精品解析：湖南省岳阳市湘一南湖学校2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷

湘一南湖学校2026年上学期八年级期末考试 数学 （总分：120分 时量：120分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 年是“十五五”规划开局之年，我国持续推动全球文明交流、共建人类命运共同体．下列国家级重大活动官方标识里，属于中心对称图形的是（ ） A. 第四次全国农业普查标识 B. 亚洲文明对话大会主标识 C. 深圳峰会 D. 第六届亚洲沙滩运动会会徽 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各个选项进行判断即可． 【详解】解：、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意； 、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据边形的内角和为，进行求解即可. 【详解】解：. 3. 已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值： x -1 0 1 y 1 m -1 则m等于( ) A. －1 B. 0 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由于一次函数过点（-1，1）、（1，-1），则可利用待定系数法确定一次函数解析式，然后把（0，m）代入解析式即可求出m的值． 【详解】设一次函数解析式为y=kx+b， 把(−1,1)、(1,−1)代入 解得， 所以一次函数解析式为y=−x， 把(0,m)代入得m=0. 故答案为B. 【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，解题关键在于运用一次函数图象上点的坐标特征求解m. 4. 如图，与相交于点O，，E，F分别是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意知，证明，则，即，解得，由题意知是的中位线，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 5. “凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上．若点，，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据题中给出的两点坐标建立坐标系即可得出B点坐标． 【详解】解：根据点，，建立直角坐标系如下图： 则， 故选：C． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定与性质是解题的关键． 由矩形的判定和菱形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A符合题意； B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，如直角梯形，故选项B不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、菱形是轴对称图形，它的对角线所在直线就是它的对称轴，故选项D不符合题意． 故选：A． 7. 在中，，如果所对的边是，下列等式中成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数；根据锐角三角函数，确定中各角的三角函数值，进行判断即可． 【详解】解：如图所示， A．由，可得，故A错； B．由，可得，故B错； C．由，可得，故C正确； D．由，可得，故D错误； 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，点E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，若且平分，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，再利用角平分线的性质可得，，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出，再设，则，从而在中，利用勾股定理求出，再由即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分，， ∴， ， ， 在中，， ∴， 设，, 在中，, ∴,解得：， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 9. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正切值为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形、网格中的三角函数，准确作出辅助线是解题的关键． 首先连接格点，根据得到，即可在中求得即为的正切值． 【详解】如图，连接格点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，正方形按如图所示的方式放置，其中点在轴上，点在轴上，已知正方形的边长为1，，则正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质和锐角三角函数，得出规律正方形的边长为，即可得到答案． 【详解】解：图中四边形均为正方形，且正方形的边长为1，，， ，，， ， ， 同理可得：， …… 观察发现，正方形的边长为， 的边长． 二、填空题（共8小题，每小题3分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式分母不为，二次根式被开方数非负，列不等式求解即可． 【详解】解：要使函数有意义，需满足条件：二次根式的被开方数非负，且分母不能为， ∴，解得． 12. 从甲、乙两名学生中选拔一人参加科技创新知识竞赛，在相同条件下对他们的科技创新知识进行了次测验，经计算知：，，这表明______（填写“甲”或“乙”）的成绩更稳定． 【答案】乙 【解析】 【分析】比较甲和乙的方差大小，根据方差越小数据越稳定即可判断结果． 【详解】解：方差反映一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小，成绩越稳定， ∵，， ∴， 因此乙的成绩波动更小，成绩更稳定． 13. 无人机广泛应用于城市测绘，某无人机测绘点位坐标为，将该点沿x轴向右平移4个单位，平移后对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵平移前点的坐标为，向右平移个单位， ∴平移后横坐标为，纵坐标不变仍为， ∴平移后对应点的坐标为. 14. 已知：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入代数式进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 15. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先利用待定系数法求出的值，进而得到点的坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案，掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 16. 如图，把放在直角坐标系内，其中，，点A、B的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】由题意可知，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，如图，，代入函数关系式，可得，则，所以，线段扫过的面积为平行四边形的面积． 【详解】解：∵，，点A、B的坐标分别为、， ∴，， 将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，如图， 根据平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形， 把代入直线， 解得，即， ∴， ∴平行四边形的面积； 故答案为：24． 【点睛】此题考查了一次函数的性质、平移的性质、勾股定理以及平行四边形的判定，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 17. 如图，在菱形中，对角线相交于点是线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出边长，再根据线段垂直平分线的性质得出，从而将的周长转化为进行计算 【详解】解：四边形是菱形，    在中， 由勾股定理得    是线段的垂直平分线    的周长为： ． 18. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到（旋转角小于180°），连接交于点G，连接交于点F． （1）设，则______；（用含的代数式表示） （2）若F为的中点，，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由旋转性质得：，，则，利用互余关系即可求解； （2）由点F是中点，得，由旋转的性质及（1）中解答过程得；在中由勾股定理可求得；再证明，则，从而求得，即可求解． 【详解】解：（1）由旋转性质得：，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵点F是的中点，且， ∴， ∴； 由旋转的性质知，则； 由（1）中解答过程知，， ∴， ∴； ∵， ∴设，由勾股定理得， ∴； 在中，，， 即， 解得； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别化简零指数幂、特殊角三角函数、绝对值、负整数指数幂，再合并计算结果． 【详解】解： 原式    ． 20. 如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，相似比是． （1）请画出； （2）请直接写出各顶点的坐标； （3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是 ． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键； （1）找到点A，B，C的对应点，即可求解； （2）直接根据（1）中图形解答即可； （3）根据位似图形的性质解答，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得， 【小问3详解】 解：∵内部一点M的坐标为，在y轴右侧，且与位似，相似比是， ∴点M的对应点的坐标是． 故答案为： 21. 某中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分（单位：分） 中位数（单位：分） 众数（单位：分） 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出： ，b＝ ，并直接把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）在这两个年级中，成绩更稳定的是 （填“七年级”或“八年级”）； （3）若该校七年级有400人、八年级有500人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），， 补全条形统计图如下： （2）七年级 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了画条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据中位数的定义第13个数据是中位数，在等级B中，可以确定的值，根据所占百分比最大的数据是众数，可以确定的值；根据题意得到七年级等级C人数后补全条形图即可． （2）根据平均分相同，方差越小，越稳定解答． （3）用各年级总人数乘以优秀率，再求和即可得到人数． 【小问1详解】 解：七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩， 七年级中位数为从小到大排序后的第名同学的成绩， 由条形统计图可知；从小到大排序后的第名同学的成绩在等级B中， 故七年级中位数， 由扇形图可知：即等级A所占比例最多， 八年级众数， 由题可知：七年级等级C人数为：（人）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：七、八年级平均分相同，七年级方差小于八年级方差， 七年级成绩更好，更稳定； 故答案为：七年级 【小问3详解】 解：由图可知：样本中七、八年级的优秀率为：， 估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有人． 22. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，F为上一点，且． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，从而得，由同角的补角相等得到，然后根据两角相等的两个三角形相似证明即可解答； （2）利用（1）的结论可得，代入数据计算即可解答． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， ， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板长为，踏板与地面的坡比，支架长为，跑步机手柄为，且，到地面的高度为．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． （1）求到地面距离（结果精确到）； （2）该人身高为1.8米，通过尝试：当是身高0.8倍时，运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 【答案】（1）到地面距离为； （2）此时支架与踏板之间夹角的度数为． 【解析】 【分析】（1）过C作于G，由坡度坡角的关系求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长交于F，则，求出，由（1）得，然后求出的长即可；由锐角三角函数定义求出，再由（1）得，然后求出的度数即可． 【小问1详解】 解：过作于， 踏板与地面的坡比，， ， ， ， 即到地面距离为； 【小问2详解】 解：延长交于， 则， 该人身高为1.8米，通过尝试是身高0.8倍运动起来更加舒服， ， 由（1）得：， ， 在中，， ， 由（1）得：， ． 此时支架与踏板之间夹角的度数为． 24. 某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完．直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤（不计损耗）．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤．设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓． （1）若生产基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式； （2）求安排多少名工人采摘蓝莓，才能使生产基地一天的销售收入最大？ 【答案】（1） （2）7名 【解析】 【分析】（1）根据总销售收入=直接销售蓝莓的收入+加工销售的收入，即可得出y关于x的函数关系式； （2）由采摘量不小于加工量，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 根据题意得：． 答：y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴y随x的增大而减小 ∵x是整数 ∴当时，y有最大值． ∴安排7名工人采摘蓝莓，使生产基地一天的销售收入最大 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据数量关系，找出y与x的函数关系式；（2）根据一次函数的性质，解决最值问题． 25. 【探究主题】如何将一个任意四边形不重叠无缝隙拼接成正方形？ 【研究思路】 （1）如图1，对于任意一个，，分别为，的中点，连接，过点作交延长线于点．求证：． 【方案确定】 从研究思路中发现，通过中点分割可拼接成平行四边形． 研究方向：对任意四边形的中点进行分割的方向思考． 研究思路：按“四边形平行四边形矩形正方形”的路径，由一般到特殊进行研究． 【初步探究】 如图2，取四边形各边中点分别为点，连接交于点，沿剪开．将①③分别绕点顺时针旋转，并将②平移，使点与点重合，拼接成四边形．可得到四边形是平行四边形． 【方案实施】 （2）步骤一：如图3，取任意四边形各边中点分别为点，，，，连接，过点作于点，过点作于点，沿剪开，将①③分别绕点顺时针旋转将②平移，使得点与点重合，拼接成四边形，请证明：四边形是矩形； （3）步骤二：如图4，记在步骤一得到的四边形的面积为，在四边形的边上确定一点，连接，过点作于点，沿分割，将①②平移，拼接成正方形．已知，若，直接写出的长及的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， 由图形变换可知，， ∴，，即， 同理可证， ∴四边形是平行四边形． 又∵于点M， ∴， ∴四边形是矩形； （3）， 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据中点的性质得到，证得结果； （2）通过旋转的性质与等量代换，证得，同理可证得，得到四边形是平行四边形，根据得到四边形是矩形； （3）由（2）知求出正方形的面积，再根据正方形的面积求出正方形的边长，再利用旋转的性质求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知： ， ∴， 由图形变换可得，，， ， ∴在中，． 26. 定义：图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B， （1）关于l的对称函数y＝与直线x＝1交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于l的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； （2）当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围． 【答案】（1）①﹣2，2，2；②点P坐标为或或；（2）． 【解析】 【分析】（1）①把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标； ②先根据三角形面积公式求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可； （2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线y=x与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围． 【详解】解：（1）①当时，令，即，解得，此时满足题意，故． 当时，令，即，解得，此时满足题意，故． 当时，，故． 故答案为：，2，2． ②∵，，， ∴AB=4，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴或． 当，且时，令，即，解得，此时与点C重合，故舍去． 当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故． 当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故． 当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故． 故点P坐标为或或． （2）∵关于m的对称函数的解析式为 ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于，令y=0，即，解得x=2， ∴x=2必须在的范围之内． ∴． ∵对于，令y=0，即，解得， ∴必须在的范围之内． ∴． ∴． ∵直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点， ∴直线y=x分别与直线和各有一个交点． 对于直线y=x与直线， 联立可得解得 ∴直线y=x与直线必有一交点． 对于直线y=x与直线， 联立可得解得 ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点． ∴． ∴． ∴m的取值范围是． 【点睛】本题考查求一次函数自变量的值或函数值，坐标与图形关系，三角形面积公式，一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握分类讨论思想和数形结合思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘一南湖学校2026年上学期八年级期末考试 数学 （总分：120分 时量：120分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 年是“十五五”规划开局之年，我国持续推动全球文明交流、共建人类命运共同体．下列国家级重大活动官方标识里，属于中心对称图形的是（ ） A. 第四次全国农业普查标识 B. 亚洲文明对话大会主标识 C. 深圳峰会 D. 第六届亚洲沙滩运动会会徽 2. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 3. 已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值： x -1 0 1 y 1 m -1 则m等于( ) A. －1 B. 0 C. D. 2 4. 如图，与相交于点O，，E，F分别是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. “凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上．若点，，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴 7. 在中，，如果所对的边是，下列等式中成立的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，点E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，若且平分，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正切值为（　　） A. B. C. 2 D. 10. 在平面直角坐标系中，正方形按如图所示的方式放置，其中点在轴上，点在轴上，已知正方形的边长为1，，则正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是________． 12. 从甲、乙两名学生中选拔一人参加科技创新知识竞赛，在相同条件下对他们的科技创新知识进行了次测验，经计算知：，，这表明______（填写“甲”或“乙”）的成绩更稳定． 13. 无人机广泛应用于城市测绘，某无人机测绘点位坐标为，将该点沿x轴向右平移4个单位，平移后对应点的坐标为______． 14. 已知：，则______． 15. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 16. 如图，把放在直角坐标系内，其中，，点A、B的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为_______． 17. 如图，在菱形中，对角线相交于点是线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，则的周长为________． 18. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到（旋转角小于180°），连接交于点G，连接交于点F． （1）设，则______；（用含的代数式表示） （2）若F为的中点，，则的值为______． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 计算：． 20. 如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，相似比是． （1）请画出； （2）请直接写出各顶点的坐标； （3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是 ． 21. 某中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分（单位：分） 中位数（单位：分） 众数（单位：分） 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出： ，b＝ ，并直接把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）在这两个年级中，成绩更稳定的是 （填“七年级”或“八年级”）； （3）若该校七年级有400人、八年级有500人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 22. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，F为上一点，且． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 23. 为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板长为，踏板与地面的坡比，支架长为，跑步机手柄为，且，到地面的高度为．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． （1）求到地面距离（结果精确到）； （2）该人身高为1.8米，通过尝试：当是身高0.8倍时，运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 24. 某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完．直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤（不计损耗）．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤．设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓． （1）若生产基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式； （2）求安排多少名工人采摘蓝莓，才能使生产基地一天的销售收入最大？ 25. 【探究主题】如何将一个任意四边形不重叠无缝隙拼接成正方形？ 【研究思路】 （1）如图1，对于任意一个，，分别为，的中点，连接，过点作交延长线于点．求证：． 【方案确定】 从研究思路中发现，通过中点分割可拼接成平行四边形． 研究方向：对任意四边形的中点进行分割的方向思考． 研究思路：按“四边形平行四边形矩形正方形”的路径，由一般到特殊进行研究． 【初步探究】 如图2，取四边形各边中点分别为点，连接交于点，沿剪开．将①③分别绕点顺时针旋转，并将②平移，使点与点重合，拼接成四边形．可得到四边形是平行四边形． 【方案实施】 （2）步骤一：如图3，取任意四边形各边中点分别为点，，，，连接，过点作于点，过点作于点，沿剪开，将①③分别绕点顺时针旋转将②平移，使得点与点重合，拼接成四边形，请证明：四边形是矩形； （3）步骤二：如图4，记在步骤一得到的四边形的面积为，在四边形的边上确定一点，连接，过点作于点，沿分割，将①②平移，拼接成正方形．已知，若，直接写出的长及的值． 26. 定义：图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B， （1）关于l的对称函数y＝与直线x＝1交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于l的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； （2）当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $