专题02 导数与函数的单调性（压轴题专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题02 导数与函数的单调性 目录 典例详解 类型一、函数的单调性与其导函数的关系 类型二、利用导数确定函数的单调区间 类型三、函数单调性的应用 压轴专练 类型一、函数的单调性与其导函数的关系 1.函数的单调性与其导函数正负的关系： 若在某个区间内，函数的导数，则在这个区间内，函数单调递增；若在某个区间内，函数的导数，则在这个区间内，函数单调递减． 2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系： 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”． 注意（导数背景下函数单调性充要条件的探究）： (1)在某个区间内，()是函数在这个区间内单调递增(减)的充分不必要条件. (2)函数在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a,b)内恒成立，且在区间(a,b)内的任意子区间内都不恒等于0．也就是说在区间内的个别点处有并不影响函数在该区间内的单调性． (3)说明：函数单调性的充要条件是导数研究的热点，原因是其能够与恒成立问题（方程恒有解、不等式恒成立）相结合，充分考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想及转化与化归思想． 例1．函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出，再根据的图象分析的取值情况，由此判断出结果. 【详解】因为，所以， 由图象可知：先增后减再增，所以先为正，再为负，最后又为正，所以， 因为为的两个极值点，且，所以，所以， 又因为，所以. 由结合图象可知的一正一负两根中，正根的绝对值大于负根的绝对值， 故两根之和大于0，即. 由可知. 综上可知：，，，. 故选：C. 变式1-1．如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 .    【答案】 【分析】利用图象判断的单调性，进而得到的正负，最后求出不等式解集即可. 【详解】由图象得在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，， 若，则当时，或当时，， 当，时，解得， 当，时，解得， 综上可得不等式的解集为. 故答案为：. 变式1-2．若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对求导，由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，求出函数的最小值即可求出答案. 【详解】由题意得， 因为在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 变式1-3．已知函数及其导函数的图象如下图所示，若函数在上恰有3个不同的零点，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的图象以及导数，依次求得，画出在区间的大致图象，结合对称性求得的取值范围. 【详解】因为在区间上，两个函数图象均为正值，所以原函数在区间上单调递增， 所以最大值为的函数图象为原函数图象， ∵，∴， ∴，， 由，得，，∵，得． ∴，作出在的大致图象， 如图，不妨设， 由图可知，而，∴． 故答案为：. 类型二、利用导数确定函数的单调区间 1.导数研究函数的单调性的解题步骤： （1）确定函数的定义域； （2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论； （3）求出导数的零点； （4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； （5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段. 注意：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． ②确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间一般不用并集，而用“，”或“和”隔开． 2.含参分类讨论函数的单调区间： （1）导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间； （2）若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性； （3）若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论. 例2．函数，则函数的单调增区间为 ． 【答案】和 【分析】利用导数求已知函数的单调增区间即可. 【详解】函数的定义域为. . 令，则，解得，或. 所以函数的单调增区间为和. 故答案为：和. 变式2-1．若函数的单调递增区间是，则的值是 ． 【答案】1 【分析】求导函数，分类讨论根据导数与函数单调性的关系，可求的单调区间，进而即得. 【详解】因为所以， 若 ，则恒成立，即在上单调递增，不符题意； 所以，令，可得或（舍去）， 当变化时，变化情况如下： ∴在 上是减函数，在上是增函数； 因为函数的单调递增区间是， 所以，所以. 故答案为：1. 变式2-2．设函数的导函数为，若函数在区间D上是减函数，且函数在区间D上是增函数，称在区间D上是“缓减函数”，区间D称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用导数法求得的单调递减区间为，再利用导数法求得函数的单调递增区间为，进而利用“缓减区间”的定义得的“缓减区间”为，逐项判断即可． 【详解】由题意得， 又，由，得，解得， 即的单调递减区间为． 设， 则. 由得， 即， 又，则，解得， 即的单调递增区间为． 由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为， 而是的子集，是“缓减区间”； 不是的子集，不是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”． 故选：B. 变式2-3．已知函数，且． (1)求函数的单调区间； (2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（1）利用导数结合函数的定义域即可求解； （2）先利用导数的几何意义求出的值，得到的解析式，再研究的实根的范围即可求解. 【详解】（1），定义域为，， 当时，令，解得，令，解得， 的单调增区间为，单调减区间为， 当时，令，解得，令，解得， 的单调增区间为，单调减区间为． （2）∵函数的图像在点处的切线倾斜角为， ，解得，， 则函数， 故，令，即， ，有两个实根且两根之积为，两根一正一负， 在上总不是单调函数，在上有且只有一个实数根， ，， 由题意知对于任意的，恒成立，综上，解得， 故的取值范围为. 类型三、函数单调性的应用 1.利用导数比较大小或解不等式的方法 利用导数比较大小或解不等式，其关键是构造函数，把比较大小和解不等式问题转化为先利用导数判断函数单调性，再根据单调性比较大小和解不等式问题．比较大小时，还要注意当自变量不在同一单调区间内时，应先利用函数的性质将其转化到同一单调区间上，再进行比较；解不等式时，还要注意将常数巧妙地转化为函数值，再根据单调性去掉函数符号“f”． 2.根据函数单调性求参数取值范围的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理，函数在上单调，则区间是相应单调区间的子集． (2)函数在上单调递增的充要条件是对任意的都有且在的任一子区间上，不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． 例3．（多选）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】构造函数，利用导数确定单调性，由已知不等式可得，再结合指数、对数及正弦函数单调性判断ABD；利用基本不等式“1”的妙用求解判断C. 【详解】令函数，求导得，函数在上递增， 当时，，由，得， 不等式，则， 对于A，，则，A正确； 对于B，，，因此，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由函数在上不单调，得由不能推出，D错误. 故选：AC. 变式3-1．已知定义在上的连续奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，判断函数的单调性奇偶性，据此分类讨论，利用单调性解不等式. 【详解】令，则， 因为当时，， 所以当时，，在单调递减； 又，所以为偶函数， 又， 当时，即时，由可得， 即， 由单调性可知，，解得； 由为偶函数知，当时，函数在单调递增， 当时，即时，由可得， 即， 由单调性可知，，解得， 综上，的解集为， 故答案为：. 变式3-2．在平面直角坐标系中，将曲线绕坐标原点O逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得出直线与的图像至多只有一个交点，令，进而得出或，即可求解． 【详解】由题意可知，直线与的图像至多只有一个交点， 令，即， 令，则， 由题可得，或，即或在上恒成立， 又当时，，所以， 可得或， 故答案为：． 变式3-3．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若函数的图象上总存在两点关于对称，求的取值范围． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类求出导函数值为正为负的解集即可. （2）求出函数的图象关于对称的图象对应函数式，由已知即得两个函数图象有交点，进而构造函数并利用导数探讨该函数有零点问题即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 令，， （ⅰ）当，即时，，即恒成立，在上单调递减； （ⅱ）当时，由，，， 得方程在有两解，且， 当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递减，在上单调递增； 综上可知当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. （2）与函数图象关于对称的图象对应函数为， 若函数的图象上总存在两点关于对称， 根据对称性可知只需函数与函数在上有交点即可， 亦即方程在上有解，则函数在上有零点， 而， 令，当时，，令， 依题意，函数在上有零点，求导得， 函数在上单调递减，若在上有零点，而当从大于0的方向趋近于0时，， 则有，解得，此时在上存在唯一零点， 在上也存在唯一零点，从而在上存在唯一零点， 所以实数的取值范围是. 一、单选题 1．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，，，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即 故选：D. 2．如图，圆C和的两条边相切，射线OP绕点O从OA开始逆时针方向旋转至OB，设，在旋转过程中，OP扫过的圆内阴影部分的面积为S，则S关于θ的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据扇形及三角形面积公式求出，求导数利用三角函数的有界性可可得的单调递增区间，根据函数的单调性得函数在上的图象增加的越来越快，结合选项中的图象即可判断． 【详解】设圆C的半径为，由题意得， 则圆内阴影部分的面积为． 记，，则； ，故函数的单调递增区间为， 记，则，故函数在上单调递增， 所以函数在上的图象增加的越来越快， 即S在上的图象增加的越来越快，这4个图中只有B选项具有上述特点. 故选：B 3．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求导，再依据和分类讨论求其单调区间即可. 【详解】，则， ， 当，即时，，则在上单调递增，不满足题意，舍； 当，即或时，的两根为，且， 则得或；得， 则 在和上单调递增，在上单调递减， 则恰好有三个单调区间，满足题意，故实数的取值范围是. 故选：C. 4．若方程的三个根（）成等比数列，则公比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数后构造函数，将问题转化为图象的交点问题，解方程组消参可求得公比. 【详解】由得，所以. 令，则. 方程的根等价于直线与图象的交点的横坐标. 因为函数的导数为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，且为正. 又当时，；当时，. 作出的图象，如下图. （*）， 因成等比数列，可设， 所以，，代入（*）式得， 由得，即， 所以，解得， 代入，可得， 整理得，解得或（舍）． 故选：B． 5．已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式等价变形，构造函数与过定点的直线，通过分析函数单调性与图像，结合整数解条件列出不等式组，从而求出实数k的取值范围. 【详解】原不等式等价于， 设，，所以，得． 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，取极大值.又，且时，， 因此与的图象如下，直线恒过点. 当时，显然不满足条件； 当时，只需要满足，即，解得． 故选：D. 6．已知函数图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析的单调性，可得对称点分别位于与的图象上，从而得到，进而利用同构法，构造函数得到，再构造函数，由此得解. 【详解】因为， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 又的图象上存在关于y轴对称的两点， 所以这两个对称点分别位于与的图象上； 设在的图象上，则在函数的图象上，且， 故有，即， 进而； 设，则， 又恒成立，故在上单调递增， 所以，即， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 故，则，于是． 故选：B． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用同构法，将转化为，从而构造了函数，由此得解. 二、多选题 7．已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．当方程有三个不等的实根时， C．当不等式恰有三个不等的正整数解时， D．当过点可作曲线的三条切线时， 【答案】BC 【分析】A项，求出单调性，即可得出结论；B项，根据函数单调性和在与的趋近值，处的值，即可得出结论；C项，将问题转化为的图象在上方的正整数解有3个的问题，求出的值，即可求出的范围；D项，设出切点，求出切线方程，代入得出一元二次方程，构造函数，利用判别式和在对称轴处即可得求出的范围. 【详解】由题意，在中，，，， 当时，解得或， 当即，时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在内单调递增，在内单调递减，故A错误； 当时，，当时，， ∴， 当方程有三个不等的实根时， ∴，即，故B正确； 当不等式恰有三个不等的正整数解时， 的图象在上方的正整数解有3个， ∵，，，， 在，内单调递减，在内单调递增， ∴当即时，的图象在上方的正整数解为，C正确； 设切点为，则切线斜率， 切线方程为， ∵切线过点， ∴， 当时，切线方程为，满足过点且与相切条件； 当时，得，即， ∵过点可作曲线的三条切线， ∴方程有两个不同的非零实根， ∴且，即且， 解得或或，D选项错误. 故选：BC 8．已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法错误的有（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 【答案】ABD 【分析】由导函数与原函数之间关系可确定两个图象的分属，由此可得在不同区间内的正负，进而判断单调性，得到结果. 【详解】时，单调递减；时，单调递增， 已知图象中在上单调递减，在上单调递增， 且有两个零点和的是， ， 由图象，当时，先正后负，在上不单调，A错误； 当时，，单调递增，B错误； 当时，，单调递减，C正确； 当时，，无意义，D错误. 故选：ABD. 三、填空题 9．若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】不妨令，即可得到，令，依题意只需在上单调递减，利用导数求出函数的单调区间，即可求出参数的取值范围. 【详解】不妨令，则， 所以不等式可转化为， ，即， 令，则，即在上单调递减， 由， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，即的最小值为. 故答案为：. 10．已知是定义域为的函数，且满足，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先通过构造函数求出的表达式，再研究单调性，求解不等式. 【详解】由可得， 设，则，是常数函数. 又，， ，， 则不等式(*)， 令，，求导得， 令，，则， 故函数在上单调递增，则，即得， 故函数在上单调递增，又， 则,故可得. 故不等式的解集是. 故答案为：. 四、解答题 11．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对任意两个不相等的正实数恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（1）求导，并通过讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）由题意可得函数在上单调递增，等价于不等式在（0，+∞）恒成立，解得a的取值范围即为答案. 【详解】（1）的定义域为， 因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减. （2）设，由得 即. 设，则在上单调递增， ∴在上恒成立，则在上恒成立， 设，，函数的对称轴为，则时，取得最大值，最大值. 所以，则， 则实数的取值范围为. 12．设函数，且在处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设是曲线在点处的切线方程，若函数是单调函数，求实数的值． 【答案】(1)； (2)函数的单调递增区间是，；函数的单调递减区间是； (3). 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，解方程即可求解； （2）由（1）得，通过判断导函数的正负区间，即可得函数的单调区间； （3）先根据导数几何意义，求得，代入整理可得，因为函数是单调函数，所以或恒成立，进而可求得实数的值． 【详解】（1）由题意，函数，则，定义域为， 又函数在处的切线方程为， 所以，即，解得； （2）由（1）得，，， 令，即，解得或， 结合二次函数的图象性质，可得 当或时，恒成立，所以函数在区间，单调递增， 当时，恒成立，所以函数在区间单调递减， 综上所述，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是； （3）由题意，是曲线在点处的切线方程， 所以，且切线方程为，即， 所以，， 所以 ， 因为，，所以， 令，根据二次函数的图象性质，可得为开口向上的二次函数， 又函数是单调函数，若函数是单调递减函数，则在恒成立， 又，所以在恒成立，与题设矛盾，所以函数不是单调递减函数， 所以函数是单调递增函数，即在恒成立， 又，所以在恒成立， 令，即，解得或， 当，即时，恒成立，即恒成立， 所以函数为单调递增函数，满足题意， 故当时，函数为单调递增函数. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数与函数的单调性 目录 典例详解 类型一、函数的单调性与其导函数的关系 类型二、利用导数确定函数的单调区间 类型三、函数单调性的应用 压轴专练 类型一、函数的单调性与其导函数的关系 1.函数的单调性与其导函数正负的关系： 若在某个区间内，函数的导数，则在这个区间内，函数单调递增；若在某个区间内，函数的导数，则在这个区间内，函数单调递减． 2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系： 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”． 注意（导数背景下函数单调性充要条件的探究）： (1)在某个区间内，()是函数在这个区间内单调递增(减)的充分不必要条件. (2)函数在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a,b)内恒成立，且在区间(a,b)内的任意子区间内都不恒等于0．也就是说在区间内的个别点处有并不影响函数在该区间内的单调性． (3)说明：函数单调性的充要条件是导数研究的热点，原因是其能够与恒成立问题（方程恒有解、不等式恒成立）相结合，充分考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想及转化与化归思想． 例1．函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 .    变式1-2．若在上单调递增，则的取值范围是 ． 变式1-3．已知函数及其导函数的图象如下图所示，若函数在上恰有3个不同的零点，，，则的取值范围是 ． 类型二、利用导数确定函数的单调区间 1.导数研究函数的单调性的解题步骤： （1）确定函数的定义域； （2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论； （3）求出导数的零点； （4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； （5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段. 注意：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． ②确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间一般不用并集，而用“，”或“和”隔开． 2.含参分类讨论函数的单调区间： （1）导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间； （2）若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性； （3）若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论. 例2．函数，则函数的单调增区间为 ． 变式2-1．若函数的单调递增区间是，则的值是 ． 变式2-2．设函数的导函数为，若函数在区间D上是减函数，且函数在区间D上是增函数，称在区间D上是“缓减函数”，区间D称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 变式2-3．已知函数，且． (1)求函数的单调区间； (2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围． 类型三、函数单调性的应用 1.利用导数比较大小或解不等式的方法 利用导数比较大小或解不等式，其关键是构造函数，把比较大小和解不等式问题转化为先利用导数判断函数单调性，再根据单调性比较大小和解不等式问题．比较大小时，还要注意当自变量不在同一单调区间内时，应先利用函数的性质将其转化到同一单调区间上，再进行比较；解不等式时，还要注意将常数巧妙地转化为函数值，再根据单调性去掉函数符号“f”． 2.根据函数单调性求参数取值范围的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理，函数在上单调，则区间是相应单调区间的子集． (2)函数在上单调递增的充要条件是对任意的都有且在的任一子区间上，不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． 例3．（多选）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 变式3-1．已知定义在上的连续奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为 . 变式3-2．在平面直角坐标系中，将曲线绕坐标原点O逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，则实数a的取值范围是 ． 变式3-3．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若函数的图象上总存在两点关于对称，求的取值范围． 一、单选题 1．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．如图，圆C和的两条边相切，射线OP绕点O从OA开始逆时针方向旋转至OB，设，在旋转过程中，OP扫过的圆内阴影部分的面积为S，则S关于θ的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   3．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若方程的三个根（）成等比数列，则公比为（    ） A． B． C． D． 5．已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（ ） A． B． C． D． 6．已知函数图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．当方程有三个不等的实根时， C．当不等式恰有三个不等的正整数解时， D．当过点可作曲线的三条切线时， 8．已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法错误的有（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 三、填空题 9．若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为 . 10．已知是定义域为的函数，且满足，则不等式的解集是 . 四、解答题 11．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对任意两个不相等的正实数恒成立，求的取值范围. 12．设函数，且在处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设是曲线在点处的切线方程，若函数是单调函数，求实数的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $