第十四章 一次函数（复习讲义）数学新教材北京版八年级下册

第十四章 一次函数（复习讲义） 1.理解变量、常量、自变量、函数值的概念，能判断两个变量间是否构成函数关系； 2.掌握一次函数和正比例函数的概念和解析式形式，会用待定系数法求函数的解析式； 3.学会画出一次函数的图象，根据一次函数的图象能总结出相关的性质； 4.掌握一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式之间的关系； 5.能利用一次函数解决简单实际问题，如行程问题、销售利润问题、方案问题、计费问题等； 重点01、变量与常量 【补充】变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变. 重点02、函数 【注意】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个，如函数y=|x|，当x=±1时，y的值都是1. 重点03、函数的表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数解析式，用函数解析式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用解析式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 【注意】并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来.例如气温与时间的函数关系，只能用列表法和图像法表示，而不能用解析式法表示， 重点04、一次函数的基础 正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数. 【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 一次函数的一般形式：. 特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 重点05、待定系数法 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1、设：设一次函数的解析式为； 2、列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3、解：解二元一次方程组，求出k、b； 4、代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 重点06、正比例函数的图像与性质 正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线. 正比例函数的性质： k的符号 图像 图像的位置 增减性 k＞0 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大 k＜0 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小 【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）. 重点07、一次函数的图像与性质 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线. 一次函数的性质： 一次函数 k、b 的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 【补充说明】 1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置. 2） 的三角形面积为. 重点08、k，b的符号与直线的关系 在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于 1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当，即b=0时，直线经过原点． 3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 重点09、常见的变换方式： 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）. 对称变换 变换方式 变换后 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 重点10、一次函数与方程、不等式关系 一次函数与一元一次方程 【补充】对于一次函数，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 一次函数与二元一次方程组 【补充】 1）二元一次方程组的图像解法：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解. 2）确定两条直线交点坐标的方法：联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标. 一次函数与一元一次不等式 【补充】不解不等式而直接写出不等式解集的方法： 1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标; 2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然. 重点11、用一次函数解决实际问题 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 题型一 变量与常量 1．直角三角形两锐角的度数分别为，，其关系式为，其中变量为 ，常量为 ． 2．写出下列各问题所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些是常量，哪些是变量． （1）每本练习本0.6元，购买练习本所需的钱数m（元）与购买的本数n（本）之间的关系式； （2）用总长度为27 m的篱笆刚好围成一个矩形场地，矩形的面积S（m2）与一边长x（m）之间的关系式； （3）某种饮水机盛满20升水，打开阀门每分钟可流出0.2升水，饮水机中剩余水量y（升）与放水时间x（分钟）之间的关系式． 3．设路程为s km，速度为v km/h，时间为t h，指出下列各式中的常量与变量． (1)v＝； (2)s＝15t－2t2；   (3)vt＝100. 题型二 函数的相关概念 4．函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为 ． 6．下列图象中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 题型三 函数的表示法 7．某城市要建一住宅小区，按照规定，居住小区绿化面积占用地总面积的．若小区绿化面积为万平方米，用地总面积为万平方米，则与的关系式为（    ） A． B． C． D． 8．为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数的变化关系如表所示： 1 2 3 4 5 … /棵 4 8 … 观察表中数据可知，该班有8人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为 棵． 9．完成下表：测得一根弹簧的长度与所挂物体质量的关系如下表所示（重物不超过时，去掉重物后，弹簧能恢复原状）． 物体质量 0 1 2 3 … a（a不超过20） 弹簧长度 6 … 题型四 平面直角坐标系 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为25，点A的坐标为，则点C的坐标为（ ， ）． 11．在平面直角坐标系中，已知点．若轴，则线段的最小值为 ． 12．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知点，点，，满足，连接，为上一动点． (1)直接写出，两点坐标：_____________，_____________； (2)如图1，点在线段上，连接，当点关于的对称点与点重合时，求的长； (3)如图2，连接． ①点在上，若，求证：； ②点在延长线上，若且时，求的度数． 题型五 函数图象的画法 13．画出函数的图象． (1)列表： x … －2 －1 0 1 2 … y … … (2)描点：根据表中数据描出各点． (3)连线：用平滑的线依次连接各点． 14．通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 m 2 1 n 3 4 … (1)列表，补全表格：______，______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____． 15．下面是对函数和的图象和性质的研究，完成下列探索过程： (1)补全下表： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 ___ ____ ___ ___ 4 … … 0 1 2 3 4 … (2)根据上表，在平面直角坐标系中描出各点，分别画出函数与的图象； (3)根据函数图象填空： ①函数的最小值为____； ②当时，的值为______． 题型六 正比例函数的相关概念 16．若是关于x的正比例函数，则常数 ． 17．在平面直角坐标系中，当时，四个函数的图象与轴正半轴的夹角分别为，则在这四个角中，最小的角是（    ） A． B． C． D． 18．已知与成正比例，当时． (1)求关于的函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值． 题型七 一次函数基本概念 19．当 时，函数是一次函数． 20．若点在函数的图象上，则代数式的值为 ． 21．已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 题型八 一次函数的图象 22．在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出与坐标轴的交点坐标． 23．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)写出图象与轴、轴的交点的坐标． (3)求的面积． 24．在平面直角坐标系中画出函数的图象，并完成下列问题： (1)函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积是______； (2)观察函数的图象，当自变量______时，；当自变量______时，． ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 0 2 4 ⋯ 题型九 一次函数的解析式 25．已知y是关于x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求该一次函数的表达式； (2)当时，求自变量x的值． 26．已知一次函数的图象经过点． (1)求此一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 27．已知一次函数的图像经过点和，求这个一次函数的解析式． 题型十 一次函数图象的平移问题 28．已知一次函数的图象与直线平行，且与x轴交于点，求该一次函数的表达式． 29．如图，直线（）经过点和，线段两个端点的坐标分别为，． (1)求直线的表达式； (2)若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 30．已知一次函数的图象与一次函数的图象平行，且经过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若一次函数的图象与一次函数的图象交于点，求，的值． 题型十一 一次函数的增减性求参数 31．若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（    ） A．－1 B．0 C．－2 D．2 32．若点和点都在（k为常数）的图象上，且当时，，则k的值可能是（   ） A． B． C． D．1 33．已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (2)当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围． 题型十二 比较一次函数值的大小 34．已知点，都在一次函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 35．已知一次函数的自变量x满足，则y的取值范围是 ． 36．已知一次函数的图象经过点，求： (1)这个函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上？ (3)图象上两点，，如果，比较，的大小，_____（填“”，“”，或“”） 题型十三 求直线围成的图形面积 37．如图，一次函数经过点和，分别交轴和轴于点和． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 38．如图，已知直线与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一动点，若有，求点的坐标． 39．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)将直线向上平移2个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 题型十四 一次函数与方程、不等式关系 40．如图，直线：与直线：相交于点，求关于的方程组的解． 41．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 42．如图，已知直线（和是常数且）经过点，，直线（是常数）与直线相交于点，与轴交于点，点的横坐标为-3． (1)当时，直接写出的取值范围为_______； (2)求直线的表达式和的值； (3)若点在直线上，且，求点的坐标． 题型十五 分配方案问题 43．学校有1100本作文本需要打包发放，现有A、B两种型号的箱子可供选择．已知1个型箱子和2个型箱子装满后可打包500本作文本，2个型箱子和1个型箱子装满后可打包400本作文本．学校计划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本． (1)每个型箱子和型箱子分别能装多少本作文本？ (2)若型箱子每个3元，型箱子每个5元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？ 44．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 45．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； (2)当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ (3)若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 题型十六 最大利润问题 46．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 47．某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 48．某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 题型十七 行程问题 49．在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛．已知该海巡船与B岛的距离y（km）与从A岛出发后的行驶时间x（h）之间的关系如图所示． (1)A、C两海岛间的距离为________km，________； (2)求线段PN所表示的函数关系式； (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台、发射的信号覆盖半径为20km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 50．某校八年级学生去某大学研学参观，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往同时老师和学生乘坐大巴车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大巴车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)求小轿车返回学校过程（段）的函数表达式； (2)当两车行驶后在途中相遇，求点P的坐标； 51．某天早晨，小明从家跑步去体育场，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，小明跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人分别按原速继续行走（小明和妈妈始终在一条笔直的公路上行走），如图是两人离家的距离（米）与小明出发的时间（分）之间的关系图象．根据图象信息解答下列问题： (1)求小明返回时的速度． (2)求妈妈何时到家？ (3)小明从家出发多久，第一次与妈妈相遇？ 题型十八 梯度计价问题 52．某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 53．小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的8.5折卖．设购买练习本数量为x本，甲商店收费为元，乙商店收费为元．（） (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为多少本？ (3)当购买的数量为22本时，应选择哪个商店更优惠？请说明理由． 54．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 题型十九 一次函数中几何问题 55．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 56．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为 (1)求直线的表达式． (2)若y轴上有一点M，且三角形的面积为12，求M点的坐标； (3)如图，把直线以每秒2个单位的速度向右平移，问经过几秒后，该直线与y轴交于点？（直接写答案） 57．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，点是线段上的一个动点(不与点和点重合)，过作轴交线段于点，使，设点的横坐标为． (1)求点、点的坐标； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，连接，，在点运动的过程中，当时，的值为___________． 题型二十 一次函数的新定义问题 58．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为（　　） A． B． C． D． 59．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 60．定义运算：当时，；当时，．如：；；．根据该定义完成下列问题： (1)_________，当时，_________； (2)若，求x的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出x的取值范围； 基础巩固通关测 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列表达式中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向上平移2个单位长度后，恰好经过点，则的值为（   ） A． B．5 C． D．7 4．（25-26八年级下·全国·期末）关于一次函数下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．y随x的增大而减小 D．当时， 5．（24-25八年级上·北京·期末）已知点、点在一次函数的图象上，且，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）图，已知直线（为常数，且）与直线（为常数，且）交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·北京大兴·期末）某校学生走进大兴林场，为体会人工湿地的生态价值，进行了模拟人工湿地过滤污水实验．在实验过程中，设过滤时间为分钟，剩余污水量为升，与之间的函数关系如图所示，给出下面4个结论： ①初始污水总量为5升； ②当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升； ③污水过滤速度为0.5升/分钟； ④过滤全部污水共需10分钟． 上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则 ．（填“”、“”或“”） 10．（25-26九年级上·北京通州·月考）若一次函数的图像经过点和点，当时，，则的取值范围是 ． 11．（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知直线与的交点坐标为，则的值为 ． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用“”号连接） 13．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A的坐标，过点A作x轴的平行线，交第一象限角平分线于点B，则点B的坐标为 ． 14．（24-25七年级上·江西南昌·开学考试）如图，电车通过A站经过B站到C站，然后返回．去时在B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米．    （1）A站与B站相距 千米，B站与C站相距 千米． （2）返回时车速是每小时 千米． 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数表达式． 16．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）某市出租车白天的收费标准如下：起步价为元，即路程不超过3千米时收费元，超过部分每千米收费2元．设乘客白天乘坐出租车的路程为x千米，乘车费为y元． (1)当时，求y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； (2)当时，求乘车费y的值． 17．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）已知点，试分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在轴上． (2)点P位于轴上方，轴左侧，且到轴的距离是到轴的距离的2倍． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知平面直角坐标系中，点的坐标为（为常数）． (1)当时，点在第______象限； (2)若点在轴上，则______； (3)若点到轴的距离是3，求的值． 19．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数． (1)将下面的表格补充完整，并在所给的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x 0 1 (2)点 (填“在”或“不在”)函数图象上． 20．（25-26八年级上·全国·阶段练习）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 5 10 … (1)自变量是 ，因变量是 ； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是 ； (3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？ 能力提升进阶练 21．（24-25七年级下·北京丰台·期末）五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（   ） A．小明、小亮均正确 B．小明、小亮均错误 C．小明正确，小亮错误 D．小明错误，小亮正确 22．（24-25八年级下·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，点，都在函数的图象上．若，则下列四个推断中不一定正确的是（    ）． A．坐标原点不在此函数图象上 B．点M在第二象限 C． D． 23．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，射线AC与直线交于点D，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级下·北京·期末）将直线向右平移2个单位后，正好经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级下·北京顺义·期末）近年来新能源汽车越来越受到人们的喜爱．为了解某新能源汽车的充电速度，某研究小组经调查研究发现：如图，用快速充电桩充电时，汽车电池电量百分比与充电时间（单位：）的函数图象是折线；用普通充电桩充电时，汽车电池电量百分比与充电时间（单位：）的函数图象是线段．给出下面四个结论： ①用快速充电桩充电时，该汽车电池电量百分比从充至需要； ②与的函数表达式为； ③该汽车电池电量百分比达到后，用快速充电桩和普通充电桩的充电速度相同； ④若该汽车电池电量百分比从充至，则快速充电桩比普通充电桩少用． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．② B．②④ C．①③④ D．②③④ 26．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，中，，把放在平面直角坐标系中，且点，的坐标分别为，，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，线段扫过的区域面积为（    ） A．66 B．108 C．132 D．16 27．（24-25八年级下·北京昌平·期末）在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如下图像（不计绳重和摩擦），请你根据图像判断以下结论正确的有（   ）个 ①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力时，拉力；③拉力与重力成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为． A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 28．（24-25八年级下·四川乐山·期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：，③方程的解是，④不等式的解集是，⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 29．（24-25八年级下·北京大兴·期末）已知一次函数和（为常数）的图象如图所示，则关于的方程组的解是 ． 30．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）同一条公路连接A，B，C三地，地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶，乙车休息前、后的速度不变（乙车加、减速时间忽略不计）．甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系如图所示．两地相距 km；甲车行驶 h，甲、乙两车相距． 31．（24-25八年级下·北京海淀·期末）已知点在函数上，则 ． 32．（24-25八年级下·北京东城·期末）下图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是中，结论正确的序号是 ． 33．（23-24八年级下·北京石景山·期末）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 1 2 … 给出下面四个结论： ①；②方程的解为；③一次函数的图象不经过第四象限；④若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 34．（23-24八年级下·北京顺义·期末）已知点，点在直线：上，直线与轴的交点为．若的面积为3，则点的坐标为 ． 35．（24-25八年级上·北京·期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行． (1)求该一次函数的解析式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 36．（23-24八年级下·北京密云·期末）直线是由直线平移得到，且经过点． (1)求的值： (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，求的取值范围． 37．（23-24八年级下·北京密云·期末）已知一次函数与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，直接写出符合题意的点的坐标． 38．（23-24八年级下·北京密云·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，其中甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．如图，线段和线段分别表示甲乙两仓库快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象． (1)甲仓库每分钟揽收_________件快递； (2)求线段对应的函数表达式（不用写自变量取值范围）； (3)从开始，经过多长时间甲乙两仓库的快递件数相同． 39．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）五一期间，无人机灯光秀点亮某景区上空．其中，1号无人机从地面起飞，2号无人机从距离地面12米的高台起飞，两架无人机同时匀速上升，当上升12秒时，都停止上升开始表演．在上升过程中，记1号，2号两架无人机上升的时间为x（单位：秒）．1号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米），2号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米）．记录仪记录的部分数据如下： x/秒 0 1 2 3 4 7 12 y1/米 0 6 12 18 24 42 72 y2/米 12 16 20 24 28 40 60 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为 米； 当2号无人机距离地面的竖直高度为52米时，上升的时间为 秒； ②当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相同； ③当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相差4米． 40．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 一次函数（复习讲义） 1.理解变量、常量、自变量、函数值的概念，能判断两个变量间是否构成函数关系； 2.掌握一次函数和正比例函数的概念和解析式形式，会用待定系数法求函数的解析式； 3.学会画出一次函数的图象，根据一次函数的图象能总结出相关的性质； 4.掌握一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式之间的关系； 5.能利用一次函数解决简单实际问题，如行程问题、销售利润问题、方案问题、计费问题等； 重点01、变量与常量 【补充】变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变. 重点02、函数 【注意】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个，如函数y=|x|，当x=±1时，y的值都是1. 重点03、函数的表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数解析式，用函数解析式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用解析式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 【注意】并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来.例如气温与时间的函数关系，只能用列表法和图像法表示，而不能用解析式法表示， 重点04、一次函数的基础 正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数. 【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 一次函数的一般形式：. 特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 重点05、待定系数法 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1、设：设一次函数的解析式为； 2、列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3、解：解二元一次方程组，求出k、b； 4、代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 重点06、正比例函数的图像与性质 正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线. 正比例函数的性质： k的符号 图像 图像的位置 增减性 k＞0 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大 k＜0 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小 【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）. 重点07、一次函数的图像与性质 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线. 一次函数的性质： 一次函数 k、b 的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 【补充说明】 1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置. 2） 的三角形面积为. 重点08、k，b的符号与直线的关系 在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于 1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当，即b=0时，直线经过原点． 3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 重点09、常见的变换方式： 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）. 对称变换 变换方式 变换后 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 重点10、一次函数与方程、不等式关系 一次函数与一元一次方程 【补充】对于一次函数，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 一次函数与二元一次方程组 【补充】 1）二元一次方程组的图像解法：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解. 2）确定两条直线交点坐标的方法：联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标. 一次函数与一元一次不等式 【补充】不解不等式而直接写出不等式解集的方法： 1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标; 2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然. 重点11、用一次函数解决实际问题 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 题型一 变量与常量 1．直角三角形两锐角的度数分别为，，其关系式为，其中变量为 ，常量为 ． 【答案】 x，y -1，90 【分析】根据在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，即可解答． 【详解】关系式中，变量为：x，y，常量为：-1，90， 故答案为：x，y；-1，90． 【点睛】本题考查常量与变量的认识，熟记基本定义是解题关键． 2．写出下列各问题所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些是常量，哪些是变量． （1）每本练习本0.6元，购买练习本所需的钱数m（元）与购买的本数n（本）之间的关系式； （2）用总长度为27 m的篱笆刚好围成一个矩形场地，矩形的面积S（m2）与一边长x（m）之间的关系式； （3）某种饮水机盛满20升水，打开阀门每分钟可流出0.2升水，饮水机中剩余水量y（升）与放水时间x（分钟）之间的关系式． 【答案】（1）m=0.6n；0.6是常量，m，n是变量；（2） S=x（-x）；是常量，S，x是变量；（3） y=20-0.2x；20，0.2是常量，x，y是变量． 【分析】（1）根据单价乘以数量等于销售额，列出函数关系式，根据变量和常量的定义解答． （2）先表示出矩形的另一边的长，然后根据矩形的面积公式，列出函数关系式，根据变量和常量的定义解答； （3）根据剩余水量等于总量减去流出的水量，列出函数关系式，根据变量和常量的定义解答． 【详解】（1）m=0.6n；0.6是常量，m，n是变量； （2） S=x（-x）；是常量，S，x是变量； （3） y=20-0.2x；20，0.2是常量，x，y是变量． 【点睛】本题考查了常量与变量，常量是变化过程中保持不变的量，变化过程中变化的量是变量． 3．设路程为s km，速度为v km/h，时间为t h，指出下列各式中的常量与变量． (1)v＝； (2)s＝15t－2t2；   (3)vt＝100. 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【分析】根据常量与变量的性质进行作答. 【详解】(1)常量是60，变量是v，s (2)常量是15，－2，变量是s，t (3)常量是100，变量是v，t 【点睛】本题考查了常量与变量的性质，熟练掌握常量与变量的性质是本题解题关键. 题型二 函数的相关概念 4．函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，核心依据是分式的分母不能为0的性质，根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵分式的分母不能为0， ∴， ∴， ∴函数的自变量的取值范围为． 故选：A． 5．已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了求自变量的值，将代入分段函数的两个分支，分别求解的值，并验证是否满足对应的定义域条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当时，函数为，代入可得， 解得：； 当时，函数为，代入可得， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上所述，自变量的值为5或， 故答案为：5或． 6．下列图象中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义，在函数的定义中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应是解题的关键． 根据函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：选项A、B、D，对于每一个x，都有唯一的y值与其对应，故选项A、B、D中y是x的函数，选项C，对于一个x有两个y与之对应，故y不是x的函数． 故选：C． 题型三 函数的表示法 7．某城市要建一住宅小区，按照规定，居住小区绿化面积占用地总面积的．若小区绿化面积为万平方米，用地总面积为万平方米，则与的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，找到等量关系是解题的关键． 绿化面积占用地总面积的，因此是的，由此即可得到与的关系式. 【详解】解：∵ 绿化面积用地总面积， ∴ . 故选：D. 8．为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数的变化关系如表所示： 1 2 3 4 5 … /棵 4 8 … 观察表中数据可知，该班有8人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为 棵． 【答案】 【分析】本题考查函数的表示方法，写出正确的函数表达式是解题的关键．由表格数据可知，栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数满足正比例关系，写出函数关系式，再代入即可． 【详解】解： 由表可知， 当时，， 故答案为． 9．完成下表：测得一根弹簧的长度与所挂物体质量的关系如下表所示（重物不超过时，去掉重物后，弹簧能恢复原状）． 物体质量 0 1 2 3 … a（a不超过20） 弹簧长度 6 … 【答案】 【分析】本题考查根据表格数据估计因变量的值，熟练掌握知识点是解题的关键．弹簧长度与所挂物体质量呈线性关系，初始长度为，每增加质量，长度增加，据此即可解答． 【详解】解：由表格数据可知，当物体质量时，弹簧长度； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 因此，弹簧长度与质量的关系为， 当时，． 故答案为：． 题型四 平面直角坐标系 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为25，点A的坐标为，则点C的坐标为（ ， ）． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形；由正方形的面积得正方形的边长为5，结合点A的坐标得点D的坐标，即可求得点C的坐标． 【详解】解：∵正方形的面积为25， ∴正方形的边长为5，即， ∵点A的坐标为， ∴点D的坐标为， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 11．在平面直角坐标系中，已知点．若轴，则线段的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查坐标与图形性质及垂线段最短的应用．先根据轴确定点所在的直线，再利用垂线段最短的性质求出线段的最小值． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， 点的纵坐标为，即点在直线上， 根据垂线段最短的性质，当时，线段的长度最小， 此时点的横坐标与点的横坐标相同，即， 点的坐标为， 由两点间距离公式可得，的长度为， 故答案为：5 12．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知点，点，，满足，连接，为上一动点． (1)直接写出，两点坐标：_____________，_____________； (2)如图1，点在线段上，连接，当点关于的对称点与点重合时，求的长； (3)如图2，连接． ①点在上，若，求证：； ②点在延长线上，若且时，求的度数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】(1)根据二次根式有意义的条件求出、的值，即可得到点、的坐标； (2)由勾股定理可得，由折叠的性质可知，设，则，，根据等腰直角三角形的性质可知，解方程求出的值即为的长度； (3)①过作于点，过作于点，根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据含角的直角三角形的性质可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证，等量代换可证结论成立； ②过点作，轴于点，根据等腰三角形的三线合一定理可得：，可证四边形是矩形，根据矩形的性质可证，连接点与的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出，根据等腰三角形的性质和等腰三角形的三线合一定理可得． 【详解】（1）解：，且，， ，， ，， ，， 故答案为：；； （2）解：，， ， ， ，， 根据对称可知，， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 即， 解得：， ； （3）解：①证明：过作于点，过作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ； ②解：如下图所示，过点作，轴于点， ， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， 如下图所示，连接点 与的中点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性、等腰三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一定理、直角三角形的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质． 题型五 函数图象的画法 13．画出函数的图象． (1)列表： x … －2 －1 0 1 2 … y … … (2)描点：根据表中数据描出各点． (3)连线：用平滑的线依次连接各点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）选取包含原点的对称值，代入计算对应值，形成坐标列表，为描点提供数据； （2）根据列表的坐标，在坐标系中精准标记各点位置，为连线确定参考点； （3）因正比例函数图象是过原点的直线，用平滑直线连接所有点并延伸，得到完整图象． 【详解】（1）解：将代入，依次计算对应值： 、、0、3、6． x … －2 －1 0 1 2 … y … －6 －3 0 3 6 … （2）解：描点如图所示． （3）解：连线如图所示． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象画法，掌握列表-描点-连线的基本作图步骤，以及正比例函数的图象是经过原点的直线这一性质是解题的关键． 14．通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 m 2 1 n 3 4 … (1)列表，补全表格：______，______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____． 【答案】(1)3，2 (2)见解析 (3)1，1 【分析】本题主要考查了画函数图象，求函数值． 对于（1），将，代入函数关系式，可得答案； 对于（2），用描点、连线的方法来画出函数图象； 对于（3），观察图象可得答案． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， 故答案为：3，2； （2）解：如图： （3）解：当时，该函数的因变量的值最小，最小值为1． 故答案为：1，1． 15．下面是对函数和的图象和性质的研究，完成下列探索过程： (1)补全下表： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 ___ ____ ___ ___ 4 … … 0 1 2 3 4 … (2)根据上表，在平面直角坐标系中描出各点，分别画出函数与的图象； (3)根据函数图象填空： ①函数的最小值为____； ②当时，的值为______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①；②或 【分析】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解题的关键． （1）分别把、、、代入函数解析式，求出的对应值即可； （2）根据表格中、对应值，画出函数图象即可； （3）①根据函数图象可直接得出结论； ②根据两函数的图象可直接得出结论． 【详解】（1）解：当时，； 当时，． 当时，； 当时，． 故答案为：； （2）解：函数图象如图所示； （3）解：①由函数图象可知，函数的最小值为 ． 故答案为：； ②由函数图象可知，当时，的值为或． 故答案为：或． 题型六 正比例函数的相关概念 16．若是关于x的正比例函数，则常数 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如（是常数，）的函数叫做正比例函数． 根据正比例函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：2． 17．在平面直角坐标系中，当时，四个函数的图象与轴正半轴的夹角分别为，则在这四个角中，最小的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象，画出正比例函数图象即可判断求解，正确画出正比例函数图象是解题的关键． 【详解】解：画函数图象如下： 由函数的图象可知，直线与轴正半轴的夹角最小，即最小， 故选：． 18．已知与成正比例，当时． (1)求关于的函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设，然后把，代入计算，即可作答． （2）依题意，把点代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得． ∴， 即． （2）解：由（1）得， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得． 题型七 一次函数基本概念 19．当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的定义，一次函数解析式 的结构特征：（1）是常数， ；（2）自变量的次数是；（3）常数项可以为任意实数． 根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数 是一次函数， ∴， 解得. 故答案为：． 20．若点在函数的图象上，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及代数式求值，关键是利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，得到与的关系式，再通过整体代入法计算代数式的值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴得，即， ∴； 故答案为：． 21．已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了轴上的点的特征，一次函数的性质． （1）根据轴上的点纵坐标为0，得出，解答即可． （2）根据点在一次函数的图象上，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ， ． （2）解：∵点在一次函数的图象上， ， 解得：． 题型八 一次函数的图象 22．在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出与坐标轴的交点坐标． 【答案】图象见解析；与坐标轴的交点为，． 【分析】本题考查了一次函数的图象，主要利用了一次函数图象与坐标轴的交点的求法，以及两点法作一次函数图象． 令分别求出与坐标轴的交点，然后利用两点法作出函数图象即可． 【详解】解： 令， 令，则， 解得， ∴与坐标轴的交点为，． 23．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)写出图象与轴、轴的交点的坐标． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)1 【分析】（1）过图象上两个点画出直线即可； （2）通过坐标轴上点的坐标特征即可求出两点的坐标； （3）由（2）求出的两个点的坐标，求出的长，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：令得，令，得：． ，． 过两点作直线即得到一次函数的图象，该函数的图象如图所示． （2）解：由（1）可得：点的坐标为，点的坐标为． （3）解：由（2）可知点，． ． 【点睛】本题考查了一次函数图象的画法，一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积，一次函数的图象和性质等知识，熟记一次函数图象和性质是解决此题的关键，注意数形结合思想的运用． 24．在平面直角坐标系中画出函数的图象，并完成下列问题： (1)函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积是______； (2)观察函数的图象，当自变量______时，；当自变量______时，． ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 0 2 4 ⋯ 【答案】(1)4 (2)0， 【分析】本题考查的是画一次函数图象，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 根据列表，描点，连线画出函数图象即可； （1）根据三角形面积公式求解即可； （2）根据函数图象直接解答即可． 【详解】（1）解：列表得， ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 0 2 4 ⋯ 描点，连线得 ， 由图象知，直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴此三角形的面积． 故答案为：4； （2）解：根据图象得，当自变量时，；当自变量时，． 故答案为：0，． 题型九 一次函数的解析式 25．已知y是关于x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求该一次函数的表达式； (2)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．一次函数图象上点的坐标特征． （1）设一次函数的表达式为．把、的值分别代入函数解析式，利用待定系数法即可求得、的值； （2）把代入函数解析式求得相应的的值． 【详解】（1）设， 将，；，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）令，则， 解得：， ∴自变量x的值为． 26．已知一次函数的图象经过点． (1)求此一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在该函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）将代入（1）中的函数解析式，得到的y值再与纵坐标2比较，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入解析式， 得，解得， 一次函数的解析式为． （2）解：当时，， 点在该函数图象上． 27．已知一次函数的图像经过点和，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 将两点坐标代入一次函数解析式，求出待定系数即可． 【详解】解：将点和代入，得 ， 解得：，， 所以这个一次函数的解析式为． 题型十 一次函数图象的平移问题 28．已知一次函数的图象与直线平行，且与x轴交于点，求该一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象的平移，根据两直线平行，得到，再利用待定系数法进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∴， 把，代入，得：，解得， ∴． 29．如图，直线（）经过点和，线段两个端点的坐标分别为，． (1)求直线的表达式； (2)若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握一次函数图象平移的性质． （1）运用待定系数法求解即可； （2）先求出线段的中点坐标，然后根据依次函数图象平移的性质得到平移后的直线的表达式为，再代入中点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：把点和分别代入中， 得 解得 所以直线的表达式为． （2）解：根据，，可得的中点坐标为， 因为直线向上平移个单位长度， 所以平移后的直线的表达式为， 把代入中， 得， 解得． 30．已知一次函数的图象与一次函数的图象平行，且经过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若一次函数的图象与一次函数的图象交于点，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式， （1）根据平行得到，再把代入解析式求解即可； （2）将代入求出，得到，将代入求出． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与一次函数的图象平行， ∴，即， 把代入，得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， 解得． 题型十一 一次函数的增减性求参数 31．若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（    ） A．－1 B．0 C．－2 D．2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，对于，当时，y随x的增大而减小． 根据一次函数的性质，当小于0时，函数值y随x的增大而减小，列不等式计算即可． 【详解】解：∵函数的函数值y随x的增大而减小， ，即， 观察选项，，符合条件， 故选：C． 32．若点和点都在（k为常数）的图象上，且当时，，则k的值可能是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，正确理解一次函数的增减性是关键．由题意可知y随着x的增大而增大，即得，所以，即可判断答案． 【详解】解：点和点都在（k为常数）的图象上，且当时，， 随着x的增大而增大， ， ， 的值可能是1． 故选：D． 33．已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (2)当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）根据一次函数的性质可得当时，函数值y随x的增大而减小，求解即可； （2）根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵y随x的增大而减小 ∴ ∴； （2）∵该函数图象经过第一、三、四象限 ∴ ∴． 题型十二 比较一次函数值的大小 34．已知点，都在一次函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质，在一次函数中，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小． 【详解】因为一次函数中， 所以随的增大而增大． 因为点，在该函数图象上，且， 所以． 故选：C 35．已知一次函数的自变量x满足，则y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数的解析式及自变量的取值范围，利用一次函数的增减性求解的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，比例系数， ∴随的增大而减小， 当时，， 当时，， 又∵， ∴， 故答案为：． 36．已知一次函数的图象经过点，求： (1)这个函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上？ (3)图象上两点，，如果，比较，的大小，_____（填“”，“”，或“”） 【答案】(1) (2) 点不在函数图象上 (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法，函数值的计算，函数图象的增减性是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）代入计算函数值，再进行比较即可求解； （3）根据一次函数增减性求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为：； （2）解：当时，， ∴不在这个函数图象上； （3）解：∵， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小， ∵， ∴． 题型十三 求直线围成的图形面积 37．如图，一次函数经过点和，分别交轴和轴于点和． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题综合考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式以及三角形的面积．用待定系数法求函数的解析式：先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解． （1）将A、B两点的坐标代入一次函数解析式，运用待定系数法求解； （2）利用（1）中的一次函数的解析式求点C、D的坐标，再根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴该一次函数的解析式是； （2）解：由（1）知，该一次函数的解析式是， ∴当时，， 当时，， ∴，； ∴，， ∴． 38．如图，已知直线与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一动点，若有，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何图形，一次函数与一元一次方程， （1）将点代入直线，可得答案； （2）先根据一次函数与坐标轴的交点可得，进而求出，再求出，结合题意可得，然后设，根据面积相等得出答案． 【详解】（1）解：点在直线上， ∴，解得， 即； （2）解：直线与轴交于点， 将代入得， 解得， ，即； 又， ∴， ， ． 又， ， 设 ． ， 解得或， 或． 39．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)将直线向上平移2个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）直接把点和代入一次函数，求出，的值即可得出函数解析式； （2）求出直线平移后的函数解析式，再求出直线与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得： ∴； （2）解：一次函数的解析式为， 直线向上平移个单位后所得直线的解析式为， 当时，； 当时，， 直线与坐标轴的交点为，， 平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 题型十四 一次函数与方程、不等式关系 40．如图，直线：与直线：相交于点，求关于的方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先求出点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数解析式构成的二元一次方程组的解即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：直线经过点， ， 解得， ， ∴关于的方程组的解为． 41．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）将点代入，求出n，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C坐标，再利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， ∴， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点的坐标为， 根据函数图象可知：不等式的解集为． 42．如图，已知直线（和是常数且）经过点，，直线（是常数）与直线相交于点，与轴交于点，点的横坐标为-3． (1)当时，直接写出的取值范围为_______； (2)求直线的表达式和的值； (3)若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)直线的表达式为， (3)点或 【分析】本题考查了求一次函数解析式以及一次函数与几何综合问题，掌握函数相关性质是解题关键． （1）由图可知：当时，直线的图象在直线的上方；即可求解； （2）把和代入直线可求得直线的表达式为．把代入，求得点．把点代入，可解得． （3）设点，求出点．根据．即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：当时，直线的图象在直线的上方； 即：当时，直接写出的取值范围为：； （2）解：把和代入直线， 得 解得 直线的表达式为． 把代入，得， 点． 把点代入，得，解得． （3）解：设点． 由（2）知，点． 当时，，解得， 点． ． ， ． 或． 点或 题型十五 分配方案问题 43．学校有1100本作文本需要打包发放，现有A、B两种型号的箱子可供选择．已知1个型箱子和2个型箱子装满后可打包500本作文本，2个型箱子和1个型箱子装满后可打包400本作文本．学校计划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本． (1)每个型箱子和型箱子分别能装多少本作文本？ (2)若型箱子每个3元，型箱子每个5元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？ 【答案】(1)每个型箱子能装100本作文本，每个型箱子能装200本作文本 (2)共有5种打包方案，型箱子1个，型箱子5个，费用最少，为28元 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设每个A型箱子能装本作文本，每个B型箱子能装本作文本，根据题意列方程组求解即可； （2）设需要A型箱子个，B型箱子个，费用为元，根据题意可得到，进而由a、b为正整数求得a、b的值，再得到，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A型箱子能装本作文本，每个B型箱子能装本作文本， 根据题意，得，解得， 答：每个A型箱子能装100本作文本，每个B型箱子能装200本作文本； （2）解：设需要A型箱子个，B型箱子个，费用为元 由题意， 为正整数 ∴或或或或 随增大而减小 ∴当时，取得最小值，此时 答：共有5种打包方案，A型箱子1个，B型箱子5个，费用最少，为28元． 44．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【分析】（1）根据已知，列出函数关系式即可； （2）结合（1），求出时，两种套餐的费用，再比较即可． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 45．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； (2)当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ (3)若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 【答案】(1)， (2)当消费10次时，选择两种消费卡的费用相同 (3)当进入生态体验园15次，采用乙方式比较划算 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的点求出甲、乙两种卡费用关于入园次数的函数表达式； （2）通过联立两个函数表达式的方程，求解费用相同时的入园次数； （3）将入园次数代入两个函数表达式，比较费用大小确定划算的方式． 【详解】（1）解：甲卡：设，由图象过点，得，解得，所以； 乙卡：设，由图象过点，得，解得，所以． （2）解：联立和，得，解得，即消费10次时，两种卡费用相同． （3）解：当时，， 因为，所以采用乙卡比较划算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数表达式，联立一次函数方程求交点，以及通过代入求值比较函数值大小是解题的关键． 题型十六 最大利润问题 46．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，采购个篮球，则采购个足球，结合两种球的进价与售价表进行列式计算，即可作答． （2）先根据该商家采购的篮球个数不超过足球个数，得出，再结合，则随的增大而增大，故把代入，得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，采购个篮球，则采购个足球， ∴． （2）解：∵该商家采购的篮球个数不超过足球个数， ∴， 解得， 由（1）得， ∵， ∴随的增大而增大， 故把代入，得． ∴采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元． 47．某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)购进型号设备10台，型号设备10台时获利最大，最大利润为40万元 【分析】此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题． （1）销售A种品牌设备x台，B种品牌设备台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润； （2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案即可． 【详解】（1）解：∵每月销售两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售型号设备台， ∴每月销售型号设备为台， ∴每月共获得利润为， 即万元， 故答案为：；． （2）解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元， ∴， 解得， ∵， ∴利润随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，最大利润为（万元）， ∴， ∴此时，应购进型号设备10台，型号设备10台． 48．某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； (2)至少购进种礼品盒盒； (3)购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用， （1）设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元，根据题意列二元一次方程组解决； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒，根据总费用不超过元列不等式解决； （3）设销售利润为元，得出，根据一次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒， 由题意得：， 解得：， 答：至少购进种礼品盒盒； （3）设销售利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值， 此时，， 答：购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 题型十七 行程问题 49．在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛．已知该海巡船与B岛的距离y（km）与从A岛出发后的行驶时间x（h）之间的关系如图所示． (1)A、C两海岛间的距离为________km，________； (2)求线段PN所表示的函数关系式； (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台、发射的信号覆盖半径为20km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 【答案】(1)80,1.6 (2) (3)0.8 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，函数图像的识别， 对于（1），先观察图象可知A，B之间的距离为，B，C之间的距离为，即可得出答案；再求出海巡船的速度，即可求出时间； 对于（2），根据待定系数法求出关系式即可； 对于（3），先根据待定系数法求出线段所表示的函数关系式， 再令两个函数值等于20得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：由图象可知A，C两海岛之间的距离是; 海巡船的速度是， 海巡船从A岛到达C岛用时， ∴； 故答案为：80，1.6； （2）解：设线段所表示的函数关系式为，将点代入关系式，得 ， 解得， ∴线段所表示的函数关系式为； （3）解：设线段所表示的函数关系式为，将点代入关系式，得 ， 解得， ∴线段所表示的函数关系式为． 当时，解得； 当时，解得， 则． 所以海巡船能接收到信号的时间是0.8小时． 50．某校八年级学生去某大学研学参观，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往同时老师和学生乘坐大巴车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大巴车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)求小轿车返回学校过程（段）的函数表达式； (2)当两车行驶后在途中相遇，求点P的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）设直线的解析式是，将A，B两点坐标代入解析式求出k和b，即可求出直线的解析式； （2）把代入直线的解析式求解即可． 【详解】（1）设直线的解析式是， 把，代入解析式得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）当时，； 则点P坐标为：． 51．某天早晨，小明从家跑步去体育场，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，小明跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人分别按原速继续行走（小明和妈妈始终在一条笔直的公路上行走），如图是两人离家的距离（米）与小明出发的时间（分）之间的关系图象．根据图象信息解答下列问题： (1)求小明返回时的速度． (2)求妈妈何时到家？ (3)小明从家出发多久，第一次与妈妈相遇？ 【答案】(1)米/分 (2) (3)分钟 【分析】本题考查从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，行程问题(一次函数的实际应用)，解题关键是掌握速度、时间和路程之间的关系． （1）根据“速度=路程÷时间”计算即可； （2）根据“路程=速度×时间”求出当时小明离家的距离，从而求出点B的坐标，再由“速度=路程÷时间”求出妈妈的速度，从而根据“时间=路程÷速度”计算妈妈到家所用的时间，由出发的时刻可以求出妈妈到家的时间； （3）根据“路程=速度×时间”分别求出小明从家到体育场的过程中离家的距离y与出发的时间x之间的关系式和妈妈离家的距离y与出发的时间x之间的关系式，根据“当小明第一次与妈妈相遇时，两人离家的距离相等”列关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）解：（米/分）， 答：小明返回时的速度是米/分． （2）当时，小明离家的距离是（米）， ∴， ∴妈妈的速度是（米/分）， ∴妈妈到家所用的时间（分）， 答：妈妈到家． （3）小明从家到体育场的过程中的速度是（米/分）， ∴小明从家到体育场的过程中离家的距离y与出发的时间x之间的关系式为， 妈妈离家的距离y与出发的时间x之间的关系式为， 根据“当小明第一次与妈妈相遇时，两人离家的距离相等”，得, 解得， 答：小明从家出发分钟，第一次与妈妈相遇． 题型十八 梯度计价问题 52．某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【答案】(1)11，3 (2) (3)乘客需付车费50元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果； （2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可； （3）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：由题意，时，； 当时，，解得； 故答案为：11，3； （2）解：由（1）可知：； （3）解：∵， ∴当时，． 答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元． 53．小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的8.5折卖．设购买练习本数量为x本，甲商店收费为元，乙商店收费为元．（） (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为多少本？ (3)当购买的数量为22本时，应选择哪个商店更优惠？请说明理由． 【答案】(1)， (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为20本 (3)应选择甲商店更优惠，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意正确建立函数解析式． （1）根据总价单价数量就可以表示出y与x之间的关系式； （2）根据题意得，可得方程，再解方程即可； （3）将分别代入两个函数解析式，求出函数值，再比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ； （2）解：根据题意得， 即， 解得， 答：当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为20本． （3）解：应选择甲商店更优惠，理由如下： 买22本练习本， 甲商店的费用为元， 乙商店的费用为元． ∵， ∴应选择甲商店更优惠． 54．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 【答案】(1)超过15立方米不超过30立方米部分，；超出30立方米部分， (2)小丽家用水25立方米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据（1）可把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 超过15立方米不超过30立方米部分：； 超出30立方米部分：； （2）解：由（1）可知： 把代入得：， 解得：； 答：小丽家用水25立方米． 题型十九 一次函数中几何问题 55．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)的面积为； (3)存在一点，使得，点的坐标为或或或． 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的性质、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是利用分类讨论思想解题． （1）将代入可求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）求出点的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）分情况讨论：①当点在轴上时；②当点在轴上时． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 设， 把，代入，得， 解得， ； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， ， ， ； （3）解：存在，理由如下： ， ， ①当点在轴上时，， ， ， ，， 点的坐标为或， ②当点在轴上时，如图， 设直线与轴交于点， ， ， ， ， ，， 点的坐标为或， 综上，在坐标轴上，存在一点，使得，点的坐标为或或或． 56．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为 (1)求直线的表达式． (2)若y轴上有一点M，且三角形的面积为12，求M点的坐标； (3)如图，把直线以每秒2个单位的速度向右平移，问经过几秒后，该直线与y轴交于点？（直接写答案） 【答案】(1) (2)或 (3)2秒 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，求一次函数的解析式，一次函数图象的平移，几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据待定系数法求得直线的解析式， （2）设，则，根据，求得m的值，可求得M的坐标； （3）根据平行直线的解析式的k值相等设出平移后直线的解析式为，然后把点代入求出t，即可得解． 【详解】（1）解：依题意，设直线的表达式为， 把代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：依题意，设， 由（1）得直线的表达式为； 令，则， ∴直线与轴的交点坐标为， ∴， ∵三角形的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）解：设经过t秒后，该直线与y轴交于点， 则平移后的解析式为， 把代入， 得， ∵， ∴， 故经过2秒后，该直线与y轴交于点． 57．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，点是线段上的一个动点(不与点和点重合)，过作轴交线段于点，使，设点的横坐标为． (1)求点、点的坐标； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，连接，，在点运动的过程中，当时，的值为___________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． （1）分别令、代入一次函数中计算求解即可； （2）根据题意得出，进而得到，根据列方程计算求解即可； （3）过点作于点，结合图象表示出，根据直角三角形面积公式，列出方程计算求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 令得，，解得，则点的坐标为， 令得，，则点的坐标为， 答：点、点的坐标为，； （2）解：根据题意得，点的横坐标为，则 当时， 则、 因此 由得： 解得， 答：的值为； （3）解：过点作于点，如图： 则 由于 则 即 解得： 故答案为：． 题型二十 一次函数的新定义问题 58．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是两条直线的交点问题，根据定义，“亮点”是一次函数与的交点，联立和解方程组即可． 【详解】解：∵亮点是和的交点， ∴联立方程：， 解得： ∴交点为，即“亮点”为， 故选：B． 59．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 根据可得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ，即， ， ， ， 故选：B． 60．定义运算：当时，；当时，．如：；；．根据该定义完成下列问题： (1)_________，当时，_________； (2)若，求x的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出x的取值范围； 【答案】(1)-3，2 (2) (3) 【分析】（1）由定义可知：的值就是取−3和2的最小值，即−3；同理可得另一个式子的结果； （2）由定义列不等式解出即可； （3）根据图象可知：当时，有； 【详解】（1）解：，当 时，； 故答案为：−3，x； （2）由题意得：， ， ； （3）∵， ∴， 由图象得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解，此类题目要认真阅读并理解新定义的内含：结果取最小值，第三问利用数形结合的思想求解更简便． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列表达式中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．根据正比例函数的定义条件：为常数且，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案． 【详解】解：A、符合正比例函数的含义，故本选项正确； B、是一次函数，故本选项错误； C、是二次函数，故本选项错误； D、是反比例函数，故本选项错误． 故选：A． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向上平移2个单位长度后，恰好经过点，则的值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的平移，待定系数法求解析式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意一次函数向上平移后的解析式为，代入点坐标求解. 【详解】解：∵将一次函数向上平移个单位，得新函数为， ∵新函数经过点， ∴， 即， ∴， ∴. 故选：B． 4．（25-26八年级下·全国·期末）关于一次函数下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质应用．根据一次函数，得到图象分布在第一、二、三象限，与y轴交于点，与x轴交点坐标为，y随x的增大而增大，当时，，判断即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴图象分布在第一、二、三象限，与y轴交于点，与x轴交点坐标为，一次函数y随x的增大而增大，且当时，， 故A，C，D都错误，B正确． 故选：B． 5．（24-25八年级上·北京·期末）已知点、点在一次函数的图象上，且，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性问题，解一元一次不等式；根据，可得y随x增大而减小，则一次项系数小于0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵点、点在一次函数的图象上且， 又∵， ∴y随x增大而减小， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项中的数符合题意， 故选：A． 6．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．两个一次函数的交点坐标为，那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：将代入得， ∴一次函数和的图象交于点， ∴点满足二元一次方程组； ∴方程组的解是． 故选：A． 7．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）图，已知直线（为常数，且）与直线（为常数，且）交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据两直线的交点求不等式的解集，由图象找出正比例函数图象位于一次函数图象上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴不等式的解集为， 故选：B． 8．（24-25八年级下·北京大兴·期末）某校学生走进大兴林场，为体会人工湿地的生态价值，进行了模拟人工湿地过滤污水实验．在实验过程中，设过滤时间为分钟，剩余污水量为升，与之间的函数关系如图所示，给出下面4个结论： ①初始污水总量为5升； ②当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升； ③污水过滤速度为0.5升/分钟； ④过滤全部污水共需10分钟． 上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是从函数图象中获取信息并进行分析计算． 通过观察函数图象的横、纵坐标含义，结合一次函数的性质，对四个结论逐一分析判断． 【详解】当时，，此时过滤时间为0，即初始状态，所以初始污水总量为5升，结论①正确； 从图象中可以看到，当时，对应的，这表示当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升，结论②正确； 根据图象，2分钟内过滤的污水量是初始污水量5升减去2分钟时剩余的4升，即升．根据“速度过滤的污水量时间“，可得污水过滤速度为升/分钟，结论③正确； 已知初始污水总量为5升，污水过滤速度为0.5升／分钟．根据“时间总量速度“，可得过滤全部污水需要的时间为分钟，结论④正确． 故选：D． 9．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数增减性比较大小，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 根据一次函数图象经过第一、二、四象限，确定，且，从而确定一次函数的函数值随的增大而减小，再比较和的纵坐标大小，即可得到横坐标的大小． 【详解】解：一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限， ，且， 则一次函数的函数值随的增大而减小， 由点和在函数图象上，且，可得， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·北京通州·月考）若一次函数的图像经过点和点，当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，关键是知识点的灵活应用；根据一次函数的性质，当时，函数随的增大而减小． 【详解】解：由题意，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知直线与的交点坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线交点，代数式求值.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．将，代入直线得，即交点坐标为，代入求出的值即可． 【详解】解：将，代入直线得，， ∴交点坐标为， 将代入得，， 解得． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是正比例函数图象与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图象特征． 正比例函数图象过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近轴，越大，先判断，，的正负，再比较绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】解：正比例函数的图象特征为： 图象过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近轴，越大， 由图象可知：①②过第一、三象限，故，， ③过第二、四象限，故， ②比①更靠近轴，故， 综上，． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A的坐标，过点A作x轴的平行线，交第一象限角平分线于点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，平面直角坐标系中点的坐标．过点B作轴于点C，由轴，点A的坐标得到轴，点B的纵坐标为6，再由角平分线的性质得到，从而点B的横坐标为6，即可解答． 【详解】解：过点B作轴于点C， ∵轴，点A的坐标， ∴轴，点B的纵坐标为6，即， ∵是第一象限的角平分线， ∴， ∴点B的横坐标为6， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·江西南昌·开学考试）如图，电车通过A站经过B站到C站，然后返回．去时在B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米．    （1）A站与B站相距 千米，B站与C站相距 千米． （2）返回时车速是每小时 千米． 【答案】 3.2 4 72 【分析】本题考查从函数图像获取信息． 从折线图中可以看出，从A站到B站行驶了4分钟，从B站到C站行驶了分钟，返回时用时分钟，根据时间、路程、速度之间的关系即可求解． 【详解】解：（1）48千米/小时（千米/分钟）， A站与B站相距：（千米）， B站与C站相距：（千米）， （2）返回时车速：（千米/分钟）（千米/小时）， 故答案为：3.2，4，72． 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查的是用待定系数法求函数的表达式，掌握待定系数法求得函数解析式是解题的关键． 根据与成正比例，设出函数关系式，利用已知点求比例系数k，进而得到函数表达式． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）某市出租车白天的收费标准如下：起步价为元，即路程不超过3千米时收费元，超过部分每千米收费2元．设乘客白天乘坐出租车的路程为x千米，乘车费为y元． (1)当时，求y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； (2)当时，求乘车费y的值． 【答案】(1)；y是x的一次函数 (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，列函数关系式，求函数值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意，化简后，y是x的一次函数； （2）将代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：当时，， y是x的一次函数； （2）解：当时， 答：乘车费y的值． 17．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）已知点，试分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在轴上． (2)点P位于轴上方，轴左侧，且到轴的距离是到轴的距离的2倍． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，坐标轴上点的特征，根据题意求出正确的m的值是解题的关键． （1）根据y轴上点的坐标特征，可得，解方程即可解答； （2）根据题意，可得横坐标，纵坐标，可得m的范围，由到轴的距离是到轴的距离的2倍，据此求解即可． 【详解】（1）解：点P在轴上； ，解得． ． 点P的坐标． （2）解：点P位于轴上方， ． 轴左侧， ． 到轴的距离是到轴的距离的2倍， ． ． 解得． ，． 点P的坐标． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知平面直角坐标系中，点的坐标为（为常数）． (1)当时，点在第______象限； (2)若点在轴上，则______； (3)若点到轴的距离是3，求的值． 【答案】(1)四 (2)1 (3)4或1 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． （1）将代入得到点P的坐标，进而判断点在哪个象限即可； （2）点在轴上，则点P的横坐标为0，据此解答即可； （3）点到轴的距离为点P的纵坐标的绝对值，据此解答即可． 【详解】（1）解：当时，、， 则点的坐标为， 因此点在第四象限， 故答案为：四； （2）解：点在轴上，则， 解得， 故答案为：1； （3）解：根据点到轴的距离是3得：， 即或， 解得或． 19．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数． (1)将下面的表格补充完整，并在所给的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x 0 1 (2)点 (填“在”或“不在”)函数图象上． 【答案】(1)见解析；见解析 (2)不在 【分析】本题考查一次函数的图象，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象． （1）直接将点横（纵）坐标代入，计算即可补充表格，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象； （2）求出当时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：时，， 解得：， 时，， 时，， 补充表格如下： x … 0 1 … … 0 4 6 … 画出函数图象如下． （2）解：当时，， ∴点 不在函数图象上． 故答案为：不在 20．（25-26八年级上·全国·阶段练习）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 5 10 … (1)自变量是 ，因变量是 ； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是 ； (3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？ 【答案】(1)刹车时车速；刹车距离 (2)10 (3)当刹车时车速每增加时，刹车距离增加；该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是 【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义解答即可； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据表格中的数据可知当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，由此可得，代入求出v的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． 故答案为：刹车时车速；刹车距离； （2）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速为时，刹车距离是； 故答案为：10； （3）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加， ∴， ∴当时，则， 解得， ∴当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是． 能力提升进阶练 21．（24-25七年级下·北京丰台·期末）五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（   ） A．小明、小亮均正确 B．小明、小亮均错误 C．小明正确，小亮错误 D．小明错误，小亮正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了用坐标系确定位置，根据题意建立适当平面直角坐标系进行求解是解决本题的关键．根据题意白棋①的位置是，黑棋②建立坐标系可确定原点的位置，依据题目所给规则进行判定即可得出答案． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，黑棋放在或位置就胜利了． ∴小明、小亮均正确， 故选：A． 22．（24-25八年级下·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，点，都在函数的图象上．若，则下列四个推断中不一定正确的是（    ）． A．坐标原点不在此函数图象上 B．点M在第二象限 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质及点与函数图象的关系，解题的关键是根据一次函数的表达式分析函数的性质以及点的坐标特征． 根据一次函数的性质，结合各选项逐一分析判断． 【详解】A、当时，，故坐标原点不在函数图象上，A正确； B、点的横坐标，纵坐标．当时，，点在第二象限；当时，，点在第三象限．由于中可能小于，故点的位置不一定在第二象限，B不一定正确； C、函数的，随增大而增大．由可知，C正确； D、当时，，故恒成立，D正确． 综上，不一定正确的是B． 故选：B． 23．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，射线AC与直线交于点D，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形内角和定理、角的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明得到，再结合坐标与图形以及垂线的定义即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵点D在直线图象上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 24．（24-25八年级下·北京·期末）将直线向右平移2个单位后，正好经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数平移后的解析式求解，正确理解一次函数的平移规律是解题的关键是解题的关键．根据平移规律，向右平移2个单位后的解析式为，再将点代入即可求出的值． 【详解】解：将直线向右平移2个单位，得到新解析式为， 将，代入解析式，得， 解得：． 故选：B． 25．（24-25八年级下·北京顺义·期末）近年来新能源汽车越来越受到人们的喜爱．为了解某新能源汽车的充电速度，某研究小组经调查研究发现：如图，用快速充电桩充电时，汽车电池电量百分比与充电时间（单位：）的函数图象是折线；用普通充电桩充电时，汽车电池电量百分比与充电时间（单位：）的函数图象是线段．给出下面四个结论： ①用快速充电桩充电时，该汽车电池电量百分比从充至需要； ②与的函数表达式为； ③该汽车电池电量百分比达到后，用快速充电桩和普通充电桩的充电速度相同； ④若该汽车电池电量百分比从充至，则快速充电桩比普通充电桩少用． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．② B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，观察图象即可判断①；求出普通充电桩的充电速度，从而即可得出与的函数表达式，即可判断②；求出用快速充电桩的充电速度，比较即可判断③；求出当时对应的的值即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：用快速充电桩充电时，该汽车电池电量百分比从充至需要，故①错误，不符合题意； 普通充电桩的充电速度为， 则与的函数表达式为，故②正确，符合题意； 该汽车电池电量百分比达到后，用快速充电桩的充电速度为，普通充电桩的速度为，故③错误，不符合题意； 当时，， 解得， ， 故若该汽车电池电量百分比从充至，则快速充电桩比普通充电桩少用，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有②④， 故选：B． 26．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，中，，把放在平面直角坐标系中，且点，的坐标分别为，，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，线段扫过的区域面积为（    ） A．66 B．108 C．132 D．16 【答案】C 【分析】过点C作轴于点D，由点A、B的坐标利用勾股定理可求出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C移动后的坐标，借助平行四边形的面积即可得出线段扫过的面积． 【详解】过点C作轴于点D，如图所示． ∵点A，B的坐标分别为，，， ∴， ∴． ∴点C的坐标为． 当时，有， 解得：， ∴点C平移后的坐标为． ∴沿x轴向左平移个单位长度， ∴线段扫过的面积． 故选C． 【点睛】此题考查坐标与图形变化-平移，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，作辅助线构造直角三角形是解题关键． 27．（24-25八年级下·北京昌平·期末）在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如下图像（不计绳重和摩擦），请你根据图像判断以下结论正确的有（   ）个 ①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力时，拉力；③拉力与重力成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为． A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用． 由函数图像直接可以判断①③④，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把代入函数解析式求值即可判断②． 【详解】解：由图象可知，拉力随着重力的增加而增大，故①正确； 拉力是重力的一次函数， 设拉力与重力的函数解析式为， 将代入得， 解得：， 拉力与重力的函数解析式为， 当时，，故②错误； 由图象知，拉力是重力的一次函数，故③错误； 时，，故④正确． 故选：C． 28．（24-25八年级下·四川乐山·期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：，③方程的解是，④不等式的解集是，⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴，故①正确； ∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于， ∴，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确； ∴正确的一共有3个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 29．（24-25八年级下·北京大兴·期末）已知一次函数和（为常数）的图象如图所示，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．根据一次函数的图象交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：解：∵一次函数和的图象的交点坐标是， ∴方程组的解为． 故答案为：． 30．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）同一条公路连接A，B，C三地，地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶，乙车休息前、后的速度不变（乙车加、减速时间忽略不计）．甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系如图所示．两地相距 km；甲车行驶 h，甲、乙两车相距． 【答案】 20 【分析】（1）根据图象的信息即可解答； （2）求出点E的坐标，分甲车在线段段、甲车在线段段、甲车在线段段三种情况解答即可求解． 【详解】解：由图象得，当时，， 两地相距， 故答案为：20； 当时，乙车开始休息，当时，乙车重新出发， 乙车中途休息，22,60 从点过程中，只有甲车行驶， 甲车的速度为， 点甲行驶的时间为， ， 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， 线段所在直线的函数解析式为， 把代入得， 解得； 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， 线段所在直线的函数解析式为， 把代入得， 解得； 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， 线段所在直线的函数解析式为， 把代入得， 解得， 综上，甲车行驶小时或小时或小时，甲、乙两车相距． 【点睛】本题考查了函数的图象，一次函数的实际应用，求一次函数的解析式，读懂函数图象的信息是解题的关键． 31．（24-25八年级下·北京海淀·期末）已知点在函数上，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一次函数的坐标特征，把代入得，把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵点在函数上， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 32．（24-25八年级下·北京东城·期末）下图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是中，结论正确的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与不等式之间的关系，一次函数与一元一次方程之间的关系，根据函数经过的象限可判断①；根据函数与y轴交点的位置可判断②；根据两函数的交点的横坐标可判断③④． 【详解】解；∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，故①正确； ∵一次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴，故②错误； ∵一次函数与的交点横坐标为3， ∴方程的解是，故③正确； ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集为，故④错误， ∴正确的有①③， 故答案为：①③． 33．（23-24八年级下·北京石景山·期末）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 1 2 … 给出下面四个结论： ①；②方程的解为；③一次函数的图象不经过第四象限；④若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先求出该一次函数解析式为，再根据一次函数的图象和性质，可判断，再由点①、②、③，当时，，又，随的增大而增大，当时，，即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当时，，当时，， ∴方程的解为，故②错误； ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴，随的增大而增大，图像经过一、二、三象限，不经过第四象限，故①、③选项正确； 当时，， ∵，随的增大而增大，当时，， ∴若，则，故④正确， 故答案为：①③④ 34．（23-24八年级下·北京顺义·期末）已知点，点在直线：上，直线与轴的交点为．若的面积为3，则点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，先计算出点C的坐标，再计算出，设点B的坐标为，则，由此可解． 【详解】解：将代入，得：， ， ， ， 设点B的坐标为， 则， 解得或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 35．（24-25八年级上·北京·期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行． (1)求该一次函数的解析式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 【答案】(1) (2)点不在此函数图象上，理由见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，一次函数图象的平移问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用待定系数法求解即可； （2）求出时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与直线平行， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∴， ∴该一次函数解析式为； （2）解：点不在此函数图象上，理由如下： 在中，当时，， ∴点不在此函数图象上． 36．（23-24八年级下·北京密云·期末）直线是由直线平移得到，且经过点． (1)求的值： (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题． （1）由平移可得，再将代入即可； （2）设直线与交于点，与交于点，与交于点． 则，则点C应在点A与点B之间，可重合． 【详解】（1）解：∵直线是由直线平移得到， ∴， ∵直线经过点． ∴． ∴． （2）解：设直线与交于点，与交于点，与交于点． 则， ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值， ∴． 37．（23-24八年级下·北京密云·期末）已知一次函数与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，直接写出符合题意的点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形性质和勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解决问题的关键． （1）按照求一次函数与坐标轴的交点解法解答即可得到答案； （2）画出图形，由等腰三角形性质及勾股定理求解即可写出点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，与轴交于点， 令，得，则；令，得，则； ∴； （2）解：根据题意，作出等腰，如图所示： 当时，点与点关于轴对称，即； 在中，由勾股定理可知， 当时，分两种情况： 当点在轴负半轴上时，则，即； 当点在轴正半轴上时，则，即； 综上所述，点的坐标为或或． 38．（23-24八年级下·北京密云·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，其中甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．如图，线段和线段分别表示甲乙两仓库快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象． (1)甲仓库每分钟揽收_________件快递； (2)求线段对应的函数表达式（不用写自变量取值范围）； (3)从开始，经过多长时间甲乙两仓库的快递件数相同． 【答案】(1)6 (2) (3)从开始，经过24分钟甲乙两个仓库的快递件数相同 【分析】本题考查一次函数的应用，求出与的解析式是解题的关键． （1）由图得60分钟收了360件，由此可解； （2）利用待定系数法求解； （3）设与的交点为，将与的解析式联立，求出交点的横坐标即可． 【详解】（1）解：甲仓库每分钟揽收快递：（件）， 故答案为：6； （2）解：设线段的表达式为． 由已知，，代入函数表达式得：， 解得， ∴线段对应的函数表达式为． （3）解：设表达式为．由已知，． ∴． 解得：． ∴表达式为． 设与的交点为， 则， 解得． 答：从开始，经过24分钟甲乙两个仓库的快递件数相同． 39．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）五一期间，无人机灯光秀点亮某景区上空．其中，1号无人机从地面起飞，2号无人机从距离地面12米的高台起飞，两架无人机同时匀速上升，当上升12秒时，都停止上升开始表演．在上升过程中，记1号，2号两架无人机上升的时间为x（单位：秒）．1号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米），2号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米）．记录仪记录的部分数据如下： x/秒 0 1 2 3 4 7 12 y1/米 0 6 12 18 24 42 72 y2/米 12 16 20 24 28 40 60 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为 米； 当2号无人机距离地面的竖直高度为52米时，上升的时间为 秒； ②当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相同； ③当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相差4米． 【答案】(1)见解析 (2)①30，10；②6；③4或8 【分析】本题考查一次函数的应用，（1）描点并连线即可； （2）①根据路程等于速度乘时间分别写出y1与x，y2与x之间的函数关系式，当时，求出对应y1的值，当时，求出对应x的值即可； ②当时，列关于x的一元一次方程并求解即可； ③当时，列关于x的绝对值方程并求解即可． 【详解】（1）解：用描点法画出y1与x的函数图象如图所示： （2）解：①1号无人机上升速度为6米/秒，则y1与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为30米； 2号无人机上升速度为4米/秒，则y2与x之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ∴当2号无人机距离地面的竖直高度为52米时，上升的时间为10秒． 故答案为：30，10． ②当时，得， 解得， ∴当1号，2号两架无人机上升6秒时，距离地面的竖直高度相同． 故答案为：6． ③当时，得， 解得或， ∴当1号，2号两架无人机上升4秒或8秒时，距离地面的竖直高度相差4米． 故答案为：4或8． 40．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 【答案】(1)4； (2)函数的图象见详解 (3)①；  ②两；  ③或． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． （1）将代入即可求出值； （2）画出函数图象即可； （3）①根据函数图象，写出的取值范围即可； ②根据函数图象看两个函数的交点个数即可； ③画出一次函数图象，根据图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为： 4 ； （2）解：函数的图象如图所示： （3）解：①由函数图象可知：当时，； 故答案为：； ②由图象可知：函数与直线有两个交点； 则方程有两个解； 故答案为：两； ③如图，画出的图象， 由图象可知不等式的解集为：或． 故答案为：或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $