第二章 不等式和不等式组 单元复习题 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第二章 不等式和不等式组 单元复习题 一、单选题 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式的解集为，则m的值可以取（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 5．已知直线与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．1 6．如图，中，，的度数为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线和交于P，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如果不等式组的解集是，那么的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 9．若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式组下列四个结论： ①若，则是该不等式组的一个解； ②若该不等式组无解，则； ③若该不等式组的解集为，则； ④若该不等式组只有三个整数解，则． 其中正确的结论个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．若，则 ．（填“<”，“>”，“=”） 12．一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为 13．一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是 . 14．不等式的解集为，则m的值为 ． 15．不等式组的最小整数解是 ． 16．不等式组有解，则a的取值范围是 ． 17．若关于整数的不等式组的解集为，则的最大值为 ． 18．关于的方程的解为非负数，且关于的不等式有解，求符合条件的所有整数的值的积为 ． 19．若不等式的解都能使不等式成立，则实数m的取值范围是 ． 20．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ． 三、解答题 21．用不等式表示下列各式： (1)0大于； (2)a的5倍超过1； (3)x减去y小于； (4)a的2倍与1的和是正数； (5)m与n的差不大于0； (6)x的6倍加上4是非负数． 22．解不等式 23．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．    24．已知有理数，1． (1)在如图所示的数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用表示(点A在点B的左边)． (2)若，在数轴上表示数的点介于点之间；表示数的点在点右侧且到点距离为6． ①计算：______，______ ②解关于的不等式，并把解集表示在所给数轴上． 25．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 26．一汽车销售商店经销A、B两种型号轿车，用400万元可购进A型轿车10辆和B型轿车20辆；用300万元可购进A型轿车9辆和B型轿车14辆． （1）求A型与B型轿车每辆的进价分别为名少万元？ （2）若该汽车销售商店购进A、B两种型号的轿车共60辆，且购车资金不超过700万元，求该汽车销售商店至少购进A型轿车几辆？ 27．仔细阅读以下材料：求不等式的解集． 我们知道，绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”， 根据绝对值的性质，可得： （1）当时，原不等式为，， （2）当时，原不等式为，解得，，， 原不等式的解集为． 请你仿照上述方法解决下列问题： (1)直接写出不等式的解集； (2)求不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是一元一次不等式，故符合题意；     B．不含不等号，不是一元一次不等式，故不符合题意；     C．不含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；     D．的未知数在分母里，不是一元一次不等式，故不符合题意； 故选A． 2．A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，利用数轴表示不等式的解，解题关键是正确求解不等式． 先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后把结果表示在数轴上． 【详解】解不等式，得， 其解集在数轴上表示如图． 3．D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，当时，；当时，；当时，；故该选项错误，不合题意； 、∵， ∴ ∴，故该选项错误，不合题意； 、∵，当时，，故该选项错误，不合题意； 、∵， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：． 4．A 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解集与解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质3． 根据不等式的基本性质3求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， 则， ∴m可以等于0，不能为2，4，6． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了直线的交点的问题，联立方程组解方程，关键是根据象限确定方程组解的符号，得出不等式组．根据两条直线的交点就是两解析式联立得到的方程组的解，解方程得出交点坐标，再根据象限确定坐标的符号，即可得出答案． 【详解】解：∵直线与直线有交点， ∴， 解得： ∵交点在第二象限， ∴， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了直角三角形的内角，解不等式组，根据题意得，然后解不等式组即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得： 故选：． 7．D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式． 根据图象，即可得满足题意的x的取值范围． 【详解】解：根据图象可知， 当时，x的取值范围是． 故选：D． 8．C 【分析】求得不等式组的解集为，比较解集，利用等量代换思想建立等式求得a，b，计算即可． 【详解】∵， 解①得x≥4-2a，解②得, ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集是， ∴4-2a=0，， 解得a=2，b=-1， ∴a+b=2-1=1， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式组的解法，恒等变换的思想，熟练掌握不等式组的解法，准确理解恒等变换的思想是解题的关键． 9．B 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解共有个，写出这3个整数解，即可得到的取值范围．本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的整数解共有个， 这三个整数解是，， ， 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组的解集的概念是解题的关键． 根据不等式组的解集对各小题的结论分析即可． 【详解】解：∵关于的不等式组， ∴当时，， ∴是该不等式组的一个解，故①正确； ∵不等式组无解， ∴，故②错误； ∵关于的不等式组的解集为， ∴，故③正确； ∵不等式组只有三个整数解， ∴，故④错误； ∴正确的序号为①③， 故选B． 11． 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．x＞2/ 【分析】直接根据图像解答即可． 【详解】解：由图像可知，不等式的解集为x＞2． 故答案为：x＞2． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b（k≠0）的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b（k≠0）在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 13． 【分析】此题主要考查了三角形三边关系和解不等式组，根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，进而求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为2和5， ∴第三边的取值范围是：， 解得：． 故答案为：． 14．2 【分析】本题考查不等式的解集，由不等式的性质先求出原不等式的解集，再根据已知条件即可求得m的值． 【详解】解： 原不等式系数化1得，， 因为不等式的解集是， 所以可得， 解得：， 故答案为：2． 15．8 【分析】分别解两个不等式，得到不等式组的解集，从中找出最小整数解． 【详解】解：， 解①，得x>7， 解②，得x≤11， ∴不等式组的解集为，7＜x≤11， ∴不等式组的整数解为，8,9,10,11， ∴不等式组的最小整数解为8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了不等式组的最小整数解，熟练掌握解不等式组的一般方法是解决此类问题的关键． 16． 【分析】根据原不等式组有解列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：不等式组有解， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解． 17． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解不等式组是解题的关键． 由条件确定的范围，结合不等式性质求的最大值． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 由已知可得， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为． 故答案为：． 18．0 【分析】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解，先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求求出相应的k的值即可解答本题． 【详解】解：解方程，得：， 由题意得 解得： ， 解不等式 ，得： ， 解不等式x，得： ， ∵不等式组有解， ∴ ， 则 ， ∴符合条件的整数k的值的积为 ， 故答案为：0． 19． 【分析】解不等式，得，据此知都能使不等式成立，再分和以及分别求解． 【详解】解不等式，得， 都能使不等式成立， 当，即时，则都能使恒成立； 当时，不等式的解集为，不符合题意， ，即， 不等式的解集为， 都能使不等式成立， ， 解得， 综上，实数m的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键． 20．42 【分析】设小朋友为x人，根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，表示出苹果的个数，再由每位小朋友分8个苹果，根据人数为x人，用总苹果数减去前x-1人、每人8个所分的苹果数，即为最后一名小朋友分到的苹果数，再利用最后一位小朋友分到了苹果，但不足5个列出关于x的不等式，求出不等式的解集，在解集中找出正整数解得到x的值，即为小朋友的人数，即可得到一箱苹果的个数． 【详解】解：设有x位小朋友，则苹果为（5x+12）个， 依题意得：0≤5x+12-8（x-1）＜5， 可化为：， 解得：5＜x≤， ∵x是正整数， ∴x=6， 当x=6时，5x+12=42； ∴这一箱苹果有42个， 故答案为：42． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，其中根据题意表示出最后一名小朋友分到的苹果数是解本题的关键． 21．(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查了列不等式，读懂题意正确列式是解题的关键． （1）直接列不等式即可； （2）根据超过就是大于列不等式即可； （3）直接列不等式即可； （4）根据正数大于零列不等式即可； （5）直接列不等式即可； （6）根据非负数为大于等于零的数列不等式即可． 【详解】（1）解：0大于表示：． （2）解：a的5倍超过1表示：． （3）解：x减去y小于表示：． （4）解：a的2倍与1的和是正数表示：． （5）解：m与n的差不大于0表示：． （6）解：x的6倍加上4是非负数表示． 22． 【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤解一元一次不等式即可． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得． ∴不等式的解集为. 【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤并正确求解是解答的关键． 23．，数轴见解析 【分析】先分别解不等式①②，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小找不到求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】， 解①，得， 解②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如图：    【点睛】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 24．(1)见解析 (2)①；7；②；数轴表示见解析 【分析】本题考查一元一次不等式及数轴，解题的关键是一元一次不等式得根据题意画出数轴． （1）直接在数轴上标出A、B即可； （2）①根据“，在数轴上表示数的点介于点之间”，得出m的值；根据“表示数的点在点右侧且到点距离为6”，得出n的值； ②将m、n代入不等式中，求出解，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：如图，点A与点B即为所求作的点： ． （2）∵， ∴， ∵在数轴上表示数m的点，介于点A，B之间， ∴， ∵在A的右侧且到点B距离为6的点表示为n， ∴，或(舍去) 故答案为：；7 ②由， 解得， 表示在数轴上如图所示： ． 25．(1)③； (2)． 【分析】（1）求得每个方程的解以及不等式组的解集，根据“子方程”的定义进行判断即可； （2）求得方程的解以及不等式组的解集，根据“子方程”的定义，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：解不等式组可得 由可得，则不是不等式组的“子方程”； 由可得，则不是不等式组的“子方程”； 由可得，而，即在范围内，所以是不等式组的“子方程”； 故答案为：③； （2）解不等式组可得 由可得， 由题意可得： 解得 即的取值范围为． 【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，不等式组的求解，解题的关键是理解“子方程”的定义，正确的求解方程与不等式组． 26．（1）每辆A型轿车10万元，每辆B型轿车15万元；（2）该汽车销售商店至少购进A型轿车40辆． 【分析】（1）等量关系为：10辆A轿车的价钱+20辆B轿车的价钱=400万元；9辆A轿车的价钱+14辆B轿车的价钱=300万元； （2）根据（1）中求出AB轿车的单价，然后根据关键语“用不超过700万元购进A、B两种型号轿车共60辆”列出不等式，解出不等式即可； 【详解】（1）设每辆A型轿车x万元,每辆B型轿车y万元 由题意得，解得 答：每辆A型轿车10万元,每辆B型轿车15万元； （2）设该汽车销售商店购进A型轿车a辆 由题意得，解得， 答：该汽车销售商店至少购进A型轿车40辆； 【点睛】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式的运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键； 27．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式： （1）仿照题意分当，即时，当，即时，两种情况讨论求解即可； （2）仿照题意分当，即时，当，即时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当，即时，原不等式为， 解得； 当，即时，原不等式为， 解得； 综上所述，； （2）解：当，即时，原不等式为：， 解得，， 不等式的解集为， 当，即时，原不等式为：， 解得，， 不等式的解集为， 综上所述，原不等式的解集为：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $