÷=具-是.（二级 结论：椭圆和双曲线的通径长均为26) 0 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，且A市=2F市，则直线AB的斜率存在，设直 y=(x-1) 线AB为y=(x一1)，联立 y2=4x ,整理可得2x2一（2k十4)x十2=0，设A(,),B(x2, y2),则=1① 由A市=2Fi,则1-x=2(x2 ② 将①②联立可求出西=2或=1（舍去）=方，所以线段AB的中点到)轴的距离=云 11.解：(1)椭圆琴+y=1的焦点为（士2,0），故a2+6=4, 5 由双曲线的渐近线为=士得，故名-号，敢6=1a=厅 a 放双曲线方程为：号-少=1. 4分 (2)设A(x1,y),B(x2y2),AB的中点为M, 因为M在直线1=子x,放w=子u, 而号-疗=1，普-=1，故白4+-60-为0十y)-0, 3 放2-)-(0y-2)M=0, 3 由题设可知AB的中点不为原点，故Mwyw≠0，所以二业==1，故直线AB的斜率为1 x1-x2 3yM 此时AB9=2一十合M=x一号4， 由 一号可得一3（女一号如）=3，整理得到：24红c+合场+3=0， x2-3y2=3 当4=16d8(学坑+9)-9-20即-2或w>39 2 即当u<-3y或w>32时，直线AB存在且斜率为1， …12分 2 2 12.(1)解：由题意知，动点P到点F(0,2)的距离与动点P到直线y=一2的距离相等， 所以曲线C是以F(0,2)为焦点，y=一2为准线的抛物线，所以曲线C的方程为x2=8y. ………3分 (2)证明：由题意知，过点F的直线的斜率一定存在，设为y=x十2，设A(x1,y1),B(x2,y2), y=x十2 联立 x2=8y 得x2-8kx一16=0，则c1十x2=8k,x1x2=一16， “抛物线方程为y=名，心= 4x, y=(红-)+ -✉ 所以两切线方程为 ,即 g-要x一)+为 两式相除消去x可得T8-兰，化简得(4一1y=西。一 8 又4一cr≠0，心1c2=一16，可得y=一2，所以两切线的交点在定直线y=一2上.…12分 13.解：(1)第1步：代人A,P坐标求解a,b (9 1 由题知< ,解得 a=2√8 2分 9 9 是+ =1 (6=3 第2步：根据a,b,c的关系求解c,得出C的离心率e c=√a2-=5,…C的离心率e== 1 a 2 ……4分 (2)第1步：求解」PA IPa1=V8+(2-35, 2… 小……6分 第2步：得出点B到直线PA的距离h 设点B到直线PA的距离为A,则△ABP的面积为S=合PA|·h-9,解得h=125 。…8分 第3步：求解点B坐标 易知直线PA:x十2y一6=0，设B(x,y), 1x+2y-61=12W5 5 则 √5 等。*：4g0g40g。。。0040000。g*4.400.0.0,0g 10分 x= 3 x=0 解得 y=-3或 3) )…………11分 第4步：求直线1的方程 故1y=是x-3或y=x 12分