内蒙古杭锦后旗奋斗中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

奋斗中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（     ） A．2 B． C． D． 4．“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5. 圆与圆的位置关系为（     ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 6. 已知，，，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 7．若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. 坐标平面上的点也可表示为，其中，为轴非负半轴绕原点逆时针旋转到与重合的旋转角．将点绕原点逆时针旋转后得到点，这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的离心率为（     ） A． B. C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（     ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的焦距为4 D．的周长为18 10. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．直线与直线所成的角为90° B．直线与平面所成角的余弦值为 C．平面 D．点到平面的距离为 11. 已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线，切点分别是A、B，下列说法正确的有（    ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为1 C．四边形面积的最小值为1 D．直线恒过定点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线和相互垂直，则 . 13. 直线：被圆：截得的弦AB的长为 . 14. 已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）根据下列条件写出直线方程: （1）斜率是3，且经过点的直线方程； （2）原点与点关于直线对称，求直线的方程； （3）求经过点（2,3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 16．（15分）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为. (1) 求椭圆的方程； (2) 若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 17.（15分）已知圆经过点,且 . 从下列3个条件中选择一个，补充在上面的横线处，并解答. ①过直线与直线的交点C；②圆恒被直线平分；③与轴相切. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 18.(17分)如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由. 19.（17分）已知圆分别与轴正半轴交于两点，为圆上的动点. （1）若线段上有一点，使得,求点的轨迹方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高二期中考试数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D B C B A D ABD ABC BCD 8.【详解】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为， 则，， ， 整理可得：，即曲线的方程为：， ，，，曲线的离心率. 10.【解答过程】在正方体，以为原点，分别为如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， ∵，∴，∴A选项正确； ∵，，设平面的一个法向量为， 则，令，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， ∴，∴B选项正确； ∵，∴平面，∴C选项正确； 点到平面的距离，∴D选项错误. 故选：ABC. 11.【解答过程】对于A，由圆，可知圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 圆上的点到直线的最小和最大距离分别为和， 由于，圆上有两个点到直线的距离距离为，故A错误； 对于B，由圆的性质可得切线长， 所以当最小时，有最小值，又， ，故B正确； 对于C，因为四边形面积为， 所以四边形面积的最小值为1，故C正确； 对于D，设，由题可知点，，在以为直径的圆上，又， 所以，即， 又圆，即， 两式子相减得：直线的方程为：，即， 由，得，即直线恒过定点，故D正确． 故选：BCD. 12 -1 13. 14. 15.（1）直线斜率是3，且经过点，则直线方程为，化为一般式方程为； (2) (3) 16.(1)椭圆的方程为； (2). 【详解】（1）由题意知，且，可得， 故椭圆的方程为，其“准圆”方程为． （2）由题意，设，则有， 不妨设，，所以，， 所以，又，则， 所以的取值范围是．    17. 18.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面, 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面........................................................................................5分 （2）由（1）得平面，因为平面，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    因为，，所以，. 则，，,，， 所以，，........................................................7分 设平面的一个法向量为， 则，取得，...............................9分 因为平面，所以为平面的一个法向量，， 所以，.................................11分 设平面与平面夹角为， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值．...................................12分 （3）线段上存在点，点为中点，满足平面，证明如下： 设，因为， 所以，......................................................15分 由（2）知平面的一个法向量为， 因为平面，所以，解得， 所以线段上存在点，点为中点，满足平面..............................................17分 19. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $