专题05 三角函数与解三角形（5大考点，44题）（上海专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题05 三角函数与解三角形（5大考点，44题） 5大考点概览 考点01三角函数的图象与性质 考点02任意角的三角函数 考点03三角函数的应用 考点04三角恒等变换 考点05解三角形 三角函数的图象与性质 考点1 一、单选题 1．（2026·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的周期公式及奇函数的定义，结合诱导公式和二倍角公式逐项分析即可求解. 【详解】对于A，根据图象可知，函数的定义域为R，， 所以以为周期的偶函数，故A错误； 对于B，，，函数的定义域为R，，所以以为周期的偶函数，故B错误； 对于C，，，函数的定义域为R，， 所以以为周期的奇函数，故C错误； 对于D，，函数的定义域为关于原点对称， 且， 所以以为周期的奇函数，故D正确. 故选：D 2．（2026·上海崇明·一模）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义及基本函数的性质逐个判断即可. 【详解】对于A，的定义域为R，且，所以为奇函数， 又是严格增函数，正确； 对于B，的定义域为R，且，所以不为奇函数，错误； 对于C，的定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性，是严格增函数，错误； 对于D，的定义域为R，且，所以为奇函数， 但为周期函数，不是定义域R上的严格增函数，错误. 故选：A 二、填空题 1．（2026·上海奉贤·一模）运动员关心的是在足球场上的哪些位置射门命中的角度较大．在真实的射门过程中，我们做一些假定： （1）将足球看成一个质点； （2）接近球门时，足球运动的轨迹与地面平行； （3）射门时，足球与球门之间无防守员； （4）足球场平面图是一个矩形； （5）标准足球场的长度为105米，宽度为68米，球门的宽度为7.32米； 如图，以线段所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，是球门中心，两门柱位置分别为点、，两个角球点为、，是半场分界线．    对于区域内，射门点， 对于每一个确定的横坐标，可以找到唯一的，可以证明横坐标不变时，时，最大．此时，点在轴上是最佳射门点． 对于每一个确定的纵坐标，同样可以找到唯一的，当 时，最大．此时，点是最佳射门点． 【答案】 【分析】作的外接圆，得到圆心所在直线，由圆的圆心角和圆周角的关系找到最大时两点的位置关系，即可求得的值. 【详解】如图，，设 作的外接圆，∵，，∴圆心在轴正半轴上. 则， ∴当最大时，取最大值， ， ∴， ∴当取最小值时，取得最小值，∵，所以取最大值， 又∵，点为直线上动点， ∴当时，取得最小值， 此时，即. 故答案为：.      2．（2026·上海崇明·一模）已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据的值域得到，则成立的必要条件是，当时必然成立，讨论时是否满足条件即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以，所以， 即，，所以， 当且仅当时，成立， 所以， 必要条件：，解得； 若，即时，必然成立； 若，因为，，不妨设， 则，，且， 所以，， 所以①，②， ①②两式联立得，即， 所以，又，所以，， 当时，，不符合条件； 当时，，则，此时； 当时，，则或，此时或， 因为，所以； 综上，或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据的值域得到，将问题转化为；关键点之二在于讨论时是否满足条件. 3．（2026·上海杨浦·一模）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】函数的最小正周期， 故答案为：. 三、解答题 1．（2026·上海金山·一模）已知（其中），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于两点，点为线段上一动点． (1)求函数的表达式，并写出其严格增区间； (2)设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由两个相邻的极值点的距离可求得函数的最小正周期，进而确定，再由时取得极大值，且，可解得，则确定，再根据正弦型函数的单调区间，运用整体代入法求解即可； （2）先确定两点坐标，再根据以及直角三角形中的边长关系，求得，进而表示出，再令，通过求导研究其在区间内的单调性，求出的最小值，即可得到的最小值. 【详解】（1）设的最小正周期为， 则由题可知，，而，解得，则； 在处取得极大值，，， 又因为，故， 则. 令， 解得，即的严格增区间为. （2）由题可知，为轴右侧最接近轴的极大值点，而正弦型函数的极值点同时也是其对称轴， 因此易知，故，则. ，，. 因此. 设，，，. 设， 则， 当时，，即，因此在上单调递减； 当时，，即，因此在上单调递增， 因此在时取到最小值，， 故的最小值. 2．（25-26高三上·上海松江·期末）已知函数（、，）的周期为，在时取到最大值，记． (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，，记，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦函数的性质，结合已知条件求出、、的值，进而得到函数的表达式； （2）先根据函数表达式求出和的值，再利用等差数列的通项公式求出，进而得到，最后根据等比数列的前项和公式求出. 【详解】（1）由题意，函数（、，）的周期为， 所以，即，解得， 又函数在时取到最大值，所以， 解得，， 又，所以当时，， 所以函数的表达式为； （2）由（1）知，函数的表达式为， 所以，， 又数列为等差数列，则，解得，， 所以， 又，所以，即数列为首项是，公比为的等比数列， 所以数列的前项和. 任意角的三角函数 考点2 一、单选题 1．（2026·上海奉贤·一模）设、为实数，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C．时， D． 【答案】D 【分析】应用特殊值法计算判断A，B，C，应用对数函数单调性判断D. 【详解】因为、为实数，且， 当，，A选项错误； 当，，B选项错误； 当时，，C选项错误； 当，所以，D选项正确； 故选：D. 2．（2026·上海虹口·一模）已知， 若，则实数的取值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将选项中的自变量代入对应解析式中，结合特殊角三角函数值可确定结果. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，可以取，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，，，D错误. 故选：B. 二、填空题 1．（2026·上海黄浦·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】设，根据条件求解出的值，再根据，代入数值可求结果. 【详解】设，由题意可知，所以， 所以， 故答案为：. 2．（18-19高一·全国·课后作业）在内，使成立的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】内，，，利用三角函数线的变化规律可得答案． 【详解】如图所示，找出在内，使成立的值，由图可知，，．根据三角函数线的变化规律得出满足题中条件的角． 【点睛】本题考查三角函数线的变化规律，属于一般题． 3．（2026·上海金山·一模）上海护珠塔，俗称斜塔，始建于北宋元丰年间（1078-1085年），是世界上倾斜程度最大的佛塔之一，其倾斜角（塔身所在直线与铅垂线的夹角）超过意大利比萨斜塔．如图，护珠塔前有一条笔直的山路，山路所在直线与水平面夹角为．康同学为了测量护珠塔的倾斜程度，实施如下方案：从塔底沿着山路往下走至，此时测得长度为10米，观察塔顶的仰角（视线与水平面的夹角）为，继续往下走至，测得长度为25.9米，观察塔顶的仰角为．根据康同学的数据，可得该塔的倾斜角为 ．（精确到） （参考数值：） 【答案】 【分析】以为原点，建立直角坐标系，根据题意，得到的坐标，设塔高，倾斜角为，则，求得，且，代入数值，列出方程组，求得的值，结合，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以水平线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，且山路所在直线与水平面夹角为， 可得， 设塔高的长为，倾斜角为，则， 因为在处观察塔顶的仰角为，可得， 在处观察塔顶的仰角为，可得， 代入， 整理得，解得， 又由，所以. 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海松江·期末）设，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据题意利用诱导公式结合弦化切可得，运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的值为2. 故答案为：2. 5．（2026·上海金山·一模）若是第二象限角，，则 . 【答案】/-0.8 【分析】根据同角三角函数关系求出余弦值. 【详解】是第二象限角，，故. 故答案为： 三角函数的应用 考点3 一、填空题 1．（2026·上海徐汇·一模）某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时， ．（结果精确到） 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设出点，利用直线的夹角公式，表示出直线与的夹角的正切，再利用换元法令以及直线与圆的位置关系，求出的范围，再结合函数单调性，得到当最大时点的坐标，再根据向量夹角公式，求出，再利用同角三角函数的基本关系，计算出，即可得解. 【详解】    不妨以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则：，，设是圆上的点，设. ，， 结合图象，易知当最大时，点位于第一象限，且为钝角，设， 则两直线夹角的正切值公式为： 则：， ， 又因为在圆上，故， 因此，， 令，则，因为在圆上，因此可认为直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得. 由于点在第一象限的圆上，易知，因此， 故. 由于是关于的减函数(分母增大，整体减小)，因此当时，取得最小，即最小，此时对应最大. 当时，结合，解得，即. ， ， 又因为， 解得， 故答案为：. 二、解答题 1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． (1)根据条件具体写出关于的函数表达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 【答案】(1)； (2)4分钟． 【分析】（1）由中心点到地面距离得值，由摩天轮半径得值，由周期求得，再由初始值求得得表达式； （2）解不等式后可得． 【详解】（1）中心点距地面40m，则，摩天轮的半径为30m，即，，， 最低点到地面距离为10 m， 所以，，又，则， 所以所求表达式为； （2），， 取一个周期内，有，，． 所以在摩天轮转动一圈内，点有4分钟的时间距离地面超过55m． 2．（2026·上海嘉定·一模）图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中，、构成地面上过道的一侧边界，；地面上过道的另一侧边界，则分别与、平行，且交于点.过道两侧平行墙面之间的距离均为3米. 0 (1)如图2，在地面有一圆，该圆与、均相切，且过点.求此圆的半径； (2)如图3，有一根长度为米的无粗细木棒紧贴地面，端点沿移动，另一端点沿移动.当木棒触碰到点时，（弧度），求关于的函数关系及的最小值； (3)如图4，某长方体家具的底面为长方形，其宽为1米，长为10米（因过道高度足够，无需考虑家具高度）.现将底面紧贴地面移动，判断该家具能否顺利通过此转角过道，并说明理由. 【答案】(1) (2)， (3)不能通过，理由见解析 【分析】（1）连接，设圆心为，过作，，由几何性质建立半径的方程，解方程可得结果； （2）过点作，交过道另一侧边界于点，过点作，交过道另一侧于点，由图形关系可得与的函数关系，并利用导数和函数的对称性求得的最小值； （3）设，延长交于，交于，由，得到的表达式，验证可得结论. 【详解】（1）连接，设圆心为，过作，， 由，，，可得， 从而，， 所以，解得. （2）如图，过点作，交过道另一侧边界于点，过点作，交过道另一侧于点， 则，， 所以， 令， ， 当时，，， 所以， 所以，当且仅当时取等号，故在上严格单调递减， 并且，所以关于对称， 所以，即时，的最小值为12米. （3）设底面长方形顶点、分别在边界、上移动， 设，延长交于，交于， 则， 由， 设， 若家具可以通过转角，则对于，， 但，所以家具不能通过该转角. 三角恒等变换 考点4 一、单选题 1．（2026·上海嘉定·一模）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简，最后由正弦函数性质即可求解. 【详解】， 所以函数为奇函数，最小正周期. 故选：C 2．（25-26高三上·上海青浦·期末）对于实数，定义集合，集合的元素个数为，给出下列说法： ①存在，使得； ②存在，使得； ③存在，使得； ④存在，使得. 其中正确的说法有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的关系及半角公式，可得或，对m赋值分析，逐一检验，即可得答案. 【详解】因为，，所以， 所以或； 当时， ，此时， 所以存在，使得，故②正确； 当时， 或，此时， 所以存在，使得，故③正确； 当且时，不妨取， 此时或， 则或， 所以或，此时，即存在，使得，故④正确， 综上，无论m在上取任何实数，都不可能只有一个解，故①错误. 故选：C 3．（24-25高三上·上海金山·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令双曲线为，根据已知建立合适坐标系，并求出双曲线参数，进而得渐近线方程，利用二倍角正切公式求得夹角正切值，即可得其余弦值. 【详解】如下图建系，令双曲线为，且，则，， 如图，，，则，故， 将代入，得，可得，故渐近线为， 若它们的夹角为，且，则，故.         故选：D 二、填空题 1．（2026·上海黄浦·一模）如图，在一块空地上有四棵树，若把它们所在的位置看成点，则这四个点A，B，C，D恰好是一个平行四边形的四个顶点，且米，米，，现要用挡板围出一个形状为矩形的展览区，使得其边EF，FG，GH，HE分别经过点A，B，C，D，则该展览区的最大面积约为 平方米（精确到1平方米）． 【答案】 【分析】应用三角换元得出，再应用面积公式结合三角恒等变换化简，最后应用辅助角公式及正弦的值域计算求解. 【详解】设，又因为，所以, 所以，所以， 所以， ， 进而得出 为锐角， 当时，. 故答案为：2136 2．（2026·上海静安·一模）如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】连接，设，利用转化法结合辅助角公式及三角函数的性质计算即可. 【详解】 连接，由， 知， 设，则为锐角，且， 所以 ， 由于，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 3．（2026·上海徐汇·一模）函数的值域为 . 【答案】 【分析】化简得，即得解. 【详解】由题得， 所以当时，； 当时，. 所以函数的值域为. 故答案为： 4．（2026·上海静安·一模）已知是第四象限角，，则 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系得到，再利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】是第四象限角，，则， 故，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力. 5．（2026·上海崇明·一模）如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为 平方米．（结果保留整数） 【答案】137 【分析】根据已知条件知，当三角形的两边分别与圆弧相切时，三角形的面积最大，设切点为，，由三角形全等得到，将三角形面积的表达式用表示，从而转化为三角函数，利用换元法转化为基本不等式求最值即可求解. 【详解】设游乐区所在的三角形为，在线段上，在线段上，如图所示， 当分别于圆弧相切时，取得最大值， 由对称性，只讨论， 设与圆弧相切于点，连接， 设，因为≌，≌， 则，， 因为，所以，， ，， 所以 ， 因为，所以， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以平方米， 即该游乐区面积的最大值为137平方米． 故答案为：137. 三、解答题 1．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及单调减区间. (2)求函数，的最大值，并求出取得最大值时的值. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）利用余弦函数的周期公式及单调性列式求解. （2）利用三角函数恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质求出指定区间上的最大值. 【详解】（1）函数的最小正周期， 由，得， 所以函数单调减区间为. （2）依题意， 所以， 由，得，则当，即时，函数取得最大值2， 所以最大值为2，此时. 2．（2026·上海长宁·一模）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间； (2)设，求函数在区间上的值域． 【答案】(1)2；. (2). 【分析】（1）根据余弦型函数的最小正周期公式求得的值，得到的解析式，进而由整体法求得单调递减区间； （2）首先化简得到的解析式，再由的范围求得的值域. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为， 所以，解得. 所以. 要求的单调递减区间，令， 解得，即的单调递减区间为. （2）因为，所以， 所以. 由得， 由正弦函数的性质可得，所以， 所以函数在区间上的值域为． 3．（2026·上海静安·一模）已知函数(). (1)将函数化为的形式，并指出这个函数的振幅和初始相位； (2)若函数的最小正周期为，求的值并求函数的值域. 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数表达式即可得解； （2）由周期公式求得，根据振幅求得值域. 【详解】（1）， 这个函数的振幅为2，初始相位为. （2）由的最小正周期为，且 ，故. 函数的值域为. 4．（2026·上海虹口·一模）已知，，设. (1)当，时，试判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当且函数的最小正周期为时，若在中，，求的取值范围. 【答案】(1)函数是非奇非偶函数，理由见解析 (2) 【分析】（1）由可得的奇偶性； （2）先求出函数的解析式，再由正弦定理和余弦定理得到，再利用三角恒等变换对进行化简并结合三角函数的图象性质得到结果. 【详解】（1）当，时，，由， 所以既不关于轴对称，也不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数. （2）当且函数的最小正周期为时，，， 由在中，，利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得，所以， ， 由于，，，所以， 即的取值范围是. 5．（2026·上海青浦·一模）已知直线是函数的一条对称轴. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据给定的对称轴，结合正弦函数的图象与性质列式求解即得. （2）化简，再利用正弦函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）直线是函数的一条对称轴， 所以， 解得，由可得， 所以. （2） 令，由， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，， 即在上的最大值为，最小值为. 解三角形 考点5 一、单选题 1．（25-26高三上·上海松江·期末）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域的“直径”为，则以下两个结论： ①当时，；②的最大值为（   ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】根据“直径”的定义，找出“直径”与三角形边长之间的关系，分别对两个结论进行分析判断即可. 【详解】结论①：，BC边上的高等于， . 在中，，又， 所以，即，解得， 因此，. 当封闭区域内两点位于在同一半圆上时， 以在上任取两点，为例，连接， 则，又，所以， 当封闭区域内两点位于在不同半圆上时， 以在上取一点，在上取一点为例，设，的中点分别为，，连接，，，， 由两点间线段最短可得，当且仅当，，，四点共线时取等号， 综上，， 所以， 故结论①正确. 结论②：设中角，，所对的边长分别为，，，设边上的高为，即，. 由三角形面积公式可得， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以. ， 即，当且仅当时取等号. 由①知， 将，代入可得， 当且仅当，，，四点共线，时取等号， 所以，故结论②正确. 故选：B 二、填空题 1．（25-26高三上·上海浦东新·期末）中，，，，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理以及余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可得， 因为，所以. 故答案为：. 2．（2026·上海长宁·一模）如图，两塔的塔尖分别为，塔底分别为，塔身均垂直水平面已测得与的距离，4名同学分别测得如下4组数据： ①，，；②，，； ③；④． 其中不能唯一确定与之间距离的数据的序号有 ． 【答案】② 【分析】将空间几何问题转化为确定塔高与的过程，对于每个数据组，首先判断能否由已知角度和已知边长唯一确定水平距离与两个塔高；若能，则两塔尖的空间坐标唯一确定，距离随之唯一确定，若给出的角度条件不足以唯一确定所有未知的塔高或位置，则存在多解，从而无法唯一确定两塔尖距离. 【详解】①： 与的长度，用余弦定理确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 由知唯一确定. ②：取，设， ， 解得或，故②不能唯一确定. ③： 与的值，在中可确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 由，及已知，可确定唯一. ④：由三余弦定理可求得，后续与①一致，可唯一确定的长度. 故答案为：② 3．（2026·上海闵行·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC，点在边BC上，且，小闵同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为 【答案】 【分析】根据给定信息确定照射面积最大时情况，再利用正弦定理、三角形面积公式列式，利用基本不等式求出最大值. 【详解】依题意，要使手电筒在ABC内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过AB、AC边，如图， 在正中，，，设， 由正弦定理得：，则， ，则， ， 当且仅当，即，亦即时取等号， 所以手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为. 故答案为： 4．（2026·上海杨浦·一模）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有 .（写出所有正确的序号） 【答案】②③④ 【分析】结合题目给出条件以及直角三角形的边角关系，可知均已确定，对于①②③，可先根据余弦定理判断是否确定，再根据勾股定理判断是否确定；对于④，可直接根据余弦定理进行判断. 【详解】设， 在中，， 同理可得， 由于均为已知量，故均为定值. 对于①：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故该方程为关于的一元二次方程，可能有两解. 例如，若， 则可得，即，解得或， 由勾股定理可得，由于为定值，而有两解，故也有两解，故①错误； 对于②：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故也为定值， 又因为，其中均为定值，故为定值，故②正确； 对于③：在中，由余弦定理可得，整理得且均为定值， 故该方程为关于的一元二次方程.又， 故，即有两解，设两解分别为， 由韦达定理可知，，即异号，因此该方程仅有1个正数解，即有唯一确定解， 又因为，其中均为定值，故为定值，故③正确； 对于④：在中，由余弦定理可知，，因为均为定值，故也为定值，故④正确， 故答案为：②③④. 5．（2026·上海静安·一模）在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由余弦定理及已知条件，整理得到的值，然后求，由三角形面积公式即可求得结果. 【详解】由余弦定理得， ∵，，∴，即， 整理得，即，所以， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 6．（2026·上海黄浦·一模）已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为 ． 【答案】 【分析】由正弦定理求得正三角形的外接圆半径，结合球心O到平面的距离，根据勾股定理可求得球O的半径，从而求得球O的体积. 【详解】设正三角形的外接圆半径为. 根据正弦定理可得，，所以. 设球O的半径为，则，. 所以球O的体积为. 故答案为：. 三、解答题 1．（2026·上海徐汇·一模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，求的面积； (2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式求出的值，再结合三角形的面积公式可求得结果； （2）利用余弦定理结合同角三角函数的平方关系可得出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【详解】（1）由二倍角余弦公式可得，可得， 因为，所以，故， 故的面积为. （2）在中，，，， 由余弦定理可得， 故为锐角，且， 由正弦定理可得，故. 2．（2026·上海奉贤·一模）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)在中，角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数的性质计算即得； （2）由计算出，利用两角和的正弦公式求得，再借助于正弦定理计算即得. 【详解】（1）， 当时，， 则，即的值域为； （2），则，即， 又，故或； 若，由，则 ， 由正弦定理，可得； 若，由，则 ， 由正弦定理，可得. 综上，或. 3．（2026·上海闵行·一模）已知函数，（，，），其部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)在中，分别是角的对边，若，成等差数列，判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】（1）由图可知，，，将数值代入函数解析式即可求得相关参数； （2）根据求得，再利用正弦定理将化为，进一步化简得到，从而求出，即可求出答案. 【详解】（1）由图知：， ，因为，所以， ，所以，解得， 由得，所以， 所以. （2）因为且，所以， 因为成等差数列，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 将代入得， 展开得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以为等边三角形. 4．（2026·上海杨浦·一模）已知函数，. (1)记，求证：函数为偶函数； (2)在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用诱导公式得，再根据偶函数的定义证明即可； （2）利用辅助角公式整理，根据已知求出，利用余弦定理结合已知可得的值，最后由三角形面积公式求解. 【详解】（1）根据题意， ， 则， 所以函数为偶函数； （2）由辅助角公式得， 则， 所以，可得， 由余弦定理可得，由于，， 则，解得（舍去负根）， 由已知得，则， 所以. 5．（2026·上海普陀·一模）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二倍角正弦公式和正弦定理得，结合得，结合角的范围即可求解； （2）先求得，然后利用整体法，结合正切函数性质列不等式求解即可. 【详解】（1）由已知条件得， 由正弦定理得， 又，则，因为，所以. （2）由得，， 又，则，又，则， 要在区间上恰有3次使得函数的值能取遍内的所有值， 则，即， 则所求的的取值范围是. 6．（2026·上海黄浦·一模）在中，，，．    (1)求的长和的正弦值； (2)若点D在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于． 【答案】(1)， (2)；存在 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出； （2）利用正弦定理求出，求导，假设命题成立求出，进而得出结论． 【详解】（1）， 由余弦定理得， ， 由正弦定理得， ． （2）在中，，， 由正弦定理得， ， ， ， ， ， 即； 求导得， 假设存在，使得在处的瞬时变化率等于， 则，即①， ，， 式①化简整理得， 在内有解， 存在这样的（）使得在处的瞬时变化率等于． 7．（2026·上海崇明·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据正弦定理边角互化化简得出正切，结合范围求角； （2）应用面积公式计算得出，再结合余弦定理得出边长即可判断. 【详解】（1）由正弦定理可得, 因为，所以，,所以. （2）, 所以, 由余弦定理，得, 即，解得, 所以是等边三角形. 试卷第40页，共40页 试卷第39页，共40页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05三角函数与解三角形(5大考点，44题) ☆5大烤点概览 考点01三角函数的图象与性质 考点02任意角的三角函数 考点03三角函数的应用 考点04三角恒等变换 考点05解三角形 考点1 三角函数的图象与性质 单选题 1.(2026上海普陀一模)下列函数中，周期为的奇函数是() A.y=sinx B.y=cos2x-sin2x sin2x D.y=, 1+cos2x 2.(2026上海崇明一模)下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（) A.y=x3 B.y=e* C.y=lgx D.y=sinx 二、填空题 1.(2026上海奉贤一模)运动员关心的是在足球场上的哪些位置射门命中的角度较大.在真实的射门过程 中，我们做一些假定： (1)将足球看成一个质点： (2)接近球门时，足球运动的轨迹与地面平行： (3)射门时，足球与球门之间无防守员： (4)足球场平面图是一个矩形； (5)标准足球场的长度为105米，宽度为68米，球门的宽度为7.32米； 如图，以线段AB所在直线为y轴，以线段AB的垂直平分线为x轴建立平面直角坐标系，O是球门中心， 两门柱位置分别为点A、B,两个角球点为C、D,EF是半场分界线. 试卷第39页，共40页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 对于区域CDEF内，射门点P(x,y), 对于每一个确定的横坐标x,可以找到唯一的y,可以证明横坐标不变时，y=0时，∠APB最大.此时， 点P在x轴上是最佳射门点. 对于每一个确定的纵坐标y(3.66<y<34),同样可以找到唯一的x,当x=时，∠APB最大.此时， 点P是最佳射门点. 2.(2026上海崇明一模)已知f(x=sin0x,若存在x、x2∈[0π，20π，且x≠x2,使得 1 1 f(x)+1f(x2)+1 =1成立，则o的取值范围是一 3.(2026上海杨浦一模)函数y=3si(2x+乃)的最小正周期为 三、解答题 1.(2026上海金山一模)已知fx)=2sin@x+p)(其中o>0<,函数y=fx)相邻的极小值点和 极大值点分别为一和2红，直线为函数y=儿x在)轴右侧与)》轴匣离最近的对称轴，且分划交函数 3 y=∫(x的图象和x轴于A,B两点，点C为线段AB上一动点. ()求函数y=f(x)的表达式，并写出其严格增区间： (2)设∠B0C=0,记L=AC+20C,请写出L关于O的函数表达式，并求L的最小值. 2.(25-26高三上·上海松江·期末)己知函数y=Asin(ox+p(A、w>0,0<p<π)的周期为刀，在 x=工时取到最大值4，记y=f(). 6 (1)求函数y=f(x的表达式： (2)若数列{a}为等差数列，a2=f(0)，a4=了 记bn=2,求数列{b}的前n项和工n. 6 试卷第40页，共40页 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点2 任意角的三角函数 一、单选题 1.(2026上海奉贤一模)设a、b为实数，且a>b>0,则下列不等式一定正确的是() A.a>b2 B.sina sinb b C.c>0时， a >1 D.Ina Inb tanx,x>0 2.(2026上海虹口一模)已知f(x)= -fx+),x<0' 若f(a)=V3,则实数au的取值可以是() A.- 2π 3 B C.g D. 2π 二、填空题 1.(2026上海黄浦·一模)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边与以坐标原点 为圆心、1为半径的圆交于点P,若点P的横坐标与纵坐标之和为；，则tana+cota的值为 2.(18-19高一·全国课后作业)在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为 3.(2026上海金山一模)上海护珠塔，俗称斜塔，始建于北宋元丰年间(1078-1085年)，是世界上倾斜程 度最大的佛塔之一，其倾斜角（塔身所在直线与铅垂线的夹角）超过意大利比萨斜塔.如图，护珠塔前有 一条笔直的山路，山路所在直线与水平面夹角为34°.康同学为了测量护珠塔的倾斜程度，实施如下方案： 从塔底A沿着山路往下走至B,此时测得AB长度为10米，观察塔顶D的仰角（视线与水平面的夹角）为 76°，继续往下走至C,测得AC长度为25.9米，观察塔顶D的仰角为60.根据康同学的数据，可得该塔 的倾斜角为」 ·(精确到0.1°) (参考数值：tan76°≈4.0108，tan60≈1.732，sin34≈0.5592，cos34≈0.8290，tan6.5°≈0.1147) B 4.(26商三上上海格江期未)设a0引若sma-nam任-)号 则tana的值为 试卷第39页，共40页 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2026上海金山一模)若a是第二象限角，sina= 5,则cosa= 考点3 三角函数的应用 一、填空题 1.(2026上海徐汇一模)某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点0，城市有两个交通枢纽站点A、 B,其中站点A在市中心0的正东方向，距离0点4公里，站点B在市中心0的正北方向，距离0点也是4 公里.为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心O点2公里的位置，设置一个移动数据采集点C, 通过监测∠ACB的大小来优化信号，当∠ACB最大时，si∠ACB= (结果精确到0.01) 二、解答题 1.(25-26高三上·上海宝山期末)如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y(m关于时间t(min)的函数表达 式为：y=Asin(ot+p)+b,(A>0,o>0,p≤π.已知摩天轮的半径为30m,其中心点0距地面40m,摩天 轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位置在摩天轮的最低点处. (I)根据条件具体写出y关于t的函数表达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点P有多长时间距离地面超过55m? 2.(2026上海嘉定一模)图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦 的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足其中，QA、QB构成地面上过道 的一侧边界，∠AQB=120°；地面上过道的另一侧边界，则分别与QA、QB平行，且交于点P.过道两侧平 行墙面之间的距离均为3米 3m B 0 12 3m (图1) (图2) 试卷第40页，共40页 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、3m 3m 3m H A M (图3) (图4) (1)如图2，在地面有一圆，该圆与QA、QB均相切，且过点P.求此圆的半径； (②)如图3，有一根长度为y米的无粗细木棒MN紧贴地面，端点N沿QB移动，另一端点M沿AQ移动.当 木棒MN触碰到点P时，LQMN=x(弧度)，求y关于x的函数关系及y的最小值： (3)如图4，某长方体家具的底面为长方形EFGH,其宽为1米，长为10米（因过道高度足够，无需考虑家 具高度)现将底面EFGH紧贴地面移动，判断该家具能否顺利通过此转角过道，并说明理由 考点4 三角恒等变换 一、单选题 1.(2026上海嘉定一模)函数y=1-2cos2 x+4是() A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 2.(2526高三上上青浦期末)对于实数me-1,定义架合么==m受na=, 集合An的 元素个数为4m,给出下列说法： ①存在m,使得4n=1: ②存在m,使得Am=2; ③存在m,使得4m=3: ④存在m,使得An=4。 其中正确的说法有()个。 A.1 B.2 C.3 D.4 3.(24-25高三上·上海金山期末)古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线， 试卷第39页，共40页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 其中的一种如图所示.用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，己 知高P0=2,底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线EF上AB,则双曲线的两条渐近 线所成角的余弦值为(). M B A. B. c D. 6 二、填空题 1.(2026上海黄浦一模)如图，在一块空地上有四棵树，若把它们所在的位置看成点，则这四个点A,B, C,D恰好是一个平行四边形的四个顶点，且AB=40米，BC=30米，∠BAD=60°，现要用挡板围出一个 形状为矩形的展览区EFGH,使得其边EF,FG,GH,HE分别经过点A,B,C,D,则该展览区的最大面 积约为 平方米（精确到1平方米）. H G B 2.(2026上海静安.一模)如图，已知AB是半圆O的直径，直径长为2，点C,D均在半圆O上，且都不与 点A,B重合，A,B,C,D四点依次按照逆时针方向排列.若CD的长为√2，则AC.BD的取值范围 为 D 试卷第40页，共40页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(2026上海徐汇一模)函数f(x)=sinx+cosx的值域为 4.(2026上海静安.一模)己知是第四象限角，cos0a= ,则tan2a= 3 5.(2026上海崇明一模)如图，某小区内有一块矩形区域ABCD,其中AB=40米，AD=20米，点E、 F分别为AB、CD的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为A、B,半径均为20米）， 其余区域为草坪.现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段EF上，另外 两个顶点在线段CD上，则该游乐区面积的最大值为平方米.（结果保留整数） B 三、解答题 1.(25-26商三上上海浦东新期末)已知函数y=,其中)=c0s2r-骨 ()求函数y=f(x)的最小正周期及单调减区间 Q求函数y=2nx+f,x若孕的最大值，并求出取得最大值时x的值 2.(2026上海长宁.一模)已知函数f(x=c0s0x(o>0). (1)若函数y=∫(x)的最小正周期为刀，求o的值及y=f(x)的单调递减区间： ②设m=bg(到=f2-2ff+》求函数)=g到在区同0，上的值线。 3.(2026上海静安-梭)已知函数f)=4 4sinx+}c0s0r-2(0>0) (I)将函数y=f(x化为y=Asin(kx+p) A>0k>0,≤ 的形式，并指出这个函数的振幅和初始相位： (2)若函数y=f(x)的最小正周期为刀，求⊙的值并求函数y=∫(x)的值域： 4.(2026上海虹口一模)已知o>0,p≤π，设fx)=c0s0x+p) ①)当0=2，p=亚时，试判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由： 4 (②)当p=-元且函数y=f(x的最小正周期为2x时，若在ABC中，sin'A+sin'C-sin'B=sin4sinC,求 2 f(A)+f(C)的取值范围. 试卷第39页，共40页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2026上海青浦一模)已如直线x=是药数1=sm2x+po<的一条对称轴 (I)求函数f(x)的解析式： 版函数g=}+引求8在到 上的最大值和最小值 考点5 解三角形 一、 单选题 1.(25-26高三上·上海松江·期末)定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直 径”.在ABC中，BC=1,BC边上的高等于tanA,以ABC的各边为直径向ABC外分别作三个半圆， 记三个半圆围成的平面区域的“直径”为d,则以下两个结论： ①当∠ABC=5时，d=5+2,②d的最大值为6+1（) 2 A.①正确，②错误 B.①②都正确 C.①错误，②正确 D.①②都错误 二、填空题 1.(25-26高三上上海浦东新期末)ABC中，A=,b=1,sinC=2sinB,则a= 2.(2026上海长宁.一模)如图，两塔的塔尖分别为M、N,塔底分别为A、B,塔身MA、NB均垂直水平 面ABC.已测得C与A、B的距离，4名同学分别测得如下4组数据： ①∠MCA,∠NCB,∠ACB;②∠MCA,∠ACB,∠MCN; ③∠MCA,∠NCB,∠MCN;④∠MCA,∠ACB,∠NCA. 其中不能唯一确定M与N之间距离的数据的序号有 3.(2026上海闵行一模)草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC,点P在边BC上， 且PB=2PC1,小闵同学在该区域玩耍，他在P处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条 光线的最大夹角)为60°，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为m 4.(2026上海杨浦一模)某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中， 抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA,NB均与水平面ABC垂直，在己测得可直接到达的两点 间距离AC,BC,且AC<BC,用测角仪测得∠MCA,∠NCB的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面 试卷第40页，共40页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一个角：①∠ABC;②∠ACB;③∠BAC;④∠MCN,其中一定能唯一确定M,N之间的距离有」 (写出所有正确的序号) B 5.(2026上海静安.一模)在ABC中，将角A,B,C所对边的边长分别记作a,b,c.设b=√2c-a.若c=1, QosC=写则4BC的面积为 6.(2026上海黄浦一模)已知边长为3的正三角形ABC的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面 ABC的距离为1，则球O的体积为 三、解答题 1.(2026上海徐汇一模)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,已知a=4,b=5. 0法os2C-号求4BC的面积： (2)若内角C的对边c=6,求角A的正弦值及ABC外接圆的半径R. 2.（2026上海奉贤一模)已知函数f川x)=。 2 sin2x-3 c0s2x. (1)当x∈ 5π13π 6’12 时，求函数∫(x)的值域： ②在4BC中，角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c,若C=0,a=2,B=子求D, 3.(2026上海闵行一模)已知函数y=f),f)=Asn@x+0)(A>0,0>0,1p水号，其部分图象 如图所示 (1)求y=f(x)的解析式： 试卷第39页，共40页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若f(B)=1,a,b,c成等差数列，判断ABC的形状. 4.(2026上海杨浦.一模)己知函数∫x=sinx+cosx,x∈R (1)记g(x)=f(x)+f ,求证：函数y=gx为偶函数； 2 √2 ②在48C中，4，B,C所对的边分别为a,b,。已知fC+到=-空，=3，c=0,求ABC的面 积 5.（2026上海普陀一模)在4BC中，内角4B,C所对的边分别为a,bc,且a=5 bsin2A sinB (1)求角A的大小； ②设m∈R,0<9<,函数y=f的表达式为f()=an(2x+p,且f4=5,若在区间 5π 上恰有3次使得函数∫(x的值能取遍区间[2025，+o)内的所有值，求m的取值范围. 6.(2026上海黄浦恢)在ABC中，∠BC=经，48=6,4C-3万 D A B (I)求BC的长和∠B的正弦值； (2)若点D在BC边上，且BAD=0,设AD=f(0),求f(O)的表达式，并判断是否存在日，使得f(O)在 0=0处的瞬时变化率等于-∫(0，). 7.(2026上海崇明一模)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsinA-V3 acosB=0. (I)求角B的大小： (2)若b=2,△ABC的面积为√3，请判断ABC的形状，并说明理由. 试卷第40页，共40页