专题01 二次根式性质的综合应用与难点突破（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题01 二次根式性质的综合应用与难点突破 目录 典例详解 类型一、二次根式有意义的条件与隐含条件挖掘 类型二、二次根式的性质的灵活运用 类型三、二次根式的非负性与求值问题 压轴专练 类型一、二次根式有意义的条件与隐含条件挖掘 1．二次根式有意义的基本条件 ① 被开方数必须是非负数，级被开方数大于等于0； ② 若二次根式在分母中，则被开方数必须大于0； ③ 若多个二次根式同时出现，需取各被开方数取值范围的公共部分。 2．隐含条件的挖掘方法 ① 从二次根式的定义出发，自动获得被开方数的非负性； ② 结合分式、绝对值、偶次幂等非负性，建立方程组或不等式组； ③ 利用被开方数的非负性缩小字母的取值范围，为后续化简或计算提供依据。 例1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 变式1-1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知m是函数自变量取值范围内的一个非负整数，则的平方根是 ． 变式1-2．（2024九年级上·上海·专题练习）对一切实数k，有成立，求k的最大值． 变式1-3．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若，则的值为 ． 类型二、二次根式的性质的灵活运用 1．性质的本质理解 ① 表示的算术平方根，结果必须是非负数； ② 化简时，不能直接写成，而应写成； ③ 当的符号不确定时，必须保留绝对值符号或进行分类讨论。 2．常见应用场景 ① 含有字母的二次根式化简； ② 结合数轴化简含绝对值的二次根式； ③ 已知字母的取值范围，去掉绝对值符号进行化简。 例2．（2025·安徽·模拟预测）若则的值为 变式2-1．（25-26八年级下·全国·周测）已知三角形的三条边的长分别为5，，，化简的结果是 ． 变式2-2．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 类型三、二次根式的非负性与求值问题 非负性的综合应用 ① 几个非负数的和为0，则每个非负数必须为0； ② 常见的非负数形式：二次根式、绝对值、完全平方式、偶次幂； ③ 利用非负性建立方程（组），求出未知数的值。 例3．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 变式3-1．（25-26八年级上·上海宝山·月考）已知a，b为实数，且，则的值为（    ） A． B．7 C．或7 D．9 变式3-2．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，求的平方根 ． 变式3-3．（25-26八年级上·山东济南·期中）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知，当分别取1，2，3，⋯，时，所对应值的总和是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简后等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 5．（24-25八年级下·安徽六安·期中）已知满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）函数中，自变量的取值范围是 ． 7．（25-26八年级上·四川成都·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 8．（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知实数a满足． （1）a的取值范围为 ； （2）的值为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级下·全国·单元测试）若实数，，满足． (1)求的值． (2)若满足上式的，为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 10．（25-26八年级上·全国·假期作业）若a、b、c满足的关系是，求a、b、c的值． 11．（20-21八年级下·安徽合肥·期中）若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 12．（23-24八年级下·安徽亳州·月考）已知实数，满足，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式性质的综合应用与难点突破 目录 典例详解 类型一、二次根式有意义的条件与隐含条件挖掘 类型二、二次根式的性质的灵活运用 类型三、二次根式的非负性与求值问题 压轴专练 类型一、二次根式有意义的条件与隐含条件挖掘 1．二次根式有意义的基本条件 ① 被开方数必须是非负数，级被开方数大于等于0； ② 若二次根式在分母中，则被开方数必须大于0； ③ 若多个二次根式同时出现，需取各被开方数取值范围的公共部分。 2．隐含条件的挖掘方法 ① 从二次根式的定义出发，自动获得被开方数的非负性； ② 结合分式、绝对值、偶次幂等非负性，建立方程组或不等式组； ③ 利用被开方数的非负性缩小字母的取值范围，为后续化简或计算提供依据。 例1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件． 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围． 【详解】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 ． 综上， 且 且 ． 故选：D． 变式1-1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知m是函数自变量取值范围内的一个非负整数，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数、分式中分母不等于是解题的关键． 先根据函数解析式确定自变量的取值范围，再找出符合条件的非负整数，代入表达式求值，最后求平方根即可． 【详解】解：函数中，自变量需满足且． 解不等式得， 故的取值范围为且． ∵是非负整数且在此范围内， 只能为． 当时， ． 的平方根为． 故答案为：． 变式1-2．（2024九年级上·上海·专题练习）对一切实数k，有成立，求k的最大值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， ∴， 设， 则， ∵， ∴，即， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 变式1-3．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质． 将化为，利用非负数的性质，得到两个方程并求解，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，且， ∴和， 即和， 解得，， ∴． 故答案为：． 类型二、二次根式的性质的灵活运用 1．性质的本质理解 ① 表示的算术平方根，结果必须是非负数； ② 化简时，不能直接写成，而应写成； ③ 当的符号不确定时，必须保留绝对值符号或进行分类讨论。 2．常见应用场景 ① 含有字母的二次根式化简； ② 结合数轴化简含绝对值的二次根式； ③ 已知字母的取值范围，去掉绝对值符号进行化简。 例2．（2025·安徽·模拟预测）若则的值为 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、解绝对值方程等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 由二次根式的性质可得，然后解绝对值方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，有，解得：； 当时，有，该方程无解； 当时，有，解得：． 综上，该方程的解为或． 故答案为：或． 变式2-1．（25-26八年级下·全国·周测）已知三角形的三条边的长分别为5，，，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系确定的取值范围，再利用二次根式的性质将根号转化为绝对值，结合的范围化简绝对值，最后计算式子结果． 根据三角形三边关系确定的取值范围，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】解：由三角形三边关系，得． ，． ∴原式． 故答案为：． 变式2-2．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 【答案】2 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简式子． 【详解】解：由有意义，得，即． 化简： ∵， ∴，故：． 化简： 根据二次根式的性质，， ∴． 因此，原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、和二次根式有意义的条件，解题关键是先确定的范围，再结合范围化简二次根式． 类型三、二次根式的非负性与求值问题 非负性的综合应用 ① 几个非负数的和为0，则每个非负数必须为0； ② 常见的非负数形式：二次根式、绝对值、完全平方式、偶次幂； ③ 利用非负性建立方程（组），求出未知数的值。 例3．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故选：C． 变式3-1．（25-26八年级上·上海宝山·月考）已知a，b为实数，且，则的值为（    ） A． B．7 C．或7 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的立方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件即被开方数非负． 根据二次根式的被开方数非负得到不等式组，然后求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 变式3-2．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，求的平方根 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求算术平方根． 根据二次根式有意义的条件，可得，进而判断出的符号，化简绝对值．将方程整理后，利用非负数的性质，得到m和n的值，再求的平方根． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， ∴， ， ， ∴， 原方程化为：， 两边同时减去，得：， ∵，， ∴且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 变式3-3．（25-26八年级上·山东济南·期中）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了二次根式的非负性、绝对值与平方的非负性，以及勾股定理的应用，解题的关键是先利用非负性求出、的值，再分情况用勾股定理计算第三边． 先根据二次根式的非负性求出，再由非负数和为0的性质得、的值，最后分第三边是直角边或斜边，用勾股定理计算边长． 【详解】解：由和同时有意义，得： 解得． 此时 得：，， 即，． 情况1：当4为斜边长，3为一条直角边长时 第三边长 情况2：当3、4为直角边长时，第三边为斜边 第三边长． 故答案为：5或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知，当分别取1，2，3，⋯，时，所对应值的总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值化简，掌握相关知识是解决问题的关键． ，然后根据与2的大小关系分两种情况讨论：当 时，计算 值并求和；当 时， 为常数，直接计算总和．最后将两部分总和相加． 【详解】解：∵ ， 分两种情况： ①当 时，， ∴ ， 取1和2： 时，， 时，， ∴ 总和为 ； ②当时，， ∴ ； 从3到，共个值，每个， ∴ 和为， 综上，． 故选：D． 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简后等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长， ∴ ,即， ∴ ，， ∴ 原式， 故选：A． 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等． 首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值． 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 5．（24-25八年级下·安徽六安·期中）已知满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求出的范围，对原式进行化简是解决本题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，就可得到的范围，就可去掉式子中的绝对值符号，求得的值． 【详解】解：， ， 则原式可化简为：， 即：， ， ； 故选：C 二、填空题 6．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件， 根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得，求出解集即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴分母，且被开方数，但分母不为零，故， 即， 解得． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川成都·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知实数a满足． （1）a的取值范围为 ； （2）的值为 ． 【答案】 2025 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式有意义的条件； （1）根据二次根式有意义的条件得到即可， （2）则当时，可得，再化简可得，进而可得． 【详解】解：（1）有意义， ， 解得：． 故答案为：； （2）由（1）知． ． 又∵， ， ． ． ． 故答案为：2025． 三、解答题 9．（24-25八年级下·全国·单元测试）若实数，，满足． (1)求的值． (2)若满足上式的，为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求代数式的值，等腰三角形的性质，三角形的三边关系， 对于（1），先根据二次根式的性质求出c，再根据绝对值和二次根式的非负性求出a,b,然后求出代数式的值； 对于（2），根据等腰三角形的性质分两种情况讨论，并结合三角形的三边关系得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得，， 解得． ， ，． ； （2）解：当是腰长，是底边长时，等腰三角形的腰长之和：，舍去； 当是腰长，是底边长时，等腰三角形的周长为． 综上，这个等腰三角形的周长为． 10．（25-26八年级上·全国·假期作业）若a、b、c满足的关系是，求a、b、c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了二次根式的性质，解二元一次方程组．根据二次根式的性质，求得，，得到，据此求解即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 即，， 则， ∴， ∴，， 解得，， ∴， 解得， ， ∴，，． 11．（20-21八年级下·安徽合肥·期中）若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系与二次根式的化简，掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，及的化简规则是解题的关键． 先利用三角形三边关系求出第三条边的取值范围，再将根号内的式子化为完全平方式，结合的范围判断根号内式子的正负，去掉根号后进行化简． 【详解】解：由三角形的三边关系，得， ，， 原式 ． 12．（23-24八年级下·安徽亳州·月考）已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识，先由二次根式有意义的条件、分式有意义的条件求出的值，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 解得：或， ，即， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $