专题04 导数及其应用（3大考点，20题）（上海专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题04 导数及其应用（3大考点，20题） 3大考点概览 考点01导数的概念和几何意义 考点02导数在研究函数中作用 考点03导数的综合应用 导数的概念和几何意义 考点1 1．（2026·上海奉贤·一模）记，分别为函数和的导数，存在，满足且，则称为和的一个“点”． (1)若函数与存在“点”，求实数的值； (2)证明函数与不存在“点”； (3)已知函数，，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在，理由见解析. 【分析】（1）求导，设“点”为，解方程组，可得结论． （2）假设存在“点”为，解方程组，应用等式无解可得结论； （3）设“点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围即可求解. 【详解】（1）设 ，，则 ，， 由题意得： 需同时满足：，故， 所以， 得，所以 . （2）由题意 需同时满足：， 令， 函数有，函数，有， 令，所以得， 因为，所以无解， 故函数与不存在“点”； （3）对任意的，存在，使得函数和在区间内存在“点”. 设，，则，， 函数与在区间内存在“点”， 则 且需同时满足：，即， 得：且， 联立得：， 因为， 所以， 由 得： ， 又因为，所以，解得， 此时，当，所以， 当，设，， 故在为增函数，且，而时，， 故对于任意，总存在，使得， 令， 求导得， ， 故函数在 单调递增，故， 所以存在满足题意； 所以存在，使得函数和在区间内存在“点”. 2．（2026·上海崇明·一模）已知函数，其导函数是．对于任意，记曲线在点处的切线方程为．定义集合． (1)若，求集合； (2)若定义域且函数是偶函数，证明：若则； (3)设，若集合，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，求得在处的切线方程，得到，由，得出，即可求解； （2）求得点和处的切线方程，得到和，结合题意，化简得到，由，得到，转化为证明，即可得证； （3）求得，得到的解集为，令，求得，分和，两种情况讨论，求得其单调性和极值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 则且可得， 所以曲线在处的切线方程为，即， 又由，可得，解， 解得或，所以或. （2）解：因为函数是偶函数，所以，且， 则在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为， 即， 又因为且，所以， 因为，则，即， 要证明，即证明， 因为， 所以，即. （3）解：由函数，可得， 当时，可得， 所以切线方程为，即， 因为集合，所以的解集为， 即的解集为， 令，则的解集为，且， 又由， 若，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，满足的解集为； 若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则当时，，则不满足的解集为， 综上可得，实数的取值范围为. 3．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知连续函数和，设，集合． (1)若指数函数的图像过点，且，求； (2)若，，且在区间上存在极值点，求实数的取值范围，并判断是否属于，请说明理由； (3)若的导函数是上的严格减函数，，且函数在处的切线方程是．求证：“”的充要条件是“”． 【答案】(1) (2)，； (3)证明见解析 【分析】（1）根据指数函数的解析式代入计算求解得出，再解指数不等式得出； （2）构造函数，再根据导数得出函数单调性及极值，结合新定义得出即； （3）根据充分条件及必要条件定义应用导数结合切线及单调性计算证明即可. 【详解】（1）设，由题意可知，则， 所以， 由，得， 即； （2）因为，所以， 设，因为，所以在上是增函数， 所以，又因为在区间上存在极值点， 所以，解得，由得，则， 所以， 因为，所以，所以，即； （3）已知，则当时，， 因为是连续函数且，所以， 所以是得一个极大值点，故， 又，于是， 所以函数在处的切线方程是． 代入化简得，即，充分性成立； 已知，又函数在处的切线方程是， 即， 于是，所以，， 因为，又因为函数是上的减函数， 所以函数是上的减函数， 当时，， 所以是在上单调递减，则， 当时，， 所以是在上单调递增，则， 所以，必要性成立； 综上，“”的充要条件是“”． 4．（2026·上海黄浦·一模）在中，，，．    (1)求的长和的正弦值； (2)若点D在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于． 【答案】(1)， (2)；存在 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出； （2）利用正弦定理求出，求导，假设命题成立求出，进而得出结论． 【详解】（1）， 由余弦定理得， ， 由正弦定理得， ． （2）在中，，， 由正弦定理得， ， ， ， ， ， 即； 求导得， 假设存在，使得在处的瞬时变化率等于， 则，即①， ，， 式①化简整理得， 在内有解， 存在这样的（）使得在处的瞬时变化率等于． 5．（2026·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）令，应用两点距离公式求参数值，即可得点的坐标； （2）若垂直抛物线的准线于，结合抛物线的定义得，数形结合确定其最小值； （3）设，，应用导数几何意义求过的切线，进而得到，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，即可证. 【详解】（1）由题设，令，则，即， 所以，故或； （2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 又抛物线的准线时，最小为， 所以的最小值为；    （3）由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为，即， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以，则，， 显然点在直线，即上，得证. 导数在研究函数中作用 考点2 1．（2026·上海长宁·一模）已知． (1)求函数的驻点； (2)设，若关于的方程在区间内有解，求的取值范围： (3)定义，设，若存在实数，使得，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定函数定义域，根据驻点定义求解即可； （2）先根据函数推出，再根据参变分离确定参数范围即可； （3）根据题意可得，再由题意可得，则，令，求导，利用导数求函数最值即可． 【详解】（1）函数定义域为，， 令，解得， 所以函数的驻点为； （2）， 则， ， ， 又关于的方程在区间内有解， 所以在区间内有解， 即， ，， ， 即， 解得； （3）由题意可得， 则， 即， 又是增函数， 由（1）知在单调递减，在单调递增， 又，且存在实数，使得， 所以不单调，，解得， 即在单调递增，在单调递减，在单调递增， ，又， ， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ， 故， 即实数的最小值为． 2．（25-26高三上·上海松江·期末）已知函数，正常数，记． (1)当时，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)若函数既存在极小值也存在极大值，求实数a的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，都有． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，理由见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性即可； （2）对求导得，将既存在极小值也存在极大值转化为方程在上有两个不同的正实数根即可求解； （3）利用（1）的结论得到，再令进行累加，即可得证. 【详解】（1）函数在区间上单调递增，理由如下： 当时，，定义域为，则， ，且，，当且仅当时取等号， 函数在区间上单调递增； （2），定义域为， 则，设， ，的符号由分子决定， 函数既存在极小值也存在极大值等价于方程在上有两个不同的正实数根， ，解得，实数a的取值范围是； （3）由（1）知，当时，，即， 令， 则，即， 将到累加得，， 即， ，得证. 3．（2026·上海静安·一模）已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. (1)若函数是点奇函数，求实数的值； (2)证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析，极小值点1，极大值点； (3)是，. 【分析】（1）法一：由题意可得是奇函数，由此计算可求得；法二：由题意可得对任意实数恒成立，据此计算可求得； （2）求导可得，可得有两个不等的解，进而可得有两个极值点，由题意可得，求得的值，验证即可； （3）法一：当时，由题意有，可得，求解即可.法二：由题意可得恒成立，求解即可. 【详解】（1）法一：若函数是点奇函数，则是奇函数，得是奇函数， 即，因为， ，比较两式右边，由 所以，解得. 法二：若函数是点奇函数，则的图像关于点对称， 则对任意实数恒成立， 即，化简得， 所以，解得． （2），从而，其中， 所以恰有两解，即函数恰有两个驻点，设为，，， 则就是一元二次方程； 当时，，当时，，当时， 从而是的极大值点，是的极小值点，所以函数存在两个极值点，此外再无极值点. 因为是的极小值点，所以，即，解得或1. 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是的极大值点(舍去)； 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因此是的极小值点. 综上，可得，极小值点，极大值点. 所以的所有极值点为和. （3）法一：由（2）可知，当时，是的极大值点， ， 极大值点，极小值点. 假设 是点奇函数，则满足：， 即， 等式左边展开计算：， 要求与无关，所以的系数必须为0，所以，解得. . 即函数的对称中心是，函数是点奇函数. 法二：由（2）可知，当时，是的极大值点，， 此时极大值点，极小值点.符合题意； 假设存在对称中心，则满足恒成立， 即， 化简得恒成立， 所以，解得 所以函数存在唯一的对称中心， 所以函数是点奇函数. 4．（2026·上海嘉定·一模）已知. (1)若，求函数的单调区间. (2)若在上存在零点，求实数的最大值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间即可； （2）问题化为与在上有交点，应用导数研究的单调性并求出值域，即可得范围. 【详解】（1）由题设，则， 当或，即在上单调递增， 当，即在上单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； （2）在上，令， 所以在上有解， 即与在上有交点， 由且， 所以，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当或，有，且， 所以，故最大的为. 5．（2026·上海闵行·一模）已知函数的定义域为，对于，若，且 ，则称为的一个“点”，记为的所有“点”构成的集合． (1)若，分别判断与1是否正确； (2)证明：“”的一个充要条件为“当时，”； (3)已知，，其中、，记，．若，求的取值范围． 【答案】(1)0，正确；不正确； (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）由题意可知，当时，，根据“点”的定义即可判断； （2）分别从充分性和必要性讨论，的情况即可得证； （3）分类讨论，下的不存在“点”，得出，再分类讨论，，，下的的“点”的情况，得出，求出，从而求出，即可求出，从而求出的取值范围． 【详解】（1）由题意可知，当时，， 当时，， 当时，，所以，正确； 由，故，即1不正确； （2）充分性：因为， 故当时，，当时，，所以； 必要性：当时， 由得； 由 得； 所以时，恒成立； 综上，命题得证； （3）当时， ，；，， 此时不存在点； 当时，，；，， 此时不存在“点”；所以； 所以，， ①当时， ，不存在“点”； ②当时，，不存在“点”； ③当时，，， 此时， 故， ⅰ．当时，，此时在R上单调递增，故与矛盾； ⅱ．当时，由0得， 由得 所以在，上单调递增，在上单调递减； 此时 所以或，解得； ⅲ．当时，由0得， 由，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 此时， 所以或，解得， 所以； 综上，的取值范围． 6．（25-26高三上·上海青浦·期末）已知函数定义域为，对于实数，定义集合，. (1)若，求和； (2)给定实数，若满足对任意，均有，求的取值范围； (3)若集合满足：，则称和互为对称集.证明：“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 【答案】(1)，或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设定义求解即可； （2）根据题设定义得到对于任意，都有，分析函数的单调性，结合图象求解即可； （3）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性. 【详解】（1）由在上单调递减，在上单调递增， 则时，，即， 而或. （2）因为对于任意，均有， 若，则，即若，则，所以， 由，则， 令，得，令，得或， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增， 又， 作出函数的图象， 由于对于任意，都有，则或， 所以的取值范围为. （3）若函数是偶函数， 则对任意，， 对任意，若，即且， 则， 由，得，而，则； 若，则且， 则， 由，得，而，则， 所以对任意实数与互为对称集，充分性成立； 若对任意实数与互为对称集，则， 而，， 由，等价于， 对任意，，则，则， 对任意，，则，则， 所以，则函数是偶函数，必要性成立. 综上所述，“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 7．（2026·上海普陀·一模）设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 【答案】(1)函数具有性质，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，将问题转化为函数的零点问题，进而结合单调性与零点存在性定理求解即可； （2）根据函数定义，将问题转化为存在实数，使得有三个实数根问题，再构造函数求解即可. （3）由题将问题转化为存在实数根的充要条件为充分性的证明方面，先验证当时，函数具有性质，再讨论当且时，结合函数隐零点得存在满足，即成立；再证必要性：先说明不成立，再研究的性质得函数在严格减函数，严格增函数，进而得得矛盾即可证明. 【详解】（1）解：由得， 设， 当时，， 又 则存在，使得，即 故函数具有性质 （2）解：由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得， 即，即， 即存在实数，使得有三个实数根 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 0 + 0 ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的的取值范围是． （3）证明：由得，， 由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，， 且当时，，则， 则存在满足，即成立， 所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则 由得， 若，则，与已知矛盾； 若，设，则，即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 需证， 令，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾； 综上，函数具有性质的充要条件为. 8．（2026·上海金山·一模）已知（其中），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于两点，点为线段上一动点． (1)求函数的表达式，并写出其严格增区间； (2)设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由两个相邻的极值点的距离可求得函数的最小正周期，进而确定，再由时取得极大值，且，可解得，则确定，再根据正弦型函数的单调区间，运用整体代入法求解即可； （2）先确定两点坐标，再根据以及直角三角形中的边长关系，求得，进而表示出，再令，通过求导研究其在区间内的单调性，求出的最小值，即可得到的最小值. 【详解】（1）设的最小正周期为， 则由题可知，，而，解得，则； 在处取得极大值，，， 又因为，故， 则. 令， 解得，即的严格增区间为. （2）由题可知，为轴右侧最接近轴的极大值点，而正弦型函数的极值点同时也是其对称轴， 因此易知，故，则. ，，. 因此. 设，，，. 设， 则， 当时，，即，因此在上单调递减； 当时，，即，因此在上单调递增， 因此在时取到最小值，， 故的最小值. 9．（2026·上海杨浦·一模）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 【答案】(1)是压缩函数. (2) (3)证明过程详见解析. 【分析】（1）根据压缩函数的定义，判断对于任意，是否都有成立. （2）根据压缩函数的定义，得到关于的不等式，进而求出的取值范围. （3）结合压缩函数的定义，分充分性和必要性进行证明.在充分性证明时，先证明函数连续，再用反证法假设函数不单调，借助极值点附近函数值与极值的大小比较，推出矛盾即证. 【详解】（1）已知函数，则. 因为，所以， 那么， 所以函数，是压缩函数. （2）因为函数，为压缩函数， 所以对于任意，均有. 显然当时成立，不妨设， 则不等式可化为：， 则且， 令，则在上为减函数； 令则 在上为增函数. 对于 ，则 由为减函数，得对恒成立， 即，所以，可得； 对于，其导数为 由为增函数，得对成立， 即恒成立，所以，可得 综上，的取值范围为. （3）（必要性）已知函数，为压缩函数，若，为单调函数， 则对任意，均有. 证明：若在上单调， ①若在上单调递增， 则对任意，不妨设，有， 从而 于是，且， 则； ②若在上单调递减，则对任意，不妨设， 同理可得，且， 则； 综上所述，对任意， 均有，必要性得证. （充分性）已知函数，为压缩函数， 若对任意，均有，则，为单调函数. 证明：由函数，为压缩函数， 则对任意，恒有， 故当时，有，即. 即的图象在上连续不断. 下面用反证法证明. 假设在上不是单调函数，又的图象连续不断， 则存在实数，使得在处取极值， 若为极小值点，则存在区间，其中， 使得在上单调递减，且在上单调递增， 则存在，满足， 则，且，即，且， 故； 这与任意，矛盾； 若为极大值点，同理可得存在，且， 故， 也与产生矛盾. 故假设错误，即在上是单调函数，充分性得证. 综上所述，是单调函数的充要条件是： 对任意，都有. 10．（2026·上海嘉定·一模）图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中，、构成地面上过道的一侧边界，；地面上过道的另一侧边界，则分别与、平行，且交于点.过道两侧平行墙面之间的距离均为3米. 0 (1)如图2，在地面有一圆，该圆与、均相切，且过点.求此圆的半径； (2)如图3，有一根长度为米的无粗细木棒紧贴地面，端点沿移动，另一端点沿移动.当木棒触碰到点时，（弧度），求关于的函数关系及的最小值； (3)如图4，某长方体家具的底面为长方形，其宽为1米，长为10米（因过道高度足够，无需考虑家具高度）.现将底面紧贴地面移动，判断该家具能否顺利通过此转角过道，并说明理由. 【答案】(1) (2)， (3)不能通过，理由见解析 【分析】（1）连接，设圆心为，过作，，由几何性质建立半径的方程，解方程可得结果； （2）过点作，交过道另一侧边界于点，过点作，交过道另一侧于点，由图形关系可得与的函数关系，并利用导数和函数的对称性求得的最小值； （3）设，延长交于，交于，由，得到的表达式，验证可得结论. 【详解】（1）连接，设圆心为，过作，， 由，，，可得， 从而，， 所以，解得. （2）如图，过点作，交过道另一侧边界于点，过点作，交过道另一侧于点， 则，， 所以， 令， ， 当时，，， 所以， 所以，当且仅当时取等号，故在上严格单调递减， 并且，所以关于对称， 所以，即时，的最小值为12米. （3）设底面长方形顶点、分别在边界、上移动， 设，延长交于，交于， 则， 由， 设， 若家具可以通过转角，则对于，， 但，所以家具不能通过该转角. 11．（2026·上海黄浦·一模）已知函数的定义域为D，对于给定实数t，定义集合． (1)若，求； (2)若，求证：“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得”． (3)若，，且对于任意的，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据函数新定义结合一元二次不等式计算求解； （2）应用函数新定义结合周期定义及充要条件定义证明； （3）根据，，得出函数单调递增，再分和分类讨论单调性及值域计算求参. 【详解】（1）， 若，则， 所以， 所以 （2）充分性：因为，， 所以，所以，因为，所以是周期函数； 必要性：若是周期函数，设是的周期，则， 所以，， 所以存在，使. （3）因为，，所以，， 所以在上单调递增，所以， 若，则，则不满足； 所以，设， 因为， 当单调递减；当单调递增； 所以，即， 设，则， 当单调递增；当单调递减； 又，所以； 所以. 导数的综合应用 考点3 一、单选题 1．（2026·上海静安·一模）已知函数；现有下述两个结论： ①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是； ②若，则方程的解为； 则下列说法正确的是（     ） A．结论①和②均正确 B．结论①正确，结论②错误 C．结论①错误，结论②正确 D．结论①和②均错误 【答案】B 【分析】①求导，分和讨论函数单调性，再结合零点问题确定参数范围即可；②令，求导，根据单调性即可判断． 【详解】①， 当时，因为，所以，即，在定义域内单调递增； 当时，由； 由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在定义域内单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在内单调递增，且注意到，因此在区间上无零点； 当时，由可得仅有一解， 所以仅有一解， 令，则直线与的图象仅有一个交点， 因为，且直线过点， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，， 所以 ，结合 ，则的取值范围为 . 结论①正确 ②由题，，记上式为 ， 由，则 ， 所以函数 在定义域内单调递减，因此 ，仅有一个解，至此可以判断结论②错误． 注意到待求方程 ，对中含的部分单独考察，即 ， 其中关于的多项式的解为 或（舍去）， 因此时可消去. 当 时，有，满足题意； 综上，原方程的解为． 故选：B． 二、填空题 1．（2026·上海普陀·一模）设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数不等式恒大于等于零，通过判别式可求得参数范围，再利用分离参变量来求不等式恒成立的参数范围，最后可得充分条件是，接下来分析必要性，即对的补集范围进行分类讨论，利用二次不等式的最小值小于0，来分析此时的，从而找到矛盾，最后可得充要条件是. 【详解】由恒成立可得：， 解得， 再由或， 令，则， 当时，，所以在和上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，恒有，则， 当时，，则， 即可得， 综上可得，当时，对任意实数，恒有，即满足题意，即这是充分条件. 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，满足， 而此时，所以不满足； 又当，可知不等式不恒成立，此时必存在， 而在时，，不等式恒成立，即此时， 所以不满足； 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有，所以不满足； 当时，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有， 所以不满足； 综上分析可得：是对任意的实数，都有成立的充要条件， 故答案为： 2．（2026·上海虹口·一模）若，则实数的取值范围是： 【答案】 【分析】将问题转化为函数在上的值域，利用导数结合函数图像即可求解. 【详解】由题意可知：方程有解，可化为， 并且或，令，，， 当时，，单调递增， 当或时，在上单调递减， 且当时，，，， 所以的大致图像如图所示，因为，，， 所以在上的值域为， 即的取值范围是. 故答案为： 3．（2026·上海青浦·一模）已知函数，若仅存在唯一整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意知，原题等价于函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，进而研究函数的图象与性质，数形结合即可求出结果. 【详解】根据题意，令，， 仅存在唯一整数解的图象在的图象下方的部分有且只有一个横坐标为整数的点， 当与相切时，设切点， 由于，故切线斜率， 切线方程为：， 代入得，解得，此时，切点为， 又当时，，， 所以符合要求的条件为，解得． 即的取值范围为. 故答案为： 试卷第36页，共37页 试卷第37页，共37页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04导数及其应用(3大考点，20题) ☆3大考点概览 考点01导数的概念和几何意义 考点02导数在研究函数中作用 考点03导数的综合应用 考点1 导数的概念和几何意义 1.(2026上海奉贤一模)记y=f'(x),y=g'(x)分别为函数y=f(x和y=gx)的导数，存在x∈R, 满足f(x)=gx)且∫'(xo）=g'(x),则称x为y=f(x)和y=gx)的一个“2点”. (1)若函数f(x)=ax2-1与gx=lnr存在“2点”，求实数a的值； (2)证明函数f(x)=sinx与g(x)=x2+2x-2不存在“2点”； (3)已知函数f)=-2+a,gx)=心，对任意的a>0,判断是否存在b>0,使得函数y=fx)和 y=gx)在区间(0，+0）内存在“2点”，请说明理由. 2.(2026上海崇明一模)己知函数y=f(x,x∈D,其导函数是y=f'(x).对于任意t∈D,记曲线 y=f（x)在点P(t,f(t)处的切线方程为y=l,x,定义集合M(f,)={xf(⑧)≤l(x),x∈D. (1)若f(x=x3-2x2+x,求集合M(f,1: (2)若定义域D=R且函数y=fx)是偶函数，证明：若∈M(f,)则-x∈M(f,-t): 3)设f(x)=alnr+x2(a<),若集合M(f,l=1,求实数a的取值范围。 3.(25-26高三上·上海宝山期末)已己知连续函数y=fx)和y=gx),设F(x)=f(x)-g(x,集合 M={xF0)≥0. (1)若指数函数y=gx)的图像过点 22 且f(x)=g2x,求M; (2)若f(x=e-alnx,gx)=a-e,且y=f(x在区间(0,1上存在极值点t,求实数a的取值范围，并判 断t是否属于M,请说明理由； (3)若y=fx)的导函数y="x是R上的严格减函数，gx)=ax+b(a,b∈R,且函数y=f(x在x=x,处 的切线方程是y=h(x).求证：“M={xo}”的充要条件是“h(x)=g(x)”. 试卷第37页，共37页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026上海黄浦一模)在4BC中，∠BAC=3江，4B=6,AC=35. 4 D B (I)求BC的长和∠B的正弦值： (2)若点D在BC边上，且∠BAD=0,设AD=f(0),求f(O)的表达式，并判断是否存在0，使得f(O)在 6=0。处的瞬时变化率等于-∫(0o). 5.(2026上海嘉定一模)如图，在平面直角坐标系中，0为原点，已知抛物线「：y=x2的焦点为F,点A 的坐标为1,2)： (1)若点E在T上，且OE=√2，求点E的坐标； (2)若P是T上的任意一点，求AP+PF的最小值； (3)过点A的动直线与抛物线「交于B、C两点，过点B、C分别作T的切线，切线交点为D,求证：点D的 轨迹是一条直线， 考点2 导数在研究函数中作用 1.(2026上海长宁一模)已知a∈R,f(x)=2x-lnx+a. (1)求函数y=f(x的驻点； [f(x),x>0 (2)设gx)= gx+1,x<0若关于的方程8)+g-到=0在区间(-1,0)内有解，求a的取值范围： 1,x>0 3)定义sgm(x)=0,x=0，设h(x)=2x-(2x-f(x)sgn(2x-f(x),h(x)=二，若存在实数a,使得 -1,x<0 之合，，求实数的最小值。 2.(25-26高三上·上海松江·期末)已知函数y=x-1-alnx,正常数a∈R,记y=f(x). (①)当a=1时，试判断函数y=f(x)在区间1，+o)上的单调性，并说明理由： (2)若函数g(x)=x2-f(x)既存在极小值也存在极大值，求实数a的取值范围； 试卷第36页，共37页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 同咪证：对于任意正热爱，都有1+兮计兮 11 >ln[2(n+1]: 2n+12 3.(2026上海静安一模)已知函数y=f(x)(x∈R)的图象关于点(m,n)成中心对称的充要条件是 g(x)=f（x+m)-n(x∈R)是奇函数；如果一个函数y=fx)的图象关于点m,n)成中心对称，则称这个 函数是点m,n奇函数，其中点m,n为对称中心；设函数f(x=x(x-l(x-a,x∈R. (I)若函数y=f(x是点1,0)奇函数，求实数a的值； (2)证明：对于任意给定的实数a,函数y=f(x)存在两个极值点；若x=a是y=∫(x)的极小值点，求出 y=∫x的所有极值点； (3)若x=a是y=fx)的极大值点，函数y=f(x)是否是点(m,n)奇函数？若是，求出对称中心m,n)；若不 是，请说明理由 4.(2026上海嘉定一模)已知f(x=x3+ax+1. (I)若a=-3,求函数y=fx的单调区间. (2)若y=f(x)在0，+0)上存在零点，求实数a的最大值 5.(2026上海闵行一模)己知函数y=f(x)的定义域为R,对于x。∈R,若{x|f(x)≤f(x)}=(-0,x],且 {x|f()≥f(x)}=[x,+o),则称x为y=f(x)的一个“M点”，记My为y=f(x)的所有“M点”构成的集合. 0,x=0 (1)若f(x) 分别判断0∈M,与1∈M,是否正确： ,x≠0 ②证明：“%∈M,的一个充要条件为当x≠石时，->0： x-xo (3)己知f(x)=(a-1)川x-b1+(a+1)川x+b1,g(x)=ax+2x3-3(b+1)x2+6bx+2b,其中a、b∈R,记 A={y|y=f(x,x∈Mf}≠，B={y|y=g(),x∈Mg}≠R.若A∩B=A,求a+b的取值范围. 6.(25-26高三上·上海青浦·期末)已知函数y=f(x)定义域为R,对于实数a,定义集合 R。={xr2a,f(x≥f(a},L。={xr≤a,f(x)≥f(a} (1)若f(x=x2,求R和L; (2)给定实数a,若∫(x)=x2(x-3)满足对任意b>a,均有R,R。,求a的取值范围； 试卷第37页，共37页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若集合A、B满足：x∈A台-xeB,则称A和B互为对称集证明：“函数y=f(x)为偶函数”的充要条件是 “对任意实数a,R。与L。互为对称集” 7.(2026上海普陀一模)设函数y=f(x)的定义域为D,导函数为y=∫'(x),对于实数t,若存在x∈D ,使得f(xo)=f'(xo成立，则称函数y=fx)具有性质P(t). (①)若函数∫(x)=lx,请判断该函数是否具有性质P(1),并说明理由； (2)设aeR,若函数f(x)=x3+a具有性质P(2),且x的值恰有三个，求a的取值范围； (3)若函数f(x)=e+x,求证：该函数具有性质P(t)的充要条件是t>0. -0,0 0 01 2 2+ h'(x) 0 0 h(x) 极小值0 极大值； 8.(2026上海金一模)已知f八=2s如@r+p)(英中0>0o<受，函数y=国相邻的报小值友和 π 极大值点分别为-亚和 3 。直线I为函数)=)在y轴右侧与)轴距离最近的对称轴。且分别交函数 y=∫(x)的图象和x轴于A,B两点，点C为线段AB上一动点. 2 ()求函数y=∫(x的表达式，并写出其严格增区间； (2)设∠B0C=0,记L=AC+20C,请写出L关于O的函数表达式，并求L的最小值. 9.(2026上海杨浦一模)已知区间IR,函数y=f(x)的定义域为I,若函数y=f(x满足：对任意 x,x2∈I,均有f(x)-f(x2)川≤x-,则称函数y=f（x)为压缩函数 试卷第36页，共37页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (①)判断函数fx=x2,x 「117 L22 是否为压缩函数？并说明理由： (2)若函数f(x)=e+kx,x∈[0,1为压缩函数，求实数k的取值范围； (3)已知函数y=f(x),x∈I为压缩函数，求证：y=f(x),x∈I为单调函数的充要条件是：对任意 x,2∈1， 均有()-(-()s0 10.(2026上海嘉定.一模)图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平 坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中，QA、QB构成地面上过 道的一侧边界，∠AQB=120°；地面上过道的另一侧边界，则分别与QA、QB平行，且交于点P,过道两侧 平行墙面之间的距离均为3米 3m 0 P 120 3m G 9 (图1) (图2) N P Do* (图3) (图4) (1)如图2，在地面有一圆，该圆与QA、QB均相切，且过点P,求此圆的半径： (2)如图3，有一根长度为y米的无粗细木棒MN紧贴地面，端点N沿QB移动，另一端点M沿AQ移动当 木棒MN触碰到点P时，LQMN=x(弧度)，求y关于x的函数关系及y的最小值： (3)如图4，某长方体家具的底面为长方形EFGH,其宽为1米，长为10米（因过道高度足够，无需考虑家 具高度)现将底面EFGH紧贴地面移动，判断该家具能否顺利通过此转角过道，并说明理由」 11.(2026上海黄浦一模)已知函数y=fx的定义域为D,对于给定实数t,定义集合 '阳={xf(x+)≥f(x}. 试卷第37页，共37页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ()若f(x=x3-13x,求'2： (2)若D=R,求证：“y=f(x为周期函数的充要条件是“存在非零常数女，使得'利='-=D” D=(0,+o),且对于任意的teD,都有'=D,求实数a 的取值范围 考点3 导数的综合应用 一、单选题 1.(2026上海静安一模)已知函数f(x)=n(x+l)+ax(a∈R);现有下述两个结论： x+1 ①若y=f(x)在区间(-1,0)内恰有一个零点，则a的取值范围是(-1,0)： ②若a>0,则方程-=5-1n5+1的解为x=l生5， 则下列说法正确的是() 2 2 2 A.结论①和②均正确 B.结论①正确，结论②错误 C.结论①错误，结论②正确 D.结论①和②均错误 二、填空题 1.(2026上海普陀一模)设k∈R,函数y=f(x)和y=gx)的表达式分别为 =e-,g)=+(k-2到x+子，若对任意的实数。，皆有fx小g2≥0成立，则k的取值范围 是 2.(2026上海虹口一模)若{x|lgx2+2x)-lgae-1=0}≠☑，则实数a的取值范围是： 3.(2026上海青浦一模)已知函数f(x)=e--ax+a(a>0),若fx<0仅存在唯一整数解，则a的取值 范围为■ 试卷第36页，共37页