第2章 专题探究5 导数与不等式、零点的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

动()<02<名所以函数在(0,2)和（品 1 +)上单调运增，在(2，名)上单洞递减当。=石时。 '(-2)'≥0在(0.+0)上恒成立，所以雨数在 2x 0,+∞)上单调递增.当a>。时，由f'()>0→0<K3 o2:/(0→<2所以函数到在(0，)和 1 (2,+)止单润递塔，在（品2上单润递诚 3.解：(1)函数fx)=-aln(x+1)的定义域为[0，+o),当 a时w)恤(+)，则产e20归 1+ln2,f'(1)=1,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程 为y-(1+ln2)=x-1,即y=x+ln2. (2)函数f代x)的定义域为[0，+∞)，f'(x)= I a 2Rx+1 x-2aE+1_(c-a）-a2+1 2x+1)22(+1),>0.①当a≤1时，因为x>0. 所以f'(x)≥0，所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增.②当 a>1时，令f'(x)=0,则x=(a±√a2-1).当x> (a+√a2-1)或0<x<(a-√a2-1)时，f'(x)>0.当 (a-√a2-I)<x<(a+√a2-1)时，f'(x)<0.所以函数 f(x)在[0，(a-√a2-1))和((a+√a2-1),+o)上单调递 增，在((a-√a2-1),(a+√a2-1))上单调递减. 综上所述，当a≤1时，函数f(x)在[0，+∞)上单调递增；当 a>1时，函数f(x)在[0，(a-a2-1))和(a+√a-1), +o)上单调递增，在(a-√a2-1),(a+√a2-1))上单调 递减. 4.解：(1)求导得/'(x)=(2a-2)nx+-2-a+2=2(ax 1)lnx.由题意得f'(e)=2(ae-1)=-2,所以a=0. (2)f(x)的定义域为(0，+∞). 当a≤0时，令f'(x)>0,解得0<x<1,此时f(x)在(0,1)上单 调递增，令f'(x)<0,解得x>1,此时f(x)在(1，+∞)上单调 递减. 当a>0时，令f'(x)=0,解得x=1或1 ①当0<二<1，即a>1时，令f'(x)>0,解得0<x<一或x>1, 令f"()<0,解得<1，此时)在(0，)和(1，+) a 上单调递指，在（仁1）上单调通减： ②当=1，即a=1时”()≥0在(0，+0)上恒成立，所 以f(x)在(0，+∞)上单调递增： 1 ③当1>1，即0<a<1时，令f'(x)>0,解得0<<1或x> 令'(x)<0,解得1<<，此时f)在(0,1)和（日，+s） 上单调递增，在(1，)上单调递诚 综上，当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单 调道减：当0<1时)在(0,1)和(，+）上单测通 选择性必修第二册·BS 增，在(1，。)上单调递减；当a=1时x)在(0，+)上单 调递增：当a心1时)在(0，)和(1，+)上单调递增。 在（日，1）上单调递诚 专题探究5导数与不等式、零点的综合应用 黑题 专题强化 1.(1)解：f(-x)=-x(e+1)-e+1=-e(x+1)+1-x= t)+1-x)e-二[x(e+1）-e+=-,因此 f-x)+ef(x)=0. (2)证明：f'(x)=e+1+xe-e=1+xe,当x>0时，f'(x)>0. 即f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0,又e 1>0,所以(e-1)f(x)>0,当x=0时，fx)=0,故(e*-1)· f(x)=0,当x<0时，则-x>0,所以f(-x)>0,由(1)， f(-x)=-efx)>0,所以f(x)<0,又此时e-1<0,所以(e 1)fx)>0.综上，(e-1)fx)≥0. 2.(1)解：易知函数f代x)= n的定义域为(0.1)U(1, +∞)，且f'(x)=n=4,令f'(x)=0 (In x)6 可得x=e3.可知当x∈(0,1)时f'(x)<0,即fx)在(0,1)上 单调递减；当xe(1,e3)时，f'(x)<0,即fx)在(1，e3)上单 调递减；当x∈(e3,+o)时，∫'(x)>0,即f(x)在(e3,+o)上 单调递增，故f(x)在x=e3处取得极小值，极小值为f(e3)= 27,无极大值 (2)证明：当x∈(0,1)时，有27e4>0>(lnx)3恒成立.当x> 1时，构造函数g(x)=e-1-x,则g'(x)=e-1>0,故g(x) 在(1，+o)上单调递增，于是g(x)>g(1)=0,即e1>x, ,由1)可知h≥分数马≥h 则27e427 e 27 故27e-4>(lnx)3.综上所述，当x∈(0,1)U(1,+o) 时，27e4>(lnx)3 3.解：(1)函数x)=e+3f'(1)+1,则/"()=e+ 号(1()=1+号)，解得f'()-3,所以y f(x)的解析式为f(x)=e-l+x2+1. (2)F(x)=f(x)-(x2+x+m)=e-1-x+1-m,-1≤x≤2，则 F'(x)=e-1,由F'(x)<0,得-1≤x<1:由F(x)>0,得1< x≤2，故函数f(x)在[-1,1)上单调递减，在(1,2]上单调递 增，当x=1时，f代x)取得最小值，要使F(x)在[-1,2]内有两 (F(-1)≥0，(e2+1+1-m≥0， 个零点，当且仅当{F(1)<0,即1-1+1-m<0,解得 F(2)≥0. (e-2+1-m≥0. 1<m≤e-1,所以实数m的取值范围为(1，e-1]. 4.()解：当a-1时x)=-n(x+1)-+,则(x) 1,故r0=分1*1=分又1)=h2 1=-山2+故y=)在点(1心1)处的切线方程为， (x-10-n2+分即y=7h2*1 (2)证明)的定义域为(a,+)f"()=品。+1 a-2+ax+x-a-x(x-a-）,由于-1<a<0,故0<a+1<1,当 x-a x-a 黑白题46 a<x<0时f'(x)<0,fx)在(a,0)上单调递减，当0<x<a+1 时，∫'(x)>0,fx)在(0，a+1)上单调递增，当x>a+1时， f'(x)<0f(x)在(a+1,+o)上单调递减，故f(x)在x=0处 取得极小值，f(0)=aln(-a)>0,因此函数f代x)至多有一个 零点 第二章章末检测 1.D解析：由m1+①=2，得1+=8， 4Δx 0 △x 可得∫'(1)=8. 2.C解析：因为fx)=x3e2,所以f'(x)=3x2e2+2x2e2r,所 以f'(1)=5e2.所以函数f(x)=xe2的图象在点(1，f(1))处 的切线的斜率为5e2 3.D解析：对于A,由于只有f'(x)的部分图象，不能保证x∈ (3,+0)时f'(x)>0恒成立，故A错误；对于B,由f'(x)的 部分图象知f(1)是f(x)的一个极大值，但不一定是f(x)的 最大值，故B错误：对于C,在x=-1的左右两侧，f'(x)由负 变正，由极小值点的定义可知，x=-1是f(x)的极小值点，故 C错误：对于D,当x∈（1,3)时，f'(x)<0,故f(x)的一个减 区间为(1,3)，故D正确. 4.B解析：由题意可知，每瓶液体材料的利润y=f(r)=4× 4 mr-m=m(,2-.0<r≤9，所以f'()=4m(4 令f'(r)=0,得r=4.当r∈(0,4)时，f'(r)>0,当r∈(4,9] 时∫'(r)<0,所以f(r)在(0,4)上单调递增，在(4,9]上单 调递减，故每瓶液体材料的利润最大时，r=4. 5.B解析：令x=1,则f(1)=2(1)+1,得f(1)=-1, f'(x)=-2f'(2-)+2-/'(1)=-2'(1)+1,则f'(1)= 3,所以曲线y=x)在点(1，(1)处的切线方程为y+1= 3(x-1),即x-3y-4=0. 6c解析：u品224令八)=（≥e),则 2 4 4 (=h-,因为2e,所以f'(x)≥0，所x)三nt1 为[e,+∞)上的单调增函数，又a=f(4),b=f(3),c= f(e),e<3<4,故c<b<a. 7.B解析：令x=1,则ae>0,a>0.不等式ae-lnx>0恒成 立台axe">xlnx, ①当x∈(0,1)时，lnx<0,axe>xlnx恒成立； ②当e[1,+0)时，令g(x)=nx(x≥1)，则g(x)=1+ lnx>0,g(x)在[1，+o)上单调递增， 即e“lne“>xlnx台g(e“)>g(x)台e">x在[l,+o)上恒成 立，即ax>n,a>h在[1，+0)上恒成立 令()=血(x≥1)，则(x)=1-h=0,可得x=e, x2 h(x)在(1，e)上递增，在(e,+o)上递减，∴.h(x)mn= h(e三1，.a≥4的取值范围为（e，+∞ 8.A解析：因为f代x)=xe-t,所以f'(x)=e(x+1),设过点 (1,0)的切线切曲线f(x)=xe-t于点(m,mem-t),则切线方 程为y-(me-t)=[e"(m+1)](x-m),又其过点(1,0)，所以 0-(me-l)=[e"(m+1)](1-m),所以根据题意可得该关 于m的方程有3个解，即方程t=-e“(m2-m-1)有3个解，所 以y=t与y=-e"(m2-m-1)有3个交点， 设g(m)=-e"(m2-m-1),则g'(m)=-e"(m+2)(m-1),所 以当m∈(-o,-2)时，g(m)<0,g(m)单调递减；当m∈ (-2,1)时，g(m)>0,g(m)单调递增：当me(1,+)时， g'(m)<0,g(m)单调递减，所以g(m)的极小值为g(-2)= 参考答案 。g(m)的极大值为g(1)=e,且m<-2时，g(m)<0:m→ 5 +∞时，g(m)→-o,所以要使y=t与y=-e"(m2-m-1)有3 5 个交点，则需-。<0， 9.AC解析：经检验当x=0时，y=x3+3x2,y=e-1,y=cosx- 1,y=sinx都等于0，故只需验证在x=0处的切线斜率是否 为0即可，对于A,y'=3x2+6x,在x=0处的切线斜率为0， 故A正确：对于B,y'=e,在x=0处的切线斜率为1，故B错 误；对于C,y'=-sinx,在x=0处的切线斜率为0，故C正 确：对于D,y'=cosx,在x=0处的切线斜率为1，故D错误. 10.BD解析：对于AB,因为f'(x)>0时f(x)单调递增， f'(x)<0时f代x)单调递减，所以由题图可知曲线M为函数 f'(x)的图象，曲线N为函数f(x)的图象，故A错误，B正 确；对于CD,由题图可知当x∈(0，a)时，f(x)-f'(x)>0, x∈(a,b)时，f(x)-f'(x)<0,因为g(x)= e[fx)-f'(x)],所以当xe(0,a)时g(x)>0,xe(a,b） f2(x) 时g'(x)<0,所以函数g(x)在区间[0，a]上是增函数，在 区间[a,b]上是减函数，故C错误，D正确. as.0. 11.ACD解析：由题意可知，函数f(x)= e2(- 对 2,x<0, 于A,当x<0时，f()=2-n（-),故f'(x)=2- 1-In()_2+n()-1g(x)=2+(-x)-1, ge)=m6当x6）产时ge- 0:当（石）广e0时g()=61<n放）在 (-,(石）户)上单调递增，在()户.0)上单调递 藏所以当0时有)(（名）户）于60， 故r"()=<0,所以fx)在(-，0)上单调递减， 故A正确：对于B,当20时x)=血，则'()=2x 1-nx_2x+lnX-1,令h(x)=2x3+nx-1,则对x>0有 x2 x2 '(x)=6r2+>0,所以h(x)在(0，+0)上单调递增，而 1)=1>0,A(2宁)=-号h2<0,所以存在e(2, 1,使得h(xo)=0.结合h(x)单调递增知，对x∈(0，xo)有 f'(x)=h(( x2 x2 =0,对xe(x,+o)有f'(x)=h( -> x2 a(。）=0,散)在(0，)上单调递减，在(，+x)上单 x2 调递增.从而f(x)在(0，+0)上仅有唯一的极值点x=xo, 且x为极小值点，故B错误；对于C,当x>0时，由(x)的 单现知归学-会（分2-动 上3.1因为(2时.1），所以6，故对0有 Xo &o 白题47专题探究5导数与不等式、零点的综合应用 电子错题本 黑题 专题强化 限时：60min 题组1导数与不等式 2.**(2025·广东揭阳高二月考)已知函数 1.*(2025·辽宁沈阳高二期末)已知函数 f八x)=, f(x)=x(e+1)-e*+1. nx1). (1)求f(-x)+ef(x)的值； (1)求f(x)的极值； (2)证明：(e*-1)f(x)≥0. (2)证明：27e-4>(lnx)3. 视频讲解 第二章黑白题71 题组2零点问题 4.#(2025·陕西榆林高二期中)已知函数 3.装(2025·湖南长沙高二月考)已知函数 1 f八)=an(x-a）)2+. f)=e1+3f”(1)2+1. (1)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1，f1))处 (1)求y=f(x)的解析式； 的切线方程； (2)若F(x)=fx)-(x2+x+m)在[-1,2]内有 (2)若-1<a<0,证明：函数f(x)至多有一个 两个零点，求m的取值范围. 零点 频讲解 选择性必修第二册·BS黑白题72