精品解析：2025-2026学年第一学期期末学业水平评价 九年级数学(B卷)

2025-2026学年第一学期期末学业水平评价 九年级数学（B卷） 考试时间：120分钟；满分：120分 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一组数据为3，2，2，4，5，2，则这组数据的众数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 如图，下列三个温度计显示的度数的中位数为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A. 2028 B. C. 2024 D. 4. 关于的方程有实数根，那么a的值为（ ） A. B. 且 C. D. 5. 若方程的两根之和为，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（ ） A. B. 1 C. 或 D. 1或3 8. 如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，，，，，在边上取点P，使得与相似，这样的P点共有2个，则m满足的条件是（ ） A. 或 B. C. D. 10. 如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（　　） A. ∠AIB＝∠AOB B. ∠AIB≠∠AOB C. 2∠AIB﹣∠AOB＝180° D. 2∠AOB﹣∠AIB＝180° 11. 函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①② D. ②③ 12. 如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（本大题共四个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 14. 反比例函数的比例系数_________． 15. 已知矩形，，，过对角线的中点作的垂直平分线，分别交，于点，，则的长为__． 16. 一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；……如此进行下去，则段对应的函数解析式______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. “切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级，A：1小时以内；B：1小时--1.5小时；C：1.5小时--2小时；D：2小时以上．根据调查结果绘制了如图所示的两种不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）该校共调查了多少名学生？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）在此次调查问卷中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈，用列表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率． 19. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 20. 如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若，求线段AD的长． （2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 21. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D． （1）求a的值及正比例函数的表达式； （2）若，求的面积． 22. 如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求阴影部分的面积． 23. 元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？ （2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值. 24. 如图1，抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线解析式． （2）点E是直线上方抛物线上一动点，连接，，若，求点E的坐标． （3）如图2，直线交抛物线于M，N两点，过点M的直线和过点N的直线交于点P，且直线和与抛物线均只有一个公共点，若P 是直线上一点，求原点O到直线距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末学业水平评价 九年级数学（B卷） 考试时间：120分钟；满分：120分 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一组数据为3，2，2，4，5，2，则这组数据的众数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数，理解其定义是解题的关键． 众数是一组数据中出现次数最多的数，直接统计每个数字的出现次数即可． 【详解】解：数据中2出现3次，3、4、5各出现1次， ∴2出现次数最多， ∴众数为2． 故选：A． 2. 如图，下列三个温度计显示的度数的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义解答即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可知，三个温度计显示的度数分别为，，， ∴中位数为， 故选：． 3. 用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A. 2028 B. C. 2024 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出、的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程， ∴移项得， 配方得，即， 与比较，得，， ∴， 故选：B． 4. 关于的方程有实数根，那么a的值为（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及对含参方程的分类讨论，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 方程可能为一次或二次方程，需分类讨论，最后合并结果． 【详解】解：∵ 方程 有实数根， 当 时，方程化为 ，解得 ，有实数根； 当 时，方程为二次方程，判别式 ， 解得 ； 综上， 时方程有实数根． 故选：A． 5. 若方程的两根之和为，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键． 由根与系数的关系结合两根之和为，即可求出值． 【详解】解：在中，两根之和等于， 关于的一元二次方程的两根之和为， ． 故选：D． 6. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（ ） A. B. 1 C. 或 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 8. 如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，切线的性质、切线长定理等知识，解决本题的关键是掌握切线的性质和切线长定理． 设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，证得四边形是正方形，则，根据是的切线，可得，，求出再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴ 由切线长定理可知，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 9. 如图，，，，，在边上取点P，使得与相似，这样的P点共有2个，则m满足的条件是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．分、两种情况利用相似三角形的性质分别列比例得到关于的一元二次方程，再利用根的判别式求解即可． 【详解】解：设，则 情形①， 则，即 解得：； 情形②， ∴，即 ∴， ∴， ∵与相似，这样的P点共有2个， 当①成立时，则②中只有唯一的一个解， 即，解得： 当②有两个解时（即情形②有两个点），则①中的解与②中的一个解相同， 即是的解， ∴ 解得：（负值舍去） 综上所述，或， 故选：A． 10. 如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（　　） A. ∠AIB＝∠AOB B. ∠AIB≠∠AOB C. 2∠AIB﹣∠AOB＝180° D. 2∠AOB﹣∠AIB＝180° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系． 【详解】解：∵点O是△ABC的外心， ∴∠AOB＝2∠C， ∴∠C＝∠AOB， ∵点I是△ABC的内心， ∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA， ∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA） ＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）， ＝180°﹣（180°﹣∠C） ＝90°+∠C， ∴2∠AIB＝180°+∠C， ∵∠AOB＝2∠C， ∴∠AIB＝90°+∠AOB，即2∠AIB﹣∠AOB＝180°． 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质，正确利用∠C表示∠AIB的度数是关键． 11. 函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①② D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，，故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，，故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ，故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 12. 如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解． 【详解】解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆 由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短 点P是BO的中点 在中， 是等边三角形 在中， ． 【点睛】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆． 二、填空题（本大题共四个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 14. 反比例函数的比例系数_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，将函数化为标准形式是解题的关键． 将反比例函数化为标准形式，即可找出比例系数的值． 【详解】解：函数可化为， ∴比例系数， 故答案为：． 15. 已知矩形，，，过对角线的中点作的垂直平分线，分别交，于点，，则的长为__． 【答案】 【解析】 【分析】连接，构造直角三角形，设为，则，利用勾股定理得到有关的一元一次方程，求得即可． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， 设，则， 在中， ， 即：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理列出方程是解决问题的关键． 16. 一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；……如此进行下去，则段对应的函数解析式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质，二次函数交点式的计算是关键． 根据题意，得到即，运用交点式求二次函数即可． 【详解】解：抛物线：，记为， ∴，顶点坐标为， ∴， 将绕点旋转得， ∴，， 将绕点旋转得， ∴，， ∴，，即， ∴的解析式为， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握因式分解法． （1）利用因式分解法解一元二次方程，即可解题； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可解题． 【小问1详解】 解：， 整理得， 因式分解得， 即， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 18. “切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级，A：1小时以内；B：1小时--1.5小时；C：1.5小时--2小时；D：2小时以上．根据调查结果绘制了如图所示的两种不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）该校共调查了多少名学生？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）在此次调查问卷中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈，用列表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率． 【答案】（1）该校共调查了200名学生； （2）补图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）根据B类的人数和所占的百分比即可求出总数． （2）求出C的人数从而补全统计图． （3）先设甲班学生为为，乙班学生为，根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可． 【详解】解：（1）共调查的中学生人数是：（人）， 答：该校共调查了200名学生； （2）C类的人数是：（人），图略； （3）设甲班学生为，乙班学生为，树状图如下： 一共有12种等可能结果，其中2人来自不同班级共有8种， ∴P（2人来自不同班级）． 【点睛】（1）由图得到B类学生的人数和百分比是解答本题的关键． （2）根据题中所给信息求出C班的人数从而将图补全． （3）掌握树形图的画法及概率公式是解答本题的关键． 19. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1），每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 （2）这天售出了64辆轮椅 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； 【小问2详解】 当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 20. 如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若，求线段AD的长． （2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 【答案】（1）2 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出； （2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出． 【小问1详解】 ∵四边形BFED是平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形BFED是平行四边形， ∴，，DE=BF， ∴， ∴ ∴， ∵，DE=BF， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键． 21. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D． （1）求a的值及正比例函数的表达式； （2）若，求的面积． 【答案】（1）a=2；y=2x；（2） 【解析】 【分析】（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求． （2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）已知反比例函数解析式为y=，点A(a，4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入，解得a=2，故A点坐标为(2，4)，又∵A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x． 故a=2；y=2x． （2）根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b，0)，则C点坐标为(b，)、D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C点坐标为(5，)，则在△ACD中，=． 故△ACD的面积为． 【点睛】（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键． （2）本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解． 22. 如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的直径 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：连接 AI    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】+（1）分别证明，，从而可得结论； （2）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （3）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、 ∵是的直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是半径，是的中点， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，熟练地掌握相似三角形的判定和切线的判定是解决本题的关键。 23. 元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？ （2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值. 【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）的值为2或7. 【解析】 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为元/千克, 元/千克. 由题得： 解之得： 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得： 解之得：， 经检验，，均符合题意 答：的值为2或7. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键. 24. 如图1，抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线解析式． （2）点E是直线上方抛物线上一动点，连接，，若，求点E的坐标． （3）如图2，直线交抛物线于M，N两点，过点M的直线和过点N的直线交于点P，且直线和与抛物线均只有一个公共点，若P 是直线上一点，求原点O到直线距离的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）1 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后得到，求出，，然后由待定系数法即可求解； （2）如图，过点E作垂直于x轴于点G，交于点F，设点E的坐标为，则点F的坐标为，，由得，进而得方程，求解即可； （3）设直线的表达式为，点M和点N的横坐标分别为：，，其中，联立和并整理得，得，，联立和并整理得：，可得，，求出直线的表达式为，同理直线的表达式为，求出点的坐标，然后代入求出，然后得到直线经过点，结合点O的坐标即可得解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴将，代入得， ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设直线的方程为：， 将，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， 如图，过点E作垂直于x轴于点G，交于点F， 设点的坐标为，则点F的坐标为，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， ∴点E的坐标为或； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为，点M和点N的横坐标分别为：，，其中， 联立和并整理得：， 则，， 设直线的表达式为：， 联立和并整理得：， 由题意得：， 则， ∴， 解得：，即， 则， ∴直线的表达式为：； 同理直线的表达式为：； 联立上述两式得：， 解得：， ∴， 即点P的坐标为， ∵P 是直线上一点， ∴ ∴ ∴直线的表达式为， ∴当时， ∴直线经过点 ∴当时，原点O到直线的距离有最大值，最大值为． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，面积的计算，根和系数的关系等，熟练掌握相关知识点，利用根和系数的关系处理复杂数据是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $