精品解析：2025-2026学年度第一学期期末教学质量抽测九年级数学试题（A）

2025/2026学年度第一学期期末教学质量抽测 九年级数学试题（A） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A.该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； B. 该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； C. 该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； D. 该选项图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列成语所描述的是随机事件的是（ ） A. 海底捞月 B. 寒来暑往 C. 一箭双雕 D. 拔苗助长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定事件和随机事件的定义，属于基础概念题型，熟知必然事件、不可能事件和随机事件的概念是关键． 根据不可能事件、随机事件和必然事件的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、海底捞月，是不可能事件，不是随机事件，故本选项不符合题意； B、寒来暑往，是必然事件，不是随机事件，故本选项不符合题意． C、一箭双雕，是随机事件，故本选项符合题意； D、拔苗助长，是不可能事件，不是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律“上加下减，左加右减”成为解题的关键． 直接运用平移规律解答即可． 【详解】解：由平移规律可得：抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是． 故选D． 4. 对于双曲线，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性，得出2-m＞0，解不等式即可得出结论． 【详解】解：∵双曲线，当时，y随x的增大而减小， ∴2-m＞0， 解得：m＜2． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 5. 如图，和中，，则添加下列条件后无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴， 故选项C不符合题意； ∵，但不一定相等， ∴不一定相似， 则添加条件后无法判定； 故选项D符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查条件条件使两个三角形相似，掌握相似三角形的判定定理，两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，夹角对应相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似是解题关键． 6. 如图，是的直径，是上两点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，根据圆的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质可得的长，再由勾股定理可得的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 关于一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 若方程有实数根，则 B. 若方程无实数根，则 C. 当时，方程有两个不相等的实数根 D. 当时，方程的根为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，由一元二次方程的一般式可得，再根据判别式与根的关系逐一分析选项即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴判别式， 、若方程有实数根，则，即， 解得，故正确，符合题意； 、若方程无实数根，则，即， 解得，故错误，不符合题意； 、当时，， ∴方程有两个相等的实数根，故错误，不符合题意； 、当时，， ∴方程无实数根，故错误，不符合题意； 故选：． 8. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 取的中点M，作于点N，取上的球心O，连接，设，则，，然后利用勾股定理运算即可． 【详解】取的中点M，作于点N，取上的球心O，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， 故选：B． 9. 已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④，⑤（m为实数且）．其中正确的结论有（ ） A. ②④⑤ B. ①③④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据函数的图象确定各参数的取值范围即可； ②根据对称轴得出对称点，然后特殊值代入进行求解即可； ③根据特殊值得出，利用平方差公式进行整理即可； ④根据对称轴得出，然后根据特殊值求解即可； ⑤根据二次函数的顶点坐标进行求解即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于轴的右侧， ∴符号相异， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∴，故①错误； ②根据对称轴为直线， ∴与关于对称轴对称， ∵当时，， ∴当时，，即； 故②正确，符合题意； ③由函数图象可知，当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ④根据对称轴为直线得，， ∴， 当时，， ∴ ∴， 故④正确，符合题意； ⑤当时，值最大，即最大， ∴，（）， ∴， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确选项为②④⑤， 故选：A． 10. 如图，菱形的边长为2，，点E为边的中点，点F为边上的一动点，连接，将绕点E顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，连接，如图，先根据菱形的性质得到，则为等边三角形，所以，，再根据旋转的性质得到，，接着证明得到，所以，于是可判断点在过的中点且与平行的定直线上，过点作于，于点，如图，接着求出，从而得到的长，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：取的中点，连接，连接，如图， ∵菱形的边长为2，点为边的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点在过的中点且与平行的定直线上， 过点作于，于点，如图， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由垂线段最短可知，， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了垂线段最短、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和菱形的性质． 二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分） 11. 若是方程的一个根，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握根的定义． 根据方程根的定义，将已知根代入方程求解参数． 【详解】解：因为是方程的一个根， 所以代入得， 即， 所以， 因此， 故答案为：2． 12. 如图，在中，点D在线段上，交于点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据平行线得出相似三角形，根据面积得出相似三角形的面积比，最后根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，（负值已舍）， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，为等腰直角三角形．直角顶点A的坐标为，点B在反比例函数的图象上，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质的运用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．过A作轴于C，过B作于D，证明，根据全等三角形的性质，可以得到点B的坐标，由点B在反比例函数的图象上，从而可以得到k的值． 【详解】解：如图，过A作轴于C，过B作于D，则， ∵顶点A的坐标为， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，在点D运动的过程中始终保持． （1）当时，________； （2）当点D在上运动时，线段的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用二次函数的性质求解最值． （1）证明即可求解； （2）设，利用相似三角形的性质得到，然后用表示出，再根据二次函数的性质求解最值． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． （2）设，由（1）得， ∴， ∴， ∵ ∴当时，取得最大值， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟记提公因式法因式分解解一元二次方程的方法步骤是解决问题的关键． 先因式分解，得到，从而确定或，解方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则， ，或， 解得． 16. 已知二次函数图象的顶点为，且点在图象上，求此二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，解题的关键是掌握顶点解析式． 根据顶点坐标设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为．把代入，得， 解得． ． 即这个二次函数的解析式为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上（格点即网格线的交点）． （1）将绕点逆时针旋转，得到，画出； （2）在（1）的条件下，求点运动路径的长度． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查网格中作图-旋转作图、勾股定理、弧长公式等知识，熟记旋转性质、弧长公式是解决问题的关键． （1）由旋转性质，将的顶点分别绕点逆时针旋转，得到，连接顶点即可得到； （2）由（1）中旋转作图过程，得到点运动路径是以为圆心、为半径的弧的长，先由勾股定理得到半径，再由弧长公式代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示： 点运动路径是以为圆心、为半径的弧的长， 故，则． 18. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想． （1）根据题意先将点A代入一次函数求得m的值，再将点A代入反比例函数即可求得解析式； （2）先求出一次函数与反比例函数在第三象限交点的横坐标，结合图象可判断出x的解集． 【小问1详解】 解：在一次函数的图象上， ， 解得， 为， 将点代入，得， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当， 解得，， 经检验，是方程的根， 所以一次函数与反比例函数在第三象限交点的横坐标为， 观察函数图象，发现： 当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题： （1）________； （2）当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）； （3）小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）方式二， 理由如下： 方式一：25元购物券； 方式二：， 转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：． ， 选择方式二更合算． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、加权平均数的计算、概率的应用，熟练掌握频率与概率的关系及加权平均数的计算公式是解题的关键． （1）根据频率的计算公式频率落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数，变形为落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数频率，代入数据计算即可求出的值． （2）利用频率估计概率，观察表格中频率的变化趋势，当试验次数足够大时，频率稳定在某个数值附近，该数值即为所求概率． （3）先根据圆心角之比求出各购物券对应的概率，再利用加权平均数公式计算出转动转盘获得购物券数额的平均数，最后将平均数与方式一的元比较，判断哪种方式更合算． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39， ∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近， ∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4． 故答案为：． 【小问3详解】 略 20. 如图，为的直径，是的切线，过点作射线的垂线，垂足为． （1）求证：点是弧的中点； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理． （1）连接，证明，即可证明点是弧的中点； （2）连接，证明，列出比例式，计算即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴； ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C是弧的中点； 【小问2详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴； ∵ ∴， ∴， ∵； ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（舍去）， 故． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 项目主题：小红头的最优销售单价探究． 项目背景：庐江小红头始创于清光绪八年（1882年），与淮军将领吴长庆密切相关．相传吴长庆率部赴朝鲜平定“壬午兵变”时，随军厨师为适配江淮将士口味，在油糖烧麦基础上改良制成便于携带的干粮．后吴长庆将小红头作为贡品献入宫廷，使其声名远播．作为庐江饮食文化的标志性符号，小红头顶端的红点寓意“鸿运当头”，既承载着百年历史记忆，是节庆馈赠的佳品，也是在外游子的乡愁寄托，如今已被列入省级非物质文化遗产名录． 某校学习小组以探究“小红头的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究小红头销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： ①学习小组到庐江某特产专卖店了解到小红头的进价为40元/盒； ②该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对小红头的销售量进行统计（不考虑其他因素）； ③数据分析，得出结论． 收集数据： 小红头销售单价x（元/盒） … 50 55 60 65 70 … 每周销售数量y（盒） … 500 450 400 350 300 … 问题解决：请根据此项目实施相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该小红头每周的销售数量y（盒）与小红头的销售单价x（元/盒）的函数关系式为________________； （2）若该专卖店计划每周赚得9000元的利润，售价应定为多少元？ （3）物价部门规定：该礼盒售价不得超过进价的1.5倍．问：礼盒售价定为多少元时，才能使商铺获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）70元 （3）当售价为60元时，最大利润为8000元 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据可知，小红头每周的销售数量y（盒）与小红头的销售单价x（元/盒）为一次函数关系式，设该函数关系式为，然后将代入并求解即可； （2）设定价为x元，结合（1）可得关于的一元二次方程并求解，即可获得答案； （3）设该商铺的利润为w元，根据题意得，结合该礼盒售价不得超过进价的1.5倍，可知，然后根据二次函数的图像与性质，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据表格中数据可知，小红头每周的销售数量y（盒）与小红头的销售单价x（元/盒）为一次函数关系式，设小红头每周的销售数量y（盒）与小红头的销售单价x（元/盒）的函数关系式为， 将代入， 可得，解得， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 设定价为x元， 根据题意，得 ， 整理可得， 解得， 所以，售价应该定为70元，该商铺可赚得9000元的利润； 【小问3详解】 设该商铺的利润为w元，根据题意得： ， 该礼盒售价不得超过进价的1.5倍， ，即， ， 当时，w随x的增大而增大， 当时有最大利润， ∴当售价为60元时，最大利润为8000元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，正确理解题意是解题关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，中，为内部一点，． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图2，延长交于点D，求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先证，可得，进而得出结论； （2）利用（1）中相似比求解即可； （3）过B作交的延长线于E，先证，可得， 再证，即可得解． 【小问1详解】 证明：中，， ． ， ． ， ． ， ； 【小问2详解】 解：， ． ． ， ． ． ． 【小问3详解】 解：过B作交的延长线于E， ， ． ． ， ． 在与中 ． ． ， ． ， ， ； ． ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）当时，求的长； （3）若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）先将二次函数解析式化为顶点式，然后写出顶点坐标即可； （2）根据时，，解方程得出，求出即可； （3）根据抛物线对称轴及，结合条件，都有，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：当时，即， ， ， ， ． ． 【小问3详解】 解：， ， ． ， ． ， ， ． ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025/2026学年度第一学期期末教学质量抽测 九年级数学试题（A） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语所描述的是随机事件的是（ ） A. 海底捞月 B. 寒来暑往 C. 一箭双雕 D. 拔苗助长 3. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）． A. B. C. D. 4. 对于双曲线，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和中，，则添加下列条件后无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，是上两点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 关于一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 若方程有实数根，则 B. 若方程无实数根，则 C. 当时，方程有两个不相等的实数根 D. 当时，方程的根为 8. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④，⑤（m为实数且）．其中正确的结论有（ ） A. ②④⑤ B. ①③④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 10. 如图，菱形的边长为2，，点E为边的中点，点F为边上的一动点，连接，将绕点E顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分） 11. 若是方程的一个根，则m的值为______． 12. 如图，在中，点D在线段上，交于点，则________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，为等腰直角三角形．直角顶点A的坐标为，点B在反比例函数的图象上，则k的值为________． 14. 如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，在点D运动的过程中始终保持． （1）当时，________； （2）当点D在上运动时，线段的最大值为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 解方程：． 16. 已知二次函数图象的顶点为，且点在图象上，求此二次函数的解析式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上（格点即网格线的交点）． （1）将绕点逆时针旋转，得到，画出； （2）在（1）的条件下，求点运动路径的长度． 18. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题： （1）________； （2）当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）； （3）小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 20. 如图，为的直径，是的切线，过点作射线的垂线，垂足为． （1）求证：点是弧的中点； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 项目主题：小红头的最优销售单价探究． 项目背景：庐江小红头始创于清光绪八年（1882年），与淮军将领吴长庆密切相关．相传吴长庆率部赴朝鲜平定“壬午兵变”时，随军厨师为适配江淮将士口味，在油糖烧麦基础上改良制成便于携带的干粮．后吴长庆将小红头作为贡品献入宫廷，使其声名远播．作为庐江饮食文化的标志性符号，小红头顶端的红点寓意“鸿运当头”，既承载着百年历史记忆，是节庆馈赠的佳品，也是在外游子的乡愁寄托，如今已被列入省级非物质文化遗产名录． 某校学习小组以探究“小红头的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究小红头销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： ①学习小组到庐江某特产专卖店了解到小红头的进价为40元/盒； ②该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对小红头的销售量进行统计（不考虑其他因素）； ③数据分析，得出结论． 收集数据： 小红头销售单价x（元/盒） … 50 55 60 65 70 … 每周销售数量y（盒） … 500 450 400 350 300 … 问题解决：请根据此项目实施相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该小红头每周的销售数量y（盒）与小红头的销售单价x（元/盒）的函数关系式为________________； （2）若该专卖店计划每周赚得9000元的利润，售价应定为多少元？ （3）物价部门规定：该礼盒售价不得超过进价的1.5倍．问：礼盒售价定为多少元时，才能使商铺获得的利润最大？最大利润为多少元？ 七、（本题满分12分） 22. 如图1，中，为内部一点，． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图2，延长交于点D，求证：． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）当时，求的长； （3）若对于，都有，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $