精品解析：2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期期末教学质量监测九年级数学试题卷 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将学校、姓名、班级、考号填写在答题卡上． 2.选择题答题时，请用2B铅笔把答题卡上对应的选项涂黑，修改时用橡皮擦擦干净；非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.必须在题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效． 4.保持答卷整洁、完整． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项符合题目要求，请选出符合要求的选项） 1. 已知为锐角，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．根据解答即可得． 【详解】解：∵为锐角，，且， ∴． 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质及平面直角坐标系象限的判断，先根据顶点式求出顶点坐标，再判断所在象限即可． 【详解】∵二次函数顶点式（）的顶点坐标为， ∴对于抛物线，其顶点坐标为， ∵横坐标，纵坐标，符合第二象限点的坐标特征， ∴顶点坐标在第二象限， 故选：B. 3. 如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形．原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定等知识，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 如图， ∵， ∴，故A选项不合题意； B. 如图， ∵， ∴，故B选项不合题意； C.如图， ∵ ∴， ∵， ∴，故C选项不合题意； D. 如图， ∵， ∴， 但不一定等于， ∴无法判定与相似，故D选项符合题意． 故选：D 4. 若图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分面积为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解． 【详解】A．阴影面积，故A选项不符合题意； B．阴影面积，故B选项符合题意； C．阴影面积，故C选项不符合题意； D．阴影面积，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积． 5. 如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到物距与像距之比为，蜡烛高为，则像的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 通过证明，得出，即可解答． 【详解】解∶根据题意可得∶， ， ． ． ， 故选：C． 6. 函数，下列结论中正确的是（ ） A. 若，函数图象过点 B. 若，函数图象与轴没有交点 C. 若，则当时，随的增大而减小 D. 若，则当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质依次判断求解即可． 【详解】解：A、当时，函数解析式为， 当时，， 当时，函数图象经过点，选项不符合题意； B、当时，函数解析式为， 令，则， 当时，函数图象与轴有两个不同的交点，选项不符合题意； C、， 二次函数图象的顶点坐标为， ∵， ∴开口向上， ∴当时，随的增大而减小，选项不符合题意； D、， 二次函数图象的对称轴为． 若，则开口向下， 当时，随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，在平行四边形中，为上一点，，连接，且交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．先根据已知条件得出，进而可得，，，由此可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ． 故选：A． 8. 如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（ ） A. 玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为 B. 直线的解析式为 C. 点到杯口的距离为 D. 点到点的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，涉及待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，等腰三角形的判定，直线与抛物线的交点问题，难度较大，正确求出抛物线的表达式是解题的关键． 由题意得，，，，可求抛物线的解析式为，再求出直线的解析式，联立即可求出点坐标，继而可判断结论． 【详解】解：由题意得，，，， 设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为， 把、代入得 ，解得：， ∴，故A说法正确； ∵， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把、代入得： ，解得：， ∴直线：，故B说法正确； 由，解得，（舍） 当，， ∴， 此时点P到杯口的距离为，故C说法不正确； ，故D说法正确； 故选：C． 9. 如图，在中，，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰，使，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由直角三角形斜边中线的性质，可得，结合，可证，进而可证，推出．求的值转化为求，再证，根据相似三角形对应边成比例可得，根据，，推出，进而即可求解． 【详解】解：中，，点是边的中点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 是等腰三角形， ， 又，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质以及解直角三角形．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键． 10. 如图，在中，，已知点在反比例函数上，点B在轴上，点在上且，连接并延长交轴于点，连接，若的面积为8，的面积为3，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），反比例函数与几何综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据，的面积为3，求得与，再根据的面积为8， 求得，从而可求得，再利用，求得，从而可得出，根据，求得． 【详解】解：连接、， ∵，的面积为3， ∴，， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 小明沿坡比为的山坡向上走了15米，那么他沿着垂直方向升高了______米． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 设他沿着垂直方向升高了米，可得到水平宽度，再通过勾股定理计算即可． 【详解】解：设他沿着垂直方向升高了米， ∵斜坡的坡比， ∴他行走的水平宽度为米， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 则他沿着垂直方向升高了12米， 故答案为：12. 12. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度， 再向下平移3个单位长度， 得到的抛物线的解析式为：， 即： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 13. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、均在格点上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，利用网格构造平行线，将转化到直角三角形中，再利用正切的定义即可解决问题． 【详解】解：过点作的平行线，连接， ， ． 每个小正方形的边长均为1， ，，． ∴是直角三角形，且， 在中，， ． 故答案为：． 14. 在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使，过点F作于点M，分别交、于点、，连接、、． （1）______； （2）______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）证明，得出，根据勾股定理求出，得出，根据，得出，即可得出答案； （2）证明，得出，证明，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1），四边形为正方形， ，又，， ， ， 四边形为正方形，点是的中点， ，， ，， ，即， ； （2）由（1）知， ， 则， ，，， ， ， 又， 垂直平分，则， 又，则， ，即，则， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，余角的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角函数定义． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算及特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 先代入特殊角的三角函数，再根据二次根式的运算法则计算． 【详解】解： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． （1）在图中找出点的位置，并写出点的坐标． （2）以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 【答案】（1） （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质与作图，关键在于理解位似中心是对应点连线的交点，以及以原点为位似中心时位似图形的坐标变换规律（相似比与坐标缩放的关系）． （1）利用位似图形的性质：位似图形的对应点连线相交于位似中心，先连接与的对应点（A与、B与、C与），其交点即为位似中心P，然后确定P的坐标； （2）连接，根据网格特点分别取的中点，然后连接，则即为所求作的三角形． 【小问1详解】 解：连接A与、B与、C与，这三条线段的交点即为位似中心P， 点P的坐标为； 【小问2详解】 如图所示，即为所求． 17. 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG=AF•AB． 【答案】（1）6；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由平行可得 ，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC； （2）由平行可知 ，可得出结论． 【详解】解：（1）∵DE∥BC， ∴， 又，AE=3， ∴， 解得AC=9， ∴EC=AC-AE=9-3=6； （2）∵DE∥BC，EF∥CG， ∴， ∴AD•AG=AF•AB． 18. 如图，在中，，是边上的中线，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）14 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解与，得出，是解题的关键． （1）先由三角形的高的定义得出，再利用得出；在，根据勾股定理求出，然后根据即可求解． （2）先由三角形的中线的定义求出的值，则，然后在中根据正弦函数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线交于、两点，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点是轴上一点，当的面积为12时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，根据图形面积求比例系数（解析式）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先求得点的坐标，点的坐标，再根据，点、、、共线，得出点是线段的中点，从而可求得点的坐标为，再根据点在双曲线上，可得，从而可得反比例函数解析式； （2）设点M的坐标为，从而可得，再说明点是线段的中点，从而可求得点的坐标，再根据，得到关于m的方程求解即可得出点M的坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， ∵，点、、、共线， ∴点是线段的中点， ∴点的坐标为， ∵点在双曲线上， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：设点M的坐标为， ∴， ∵，点、、、共线， ∴点是线段的中点， ∴点的坐标为， ∴， 解得：或－5． ∴点M的坐标为或． 20. 随着新能源汽车技术的革新，消费者对新能源汽车的需求日益增长，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，充电站的平面示意图是矩形PQMN（如图），矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，，，，，是相邻车位的宽，该充电站所有车位均相同，且按图示并列划定． （1）求的长（精确到米）； （2）若的长为64米，则该充电站最多可以划定多少个停车位？（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）该充电站最多可以划定20个车位 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，解题关键是正确地进行计算． （1）求出后分别计算即可求解； （2）求出，再分别在和中解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：（1）∵四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ， 在中，， 在中，， ． 【小问2详解】 四边形和四边形都是矩形， ，则， ，， ， 在中，， 在中，， ，所以该充电站最多划定20个车位． 答：该充电站最多可以划定20个车位． 21. 根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商家销售一种水果，成本价为10元/斤． 素材2 销售价不低于成本价，且物价部门规定该商品的销售价不得高于成本价的3倍． 素材3 在销售过程中发现，每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）满足如图所示的一次函数关系： 问题解决 任务1 模型建立 （1）求每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）的函数关系式； 任务2 拟定利润最大化的销售方案 （2）当该水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）当该水果的销售单价为25元/斤时，该商家获得的利润最大，最大利润是1800元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的实际应用： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设商家获得的利润为W元，根据总利润等于单件利润乘以销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为， 点，在的图象上， ；解得， 与x之间的函数关系式为； （2）设商家获得的利润为W元， 根据题意得：， ，当时，W取得最大值，最大值为（元）， 当该水果的销售单价为25元/斤时，该商家获得的利润最大，最大利润是1800元． 22. 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和，，，． （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求证：； （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时， ①求的长； ②延长交于点，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①6；② 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用两边成比例且夹角相等即可证明两个三角形相似． （2）①先证明得到，再利用即可得到，代入计算即可求解；②先利用角的关系求，再利用相似三角形的判定与性质可以得到，最后代入数值计算即可求解． 【小问1详解】 解： ，，， ，， ， ， 又， ， 【小问2详解】 解：①，是的中线， ， ， ， ，则， 又， ， ， ， 又由（1）知， ，即， ， ②如图，由①知，又， ， 则， ， ， 由①知，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转、计算一个角的正切值等知识，解题关键是理解题意，发现相似三角形，并利用其性质求解． 23. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 【答案】（1）①，；② （2） 证明：∵，，    ∴，    ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，        ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出 ，得出，代入得，进而，即可得证． 【小问1详解】 解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末教学质量监测九年级数学试题卷 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将学校、姓名、班级、考号填写在答题卡上． 2.选择题答题时，请用2B铅笔把答题卡上对应的选项涂黑，修改时用橡皮擦擦干净；非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.必须在题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效． 4.保持答卷整洁、完整． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项符合题目要求，请选出符合要求的选项） 1. 已知为锐角，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形．原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 若图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分面积为2的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到物距与像距之比为，蜡烛高为，则像的长为（ ） A. B. C. D. 6. 函数，下列结论中正确的是（ ） A. 若，函数图象过点 B. 若，函数图象与轴没有交点 C. 若，则当时，随的增大而减小 D. 若，则当时，随的增大而增大 7. 如图，在平行四边形中，为上一点，，连接，且交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（ ） A. 玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为 B. 直线的解析式为 C. 点到杯口的距离为 D. 点到点的距离为 9. 如图，在中，，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰，使，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，在中，，已知点在反比例函数上，点B在轴上，点在上且，连接并延长交轴于点，连接，若的面积为8，的面积为3，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 小明沿坡比为的山坡向上走了15米，那么他沿着垂直方向升高了______米． 12. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___． 13. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、均在格点上，则的值为________． 14. 在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使，过点F作于点M，分别交、于点、，连接、、． （1）______； （2）______． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． （1）在图中找出点的位置，并写出点的坐标． （2）以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 17. 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG=AF•AB． 18. 如图，在中，，是边上的中线，． （1）求的长； （2）求的值． 19. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线交于、两点，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点是轴上一点，当的面积为12时，求点的坐标． 20. 随着新能源汽车技术的革新，消费者对新能源汽车的需求日益增长，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，充电站的平面示意图是矩形PQMN（如图），矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，，，，，是相邻车位的宽，该充电站所有车位均相同，且按图示并列划定． （1）求的长（精确到米）； （2）若的长为64米，则该充电站最多可以划定多少个停车位？（参考数据：，，） 21. 根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商家销售一种水果，成本价为10元/斤． 素材2 销售价不低于成本价，且物价部门规定该商品的销售价不得高于成本价的3倍． 素材3 在销售过程中发现，每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）满足如图所示的一次函数关系： 问题解决 任务1 模型建立 （1）求每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）的函数关系式； 任务2 拟定利润最大化的销售方案 （2）当该水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和，，，． （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求证：； （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时， ①求的长； ②延长交于点，求的值． 23. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $