专题07图形的平移（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题07图形的平移 【题型01 生活中的平移现象】.......................................2 【题型02 图形的平移】.............................................3 【题型03 利用平移的性质求解】.....................................4 【题型04 利用平移解决实际问题】...................................5 【题型05 平移(作图)】............. ................................6 【题型06 求点沿x轴.y轴平移后的坐标】.............................7 【题型07 由平移方式确定点的坐标】.................................7 【题型08 已知点平移前后的坐标.判断平移方式】......................8 【题型09 已知图形的平移.求点的坐标】..............................9 【题型10 已知平移后的坐标求原坐标】.............................10 【题型11 平移综合题(几何变换)】..................................10 【题型12 坐标系中的平移】........................................11 【解答题5题】...................................................12 ★知识梳理★ 知识点01:平移的定义 在平面内，把一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫做平移。 只改变位置 不改变形状、大小、方向 知识点02:平移的两要素 平移方向 平移距离 知识点03:平移的性质（必背） 1.平移前后的图形全等。 2.对应点所连的线段：平行（或在同一直线上）且相等。 3.对应线段：平行（或在同一直线上）且相等。 4.对应角：相等。 知识点04:平移作图步骤 1.找：找图形的关键点（顶点） 2.移：按方向和距离平移各点 3.连：顺次连接对应点 .【题型1.生活中的平移现象】 【典例】下列现象是数学中的平移的是 .（填序号） ①．苹果垂直从树上落下②．电梯从底楼升到顶楼③．骑自行车时轮胎的滚动 ④．钟摆的摆动 【跟踪专练1】下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 【跟踪专练2】如图，有一块长22米，宽12米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，则草坪的面积是 平方米．    【跟踪专练3】如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第个图案中有白色地面砖________ 块，则下列选项中正确的是（      ） A． B． C． D． 【题型2.图形的平移】 【典例】在平面内将一个图形沿 的某个方向 移动一定距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移． 【跟踪专练1】京剧是中国的“国粹”，京剧脸谱是一种具有汉族文化特色的特殊化妆方法．下列选项中，能由如图所示的脸谱平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，平移距离为4，阴影部分的面积为 ．    【跟踪专练3】要用一根铁丝弯成如图所示的铁框，其中，且．若，则这根铁丝至少长（    ） A． B． C． D． 【题型3.利用平移的性质求解】 【典例】将三角形沿直线向右平移得到三角形．若三角形的周长为12，，，连接，则四边形的周长为 ． 【跟踪专练1】如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 【跟踪专练2】如图，将沿边向右平移得到．若，，，恰为的中点，则平移的距离为 ． 【跟踪专练3】如图，在四边形 中， A ，将四边形 沿 方向平移得到四边形 与相交于点 ，若 ，,，则阴影部分的面积为 （     ） A．10 B．13 C．20 D．26 【题型4.利用平移解决实际问题】 【典例】如图，一块长方形草坪的长为5米，宽为3米，在草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积为 ． 【跟踪专练1】如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 【跟踪专练2】如图，长8米宽6米的草坪上有一条弯折的小路（小路进出口的宽度相等，且每段小路均为平行四边形），小路进出口的宽度均为1米，则绿地的面积为 平方米． 【跟踪专练3】如图是从一块边长为50cm的正方形材料中裁出的垫片，现测得FG＝9cm，则这块垫片的周长为（　　） A．182cm B．191cm C．209cm D．218cm 【题型5.平移(作图)】 【典例】如图，正方形网格中，能由平移得到的线段是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】泉城济离，泉甲天下，将如图所示的泉城图标平移后可以得到（    ）    A．   B．   C．   D．   【跟踪专练2】作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知四边形四个顶点的坐标分别是：、、、．把四边形向左平移6个单位得到四边形，点A、B、C、D的对应点分别是、、、． (1)在图中画出四边形； (2)写出点的坐标． 【题型6.求点沿x轴y轴平移后的坐标】 【典例】将点先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则点的坐标为 ． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 【跟踪专练2】点向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度所得对应点，则的值为 ． 【跟踪专练3】已知和互为相反数，则点向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度后的坐标是（    ） A．(11，-17) B．(8，31) C．(15，-21) D．(15，-31) 【题型7.由平移方式确定点的坐标】 【典例】如图，将向下平移（）个单位长度得到．若点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将三角形上各点的纵坐标都减4，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（   ） A．向右平移了4个单位长度 B．向左平移了4个单位长度 C．向上平移了4个单位长度 D．向下平移了4个单位长度 【跟踪专练2】如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．将某整点连续进行若干次平移操作，每次平移1个单位长度，平移方向取决于该点横、纵坐标之和除以4的余数：当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移；余数为3时，向下平移．例如点按上述规则连续平移3次：，最后得到点．若某整点按上述规则连续平移次后，最后得到点，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【题型8.已知点平移前后的坐标.判断平移方式】 【典例】点经过一次平移得到点，则点向 平移了 个单位长度． 【跟踪专练1】如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，点，的坐标分别为，，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则 ． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型9.已知图形的平移,求点的坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是．把向右平移4个单位长度得到，则点的坐标为 ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段在y轴上移动，则的最小值是 ．    【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，已知，将线段平移后得到线段，点A、B的对应点分别是点、． 若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【题型10.已知平移后的坐标求原坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（　　） A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1） 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是 ． 【跟踪专练2】点A沿x轴的正方向平移3个单位长度得到点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 【题型11.平移综合题(几何转换)】 【典例】如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形ABC沿点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，已知AB=12，DH=5，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为 ． 【跟踪专练1】在直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（    ） A．横、纵坐标分别乘以2 B．横坐标不变，纵坐标分别加2 C．横坐标不变，纵坐标变成原来的2 倍 D．横坐标加2，纵坐标乘以2 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，M是AB的中点，则MA1的最小值为 ． 【跟踪专练3】如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①，； ②； ③四边形的周长是18； ④； ⑤点到的距离为2.4． 其中正确结论的个数有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【题型12.坐标系中的平移】 【典例】已知点与点，若直线平行于轴，则 ． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点，，若直线轴，则的值为 ． 【跟踪专练2】已知点和点，若直线轴，且，则的值是（   ） A．0 B．4或 C．12或 D．1或 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，把点向左平移可以得到点，把点向上平移可以得到点，则点的坐标是 ． 解答题 1．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 2．三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图． (1)分别写出下列各点的坐标：____；____；____． (2)若是三角形内部一点，则平移后三角形内的对应点的坐标为____． (3)求三角形的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是三角形内部的一点，经过平移后对应点的坐标为，求和的值． 4．在平面直角坐标系中，点A，B在x轴正半轴上，且点A在点B的左边，将线段进行平移得到线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D． (1)若点，，．则点D坐标为__________，__________； (2)点M是第四象限上的一个动点，过点M作垂直y轴于点N，连接，，．若点，，，，的面积为，点D到直线的距离为2．问：是否存在m，使得面积是面积的2倍？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 5．下图所示的“鱼”图案是将坐标为，，，，，，，的点用线段依次连接而成的． (1)若纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，在上图中画出所得的图案． (2)若横坐标保持不变，纵坐标分别减去2，在上图中画出所得的图案． (3)通过以上两种变换，你发现了什么规律？请用简洁的语言加以概括． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07图形的平移 【题型01 生活中的平移现象】.......................................2 【题型02 图形的平移】.............................................4 【题型03 利用平移的性质求解】.....................................6 【题型04 利用平移解决实际问题】...................................9 【题型05 平移(作图)】............. ...............................11 【题型06 求点沿x轴.y轴平移后的坐标】............................14 【题型07 由平移方式确定点的坐标】................................16 【题型08 已知点平移前后的坐标.判断平移方式】.....................18 【题型09 已知图形的平移.求点的坐标】.............................20 【题型10 已知平移后的坐标求原坐标】.............................23 【题型11 平移综合题(几何变换)】..................................25 【题型12 坐标系中的平移】.......................................28 【解答题5题】...................................................30 ★知识梳理★ 知识点01:平移的定义 在平面内，把一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫做平移。 只改变位置 不改变形状、大小、方向 知识点02:平移的两要素 平移方向 平移距离 知识点03:平移的性质（必背） 1.平移前后的图形全等。 2.对应点所连的线段：平行（或在同一直线上）且相等。 3.对应线段：平行（或在同一直线上）且相等。 4.对应角：相等。 知识点04:平移作图步骤 1.找：找图形的关键点（顶点） 2.移：按方向和距离平移各点 3.连：顺次连接对应点 .【题型1.生活中的平移现象】 【典例】下列现象是数学中的平移的是 .（填序号） ①．苹果垂直从树上落下②．电梯从底楼升到顶楼③．骑自行车时轮胎的滚动 ④．钟摆的摆动 【答案】①② 【分析】平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等． 【详解】①．苹果垂直从树上落下，只沿着竖直方向向下改变，符合题意； ②．电梯从底楼升到顶楼，只沿着竖直方向向上改变，符合题意； ③．骑自行车时轮胎的滚动 ，是沿着圆做圆周运动，不符合题意； ④．钟摆的摆动，是沿着弧线左右摆动，不符合题意； 故答案为①② 【点睛】此题考查的知识点：平移的概念；抓住：所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，是解答此题的关键． 【跟踪专练1】下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．解题的关键是注意平移是图形整体沿某一直线方向移动． 根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、篮球运动是曲线运动，有旋转，不属于平移，不符合题意； B、活塞在打气筒内沿直线往复运动，符合平移特征，符合题意； C、钟摆是绕固定点摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意； D、雨刷是绕轴旋转运动，不属于平移，不符合题意； 故选：B. 【跟踪专练2】如图，有一块长22米，宽12米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，则草坪的面积是 平方米．    【答案】200 【分析】草坪的面积矩形的面积两条直道的面积两条直道重合部分的面积，由此计算即可． 【详解】解：草坪的面积是（平方米）， 故答案为：200． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，解答本题的关键是正确找出各个面积之间的关系． 【跟踪专练3】如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第个图案中有白色地面砖________ 块，则下列选项中正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形，1个黑色的六边形，根据规律解题即可． 【详解】解：由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形， ∴第n个图案白色六边形的个数为：， ∴第4个图案白色六边形的个数为：， 故选C． 【点睛】本题考查图形的规律类问题，通过图形找到相应的数字规律是解题的关键． 【题型2.图形的平移】 【典例】在平面内将一个图形沿 的某个方向 移动一定距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移． 【答案】 直线 平行 【分析】本题考查图形的平移变换，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定距离，这样的图形变换为平移，图形的形状和大小不改变． 【详解】解：在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定距离，这样的图形变换为平移， 故答案为：直线；平行． 【跟踪专练1】京剧是中国的“国粹”，京剧脸谱是一种具有汉族文化特色的特殊化妆方法．下列选项中，能由如图所示的脸谱平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．解题的关键是要观察比较平移前后物体的位置． 根据题意，结合图形，根据平移前后是全等图形且方向不变即可求解． 【详解】解：由平移的性质可得，B选项中的图形可由如图所示的脸谱平移得到． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，平移距离为4，阴影部分的面积为 ．    【答案】26 【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE＝AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE＝4，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵两个三角形大小一样， ∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积， 由平移的性质得，DE＝AB，BE＝4， ∵AB＝8，DH＝3， ∴HE＝DE−DH＝8−3＝5， ∴阴影部分的面积＝×（8＋5）×4＝26． 故答案为：26． 【点睛】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键． 【跟踪专练3】要用一根铁丝弯成如图所示的铁框，其中，且．若，则这根铁丝至少长（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定和性质，平移不改变图形的形状和大小，求出弯曲部分的长即可． 【详解】解：∵，且． ∴，， 由平移的性质，则 ，， ∴这根铁丝至少的长度为：； 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小． 【题型3.利用平移的性质求解】 【典例】将三角形沿直线向右平移得到三角形．若三角形的周长为12，，，连接，则四边形的周长为 ． 【答案】/14厘米 【分析】此题主要考查了平移的性质，熟记平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质求出，，，结合线段的和差、三角形周长定义求出，再根据四边形的周长求解即可． 【详解】解：由平移的性质得：，，， ∵，， ∴， ∵的周长， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段相等，平移距离等于对应点连线的长度是解题的关键． 根据平移的性质，得到与相等，与等于平移距离，再将四条边长相加求出四边形的周长． 【详解】解：∵将线段平移得到线段 ∴， ∵ ∴ ∵平移的距离为 ∴， ∴四边形的周长为： 故选：B． 【跟踪专练2】如图，将沿边向右平移得到．若，，，恰为的中点，则平移的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，平移的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键． 根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得，可设，则，根据勾股定理即可求出的长度，然后根据平移的性质结合中点的定义、线段和差关系即可得到平移的距离． 【详解】解：在中，，，， ， 设，则， 由勾股定理得， 解得：，， 由平移的性质可得：， 恰为的中点， , ，即平移的距离为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在四边形 中， A ，将四边形 沿 方向平移得到四边形 与相交于点 ，若 ，,，则阴影部分的面积为 （     ） A．10 B．13 C．20 D．26 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，梯形的面积，根据平移的性质得出四边形的面积与四边形的面积相等，，，，从而得到阴影部分的面积等于梯形的面积，根据梯形面积公式求出梯形的面积即可． 【详解】解：由平移的性质得： ，，，， ∵， ∴ ， ， 故选：B． 【题型4.利用平移解决实际问题】 【典例】如图，一块长方形草坪的长为5米，宽为3米，在草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的实际应用，有理数的运算，根据草地的面积长方形草坪的面积弯曲小路的面积即可求解. 【详解】解：这块草地的面积为：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质． 用总面积减去石子路面积即可． 【详解】解：种植鲜花的面积为 故选：D 【跟踪专练2】如图，长8米宽6米的草坪上有一条弯折的小路（小路进出口的宽度相等，且每段小路均为平行四边形），小路进出口的宽度均为1米，则绿地的面积为 平方米． 【答案】42 【分析】利用平移表示出草坪的长和宽，然后根据长方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由平移的性质，得: 草坪的长为8﹣1＝7（米），宽为6米， 草坪的面积＝7×6＝42（平方米）． 故答案为：42． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟记性质并理解求出与草坪的面积相当的长方形的长和宽是解题的关键． 【跟踪专练3】如图是从一块边长为50cm的正方形材料中裁出的垫片，现测得FG＝9cm，则这块垫片的周长为（　　） A．182cm B．191cm C．209cm D．218cm 【答案】D 【分析】根据平移的思想进行求解即可． 【详解】解：在正方形中CD=BC=50cm, 由平移可知， EF+GH+AB=CD=50cm， AH+ED=BC+FG=50+9=59cm， ∴这块垫片的周长为50+50+59×2=218cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的实际问题，通过平移将垫片的周长与正方形的周长联系是解决问题的关键． 【题型5.平移(作图)】 【典例】如图，正方形网格中，能由平移得到的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移变换的性质判断即可． 【详解】如图，线段c是由线段a平移得到的， 故选： B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化－平移，解题的关键是理解平移的定义，属于中考常考题型． 【跟踪专练1】泉城济离，泉甲天下，将如图所示的泉城图标平移后可以得到（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据平移的概念，平移的性质即可求解． 【详解】解：由平移的概念和平移的性质可得， 、平移得到，符合题意； 、旋转得到，不符合题意； 、旋转得到，不符合题意； 、旋转得到，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查图形的变换，掌握平移的概念，再利用图形结合平移的特点进行分析和判断是解题的关键． 【跟踪专练2】作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 【答案】AB∥DE，AB=DE 【分析】根据网格结构找出平移后的点D、E、F的位置，然后解答即可． 【详解】解：△DEF如图所示， AB∥DE，AB=DE． 故答案为：AB∥DE，AB=DE． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知四边形四个顶点的坐标分别是：、、、．把四边形向左平移6个单位得到四边形，点A、B、C、D的对应点分别是、、、． (1)在图中画出四边形； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． （1）根据平移的性质作图即可； （2）由（1）可得点的坐标． 【详解】（1）解：四边形如图所示． （2）解：由（1）得，点的坐标为． 【题型6.求点沿x轴y轴平移后的坐标】 【典例】将点先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质，向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加． 【详解】解：点向左平移4个单位长度，横坐标变为； 再向上平移5个单位长度，纵坐标变为； 故点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称性质与平移规律，熟练掌握关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征及点的平移规律是解题的关键。根据平面直角坐标系中关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征，以及点的平移规律，逐一判断每个选项的正确性，从而选出正确答案。 【详解】∵关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 又∵点，的横坐标相同，纵坐标与互为相反数． ∴与关于轴对称，选项正确． ∵关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵将点向右平移个单位长度，横坐标为，得到的点为，不是点． ∴选项错误． 故选：A． 【跟踪专练2】点向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度所得对应点，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出m、n的值，再相加计算即可得解． 【详解】解：∵点向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度所得对应点， ∴，， 解得m=1，n=3， 所以，m+n=1+3=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【跟踪专练3】已知和互为相反数，则点向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度后的坐标是（    ） A．(11，-17) B．(8，31) C．(15，-21) D．(15，-31) 【答案】C 【分析】利用算术平方根与绝对值非负性的含义先求解的值，再利用点的平移坐标变化规律：左减2加，上加下减，从而可得答案． 【详解】解： 和互为相反数， 点向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度后的坐标是 故选C 【点睛】本题考查的是算术平方根与绝对值非负性的含义，点的平移，掌握“点的平移坐标变化规律”是解本题的关键． 【题型7.由平移方式确定点的坐标】 【典例】如图，将向下平移（）个单位长度得到．若点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，熟练掌握点平移的规律是解题的关键； 根据题干所给的平移步骤结合平移的计算方法进行计算． 【详解】解：由题可知向下平移n个单位长度 则点横坐标不变， 纵坐标向下移动n个单位长度： ∴点的坐标为 故答案为： ． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将三角形上各点的纵坐标都减4，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（   ） A．向右平移了4个单位长度 B．向左平移了4个单位长度 C．向上平移了4个单位长度 D．向下平移了4个单位长度 【答案】D 【分析】根据坐标平移的性质，纵坐标减少，图形向下平移． 坐标平移中，纵坐标变化影响上下平移，减则向下；横坐标变化影响左右平移． 【详解】解：设点为图形上任意一点，变换后为， ∵横坐标不变，纵坐标减4， ∴图形向下平移了个单位． 故选：D 【跟踪专练2】如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移、规律型问题等知识，解题关键是学会套就规律的方法．先求出点，，，的横坐标，再从特殊到一般就出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】解：点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， …， 按这个规律平移得到点点的横坐标为， 点的横坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．将某整点连续进行若干次平移操作，每次平移1个单位长度，平移方向取决于该点横、纵坐标之和除以4的余数：当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移；余数为3时，向下平移．例如点按上述规则连续平移3次：，最后得到点．若某整点按上述规则连续平移次后，最后得到点，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系内点的平移运动，将各选项的点平移几次后可得规律进行判断即可． 【详解】解：A. 多次平移后点的横坐标与纵坐标的和为9或10，故连续平移后可得出点； B. 多次平移后点的横坐标与纵坐标的和为5或6，故连续平移后不可能得出点； C. 多次平移后点的横坐标与纵坐标的和为9或10，故连续平移后可得出点； D. 多次平移后点的横坐标与纵坐标的和为9或10，故连续平移后可得出点； 故选：B． 【题型8.已知点平移前后的坐标.判断平移方式】 【典例】点经过一次平移得到点，则点向 平移了 个单位长度． 【答案】 左 5 【分析】本题考查了坐标的平移，熟练掌握坐标平移的变化规律是解题的关键． 比较点P和点的坐标，发现纵坐标相同，横坐标变化，从而确定平移方向为水平方向，通过计算横坐标差得出平移距离． 【详解】解：点P与点的纵坐标均为2，表明平移沿x轴方向进行; 横坐标从2变为，变化量为， 即向左平移5个单位长度． 故答案为：向左；5． 【跟踪专练1】如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，点，的坐标分别为，，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平移的性质解题即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，， ∴线段向左平移了个单位，向上平移了个单位， ∴点，的坐标分别为，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平移的性质、坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．点对应点C的坐标为，知道平移的轨迹为向右平移4个单位，点对应点，知道平移轨迹是向下平移3个单位，根据平移规律得出a、b的值，即可作答． 【详解】解：∵点对应点C的坐标为，点对应点， ∴线段向右平移4个单位，向下平移3个单位得到线段， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移与坐标，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点、的坐标确定出平移方式，再根据平移方式结合图形解答即可． 【详解】解：点的对应点， 平移规律为向右平移个单位，再向上平移个单位， 向右平移个单位，再向上平移个单位，得到对应点C的坐标为即． 故选：D． 【题型9.已知图形的平移,求点的坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是．把向右平移4个单位长度得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据平移的性质，向右平移时，点的横坐标增加，纵坐标不变． 本题考查了坐标的平移，熟练掌握坐标平移变换的规律是解题的关键． 【详解】解：点A向右平移4个单位长度，横坐标增加4，纵坐标不变， 点的横坐标为，纵坐标为3， 因此点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平移求点的坐标，根据点的平移规则，向右平移横坐标增加，向上平移纵坐标增加，按顺序计算即可． 【详解】解：点向右平移3个单位，则坐标为，再向上平移2个单位，则坐标为， 故， 故选A． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段在y轴上移动，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】此题主要考查平移的性质，勾股定理；将把向下平移2个单位长度得到线段，连接，则，进而得出的最小值为长，即可求解答案． 【详解】解：如图，把向下平移2个单位长度得到线段，连接，则，    ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，已知，将线段平移后得到线段，点A、B的对应点分别是点、． 若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，掌握平移变换的规律是解题的关键． 先通过点B的对应点为D，进而确定平移方式，然后利用平移变换的规律即可解答． 【详解】解：∵，， ∴点向右平移4个单位，向下平移3个单位得点， ∴点向右平移4个单位，向下平移3个单位得点． 故选：B． 【题型10.已知平移后的坐标求原坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（　　） A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1） 【答案】A 【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 根据坐标平移的规律，向左平移使横坐标减少，向上平移使纵坐标增加；从平移后的点坐标逆推原坐标，可列方程求解 【详解】解：∵点 先向左平移个单位长度，横坐标减少，变为 ；再向上平移个单位长度，纵坐标增加，变为， ∴平移后点坐标为， ∵与给定点相等， ， 解得 ， 故答案为：，． 【跟踪专练2】点A沿x轴的正方向平移3个单位长度得到点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由平移后的坐标点求原坐标点，根据平移方式以及平移后的坐标求出原坐标即可． 【详解】解：将沿x轴的负方向平移3个单位长度得到， 故选：A． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【详解】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”． 【题型11.平移综合题(几何转换)】 【典例】如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形ABC沿点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，已知AB=12，DH=5，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】57 【分析】根据平移的性质易证：S阴影=S梯形ABEH，再利用梯形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：∵将沿点B到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴． 故答案是：57． 【点睛】本题考查了平移的性质，能够结合图形得到阴影部分的面积等于梯形的面积是解题关键． 【跟踪专练1】在直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（    ） A．横、纵坐标分别乘以2 B．横坐标不变，纵坐标分别加2 C．横坐标不变，纵坐标变成原来的2 倍 D．横坐标加2，纵坐标乘以2 【答案】B 【分析】本题主要考查了学生对图形的平移等有关知识的掌握情况，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度可得答案． 【详解】解：．横坐标、纵坐标分别乘2，横、纵坐标分别乘以2，这种变换会使五边形各边在横纵方向上都拉伸为原来的2倍那么五边形的大小会改变，故该选项不符合题意； ．横坐标不变，纵坐标分别加2，这表示五边形在垂直方向上向上平移了2个单位长度，在这个过程中五边形的大小和形状都不会发生改变，故该选项符合题意； ．横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍，这会使五边形在垂直方向上拉伸，大小会改变，故该选项不符合题意； ．横坐标加2，纵坐标乘以2，横坐标加2是水平方向平移，纵坐标乘以2是垂直方向拉伸，五边形的大小会改变，故该选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，M是AB的中点，则MA1的最小值为 ． 【答案】1 【分析】连接、根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解： 如图：连接AA1， ∵将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1， ∴＝4， ∵M是AB的中点， ∴AM＝AB＝3， ∴4-3≤MA1≤4+3， 即1≤MA1≤7， ∴MA1的最小值为1, 故答案为：1． 【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①，； ②； ③四边形的周长是18； ④； ⑤点到的距离为2.4． 其中正确结论的个数有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】设AC与DE的交点为H，根据平移的性质可得，然后可得，过点A作AG⊥BC于点G，则AG即为点A到BC的距离，然后利用等积法可进行求解． 【详解】解：设AC与DE的交点为H，如图所示： ∵，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接， ∴根据平移的性质知，，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴四边形的周长为 ，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 过点A作AG⊥BC于点G，则AG即为点A到BC的距离，如图， ∵， ∴，故⑤正确； ∴正确的个数有5个； 故选A． 【点睛】本题主要考查平移的性质及平行线的性质与判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【题型12.坐标系中的平移】 【典例】已知点与点，若直线平行于轴，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是掌握直线平行于轴时，所在直线上的点的横坐标相等． 根据直线平行于轴，得到点和点的横坐标相等，据此进行解答即可． 【详解】解：∵直线平行于轴， ∴点和点的横坐标相等， 则， 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点，，若直线轴，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行于轴的直线上点的纵坐标相等．熟练掌握平面直角坐标系中平行于轴的直线上点的特征是解题的关键． 根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：直线轴， 点和点的纵坐标相等， ， 解得， 故答案为：1． 【跟踪专练2】已知点和点，若直线轴，且，则的值是（   ） A．0 B．4或 C．12或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，涉及平行于轴的直线上点的坐标特征，熟记平行于轴的直线上点的坐标特征是解决问题的关键． 由轴，可知点与点纵坐标相等；结合，利用两点之间距离公式求点横坐标的值，进而代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵轴，点和点， ∴ ， ∵，且轴， ∴， 即， ∴ ， 当时，； 当时，； ∴， 故选：C． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，把点向左平移可以得到点，把点向上平移可以得到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的平移，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． 根据向左边平移，点的纵坐标不变可得点的纵坐标为3 ，根据向上平移，点的横坐标不变可得点的横坐标为4，由此即可得． 【详解】解：∵将点向左平移可得到点， ∴点的纵坐标为， ∵将点向上平移可得到点， ∴点的横坐标为4， ∴点的坐标为， 故答案为：． 解答题 1．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)草地的面积为．理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． （1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形； （2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为； （3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积． 【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示． （2）解：大长方形面积：都是； 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是； 剩余面积：大长方形面积−阴影面积； ∴． 故答案为：；   ； ． （3）解：草地的面积为． 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是． 2．三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图． (1)分别写出下列各点的坐标：____；____；____． (2)若是三角形内部一点，则平移后三角形内的对应点的坐标为____． (3)求三角形的面积． 【答案】(1)；；； (2)； (3)2． 【分析】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，根据对应点的坐标确定出平移的方法是解题的关键． （1）直接根据图形读出坐标即可； （2）结合（1）问的坐标规律即可对应点的坐标； （3）利用割补法求解即可. 【详解】（1）解：根据图形得；；； 故答案为：；；； （2）解：∵，， ∴三角形向下平移2个单位，再向左平移4个单位可得三角形， ∴点的坐标为； （3）解：. 3．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是三角形内部的一点，经过平移后对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)作图见解析；，， (2) (3)；5 【分析】本题主要考查了平移作图，根据平移确定点的坐标，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移的性质． （1）作出点A、B、C平移后的对应点，，，然后顺次连接即可，根据图形求出，，的坐标即可； （2）利用割补法求出三角形的面积即可． （3）根据平移列出关于m、n的方程组，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：为所求作的三角形．   ，，． （2）解：． （3）解：∵点是内部的一点，经过平移后对应点的坐标是为， ∴， 解得：． 4．在平面直角坐标系中，点A，B在x轴正半轴上，且点A在点B的左边，将线段进行平移得到线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D． (1)若点，，．则点D坐标为__________，__________； (2)点M是第四象限上的一个动点，过点M作垂直y轴于点N，连接，，．若点，，，，的面积为，点D到直线的距离为2．问：是否存在m，使得面积是面积的2倍？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，． 【分析】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系，三角形面积公式． （1）求出点A的平移规律，点B用相同的平移规律即可得到点D的坐标，根据两点间的距离公式即可得到； （2）先根据平移规律求出，，根据点D到直线的距离为2，得到点M，N的纵坐标为，，根据的面积为求出，做出图形，根据等底三角形面积比等于高的比计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点A向右平移了1个单位，向上平移了2个单位； ∴点B的对应点为点， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵点A在x轴正半轴上，， ∴， ∵将线段进行平移得到线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，点，，，， ∴，， ∴，， ∴，，，， ∵点D到直线的距离为2， ∴点M，N的纵坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 即且轴， 如图， ∵面积是面积的2倍， ∴点到的距离是点到的距离的2倍， ∴ 解得：，符合， ∴． 5．下图所示的“鱼”图案是将坐标为，，，，，，，的点用线段依次连接而成的． (1)若纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，在上图中画出所得的图案． (2)若横坐标保持不变，纵坐标分别减去2，在上图中画出所得的图案． (3)通过以上两种变换，你发现了什么规律？请用简洁的语言加以概括． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)通过以上两种变换，我发现：横坐标（纵坐标）加上或减去n，图案形状不变，即向右（向上）或向左（向下）平移n个单位长度． 【分析】（1）（2）根据平移的规律即可得出答案； （3）根据（1）（2）中画出的相应图形，由图形可以得到两幅图形的位置关系，从而找到相应的规律． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：示例：通过以上两种变换，我发现：横坐标（纵坐标）加上或减去，图案形状不变，即向右（向上）或向左（向下）平移个单位长度． 【点睛】本题考查坐标与图形性质，主要利用了点的位置的确定，几何图形的变化，能根据题意画出图案是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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