精品解析：2025一2026学年度第一学期学业质量评价 九年级数学

2025－2026学年度第一学期学业质量评价九年级数学 注意事项： 1．本卷共6页． 2．答题前，务必将姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，其36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中从正面看到的形状图与从左面看到的形状图相同的是 A. B. C. D. 3. 在中，，点在边上，用尺规作图在上取一点，使与相似，则下列尺规作图错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 三角形有且只有一个外接圆 B. 方程是一元二次方程 C. 直径是圆中最长的弦 D. 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 5. 在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中的值（　　） A. 21 B. 12 C. 5 D. 6. 已知二次函数的最小值为，则一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 7. 如图，在中，是弦，C是弧上一点．若，，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 如图，要为一幅长为29cm，宽为22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度为xcm，则可列方程为（　　） A. （29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22 B. （29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22 C （29﹣x）（22﹣x）＝×29×22 D. （29﹣x）（22﹣x）＝×29×22 9. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为（　　） A. B. C. D. 10. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 如图，已知平面直角坐标系xOy中的四个点：，，，在经过这四个点中的三个点的二次函数的图象中，a的值最大时二次函数经过的三个点是（ ） A. B，C，D B. A，B，C C. A，B，D D. A，C，D 12. 如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　） A. 0＜CP≤1 B. 0＜CP≤2 C. 1≤CP＜8 D. 2≤CP＜8 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 解一元二次方程，配方得到，则的值为________ 14. 如图是反比例函数的图象，整数的值是_____． 15. 如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为______． 16. 如图，在边长为4的正方形，点为边靠近点的四等分点．点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段．连接，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 18. 为推进深圳电动自行车“一盔一带”安全整治，某交警中队在南山区某商圈周边，随机抽查了未规范佩戴头盔的骑行者，调查结果根据年龄x（岁）分为四类，A类：；B类：；C类：；D类：．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽查了______名未规范佩戴头盔者； （2）请将条形统计图补充完整； （3）已知年龄在“D类”的四名骑行者中，有两名男性和两名女性现需要从这四名骑行者中随机选择两名开展“安全头盔”宣讲，请利用画树状图或列表的方法，求所选两名恰好是一男一女的概率． （4）若该商圈日均未规范佩戴头盔的骑行者有500人，根据样本数据，估计其中B类人数约为多少人？ 19. 综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： （1）若新劳动基地的面积为，且，求和的长． （2）当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 20. 如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面的距离； （2）该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大，则当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 21. 已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E． （1）求证：； （2）若，， ①求的长度；②直接写出的面积． 22. 综合与实践 课题：小空间检测视力问题 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务． 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为米，宽为米的空书房． （1）如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离墙________米处； 位置 视力值 的值 第1行 70 第5行 28 第8行 14 第14行 （2）小明选择按比例制作视力表完成该任务．在制作过程中发现视力表上视力值和该行字母的宽度之间的关系是已经学过的一类函数模型，字母的宽度如上中图所示，视力表上部分视力值和字母的宽度的部分对应数据如右上表所示： ①请你根据表格数据判断（说明理由）并求出视力值与字母宽度之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母的宽度的值，请问该行对应的视力值是多少？ 23. 如图，的半径为2，点是的六等分点．过点作的切线交的延长线于点． （1）连接，判断与的位置关系，并说明理由； （2）求线段与的长度，并比较大小； （3）若点是上任意一点，连接，直接写出长的最小值． 24. 学校为了让学生锻炼身体，买了一台乒乓球发球机.建立合适的平面直角坐标系，当乒乓球（看成点）以某种特定的角度和初速度从y轴上的点P处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线的一部分。有一斜面，乒乓球沿落到斜面上经反弹后，继续沿抛物线运动，如图所示。 （1）求出点及抛物线最高点的坐标； （2）若斜面所在直线解析式为，抛物线与的开口大小和方向均不变，但抛物线最大高度是抛物线的． 求：①乒乓球与斜面接触点的坐标； ②抛物线的解析式。 （3）嘉淇发现：“（2）中抛物线可以通过平移得到．”写出平移的过程和平移的最小距离； （4）在轴上放置无盖的正方体回收箱，其棱长为1，当（2）中沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期学业质量评价九年级数学 注意事项： 1．本卷共6页． 2．答题前，务必将姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，其36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中从正面看到的形状图与从左面看到的形状图相同的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，分别画出各选项中，从正面和从左面看到的形状图进行判断即可． 【详解】解：A、从正面看到的图形为，从左面看到的图形为，不符合题意； B、从正面看到的图形为，从左面看到的图形为，不符合题意； C、从正面看到的图形为，从左面看到的图形为，符合题意； D、从正面看到的图形为，从左面看到的图形为，不符合题意； 故选：C． 3. 在中，，点在边上，用尺规作图在上取一点，使与相似，则下列尺规作图错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，尺规作图—作圆，尺规作图—作一个角等于已知角，尺规作图—作垂线等知识，根据作图痕迹及相似三角形的判定进行判断即可获得答案，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：．由作图可得是的垂线， ，， ， ， ∴，故选项不符合题意； ．由作图可得， ， ∴，故选项不符合题意； ．由作图可得是圆的直径， ， ， ， ∴，故选项不符合题意； ．由作图得，其作图无法使与相似，故选项符合题意； 故选：． 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 三角形有且只有一个外接圆 B. 方程是一元二次方程 C. 直径是圆中最长的弦 D. 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一元二次方程的定义，弦的定义，圆周角定理，随机事件的定义，可能发生也可能不发生的事件为随机事件，三角形的外接圆的圆心是垂直平分线的交点，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、三角形有且只有一个外接圆，是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故原说法是随机事件，故该选项符合题意； C、直径是圆中最长的弦是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意； D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中的值（　　） A. 21 B. 12 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题关键．由表格可知，二次函数对称轴为直线，进而得到与的值相同，即可求出的值． 【详解】解：由表格可知，二次函数对称轴为直线， 与是关于对称轴的对称点，值相同， ， 故选：C． 6. 已知二次函数的最小值为，则一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，一元二次方程的判别式与根的情况，掌握知识点是解题的关键． 由二次函数最小值条件得出的值，再计算判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵二次函数的最小值为， ∴顶点纵坐标，即． 对于方程，判别式． ∴方程无实数根． 故选C． 7. 如图，在中，是弦，C是弧上一点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和，进而可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 8. 如图，要为一幅长为29cm，宽为22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度为xcm，则可列方程为（　　） A. （29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22 B. （29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22 C. （29﹣x）（22﹣x）＝×29×22 D. （29﹣x）（22﹣x）＝×29×22 【答案】B 【解析】 【分析】由相框所占面积为照片面积的四分之一，可得剩余部分占照片面积的四分之三，由此得到方程. 【详解】设相框边的宽度为xcm，则可列方程为： （29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22. 故选：B. 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用—图形面积，正确理解题意找到题中的等量关系是解题的关键. 9. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，设点为圆的圆心，点为的中点，连接，则由垂径定理的推论可得，利用勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设点为圆的圆心，点为的中点，连接，则由垂径定理的推论可得， ∴， ∵铅球直径为， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 10. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为 将代入得， 解得 ∴ ∴当时，，故B错误； 当时， ∴ ∵当时，h随的增大而减小 ∴当时，，故C正确； 由图象得，当时，，故D错误． 故选：C． 11. 如图，已知平面直角坐标系xOy中的四个点：，，，在经过这四个点中的三个点的二次函数的图象中，a的值最大时二次函数经过的三个点是（ ） A. B，C，D B. A，B，C C. A，B，D D. A，C，D 【答案】C 【解析】 【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可判断． 【详解】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，； A、B、C组成的二次函数开口向上，； B、C、D三点组成的二次函数开口向下，； A、D、C三点组成的二次函数开口向下，； 即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可． 设二次函数为， 当抛物线过A、B、C三点时，则， 解得； 当抛物线过A、B、D三点时，则， 解得， 故a的值最大时二次函数经过A、B、D三点， 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式． 12. 如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　） A. 0＜CP≤1 B. 0＜CP≤2 C. 1≤CP＜8 D. 2≤CP＜8 【答案】B 【解析】 【分析】分四种情况讨论,依据相似三角形的对应边成比例,即可得到AP的长的取值范围． 【详解】如图所示,过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E,则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA,此时0＜PC＜8; 如图所示,过P作∠BPF＝∠A交AB于F,则△BPF∽△BAC, 此时0＜PC＜8; 如图所示,过P作∠CPG＝∠B交AC于G,则△CPG∽△CAB, 此时,△CPG∽△CBA, 当点G与点A重合时,CA2＝CP×CB,即42＝CP×8, ∴CP＝2, ∴此时,0＜CP≤2; 综上所述,CP长的取值范围是0＜CP≤2． 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的性质. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 解一元二次方程，配方得到，则的值为________ 【答案】2 【解析】 【分析】先移项，再将左侧变形为完全平方形式． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故， 故答案为：2． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 14. 如图是反比例函数图象，整数的值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到，进而推出为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵点B的对应点D恰好落在边上， ∴； 故答案为：7． 16. 如图，在边长为4的正方形，点为边靠近点的四等分点．点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段．连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点G作于M，作于N，根据证，设，则，，根据勾股定理得出的表达式，求最小值即可． 【详解】解：过点G作于M，作于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵线段绕点F顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最小值，其最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练应用勾股定理得出关于x的代数式并求出最值是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确，不正确； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法（因式分解法、公式法）及方程一般式的转化，解题的关键是掌握“因式分解法需将方程化为右边为0的形式，否则不能直接拆分因式”和“用公式法前必须先将方程化为（）的一般式，准确确定、、的值，避免符号错误”． （1）判断解法正确性：甲同学误用因式分解法，方程右边未化为0就拆分因式，违背“因式分解法需右边为0”的前提，导致错误；乙同学未将方程化为一般式（应为），错误将取为3（实际），使判别式计算错误，故两人解法均不正确； （2）解时，先将方程展开并移项化为一般式，再确定、、的值，计算判别式判断有实数根，最后代入求根公式求解． 【小问1详解】 解：甲同学的解法不正确，理由是用因式分解法时未将方程化为“右边为0”的形式（应为），直接拆分导致错误；乙同学的解法不正确，理由是未将方程化为一般式，错误确定的值（实际而非3），使判别式计算错误． 故答案为：不正确，不正确； 【小问2详解】 解， 先将方程化一般式：， 此方程中，，，， 计算判别式 ∵，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式 得：． ∴方程的解为，． 18. 为推进深圳电动自行车“一盔一带”安全整治，某交警中队在南山区某商圈周边，随机抽查了未规范佩戴头盔的骑行者，调查结果根据年龄x（岁）分为四类，A类：；B类：；C类：；D类：．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中的信息解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽查了______名未规范佩戴头盔者； （2）请将条形统计图补充完整； （3）已知年龄在“D类”的四名骑行者中，有两名男性和两名女性现需要从这四名骑行者中随机选择两名开展“安全头盔”宣讲，请利用画树状图或列表的方法，求所选两名恰好是一男一女的概率． （4）若该商圈日均未规范佩戴头盔的骑行者有500人，根据样本数据，估计其中B类人数约为多少人？ 【答案】（1）20 （2）见解析 （3） （4）200人 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图的信息关联，用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点． （1）根据样本中“B类”有8人，占被调查人数的，求出被调查的总人数即可； （2）求出样本中“C类”的人数即可补全条形统计图； （3）用树状图表示从“D类”的两男两女4人中任意抽取2人，所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可； （4）根据样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：（名）， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：样本中“C类”的人数为（名）， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：从“D类”的两男两女4人中任意抽取2人，所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中2人中恰好是一男一女的有8种， 所以从“D类”的两男两女4人中任意抽取2人，其中2人中恰好是一男一女的概率． 【小问4详解】 解：（人）， 答：其中B类人数约为200人． 19. 综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： （1）若新劳动基地的面积为，且，求和的长． （2）当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】（1）的长为，的长为 （2）不可以，见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先设，结合的长为，的长为，且新劳动基地的面积为，且，进行列式，解出方程，即可作答． （2）依题意，先设，则，因为新劳动基地的面积可以为，故，再结合的最大长度为，的最大长度为进行作答即可． 【小问1详解】 解：设， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）； ，； 答：的长为，的长为； 【小问2详解】 解：不可以， 理由：设，则， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，，不合题意，舍去， 当时，新劳动基地的面积不可以为． 20. 如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面的距离； （2）该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大，则当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，属于中档题，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． （1）通过构造直角三角形，利用角的正弦值求出对应的竖直高度，再加的长度，得到B到地面的距离为； （2）分和两种情况，用对应角度的三角函数求的竖直高度，结合B到地面的距离算出A的高度，作差得增加了． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， 由图可得：B到地面的距离为， 中， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故B到地面的距离为； 【小问2详解】 解：最高点A到地面的高度为， 当时，， 在中， ∵，， ∴， ∴， 当时，， 同理得， ∴， ∴． 故当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了． 21. 已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E． （1）求证：； （2）若，， ①求的长度；②直接写出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得，即可得证； （2）①先由勾股定理求出，然后导角证明，则设，则，再由即可求解； ②过点作于点，由角平分线的性质可得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，即； ②过点作于点， ∵是的平分线，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 22. 综合与实践 课题：小空间检测视力问题 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务． 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为米，宽为米的空书房． （1）如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离墙________米处； 位置 视力值 的值 第1行 70 第5行 28 第8行 14 第14行 （2）小明选择按比例制作视力表完成该任务．在制作过程中发现视力表上视力值和该行字母的宽度之间的关系是已经学过的一类函数模型，字母的宽度如上中图所示，视力表上部分视力值和字母的宽度的部分对应数据如右上表所示： ①请你根据表格数据判断（说明理由）并求出视力值与字母宽度之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母的宽度的值，请问该行对应的视力值是多少？ 【答案】（1） （2）①视力值与字母宽度之间成反比函数关系，关系式为；②对应的视力值是 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的特征，以及用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）根据平面镜成像的原理即可解答； （2）①由表可知，视力值随字母宽度的值的减小而增大，且视力值与字母宽度的值的乘积为定值，得出视力值与字母宽度之间成反比函数关系，设，把代入，求出k的值即可；②把代入①中得出的函数关系式，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得： （米）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由表可知，视力值随字母宽度的值的减小而增大，且视力值与字母宽度的值的乘积为定值， 故视力值与字母宽度之间成反比函数关系， 设， 把代入得：， 解得：， ∴视力值与字母宽度之间的函数关系式为； ②把代入得： ， 解得：， 即对应的视力值是． 23. 如图，的半径为2，点是的六等分点．过点作的切线交的延长线于点． （1）连接，判断与的位置关系，并说明理由； （2）求线段与的长度，并比较大小； （3）若点是上任意一点，连接，直接写出长的最小值． 【答案】（1），理由见解析 （2），的长为； （3） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆内接正六边形的性质以及解直角三角形，掌握切线的性质，圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． （1）根据圆内接正六边形的性质，切线的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）利用直角三角形的性质和弧长公式，分别计算得出结果，比较即可； （3）连接交于点P，此时最小，由勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 理由如下： 如图，连接， 点是的六等分点， ． 点，点，点共线， 即是的直径， ， 即； 【小问2详解】 解：是的切线，点是切点， ， 在Rt中，， ， 由弧长公式可得， 的长为； ； 【小问3详解】 解：如图，连接交于点P，此时最小， 在中，，， ∴， ∴． 24. 学校为了让学生锻炼身体，买了一台乒乓球发球机.建立合适的平面直角坐标系，当乒乓球（看成点）以某种特定的角度和初速度从y轴上的点P处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线的一部分。有一斜面，乒乓球沿落到斜面上经反弹后，继续沿抛物线运动，如图所示。 （1）求出点及抛物线最高点的坐标； （2）若斜面所在直线的解析式为，抛物线与的开口大小和方向均不变，但抛物线最大高度是抛物线的． 求：①乒乓球与斜面接触点的坐标； ②抛物线解析式。 （3）嘉淇发现：“（2）中的抛物线可以通过平移得到．”写出平移的过程和平移的最小距离； （4）在轴上放置无盖的正方体回收箱，其棱长为1，当（2）中沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）点P的坐标为，抛物线最高点的坐标为 （2）①；② （3）将抛物线 向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，平移的最小距离 （4） 【解析】 【分析】（1）由点P在抛物线上，且在y轴上，得到当时，，求得点P的坐标为，得到抛物线最高点的坐标为；； （2）①解方程得到，，求得，当时，，于是得到乒乓球与斜面接触点的坐标为；②由题意得，抛物线的最大高度为，设抛物线的解析式为，把，代入得到，于是得到抛物线的解析式为；； （3）根据的顶点为，的顶点为，得到可将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，于是得到平移的最短路程为； （4）根据无盖的正方体回收箱的棱长为1，有，解得，根据，得． 【小问1详解】 解：∵点P在抛物线上，且在y轴上， ∴当时，， 即点P的坐标为， ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线最高点的坐标为； 【小问2详解】 解：①由题意，令， 整理得， 解得，， ∵，∴， 当时，， ∴乒乓球与斜面接触点的坐标为； ②由题意得，抛物线的最大高度为， 设抛物线的解析式为， 把，代入，得， 解得，， ∵， ∴， ∴抛物线的解析式为；； 【小问3详解】 解：∵的顶点为，的顶点为， ∴可将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到， ∴平移的最短路程为；； 【小问4详解】 解：∵无盖的正方体回收箱的棱长为1，沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）， ∴， 解得， 取， ∵， ∴， ∵乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）， ∴，且， ∴当时，； 当时，， ∴． 综上，． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，二次函数图象和性质，二次函数与一次函数综合，二次函数图象的平移，二次函数与一元二次方程的关系，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $