专题06 平面向量（三大考点，19题）（上海专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题06 平面向量（三大考点，19题） 3大考点概览 考点01平面向量的数量积 考点02平面向量的基本定理及坐标表示 考点03平面向量的应用举例 平面向量的数量积 考点1 一、单选题 1．（2026·上海杨浦·一模）已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角（   ） A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 【答案】A 【分析】根据题意，得到点在双曲线的渐近线上，结合双曲线的几何性质，以及向量的夹角的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以双曲线的其中一条渐近线方程为， 则点满足渐近线，所以点在双曲线的渐近线上， 所以过点存在双曲线右支的切线，但不存在与左支相切的直线， 所以向量的夹角不存在最小值， 过点作轴的平行线，交双曲线的左右两支分别为两点，此时， 因为，所以向量的夹角存在最大值，最大值为， 综上可得，向量的夹角存在最大值，不存在最小值. 故选：A.    2．（2026·上海黄浦·一模）已知点，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则.由题求出的取值范围，根据不等式的性质，可得的取值范围. 【详解】设，则. 因为，所以. 所以. 所以. 所以. 其中当与同时取最大值时，即与时，取得最大值，最大值为.此时，点重合，坐标为或. 当与同时取最小值时，即与时，取得最小值，最小值为.此时，点的坐标分别为或. 所以的取值范围是. 故选：B. 二、填空题 1．（2026·上海徐汇·一模）设向量，则在上的数量投影为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量投影的意义求解即得. 【详解】由向量，得，， 所以在上的数量投影为. 故答案为： 2．（2026·上海长宁·一模）设，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】先利用坐标计算，，再利用公式计算. 【详解】因，则，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为： 3．（2026·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将平方后利用二次函数的性质可求其最小值. 【详解】因为， 故 ， ， 故当时，的最小值为， 故最小值为. 故答案为：. 4．（2026·上海奉贤·一模）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据模长值得出圆的轨迹，再根据模长关系得出椭圆，最后应用圆与椭圆的位置关系得出最值即可. 【详解】因为和是互相垂直的单位向量，所以设， 向量满足，表示以为圆心，半径为1的圆， ， 向量满足， 表示长轴为，焦距的椭圆，且为椭圆焦点， 因为表示以为圆心，半径为1的圆上的点到椭圆上的点距离， 则. 故答案为：16． 5．（2026·上海闵行·一模）若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为 【答案】/ 【分析】以的外心O为原点建系，设，根据坐标运算即可求出. 【详解】如图所示：为的外心，以O为原点，平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 因等边的高为，则， 因圆，则设， 则， 所以，所以当时，的最大值为. 故答案为： 6．（25-26高三上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点，若，则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件，结合双曲线的定义、圆的定义，可得点P、Q的轨迹方程，由题意，即求在向量方向上的数量投影再加减半径即可，设，根据数量投影的公式，代入化简，分析计算，即可得答案. 【详解】因为，， 所以点P的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则点P的方程为， 因为，且， 所以点Q的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆， 所以Q的方程为， 要求向量在向量方向上的数量投影， 只需求在向量方向上的数量投影再加减半径即可， 设，， 所以在向量方向上的数量投影为， 令，则当时，， 当时，，则， 综上，即， 所以在向量方向上的数量投影的取值范围是. 故答案为： 7．（2026·上海徐汇·一模）某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时， ．（结果精确到） 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设出点，利用直线的夹角公式，表示出直线与的夹角的正切，再利用换元法令以及直线与圆的位置关系，求出的范围，再结合函数单调性，得到当最大时点的坐标，再根据向量夹角公式，求出，再利用同角三角函数的基本关系，计算出，即可得解. 【详解】    不妨以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则：，，设是圆上的点，设. ，， 结合图象，易知当最大时，点位于第一象限，且为钝角，设， 则两直线夹角的正切值公式为： 则：， ， 又因为在圆上，故， 因此，， 令，则，因为在圆上，因此可认为直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得. 由于点在第一象限的圆上，易知，因此， 故. 由于是关于的减函数(分母增大，整体减小)，因此当时，取得最小，即最小，此时对应最大. 当时，结合，解得，即. ， ， 又因为， 解得， 故答案为：. 8．（2026·上海静安·一模）如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】连接，设，利用转化法结合辅助角公式及三角函数的性质计算即可. 【详解】 连接，由， 知， 设，则为锐角，且， 所以 ， 由于，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 9．（2026·上海杨浦·一模）已知向量，，且，则实数 . 【答案】 【分析】由向量垂直坐标表示可得答案. 【详解】因，则. 故答案为： 10．（2026·上海嘉定·一模）已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为 . 【答案】 【分析】由题意设，根据数量积的坐标表示计算，即可求解. 【详解】因为为直线上的一个动点，所以与共线，设， 所以 ， 所以当时，取最小值，此时. 故答案为： 11．（25-26高三上·上海松江·期末）已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律及夹角公式列式求解. 【详解】由两个非零向量、相互垂直，得，而， 则，， 因此， 解得，经验证符合题意， 所以实数k的值为. 故答案为： 三、解答题 1．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. (1)求椭圆的焦距与的周长； (2)若，求点到轴的距离； (3)过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】(1)焦距为2，的周长8； (2)； (3). 【分析】（1）求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆定义求解. （2）由（1）求出点坐标，设出点坐标，再利用数量积的坐标表示列式求解. （3）设直线的方程为，求出范围，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示 出，再利用对勾函数单调性求出范围. 【详解】（1）椭圆的长短半轴长分别为，则半焦距， 所以椭圆的焦距，的周长. （2）由（1）得，设，则，即， ，由， 得， 整理得，而，解得，，点， 所以点到轴的距离为. （3）设直线的方程为，因为直线与轴正半轴相交，故， 则，由点在轴正半轴上，且位于椭圆内， 得，即， 由，消去得， ，设，则， ， ，， 因此，令，， 而，令，则， 函数在上单调递增，， 因此，，则， 所以的取值范围是. 平面向量的基本定理及坐标表示 考点2 1．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知等腰中，分别为的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的加减法结合平面向量基本定理列式计算求参即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，在等腰中，， 且分别为的中点， 则，， 由平面向量的减法法则可得， 而， 则，所以解得. 故答案为：. 2．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知向量、，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据平面向量共线求参数即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 平面向量的应用举例 考点3 一、单选题 1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的相反向量的性质得出求出结果. 【详解】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是. 故选：A. 二、填空题 1．（2026·上海金山·一模）已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得中共8个元素，记为，假设中最大交集为，从而可得含的四元集合最多有个, 且对在中最多出现3次，求得一个四元集中出现个二元数对，从而可得，求解即可. 【详解】由题意可知共个元素， 记为， 假设中最大交集为， 所以含的四元集合中剩下的两个元素不能相同， 因为中共8个元素，则还剩下6个元素， 所以中，含的四元集合最多有个, 即数对在中最多出现3次， 同理任何一个二元数对可在中最多出现3次， 所以一个四元集中出现个二元数对， 所以个四元集中共出现次， 因为中最多有种不同的二元数对，每个最多出现3次， 所以，解得. 所以正整数的最大值为. 故答案为： 2．（2026·上海普陀·一模）设是边长为1的正六边形所在平面上的一点，若点满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，由可得点的轨迹，再利用中点向量公式可得，并利用圆的性质求出最小值. 【详解】以正六边形的中心为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 由，得轴交于点，交于点， 由，得在以线段为直径的圆上，圆心为，半径为， 因此 ， 则， 当且仅当是圆与线段的交点时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 试卷第14页，共14页 试卷第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06平面向量（三大考点，19题） ☆3大考点概览 考点01平面向量的数量积 考点02平面向量的基本定理及坐标表示 考点03平面向量的应用举例 考点1 平面向量的数量积 一、 单选题 1.(2026上海杨浦一模)已知双曲线C:x- -=1,点M(4,6),点A、B分别在双曲线C的左、右两支上， 49 则向量MA、MB的夹角日() A.有最大值，但无最小值 B.无最大值，但有最小值 C.既有最大值，又有最小值 D.既无最大值，又无最小值 2.(2026上海黄浦一模)已知点P(-5,0),g,Q∈{(xy)x≤1，y≤1，则P·P见，的取值范围是() A.[15,36] B.[15,37] C.[16,36] D.[16,37] 二、填空题 1.(2026上海徐汇一模)设向量a=(-1,-2),b=(-3,4),则a在元上的数量投影为」 2.(2026上海长宁.一模)设ā=（2,3)，b=(1,0),则向量ā在b方向上的投影向量的坐标为」 3.(2026上海金山一模)己知非零向量a、b的夹角为0，若二 =cos0,a-=3,则a-bteR)的最小 值为」 4.(2026上海奉贤一模)在平面中，e和e是互相垂直的单位向量，向量ā满足a-6g=1,向量万满足 6-6g+5-8e=20,则a-的最大值是 5.(2026上海闵行一模)若点P是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则PA.BC的最大值为_ 6.(25-26高三上·上海青浦·期末)在平面直角坐标系中，0为坐标原点.已知点A(0,2),B(2,0),C(-2,0), 若PC-PB=2√2，QA=1,则向量00在向量OP方向上的数量投影的取值范围是 7.(2026上海徐汇一模)某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点0，城市有两个交通枢纽站点A、 B,其中站点A在市中心O的正东方向，距离O点4公里，站点B在市中心O的正北方向，距离O点也是4 试卷第13页，共14页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 公里.为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心0点2公里的位置，设置一个移动数据采集点C, 通过监测∠ACB的大小来优化信号.当∠ACB最大时，sin∠ACB= ·(结果精确到0.01) 8.(2026上海静安.一模)如图，己知AB是半圆O的直径，直径长为2，点C,D均在半圆O上，且都不与 点A,B重合，A,B,C,D四点依次按照逆时针方向排列.若CD的长为√2，则AC.BD的取值范围 为 D 9.(2026上海杨浦一模)已知向量a=(2,3),b=(3,x),且a1b,则实数x=一 10.(2026上海嘉定一模)己知向量OA=(1,7,OB=(5,1),OP=(2,1),K为直线OP上的一个动点，当 KAKB取最小值时，向量OK的坐标为 11.(25-26高三上上海松江期末)已知平面内两个非零向量ā、6相互垂直，ā=2b1,若 cos(,6)=2 则实数k的值为 2 三、解答题 1.(25-26高三上上海浦东新期末)已知椭圆C:号+号1，点0为坐标原点，椭圆的右顶点为4，左右焦 点分别为F、E,点E为椭圆在x轴上方的一动点 (1)求椭圆C的焦距与△EEF,的周长； 9 ②)若EA:EF=子，求点E到x轴的距离： (3)过点F作斜率为k的直线I交y轴正半轴于点P,点P位于椭圆内.直线1与椭圆C交于G、H两点，记 a0GH、△0F,P的面积分别为S、S,求冬的取值范围 S 考点2 平面向量的基本定理及坐标表示 1.(25.26高三上上海宝山期末)已知等腰ABC中，A=,E,F分别为AB,BC的中点，若 BC=2AF+uCE,则1= 试卷第14页，共14页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(25-26高三上·上海浦东新·期末)己知向量ā=(1，-3)、b=(1,k),若ā/6，则实数k的值为 考点3 平面向量的应用举例 一、单选题 1.（25-26高三上·上海宝山期末)如果复平面上的向量4B所对应的复数是-1+2i,则向量BA所对应的复 数是() A.1-2i B.1+2i C.-1+2i D.-1-2i 二、填空题 1.(2026上海金山一模)已知四边形4444，为平行四边形，集合0={44，i≠j,0j1,23,4}, M,M2,…,M均为集合2的四元子集，若对于任意m、n∈{1,2，，及，当m≠n时，Mm∩Mn中的元素个数 都不超过2个，则正整数k的最大值为 2.(2026上海普陀一模)设P是边长为1的正六边形AA2AA4AA,所在平面上的一点，若点AA2、P满足 PA·P4,=0, 则PAI的最小值是」 试卷第13页，共14页