1.1三角形内角和定理（第1课时三角形内角和定理 ）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

1.1三角形内角和定理 导学案 第1课时 三角形内角和定理 1.掌握三角形内角和等于 的探索及证明过程。 2.能运用三角形内角和知识解决简单几何计算。 3.理解并运用 判定两个三角形全等. 学习重点：三角形内角和为 的证明过程及 的正确应用. 学习难点：恰当使用辅助线并准确理解“移角”原理. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.章节导读 我们曾经探索过三角形与特殊三角形的一些性质，如三角形三个内角的和等于 180°、等腰三角形“三线合一”的性质等。你还记得这些结论的探索过程吗?你能根据已有的基本事实和定理证明这些结论吗? 本章将在“平行线的证明”的基础上，进一步证明:三角形内角和定理及其推论，等腰三角形、直角三角形的性质定理和判定定理，线段的垂直平分线和角平分线的有关性质定理。还将研究直角三角形全等的特殊判定方法。在这一过程中，你将深化对几何证明的认识，体会数学证明的力量，逐步养成重论据、合乎逻辑的思考和表达习惯，发展几何直观、推理能力等。 2.情景引入 在八年级上册“命题与证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定义、定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 思考：我们已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？你能根据已有的基本事实和定理证明三角形内角和吗? 新知自研：自研课本第2--4页的内容． 【学法指导】 自研课本P2-4页例题上面的内容，思考： ●探究一：三角形的内角和定理的证明 ◆1.议一议 我们知道,三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗？ (1)如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论的正确性吗？ 解：如图，由操作可知∠A=∠1，可以利用“内错角相等，两直线平行”证明一组平行线，进而利用平行线的性质及平角的定义说明结论是正确的. (2)如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果? 解： 如果不移动∠A，那么可以思考构造平行线将等角进行转移. 如图，可以构造CE∥AB，这样同样可以达到将∠A转移到∠1的位置的效果. (3)你能说说这个结论的证明思路吗？请试着写出证明过程，并与同伴进行交流。 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 【分析】你学过哪些与180°有关的结论？曾经的撕角拼图活动对你有什么启发？ 【证明】如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE∥BA， 则∠1=∠A，∠2=∠B. ∵ 点B，C，D在同一条直线上， ∴ ∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°. ◆2.知识归纳 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则∠A +∠B +∠C = 180°. ◆3.思考交流 (1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ∥BC，他的想法可行吗?如果可行，你能写出证明过程吗? 【解答】解：可行. ∵ PQ∥BC(已知)， ∴ ∠PAB=∠ABC，∠QAC=∠ACB(两直线平行，内错角相等). 又∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角的定义)， ∴ ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(等量代换). (2) 对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗? 【证明】在BC上任取一点D，过点D分别作MD∥ AC交AB于点M，ND∥ AB交AC于点N， ∵ MD∥ AC ， ND∥ AB， ∴ ∠1=∠C，∠3=∠B ， ∠2=∠BMD=∠A . 又∠1+∠2+∠3=180°， ∴ ∠C+∠A+∠B=180°. 思考：上述多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. ◆4.知识归纳 ①作辅助线：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. ②思路总结:为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. ◆5.练一练 在△ABC中，∠A-∠B=35°，∠C=55°，则∠B=（　　） A.50° B.55° C.45° D.40° 解析：由三角形内角和定理，得∠A+∠B=180°-∠C=180°-55°=125°，又∵∠A-∠B=35°，∴∠B=45°.∴选C。 ●探究二：全等三角形的判定定理和性质 ◆1.想一想 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗? 转化为几何语言为： 已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 【证明】∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E). ∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）， ∴∠C=∠F（等量代换）. ∵BC=EF（已知）， ∴△ABC≌△DEF（ASA）. ◆2.知识归纳 全等三角形的判定定理： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）. 根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等，对应角相等. ◆3.练一练 如图所示,点B,F,C,E在一条直线上，AB∥ED，AB=ED，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　) A.∠A=∠D B.AC=DF C.BF=EC D.AC∥FD 解：B 【例题导析】 自研例1，例2和例3的内容，回答问题： 典例分析: 例1 如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAD的度数，再利用三角形内角和即可求∠ADB的度数. 【解答】解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理) ∵ ∠B=38°，∠C=62°（已知）， ∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）. ∵ AD平分∠BAC（已知）, ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°(角平分线的定义) 在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°. ∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证）， ∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）. 例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 【分析】由三角形内角和定理，可将求∠D转化为求∠CFD,即∠AFE,再在△AEF中求解即可解答. 【解答】解：∵DE⊥AB， ∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 例3 已知：如所示,点C在AE上，AB=EA，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证:△ABC≌△EAD. 【分析】 由∠ECB=70°求得∠ACB=110°，从而得出∠ACB=∠D，再由AB∥DE可证得∠CAB=∠E,再结合已知条件AB=AE,可利用AAS证得△ABC≌△EAD. 【解答】证明:∵∠ECB=70°, ∴∠ACB=110°. 又∵∠D=110°, ∴∠ACB=∠D. ∵AB∥DE, ∴∠CAB=∠E. 在△ABC和△EAD中, ∵∠ACB=∠D,∠CAB=∠E,AB=EA, ∴△ABC≌△EAD(AAS). 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.操作并验证三角形的内角和等于180°； B.探讨如何利用三角形的内角和定理证明三角形全等判定定理AAS. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形 解：A． 2.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　） A.75° B.65° C.165° D.155° 解：C． 3.如图，△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（　　） A.35° B.5° C.15° D.25° 解：B. 4.若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长是100 cm，AB=30 cm，DF=25 cm，则BC的长是 (　　) A.45 cm B.55 cm C.30 cm D.25 cm 解：A． 5. 如图所示,在等腰三角形ABC中,点D,E分别在腰AB,AC上，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的是( 　) A.AD=AE B.BE=CD C.∠ADC=∠AEB D.∠DCB=∠EBC 解：B 6.如图所示，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是 (　　) A.0.5 　 B.1 　 C.1.5 D.2 解：B 7. 在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是______三角形 . 解：直角 8. 在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则∠A=______， ∠ B=______，∠ C=______. 解：60°，50°，70° 9.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=_______ . 解：280 ° 10.如图所示,△ABC≌△DCB,∠A=75°,∠DBC=40°,则∠DCA的度数为_______ . 解：25° 11.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C） =180°-（78°+60°） =42°． 12.如图所示,已知∠C=∠E,∠1=∠2,AB=AD,△ABC和△ADE全等吗?试说明理由. 解：△ABC≌△ADE. 理由:∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中， ∵∠BAC=∠DAE,∠C=∠E,AB=AD, ∴△ABC≌△ADE(AAS). 题型一 ：三角形内角和定理的证明 1．定理：三角形的内角和是180°． 已知：、、是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，，即可推出结论． 【详解】解：证明：如图，作点E作直线，使得， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∴． ①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意； ②@表示，故②正确，符合题意； ③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意； 综上：正确的有②④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 2．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是180°”的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：①．由，则，．由，得，故符合题意． ②．由，则，．由，得，故符合题意． ③．由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意． ④．由，得，．由，得，，那么．由，得，故符合题意， 共有：①②④符合条件， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 3．在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明． 已知：如图，△ABC 求证： 证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F． ∵DE∥AB， ∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：）． ∵DF∥AC， ∴∠1＝∠3 【答案】∠A+∠B+∠C=180°，两直线平行，同位角相等，后续证明见解析． 【分析】首先过点D作AB、AC的平行线，利用两直线平行，同位角相等，可将△ABC的三个角放到一个平角里面，根据平角=180°即可证明； 【详解】已知：如图，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F． ∵DE∥AB， ∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：两直线平行，同位角相等）． ∵DF∥AC， ∴∠1＝∠3 ∴∠3=∠A 又∵DF∥AC ∴∠4=∠C 又∵∠4+∠3+∠2=180° ∴∠A+∠B+∠C=180°． 【点睛】本题考查平行线的性质定理和三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质和平角的度数为180°是解决本题的关键． 题型二： 应用三角形内角和定理求角度 4．如图，在中，于点C，是的平分线，若则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线定义和直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余得，由角平分线定义得，根据直角三角形两锐角互余得． 【详解】解：在中，即，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：B． 5．若的三个内角之比为，那么中最大角的度数为 ． 【答案】 【分析】三角形的内角和为，然后按比例分配即可． 【详解】解：由题意得，最大角为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 6．在中，，，是的角平分线，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是掌握三角形内角和定理．先求出的度数，再根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 是的角平分线， ， 故答案为： 题型三： 应用三角形内角和定理解决三角板问题 7．将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，直接利用三角板的性质结合平行线的性质分析得到，根据三角形的内角和得到，再根据对顶角相等得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：． 8．将直角三角板（含）和直尺按如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余以及平行线的性质是解题的关键． 先由直角三角形两锐角互余得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝50°，则∠2的度数为 °． 【答案】110 【分析】根据三角形外角和内角的关系，先求出∠3的度数，再利用平行线的性质，求出∠2． 【详解】解：如图所示，∵∠1＝∠ADE＝50°， ∠3＝∠A+∠ADE ＝50°+60° ＝110°． ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝110°． 故答案为：110°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角定理和平行线的性质，准确计算是解题的关键． 题型四： 三角形内角和与平行线的综合应用 10．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 11．如图，已知，点在直线上，与交于点，. (1)求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理. （1）根据两直线平行，内错角相等，推出，利用已知条件，通过等量代换求证，最后根据同位角相等，两直线平行求证. （2）利用垂直性质和平行线的性质推出，根据三角形内角和即可求出度数. 【详解】（1）证明：， ， ， ， . （2）解：， ， ， . ， ， . 12．已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC． （1）求证：AB//CD； （2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C； （3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）108° 【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论； （2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论； （3）由（2）证得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度数，由三角形内角和定理求得∠D的度数． 【详解】证明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC ∴∠AEG=∠C    ∴AB//CD （2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180° ∴∠DGC+∠AHF=180° ∴EC//BF   ∴∠B=∠AEG 由（1）得∠AEG=∠C    ∴∠B=∠C （3）由（2）得EC//BF ∴∠BFC+∠C=180° ∵∠BFC=4∠C    ∴∠C=36°    ∴∠DGC=36° ∵∠C+∠DGC+∠D=180°    ∴∠D=108° 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 题型五： 三角形内角和与角平分线的综合应用 13．如图，，P是内一点，平分，CP平分，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分，CP平分， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的相关计算，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 14．如图，是的边上的高，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题利用了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质求解． 由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故． 【详解】解：∵中，， ∴． ∵平分， ∴． ∵是边上的高， ∴． ∴． ∴． ∴． 15．如图，点E在上，点F在的延长线上，与交于点G，，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，结合可得，根据“内错角相等，两直线平行”可证； （2）由平分可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的判定，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握平行线的判定方法，牢记三角形内角和为180度． 题型六： 应用三角形内角和定理探究角的数量关系 16．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝30°，∠BAC＝130°，求∠E的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 【分析】（1）由三角形的外角性质可求得∠ACD＝160°，再由角平分线的定义可得∠ECD＝80°，即可求得∠E的度数； （2）由角平分线的定义可得∠ECD＝∠ECA，再由三角形的外角性质可得∠ECD＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ECA+∠E，即可求解． 【详解】（1）解：∵∠B＝30°，∠BAC＝130°， ∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝160°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD∠ACD＝80°， ∴∠E＝∠ECD﹣∠B＝50°； （2）证明∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ECA， ∵∠ECD＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ECA+∠E， ∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 17．在中，，平分，F为射线上一点（不与点E重合），且于D；    (1)如图1，当点F与点A重合，且，时，求的度数； (2)如果点F在线段上（不与点A重合）时，如图2，直接写出、、的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，，由角平分线的性质易得的度数，可得； （2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出，外角的性质得出，在中，由三角形内角和定理可得． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． 在中， 在中． （2） 证明：平分， 为的外角， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键． 18．如图，ABCD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝15xy，且． (1)求n的值． (2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°． (3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情况） 【答案】(1)n＝45 (2)见解析 (3)①当P在线段AD上时，∠PEC+∠APE＝225°②当P在A点左边时，∠PEC﹣∠APE＝45° 【分析】（1）根据非负数的性质可求x＝1，y＝3，再代入n＝15xy计算可求n的值． （2）作PFAB，根据平行线的性质可得∠APF＝135°，再根据平行线的性质得到∠PEC＝∠FPE，根据等量关系即可求解； （3）分两种情况：①当P在线段AD上时；②当P在A点左边时；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴x﹣1＝0，y﹣3＝0， ∴x＝1，y＝3， ∴n＝15×1×3＝45； （2）证明：如图1，过P作PFAB，则∠APF＝180°﹣∠BAD＝135° ∵ABCD， ∴CDPF， ∴∠PEC＝∠FPE， ∴∠PEC﹣∠APE＝∠APF＝135°； （3）解：分两种情况： ①当P在线段AD上时，如图2， ∵ABCD， ∴∠ADC＝∠BAD＝45°， ∴∠DPE+∠DEP＝180°﹣45°＝135°， ∴∠PEC+∠APE＝360°﹣135°＝225°； ②当P在A点左边时，如图3， ∵∠PEC＝∠APE+∠PDE， ∴∠PEC﹣∠APE＝∠PDE＝45°． 【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 题型七： 应用“AAS”证明两三角形全等 19．如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：△BAC≌△DAE． 【分析】根据全等三角形的判定：AAS证明△BAC≌△DAE解答即可． 【详解】证明：∵AC是∠BAE的平分线， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（AAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定． 20．如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． 求证：△ABE≌△ACD； 【分析】利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD； 【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）； 【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，垂直的定义，关键是掌握全等三角形的判定方法． 21． 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，点E，F分别是BC，CD的中点，∠BAE＝∠DAF，∠B＝∠D． 求证：AE＝AF． 【分析】由BE＝CEBC，DF＝CFCD，且BC＝CD，推导出BE＝DF，而∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAF，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABE≌△ADF，则AE＝AF． 【详解】证明：∵点E，F分别是BC，CD的中点， ∴BE＝CEBC，DF＝CFCD， ∵BC＝CD， ∴BE＝DF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF． 【点睛】此题重点考查线段的中点定义、全等三角形的判定与性质等知识，推导出BE＝DF进而证明△ABE≌△ADF是解题的关键． ▲1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则∠A +∠B +∠C = 180°. ▲2.全等三角形的判定定理： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）. ▲3.全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等. ······· 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1三角形内角和定理 导学案 第1课时 三角形内角和定理 1.掌握三角形内角和等于 的探索及证明过程。 2.能运用三角形内角和知识解决简单几何计算。 3.理解并运用 判定两个三角形全等. 学习重点：三角形内角和为 的证明过程及 的正确应用. 学习难点：恰当使用辅助线并准确理解“移角”原理. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.章节导读 我们曾经探索过三角形与特殊三角形的一些性质，如三角形三个内角的和等于 180°、等腰三角形“三线合一”的性质等。你还记得这些结论的探索过程吗?你能根据已有的基本事实和定理证明这些结论吗? 本章将在“平行线的证明”的基础上，进一步证明:三角形内角和定理及其推论，等腰三角形、直角三角形的性质定理和判定定理，线段的垂直平分线和角平分线的有关性质定理。还将研究直角三角形全等的特殊判定方法。在这一过程中，你将深化对几何证明的认识，体会数学证明的力量，逐步养成重论据、合乎逻辑的思考和表达习惯，发展几何直观、推理能力等。 2.情景引入 在八年级上册“命题与证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定义、定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 思考：我们已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？你能根据已有的基本事实和定理证明三角形内角和吗? 新知自研：自研课本第2--4页的内容． 【学法指导】 自研课本P2-4页例题上面的内容，思考： ●探究一：三角形的内角和定理的证明 ◆1.议一议 我们知道,三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗？ (1)如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论的正确性吗？ (2)如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果? (3)你能说说这个结论的证明思路吗？请试着写出证明过程，并与同伴进行交流。 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 【分析】你学过哪些与180°有关的结论？曾经的撕角拼图活动对你有什么启发？ 【证明】 ◆2.知识归纳 三角形内角和定理： . 符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则 . ◆3.思考交流 (1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ∥BC，他的想法可行吗?如果可行，你能写出证明过程吗? 【解答】 (2) 对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗? 【证明】 思考：上述多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么？ ◆4.知识归纳 ①作辅助线：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做 .在平面几何里，辅助线通常画成 . ②思路总结:为了证明三个角的和为180°,转化为一个 或 互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. ◆5.练一练 在△ABC中，∠A-∠B=35°，∠C=55°，则∠B=（　　） A.50° B.55° C.45° D.40° ●探究二：全等三角形的判定定理和性质 ◆1.想一想 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗? 转化为几何语言为： 已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 【证明】 ◆2.知识归纳 全等三角形的判定定理： 两角分别 且其中一组等角的 相等的两个三角形全等（AAS）. 根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的 相等， 相等. ◆3.练一练 如图所示,点B,F,C,E在一条直线上，AB∥ED，AB=ED，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　) A.∠A=∠D B.AC=DF C.BF=EC D.AC∥FD 【例题导析】 自研例1，例2和例3的内容，回答问题： 典例分析: 例1 如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 【分析】先根据三角形内角和定理求出 的度数，然后根据角平分线的定义求出 的度数，再利用三角形内角和即可求∠ADB的度数. 【解答】 例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 【分析】由三角形内角和定理，可将求∠D转化为求∠CFD,即 ,再在△ 中求解即可解答. 【解答】 例3 已知：如所示,点C在AE上，AB=EA，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证:△ABC≌△EAD. 【分析】 由∠ECB=70°求得∠ACB=110°，从而得出∠ACB= ，再由AB∥DE可证得∠CAB= ,再结合已知条件AB=AE,可利用 证得△ABC≌△EAD. 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.操作并验证三角形的内角和等于180°； B.探讨如何利用三角形的内角和定理证明三角形全等判定定理AAS. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形 2.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　） A.75° B.65° C.165° D.155° 3.如图，△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（　　） A.35° B.5° C.15° D.25° 4.若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长是100 cm，AB=30 cm，DF=25 cm，则BC的长是 (　　) A.45 cm B.55 cm C.30 cm D.25 cm 5. 如图所示,在等腰三角形ABC中,点D,E分别在腰AB,AC上，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的是( 　) A.AD=AE B.BE=CD C.∠ADC=∠AEB D.∠DCB=∠EBC 6.如图所示，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是 (　　) A.0.5 　 B.1 　 C.1.5 D.2 7. 在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是______三角形 . 8. 在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则∠A=______， ∠ B=______，∠ C=______. 9.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=_______ . 10.如图所示,△ABC≌△DCB,∠A=75°,∠DBC=40°,则∠DCA的度数为_______ . 11.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 12.如图所示,已知∠C=∠E,∠1=∠2,AB=AD,△ABC和△ADE全等吗?试说明理由. 题型一 ：三角形内角和定理的证明 1．定理：三角形的内角和是180°． 已知：、、是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 2．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是180°”的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明． 已知：如图，△ABC 求证： 证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F． ∵DE∥AB， ∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：）． ∵DF∥AC， ∴∠1＝∠3 题型二： 应用三角形内角和定理求角度 4．如图，在中，于点C，是的平分线，若则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．若的三个内角之比为，那么中最大角的度数为 ． 6．在中，，，是的角平分线，则的度数为 题型三： 应用三角形内角和定理解决三角板问题 7．将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（　　） A． B． C． D． 8．将直角三角板（含）和直尺按如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝50°，则∠2的度数为 °． 题型四： 三角形内角和与平行线的综合应用 10．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知，点在直线上，与交于点，. (1)求证：； (2)若，，求的度数. 12．已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC． （1）求证：AB//CD； （2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C； （3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数． 题型五： 三角形内角和与角平分线的综合应用 13．如图，，P是内一点，平分，CP平分，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 14．如图，是的边上的高，平分，若，求的度数． 15．如图，点E在上，点F在的延长线上，与交于点G，，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型六： 应用三角形内角和定理探究角的数量关系 16．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝30°，∠BAC＝130°，求∠E的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 17．在中，，平分，F为射线上一点（不与点E重合），且于D；    (1)如图1，当点F与点A重合，且，时，求的度数； (2)如果点F在线段上（不与点A重合）时，如图2，直接写出、、的数量关系． 18．如图，ABCD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝15xy，且． (1)求n的值． (2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°． (3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情况） 题型七： 应用“AAS”证明两三角形全等 19．如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：△BAC≌△DAE． 20．如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． 求证：△ABE≌△ACD； 21． 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，点E，F分别是BC，CD的中点，∠BAE＝∠DAF，∠B＝∠D． 求证：AE＝AF． ▲1.三角形内角和定理： . 符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则 . ▲2.全等三角形的判定定理： 两角分别 且其中一组等角的 相等的两个三角形全等（AAS）. ▲3.全等三角形的性质： 全等三角形的 相等， 相等. ······· 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $