1.1三角形内角和定理（第2课时三角形的外角）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

1.1三角形内角和定理 导学案 第2课时 三角形的外角 1.了解并掌握三角形的外角的定义. 2.掌握三角形的外角的性质，能进行简单的推理论证与数值计算. 学习重点：三角形外角等于不相邻两内角之和的证明与应用. 学习难点：将外角定理与平行线、全等等知识结合，灵活进行几何推理和计算. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 . 符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则∠A +∠B +∠C = . ②两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 (AAS). ③全等三角形的 相等， 相等. 2.情景引入 在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质． 新知自研：自研课本第4--6页的内容． 【学法指导】 自研课本P4-6页的内容，思考： ●探究一：三角形的外角 ◆1、尝试思考 外角的定义： △ABC 内角的一条边与另一条边的 组成的角，叫作△ABC 的外角。 如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 问题1：画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？ 问题2：△ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系） ◆2、知识归纳 三角形的外角的特征： ①角的顶点是三角形的 ； ②角的一边是三角形的 ； ③另一边是三角形中一边的 . 如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 每一个三角形都有 个外角． ◆3、练一练 如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ 【解答】解：∠BEC是 的外角; ∠AEC是△BEC和 的外角; ∠EFD是△BEF和 的外角. ●探究二三角形外角的性质 ◆1、思考交流 （1）如图，△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ （2）如图,△ABC 的外角∠ACD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？ （3）请证明你的结论，并与同伴进行交流. 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.（尝试用不同的方法来证明） 得到推论：三角形的一个外角等于和 的两个内角的和. (4) △ABC的外角∠ACD与它不相邻的两个内角（∠A、∠B）的大小关系如何呢？ 得到推论：三角形的一个外角大于任何一个和 的内角. 像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论. ◆2、方法归纳 三角形内角和定理的推论1： 三角形的一个外角等于和 的两个内角的和. 几何语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴ ∠ACD= + . 三角形内角和定理的推论2： 三角形的一个外角大于任何一个和 的内角. 几何语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＞ ,∠ACD＞ . ◆3、练一练 点P是△ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，则图中∠1、∠2、∠A 的大小关系是（ ） A.∠A＞∠1＞∠2 B.∠A＞∠2＞∠1 C.∠2＞∠1＞∠A D.∠1＞∠2＞∠A 【例题导析】 自研下面例1和例2的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，在△ABC中，∠B= ∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EAC=∠B+ ,再根据角平分线的定义可得∠DAC= ，从而得到∠DAC= ,然后根据 相等两直线平行证明即可解答. 【解答】 例2 已知: 如图,P 是△ABC内一点,链接PB，PC . 求证: ∠ BPC ＞ ∠A. 【分析】根据△PDC外角的性质知： ∠ BPC ＞ ，根据△ABD外角的性质知： ∠ PDC ＞ 从而可以证得结论.（还可以连接AP并延长交BC于点E，利用推论2证明.） 【证明】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.猜想并证明外角的性质及其推论； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，尝试用不同的方法解答. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图所示，AB∥CD，∠A = 45°，∠C=28°,则∠AEC的大小为( ) A.17° B.62° C63° D.73° 2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( ) A.120° B.115° C.110° D.105° 3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ ） A.26° B.63° C.37° D.60° 4.将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示,若∠1=40°，则∠2=_____. 5. 如图所示，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC的平分线与△ACB 的外角∠ACE的平分线交于点D，则∠D的度数为_____. 6．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是_____. 7. （1）如图，∠BDC是________的外角,也是______的外角； (2)若∠B=45 °，∠BAE=36 °,∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数. 8. 已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE． 求证：∠1>∠2． 9.如图所示，∠B=20°，∠C=30°，∠A =95°，求∠BDC的度数. 题型一：利用三角形的外角性质求角度 1.如图所示，点D是内一点，若，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2.如图，D是的边上一点，，，．则的大小是（    ） A． B． C． D． 3.如图，已知中，，是边上的高，求度数．    题型二：利用三角形的外角性质比较大小 4.如图，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5.如图，点是内一点，连接并延长交于，连接，则图中的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6.如图，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是(     ). A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠A＞∠BEC C．∠BEC＞∠DOE＞∠A D．∠DOE＞∠BEC＞∠A 题型三：利用三角形的外角性质与角平分线的综合 7.如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则＝ °．    8.如图，在中，是的角平分线，，．求和的度数． 9.某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究． （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝66°，则∠BPC＝　 °； （2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，则∠BEC＝　 　（用α表示∠BEC）； （3）如图3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．试确定∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由． 题型四：利用三角形的外角性质与平行线的综合 10.如图，已知直线，，，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 11.如图，，则的关系为（　　） A． B． C． D． 12.如图，在中，E，F分别是，上的点，且，是的平分线，分别交，于点H，D，则、和之间的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 题型五：利用三角形的外角性质解决折叠问题 13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠B＝65°，则∠ADE的大小为（　　） A．40° B．50° C．65° D．75° 14.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，则∠1+∠2的度数为 　 ． 15.如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为 ． 题型六：三角形有关角度关系的证明题 16.如图：CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，请猜测∠BAC和∠B的大小关系，并说明理由. 17.已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2． 18.如图，D，E分别是锐角△ABC的边AC，BC上的点，P是与△ABC在同一平面内的一动点，且与点D，点E不在同一直线上，令∠CDP＝∠1，∠BEP＝∠2． （1）如图1，当P是△ABC的边AB上的一点时，已知∠C＝60°，∠1＝110°，∠2＝65°，求∠DPE的度数． （2）当P是△ABC内一点时，直接写出∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系． （3）如图2，当P是AB的延长线上一点时，探索∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系并加以证明． ▲1、外角的定义： △ABC 内角的一条边与另一条边的 组成的角，叫作△ABC 的外角。 ▲2、三角形内角和定理的推论1： 三角形的一个外角等于和 的两个内角的和. 几何语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴ ∠ACD= + . ▲3、三角形内角和定理的推论2： 三角形的一个外角大于任何一个和 的内角. ∴∠ACD＞ ,∠ACD＞ . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1三角形内角和定理 导学案 第2课时 三角形的外角 1.了解并掌握三角形的外角的定义. 2.掌握三角形的外角的性质，能进行简单的推理论证与数值计算. 学习重点：三角形外角等于不相邻两内角之和的证明与应用. 学习难点：将外角定理与平行线、全等等知识结合，灵活进行几何推理和计算. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180° . 符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则∠A +∠B +∠C = 180°. ②两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS). ③全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.情景引入 在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质． 新知自研：自研课本第4--6页的内容． 【学法指导】 自研课本P4-6页的内容，思考： ●探究一：三角形的外角 ◆1、尝试思考 外角的定义： △ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫作△ABC 的外角。 如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 问题1：画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？ 解：如图，△ABC所有的外角有6个，分别是∠1，∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6. 问题2：△ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系） 解：∠1和∠4是对顶角，相等； ∠2和 ∠5是对顶角，相等； ∠3和∠6是对顶角，相等. ◆2、知识归纳 三角形的外角的特征： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. 如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 每一个三角形都有6个外角． ◆3、练一练 如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ 【解答】解：∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC和△BEF的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF的外角. ●探究二三角形外角的性质 ◆1、思考交流 （1）如图，△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ 解：∠ACD与∠ACB互补. （2）如图,△ABC 的外角∠ACD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？ 解：∠A+∠B=∠ACD. （3）请证明你的结论，并与同伴进行交流. 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.（尝试用不同的方法来证明） 解：方法一： 证明：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， （三角形内角和定理） ∴∠A+∠B=180°-∠ACB（等式的性质） ∵∠ACB+∠ACD=180°（平角的定义） ∴∠ACD=180°-∠ACB（等式的性质） ∴∠A+∠B=∠ACD（等量代换） 方法二： 证明：过C作CE∥AB， ∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ，（两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. 得到推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. (4)△ABC的外角∠ACD与它不相邻的两个内角（∠A、∠B）的大小关系如何呢？ 解：∵∠ACD=∠A+∠B, ∴∠ACD＞∠A,∠ACD＞∠B. 得到推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论. ◆2、方法归纳 三角形内角和定理的推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 几何语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 三角形内角和定理的推论2： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 几何语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＞∠A,∠ACD＞∠B. ◆3、练一练 点P是△ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，则图中∠1、∠2、∠A 的大小关系是（ ） A.∠A＞∠1＞∠2 B.∠A＞∠2＞∠1 C.∠2＞∠1＞∠A D.∠1＞∠2＞∠A 解：D 【例题导析】 自研下面例1和例2的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，在△ABC中，∠B= ∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EAC=∠B+∠C,再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠EAC，从而得到∠DAC=∠C,然后根据内错角相等两直线平行证明即可解答. 【解答】解：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知), ∴∠C=∠EAC(等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行). 例2 已知: 如图,P 是△ABC内一点,链接PB，PC . 求证: ∠ BPC ＞ ∠A. 【分析】根据△PDC外角的性质知： ∠ BPC ＞ ∠ PDC，根据△ABD外角的性质知： ∠ PDC ＞ ∠ A 从而可以证得结论.（还可以连接AP并延长交BC于点E，利用推论2证明.） 【证明】如图，延长BP，交AC于点D. ∵ ∠ BPC是△PDC的一个外角（外角的定义） ∴ ∠ BPC ＞ ∠ PDC （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵ ∠ PDC是△ABD的一个外角（外角的定义） ∴ ∠ PDC ＞ ∠ A （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴ ∠ BPC ＞ ∠ A. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.猜想并证明外角的性质及其推论； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，尝试用不同的方法解答. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图所示，AB∥CD，∠A = 45°，∠C=28°,则∠AEC的大小为( ) A.17° B.62° C63° D.73° 解：D． 2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( ) A.120° B.115° C.110° D.105° 解：B． 3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ ） A.26° B.63° C.37° D.60° 解：A. 4.将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示,若∠1=40°，则∠2=_____. 解：85° 5. 如图所示，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC的平分线与△ACB 的外角∠ACE的平分线交于点D，则∠D的度数为_____. 解：25° 6．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是_____. 解：∠A < ∠1 < ∠2 7. （1）如图，∠BDC是________的外角,也是______的外角； (2)若∠B=45 °，∠BAE=36 °,∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数. 解：(1)△ADC,△ADE (2) 8. 已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE． 求证：∠1>∠2． 解：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）， ∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）. ∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）， ∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）， ∴∠1>∠2（不等式的性质）. 9.如图所示，∠B=20°，∠C=30°，∠A =95°，求∠BDC的度数. 解：如图，延长BD交AC于E. ∵∠A =95°，∠B=20°， ∴∠1=∠A +∠B=115°， 又∵∠C=30°， ∴∠BDC=∠C +∠1=145°.（方法不唯一） 题型一：利用三角形的外角性质求角度 1.如图所示，点D是内一点，若，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图： ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握和运用三角形外角的性质是解决本题的关键． 2.如图，D是的边上一点，，，．则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由三角形外角的性质得出∠3＝∠B＋∠1，再由∠3＝80°，∠B＝∠1即可得出∠1的度数，最后根据角的和差可以求出∠2的度数． 【详解】解：∵∠3是△ABD的一个外角， ∴∠3＝∠B＋∠1， ∵∠3＝80°，∠B＝∠1， ∴∠1＝∠3＝×80°＝40°， ∵∠BAC＝70°， ∴∠2＝∠BAC−∠1＝70°−40°＝30°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 3.如图，已知中，，是边上的高，求度数．    【答案】 【分析】设，则，根据三角形内角和定理即可求得，再由三角形的高的性质可得，利用三角形外角的性质即可求得． 【详解】解：设，则， 在中， ， ， ， ， 是边上的高， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的高，三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型二：利用三角形的外角性质比较大小 4.如图，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外角的性质进行解题． 【详解】由三角形的外角大于与它不相邻的每一个内角，可得的大小关系为：． 故选D． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 5.如图，点是内一点，连接并延长交于，连接，则图中的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据三角形外角的性质可排除选项． 【详解】解：由题意得： ∠1=∠2+∠DCP，∠2=∠A+∠ABD， ； 故选D． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 6.如图，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是(     ). A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠A＞∠BEC C．∠BEC＞∠DOE＞∠A D．∠DOE＞∠BEC＞∠A 【答案】D 【详解】解：在△ABE中，∠BEC=∠A+∠B，所以，∠BEC＞∠A，在△COE中，∠DOE=∠BEC+∠C，所以，∠DOE＞∠BEC，所以，∠DOE＞∠BEC＞∠A．故选D． 【点睛】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题关键. 题型三：利用三角形的外角性质与角平分线的综合 7.如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则＝ °．    【答案】 【分析】根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解. 【详解】解：∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1， ∴， ∴， 同理，， ， … , 当时，， （度） 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角形外角性质与角平分线的定义，找出规律是解题的关键. 8.如图，在中，是的角平分线，，．求和的度数． 【答案】 【分析】利用三角形外角性质求出，根据角平分线的性质求出，再根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵ ∴ ∵是角平分线 ∴ 在中，． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的知识是解题的关键． 9.某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究． （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝66°，则∠BPC＝　 °； （2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，则∠BEC＝　 　（用α表示∠BEC）； （3）如图3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．试确定∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）123°； （2）；（3）∠BQC＝90°A． 【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：（1）∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ＝180°﹣（∠ABC∠ACB）， ＝180°（∠ABC+∠ACB）， ＝180°（180°﹣∠A）， ＝180°﹣90°∠A， ＝90°+33°＝123°， 故答案为：123°； （2）∵CE和BE分别是∠ACB和∠ABD的角平分线， ∴∠ECB∠ACB，∠EBD∠ABD， 又∵∠ABD是△ABC的一外角， ∴∠ABD＝∠A+∠ACB， ∴∠EBD（∠A+∠ABC）∠A+∠ECB， ∵∠2是△BEC的一外角， ∴∠BEC＝∠EBD﹣∠ECB∠A+∠ECB﹣∠1∠A； （3）∠QBC（∠A+∠ACB），∠QCB（∠A+∠ABC）， ∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB， ＝180°（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC）， ＝180°∠A（∠A+∠ABC+∠ACB） ＝180°∠A﹣90° ＝90°∠A． 结论∠BQC＝90°A． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 题型四：利用三角形的外角性质与平行线的综合 10.如图，已知直线，，，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平行线的性质求出，再利用外角的性质求出即可． 【详解】解：如图， ，， ， 是的外角， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 11.如图，，则的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交与，延长交于，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质得到，从而即可得到答案． 【详解】解：延长交与，延长交于， ， 则在直角中，；在中，， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质、平行线的性质，通过作辅助线，构造三角形以及由平行线构成的内错角，掌握三角形的外角的性质以及平行线的性质：两条直线平行，内错角相等，是解题的关键． 12.如图，在中，E，F分别是，上的点，且，是的平分线，分别交，于点H，D，则、和之间的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和外角的性质以及角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵、分别是和的外角，平分， ∴①， ， 则②， 把②代入①，得， 整理，得，即，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不想邻的两个内角和，是解题的关键． 题型五：利用三角形的外角性质解决折叠问题 13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠B＝65°，则∠ADE的大小为（　　） A．40° B．50° C．65° D．75° 【答案】A． 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A＝25°，再由折叠可得∠CED的度数，再根据三角形外角的性质可得∠ADE的度数． 【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°， ∴∠A＝90°﹣65°＝25°， 根据折叠可得∠CED＝∠B＝65°， ∴∠ADE＝65°﹣25°＝40°， 故选：A． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，以及三角形外角的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余． 14.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，则∠1+∠2的度数为 　 ． 【答案】100°． 【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再求出∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC∠ABC，∠A'CB∠ACB， ∵∠BA'C＝115°， ∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣115°＝65°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∴∠BAC＝180°﹣130°＝50°， ∵沿DE折叠， ∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A， ∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'， ∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×50°＝100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型． 15.如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为 ． 【答案】 【分析】利用折叠性质得，，再根据三角形外角性质得，利用邻补角得到，则，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵纸片沿折叠，使点落在图中的处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 题型六：三角形有关角度关系的证明题 16.如图：CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，请猜测∠BAC和∠B的大小关系，并说明理由. 【答案】∠BAC＞∠B 【详解】试题分析：根据CD是△ABC中∠ACB的外角平分线可得∠ACD=∠ECD，再根据三角形的外角的性质求解. ∠BAC＞∠B，理由如下： ∵CD是△ABC中∠ACB的外角平分线 ∴∠ACD=∠ECD ∵∠BAC是△ACD的外角 ∴∠BAC＞∠ACD ∴∠BAC＞∠ECD 又∵∠ECD是△BCD的外角 ∴∠ECD＞∠B ∴∠BAC＞∠B. 【点睛】解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 17.已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2． 【答案】见解析 【详解】试题分析：根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角证明即可． 证明：∵∠1是△ABC的一个外角， ∴∠1＞∠3， ∵∠3是△DEC的一个外角， ∴∠3＞∠2， ∴∠1＞∠2． 18.如图，D，E分别是锐角△ABC的边AC，BC上的点，P是与△ABC在同一平面内的一动点，且与点D，点E不在同一直线上，令∠CDP＝∠1，∠BEP＝∠2． （1）如图1，当P是△ABC的边AB上的一点时，已知∠C＝60°，∠1＝110°，∠2＝65°，求∠DPE的度数． （2）当P是△ABC内一点时，直接写出∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系． （3）如图2，当P是AB的延长线上一点时，探索∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系并加以证明． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）利用四边形的内角和求∠DPE即可； （2）分两种情况讨论：当P点在DE的下方时，同（1）的方法即可；当P点在DE的下方时，利用四边形CDPE的内角和求解，注意∠DPE是大于180°的角，需要进行转化； （3）利用三角形的外角和三角形的内角定理求解即可． 【详解】解：（1）∵∠2＝65°， ∴∠CEP＝180°﹣∠2＝115°， ∴∠DPE＝360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CEP＝360°﹣60°﹣110°﹣115°＝75°； （2）∠1+∠C+∠DPE＝180°+∠2或∠DPE+∠2＝∠1+∠C+180°，理由如下： 当点P位于DE下方时，∠DPE＝360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CEP＝360°﹣∠C﹣∠1﹣（180°﹣∠2）， ∴∠1+∠C+∠DPE＝180°+∠2； 当点P位于DE上方时，∠DPE＝360°﹣（360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CPE）＝∠C+∠1+（180°﹣∠2）＝∠C+∠1+180°﹣∠2， ∴∠DPE+∠2＝∠1+∠C+180°； （3）∠1+∠2+∠C+∠DPE＝180°，理由如下： 设DP与BC交于点Q， ∴∠CQD＝∠2+∠DPE， ∵∠1+∠C+∠CQD＝180°， ∴∠1+∠C+∠2+∠DPE＝180°， ∴∠1+∠2+∠C+∠DPE＝180°． 【点睛】本题考查的是四边形的内角和定理和三角形的外角的性质的综合运用，灵活运用定理进行计算是解题的关键，在画图时，要全面考虑问题，不要只画出一种． ▲1、外角的定义： △ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫作△ABC 的外角。 ▲2、三角形内角和定理的推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 几何语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. ▲3、三角形内角和定理的推论2： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. ∴∠ACD＞∠A,∠ACD＞∠B. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $