专题03 函数（4大考点）（上海专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题03 函数（4大考点） 4大考点概览 考点01函数及其性质 考点02一次函数与二次函数 考点03指对幂函数 考点04函数的应用 函数及其性质 考点1 一、单选题 1．（2026·上海虹口·一模）已知， 若，则实数的取值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将选项中的自变量代入对应解析式中，结合特殊角三角函数值可确定结果. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，可以取，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，，，D错误. 故选：B. 2．（2026·上海崇明·一模）已知点，点在曲线上．记，对曲线上的任意一点，下列函数关系不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据曲线图形，结合椭圆的对称性和函数的定义，判断与的函数关系是否成立即可. 【详解】曲线是椭圆的上半部分，点、为椭圆的左右顶点， 如下图示， 对于上任意点，结合椭圆的对称性和函数的定义， 任意都存在唯一与之对应，则成立， 任意都存在唯一与之对应，则成立， 任意都存在唯一与之对应，则成立， 存在有2个与之对应， 则不成立， 故选：A 3．（2026·上海杨浦·一模）函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有.下面判断正确的是（   ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】B 【分析】对于①，根据定义找到满足条件的一个函数进行说明即可；对于②，假设，分讨论即可说明②不成立. 【详解】假设，在上单调递增函数， 对于任意实数，， ，，，，故①正确； 设，当时，，， 此时取，则，不满足； 当时，，取，则， 因为，所以，所以， 此时，不满足； 当时，， 取，则，不满足. 综上，不存在实数，使得对任意均有.故②错误. 故选：B. 4．（25-26高三上·上海松江·期末）下列函数中，对任意的、时，均有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定函数的单调性，再对所给函数进行判断即可. 【详解】因为，对任意的、时，均有，所以函数在上单调递增. 对A：因为，所以幂函数在上单调递减，不合题意； 对B：因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意； 对C：因为，所以指数函数在上单调递增，在上就是单调递增，符合题意； 对D：因为，所以对数函数在上单调递减，不合题意. 故选：C 5．（2026·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的奇偶性、单调性逐项判断ACD，利用奇偶性定义及一次函数的单调性判断B即可. 【详解】对于A，为奇函数，不是偶函数，在上严格减，故A错误； 对于B，定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 当时，，显然在上严格减，故B正确； 对于C，由幂函数性质知，为偶函数，在上严格增，故C错误； 对于D，由指数函数性质知，既不是奇函数也不是偶函数，故D错误. 故选：B 二、填空题 1．（2026·上海崇明·一模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则 ． 【答案】 【分析】由函数解析式求，结合奇函数的性质求得正确答案. 【详解】依题意，， 而是奇函数， 所以. 故答案为： 2．（2026·上海普陀·一模）设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数不等式恒大于等于零，通过判别式可求得参数范围，再利用分离参变量来求不等式恒成立的参数范围，最后可得充分条件是，接下来分析必要性，即对的补集范围进行分类讨论，利用二次不等式的最小值小于0，来分析此时的，从而找到矛盾，最后可得充要条件是. 【详解】由恒成立可得：， 解得， 再由或， 令，则， 当时，，所以在和上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，恒有，则， 当时，，则， 即可得， 综上可得，当时，对任意实数，恒有，即满足题意，即这是充分条件. 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，满足， 而此时，所以不满足； 又当，可知不等式不恒成立，此时必存在， 而在时，，不等式恒成立，即此时， 所以不满足； 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有，所以不满足； 当时，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有， 所以不满足； 综上分析可得：是对任意的实数，都有成立的充要条件， 故答案为： 3．（2026·上海虹口·一模）函数的定义域为 【答案】 【分析】根据偶数根式被开方数非负，结合分式不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意得，即，解得或， 所以定义域为. 故答案为： 4．（2026·上海长宁·一模）函数的值域为，则集合 ． 【答案】 【分析】利用函数的值域求解不等式，进而得到函数的定义域即可. 【详解】令，解得， 令，解得， 则集合. 故答案为： 5．（2026·上海奉贤·一模）若函数是偶函数，则实数 ． 【答案】 【分析】由偶函数定义建立方程，解得实数. 【详解】函数的定义域为， 由题意可知，即， 所以， 因该等式对定义域内的任意都成立，故， 解得 故答案为： 6．（2026·上海杨浦·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则 . 【答案】 【分析】先根据为奇函数，得，再根据解析式及偶函数性质可得所求函数值. 【详解】因为函数为上的奇函数，所以，得. 又因为为偶函数，所以，. 因为，所以. 故答案为：. 7．（2026·上海徐汇·一模）设，若实数满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题目条件，令，用替换，构造函数结合基本不等式求值. 【详解】已知分段函数，且实数满足， 令, 对于，由，， 对于，， 因，故，，否则不满足， ， 故， 设，令，等价于求的最大值， ，当且仅当即时取等号, 此时，故, 综上，的最小值为. 故答案为： 8．（2026·上海静安·一模）设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据对称性，周期性画出函数在区间的图象，再在同一坐标系下作出函数的图象，由函数的零点个数，转化为两个函数图象的交点个数，列式求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 则， 函数图象关于轴对称， 且， 即的周期为4. 作出函数在上的图象， 根据的对称性及周期性， 可得出在上的图象， 若函数在左开右闭区间上恰有3个不同的零点， 则在区间上关于的方程恰有 3 个不同的实数根， 则函数与函数在上恰有 3 个不同的交点； 所以，解得. 故答案为： 9．（2026·上海静安·一模）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式结合指、对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，则， 且， 所以 故答案为：. 10．（2026·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意求函数的定义域，并判断的奇偶性和单调性，结合函数性质解不等式即可. 【详解】令，等价于，可得，解得， 可知函数的定义域为， 因为，即， 可知函数为奇函数， 且， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11．（2026·上海虹口·一模）已知 ，若幂函数为偶函数，则实数 【答案】 【分析】根据偶函数的性质与定义，逐一分析的各个取值，即可得答案. 【详解】当时，，定义域为，是奇函数； 当时，，定义域为R，关于原点对称， 设，则，为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为，不关于原点对称，是非奇非偶函数； 故答案为：. 三、解答题 1．（2026·上海长宁·一模）已知． (1)求函数的驻点； (2)设，若关于的方程在区间内有解，求的取值范围： (3)定义，设，若存在实数，使得，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定函数定义域，根据驻点定义求解即可； （2）先根据函数推出，再根据参变分离确定参数范围即可； （3）根据题意可得，再由题意可得，则，令，求导，利用导数求函数最值即可． 【详解】（1）函数定义域为，， 令，解得， 所以函数的驻点为； （2）， 则， ， ， 又关于的方程在区间内有解， 所以在区间内有解， 即， ，， ， 即， 解得； （3）由题意可得， 则， 即， 又是增函数， 由（1）知在单调递减，在单调递增， 又，且存在实数，使得， 所以不单调，，解得， 即在单调递增，在单调递减，在单调递增， ，又， ， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ， 故， 即实数的最小值为． 2．（2026·上海静安·一模）已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. (1)若函数是点奇函数，求实数的值； (2)证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析，极小值点1，极大值点； (3)是，. 【分析】（1）法一：由题意可得是奇函数，由此计算可求得；法二：由题意可得对任意实数恒成立，据此计算可求得； （2）求导可得，可得有两个不等的解，进而可得有两个极值点，由题意可得，求得的值，验证即可； （3）法一：当时，由题意有，可得，求解即可.法二：由题意可得恒成立，求解即可. 【详解】（1）法一：若函数是点奇函数，则是奇函数，得是奇函数， 即，因为， ，比较两式右边，由 所以，解得. 法二：若函数是点奇函数，则的图像关于点对称， 则对任意实数恒成立， 即，化简得， 所以，解得． （2），从而，其中， 所以恰有两解，即函数恰有两个驻点，设为，，， 则就是一元二次方程； 当时，，当时，，当时， 从而是的极大值点，是的极小值点，所以函数存在两个极值点，此外再无极值点. 因为是的极小值点，所以，即，解得或1. 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是的极大值点(舍去)； 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因此是的极小值点. 综上，可得，极小值点，极大值点. 所以的所有极值点为和. （3）法一：由（2）可知，当时，是的极大值点， ， 极大值点，极小值点. 假设 是点奇函数，则满足：， 即， 等式左边展开计算：， 要求与无关，所以的系数必须为0，所以，解得. . 即函数的对称中心是，函数是点奇函数. 法二：由（2）可知，当时，是的极大值点，， 此时极大值点，极小值点.符合题意； 假设存在对称中心，则满足恒成立， 即， 化简得恒成立， 所以，解得 所以函数存在唯一的对称中心， 所以函数是点奇函数. 一次函数与二次函数 考点2 一、单选题 1．（25-26高三上·上海松江·期末）已知函数其表达式为，，函数其表达式为，若对任意，都有，则方程的解的个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由题意可求得，将函数写成分段函数，得出其值域为，作出两函数的图象，将原方程解的个数转化为两函数图象交点的个数即可. 【详解】因为对任意，都有， 令，则有， 解得，从而得； 令， 则有， 所以， 即， 所以对任意恒成立， 所以， 所以， 所以当时，， 又因为， 所以当时，方程无解； 所以， 所以的值域为， 当时，， 此时方程无解； 作出和的部分图象，如图所示： 当时，令，解得或， 此时方程有2个解. 由此可得两函数图象有7个交点， 即方程有7个解. 故选：B. 二、填空题 1．（2026·上海奉贤·一模）已知两个非负实数、满足，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】由，代入结合二次函数单调性即可求解. 【详解】因为两个非负实数、，， 所以，， 所以， 令，对称轴为， 由二次函数单调性可知当时，取得最小值10， 故答案为：10 2．（2026·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将平方后利用二次函数的性质可求其最小值. 【详解】因为， 故 ， ， 故当时，的最小值为， 故最小值为. 故答案为：. 指对幂函数 考点3 一、单选题 1．（2026·上海嘉定·一模）若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一直角坐标系内作出函数，的图像， 则分别是函数，的图像与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为， 观察图像得当时，， 当时，， 当时，， 所以ABC是可能的，D不可能. 故选：D 二、填空题 1．（2026·上海金山·一模）已知，则 ．（用和表示） 【答案】 【分析】根据题意，利用对数的运算公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为，可得. 故答案为：. 2．（25-26高三上·上海松江·期末）比较两数的大小： ． 【答案】 【分析】构造函数，利用函数导数与单调性分析即可. 【详解】设函数， 由，令，解得： 当， 当， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 即， 所以， 因为函数在单调递增， 所以， 故答案为：. 函数的应用 考点4 一、单选题 1．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知函数，其中.集合，其中，集合，现有以下两个命题： ①存在实数、，使得集合中恰好有5个元素； ②若实数、是方程的两个不同实根，则存在实数、，使得集合中恰好有4个元素. 那么（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【分析】先化简集合的元素，通过构造具体数值验证命题①中元素的合并情况；结合韦达定理与函数零点存在性，验证命题②中元素的合并可行性。 【详解】， 集合，其中，取不同元素时， 集合的元素可能为，共个可能. ①若集合中恰好有5个元素，则当时，必然能找到a，b， 例如：当，可取，此时,共个元素. 所以①是真命题. ②依题意，若存在实数a、b是方程的两个不同实根， 所以，. 因为，，， 若不符； 若（*）， 设， ， 所以，有零点，即（*）有解， 即存在，满足，使得中恰好有个元素. 所以实数k、t，使得集合中恰好有4个元素，②是真命题. 故选：A. 二、解答题 1．（2026·上海虹口·一模）已知函数的定义域为（），记，其中，且． (1)当，，，求函数的零点； (2)当，，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和，均有”． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出，令解方程即可得到答案； （2）求出并根据题意化简得到，令，根据题意得到，解得，再结合二次函数图象即可求得答案； （3）利用充要条件的定义，结合函数严格递增的概念进行证明. 【详解】（1）当，，时，， 令，解得， 所以函数的零点为. （2）， 若，当时的二次项系数为负导致当时，， 当时，，均不满足恒成立，故， 所以，设， 则，解得或（舍去），即， 此时，所以在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围为. （3）必要性：对于，取， 因为函数在上是严格增函数且，所以， 即， 即， 所以. 充分性：，且， 因为， 所以， 即，又， 所以函数在上是严格增函数. 试卷第22页，共22页 试卷第21页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数(4大考点) ☆4大考点概览 考点01函数及其性质 考点02一次函数与二次函数 考点03指对幂函数 考点04函数的应用 考点1 函数及其性质 、 单选题 tanx,x>0 1.(2026上海虹口一模)已知f(x)= -fx+x,x<0' 若f(a)=V3,则实数a的取值可以是() A.-2 3 B C.π D. 2π 6 3 2.(2026上海崇明一模)已知点A-2,0),B(2,0),点P(m,n)在曲线y= 上.记∠APB=,对曲 线上的任意一点P,下列函数关系不成立的是() A.m=f(a】 B.a=f m C.n=f(a D.a=f (n) 3.(2026上海杨浦一模)函数y=f(x)的定义域、值域均为R,定义集合M。={tt=fx-f(a),x≥a 给出如下两个结论：①存在函数y=fx),使得对任意实数a均有M。=[0,+0)；②对任意函数y=f(x, 都存在实数b,使得对任意实数a均有M,sM。.下面判断正确的是() A.①正确，②正确 B.①正确，②错误 C.①错误，②正确 D.①错误，②错误 4.(25-26高三上·上海松江·期末)下列函数y=∫(x中，对任意的x、x2∈(0，+0)时，均有 (x-x)[f(x)-f(x]>0的是() A.f(x)=x2 B.f(x=x2-4x+4 C.f(x)=2* D.f(x)=logx 2 5.(2026·上海黄浦一模)下列函数中，既是偶函数、又在0，上严格减的函数是() 试卷第21页，共22页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.y=-x B.y=- C.y=x2 D.y=2 二、填空题 1.(2026上海崇明一模)己知y=fx)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2-3,则 f(-1=, 2.(2026上海普陀一模)设k∈R,函数y=∫(x)和y=gx)的表达式分别为 f(=®-，g(=产+(k-2列x+4若对任意的实数，皆有/(x,小g,)≥0成立，则k的取值范围 是 3.(2026上海虹口一模)函数y=x-2 x+1的定义域为 4.(2026上海长宁.一模)函数y= x-xeD的值域为-l,0U(0,+∞，则集合D 5.(2026上海奉贤一模)若函数y=a:2-aeR)是偶函数，则实数a=一 2+1 2,x20 6.(2026上海杨浦一模)已知定义在R上的函数y=f(为奇函数，且gx)= 0为偶函数，则 f (1og2 3)=_ x-2,x20 7.(2026上海徐汇一模)设f(x)={1 ,x<0，若实数，，出满足<<，且 x f(x)=fx=fx,则5的最小值为 8.(2026上海静安.一模)设y=fx是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R,都有f(-x)=fx+4,且 当x∈[-2,0]时， 八-(-1设8到国-八到-g(+2a>小.若函数y=81国在左开右别区甸 (-2,6上恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是」 fx+1),x<4 9.(2026上海静安.一模)已知函数f(x x≥4 ，则f1og;5)= 10.《2026上海塞定一模)已知=加片，且/1-a小+1-小>0，则实数的取值花园是 试卷第22页，共22页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(2026上海虹口一模)已知a∈{ 1231 3了2引，若幂函数y=“为偶函数，则实数a=一 三、解答题 1.(2026上海长宁.一模)己知a∈R,f(x)=2x-lnr+a. (1)求函数y=f(x的驻点： f(x),x>0 (2)设g（x)= gx+1,x<0'若关于x的方程8(+8-)=0在区间(-1,0)内有解，求a的取值范围： 1,x>0 (3)定义sgn(x)= 0,x=0,设h(y=2x-(2x-f(x)sgn(2x-f(x),M(=‘,若存在实数a,使得 -1,x<0 日，*小，求实数的最小恒 2.(2026上海静安一模)己知函数y=∫(x)(x∈R)的图象关于点m,n)成中心对称的充要条件是 g(x)=f（x+m)-n(x∈R)是奇函数；如果一个函数y=∫x)的图象关于点m,n)成中心对称，则称这个 函数是点m,n奇函数，其中点m,n为对称中心；设函数f(x)=x(x-1(x-a,xeR (I)若函数y=f(x是点1,0)奇函数，求实数a的值： (2)证明：对于任意给定的实数a,函数y=f(x)存在两个极值点；若x=a是y=∫(x的极小值点，求出 y=f(x)的所有极值点； (3)若x=a是y=fx)的极大值点，函数y=∫(x是否是点m,n奇函数？若是，求出对称中心m,n;若不 是，请说明理由 考点2 次函数与二次函数 一、 单选题 1.(25-26高三上·上海松江·期末)已知函数y=f(x其表达式为f(x=6x-2k)2, x∈[2k-1,2k+(k∈Z),函数y=g(x)其表达式为g(x)=ax2+x+C,若对任意x,2∈R,都有 gx1+x2=gx+gx2)+4,则方程fx)=gx)的解的个数为（) A.6 B.7 C.8 D.9 试卷第21页，共22页 厨学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 1.(2026上海奉贤一模)已知两个非负实数a、b满足a+2b=2,则(a-1)+(b-4)的最小值是 2.(2026上海金山一模)己知非零向量ā、b的夹角为O,若 =cos0,a-=3,则a-tb(teR)的最小 a 值为」 考点3 指对幂函数 一、单选题 1.(2026上海嘉定·一模)若实数x、y、z满足1+2=3=5，则x、y、z的大小关系不可能是（) A.x>y>z B.y>z>x C.y>x>z D.x>z>y 二、填空题 1.(2026上海金山一模)已知lg2=a,lg3=b,则log,6= ·(用a和b表示) 2.(25-26高三上·上海松江·期末)比较两数的大小：202526■ 20262025. 考点4 函数的应用 一、 单选题 1.(25-26高三上上海浦东新期末)已知函数y=f(x),其中fx)=x-1,x>0.集合4=1，a,b,其中 现有以下两个命题： ①存在实数a、b,使得集合B中恰好有5个元素； ②若实数a、b是方程∫(x=kx+1的两个不同实根，则存在实数k、t,使得集合B中恰好有4个元素 那么() A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 二、解答题 1.(2026上海虹口一模)已知函数y=∫(x的定义域为D(DsR),记gx=fx+a-fx,其中 试卷第22页，共22页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 aeD,且x+aeD. (1)当D=R,f(x)=x2,a=1,求函数y=gx的零点； (2)当D=[-1,+oo),fx=x3-3x,若恒有gx)>0,求实数a的取值范围： (3)当D=Q,求证：“对于任意的正有理数Q,函数y=gx)在D上均是严格增函数”的充要条件是“任取D中 两个不扫同的元素和，均有（士水x)+八小 试卷第21页，共22页