数学二模模拟卷03（江苏专用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，. 故选：B. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 因为， 所以不等式的解为：， 故集合； 因为在上单调递增， 所以由，得：， 故集合， 所以，． 故选：D 3．已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为， 所以. 因为，所以. 所以. 故选：B. 4．已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为点在圆外，说明点与圆心距离大于半径， 即. 直线与圆O相交，说明圆心到直线的距离小于半径，即 ，化简得. 所以，但是后者不能推出前者. 也就是说，点在圆外，那么直线与圆O相交， 但是直线与圆O相交，点不一定在圆外. 所以“点在圆外”是“直线与圆O相交”的充分不必要条件. 故选：A. 5．若函数是定义在上的奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，解得，所以， 令，则， 因为，所以，所以恒成立， 即在上单调递增，又是增函数，所以在上单调递增. 因为，所以． 又是增函数，所以，解得． 故选：A． 6．若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【详解】 ， 因为， 所以能被7整除， ， 所以能被7整除， 因此要想能被7整除，只需能被7整除. A：，，显然符合能被7整除； B：，，显然不符合能被7整除； C：，，显然不符合能被7整除； D：，，显然不符合能被7整除； 故选：A 7．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点， 的内切圆圆心为 ，连接并延长交轴于点 ，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】因为， 所以为线段的靠近的三等分点， 又因为， 即. 所以， 解得， 所以， 又因为 的内切圆圆心为， 所以平分， 又因为三点共线， 由角平分线定理可得， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 设， 则有， 即， 解得， 又因为， 即， 所以， 即， 解得，    设圆与分别相切于点， 设， 由内切圆的性质可知，， 所以 又因为, 所以， 解得， 所以， 即， 所以， 整理得：， 即， 解得或， 当时，， 此时点与双曲线的右顶点重合，不满足题意； 当时，，满足条件， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 8．在三棱锥中，平面平面，，是等腰直角三角形，，记三棱锥的内切球半径为，点到平面的距离为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取中点，因为是等腰直角三角形，， 所以， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面 所以平面，即点到平面的距离为， 因为，所以， 因为， 又， ， 所以， 所以由，得， 所以 令，则，， 令得，解得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值. 即的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某公司生产一种产品，为检测生产的某批产品质量是否达标，现从中随机抽取若干件，测量这些产品的质量指标值，得到频率分布直方图如下： 根据测量经验，这种产品的质量指标值近似服从正态分布，其中近似为样本平均值．记质量指标值内的产品为优等品，内的产品为一等品，公司规定一等品或者优等品为合格品，以各组数据的中间值为代表，以频率估计概率，下列说法正确的是（    ） （参考数据：，） A． B．该公司生产的产品为优等品的概率为13.59% C．该公司生产10000件这种产品，记表示这10000件产品中一等品的件数，则的数学期望为6827 D．若该公司计划销售该产品，一等品每件定价为2元，优等品每件定价为3元，则该公司生产该产品10000件并售出全部合格品的收入约为17731元 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意可知样本均值的估计值 ， 所以，故A错误； 对于B，由题意可知，，， ，则优等品的概率为 ，故B正确； 对于C，已知，所以抽到一等品的概率， 随机变量服从二项分布，所以，故C正确； 对于D，由题意知收入约为元，故D正确； 故选：BCD． 10．在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A选项 ，由，所以， 得，A选项正确； 对于B选项 ，由 ， 则， 得，由正弦定理，即 ， 代入 ，得 ， 解得 或，B选项错误； 对于C， ， 由,， ，C选项错误； 对 D选项，， ，D选项正确. 故选:AD 11．已知三次函数，下列说法正确的是（    ） A．若的极大值为4，则 B．的极小值为0，则 C．，则 D．存在，使在的值域为 【答案】AC 【详解】对于A选项，显然，， 令得或3，若， 令，得或，令，得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值，且， 令，解得；若， 令得，令得或， 故在，上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，在处取得极大值， 且，不合要求，综上，，A正确； 对于B选项，由A可知，当时，极小值为，满足要求； 当时，极小值为，不合要求，则，B错误； 对于C选项，由题意得， 可得，， 又，故，故，C正确； 对于D选项，由A知，时，在，上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 显然的最小值为，不合要求； 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 若，则在上单调递增，在上单调递减， 其中，故的最小值为，不合要求； 若，则在上单调递减，故的最小值为，不合要求； 不存在，使在的值域为，D错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，则 ． 【答案】5 【详解】因为向量，， 所以. 所以． 故答案为：5 13．已知点，若为抛物线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】由，得，令， 则抛物线方程可化为，其焦点坐标为，准线方程为， 因此原抛物线的焦点为，准线方程为. 因为点在抛物线上，所以等于点到准线的距离， 设到轴的距离为，则， 过点作轴于点，则的长度就是点到轴的距离，即， 所以当三点共线时，最小，最小值为3.    故答案为：3 14．若不等式 恒成立，则 的取值范围 . 【答案】 【详解】左右两边同时加，并将移项得 ， 整理得， 设，，故在R上单调递增， 则原不等式可化为， 所以， 整理得， 令，，设，， 则，令，则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 对方程，，故存在实数使成立， 所以，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)若，求的最大值. 【解析】（1）已知， 所以， 所以， 两边同除以，得， 因为，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列.（5分） （2）由（1）可知，所以， 当时，， 时，也满足， 因为，所以，解得， 又，所以的最大值为.（13分） 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，,平面为棱上的点．    (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图1，取棱的中点，连接，因为棱的中点，则． 又因为， 所以，则四边形为平行四边形，所以． 又因为平面平面，所以平面.（4分） （2）如图2，以点为坐标原点，分别以所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则． 则， 取线段的中点为，连接.因平面，平面，则， 又，则，因，平面，则平面， 因，则，可取平面的一个法向量为. 假设在棱上存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 设，则.（9分） 设为平面的一个法向量， 则，故可取. 设平面与平面的夹角为， 则． 解得（舍）或. 此时点为棱上靠近点的三等分点.（15分）    17．（15分）某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． (1)若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 【解析】（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B． 由题意得， 因为， 所以． 设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为， 根据题意可得，由此可得．（5分） （2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”， 所以． 令，设函数， ．（9分） 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为，（15分） 综上，的概率，其最大值． 解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5． 设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D， 则可得， 则有， 从而可得． 令，设函数， ． 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 综上，的概率，其最大值为． 18．（17分）定义：在一个椭圆中，椭圆的任意两条相互垂直的切线，其交点的轨迹在一个圆上，这个圆是以椭圆的中心为圆心，以椭圆的长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根为半径的圆，称为蒙日圆． 已知椭圆． (1)利用定义写出的蒙日圆的标准方程．（不需要证明） (2)已知点为圆上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为,为坐标原点，直线交于两点，且点和点在点的同侧． （ⅰ）是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （ⅱ）设点到直线的距离分别为，，求证：为定值． 参考公式：椭圆上一点处的切线方程为． 【详解】（1）由椭圆知，长半轴长与短半轴长， 由蒙日圆定义知，半径， 所以的蒙日圆的标准方程为.（3分） （2）（ⅰ）如图所示，设，，，，, 中点为，中点为， 依题意，切线，切线，则， 所以直线方程为， 联立，消去得， 则，即知， 所以中点. 当都不为0时，设直线方程为， 代入椭圆方程得，整理得，则， 解得， 由点和点在点的同侧，则，， 由，得中点.（6分） 若四边形为平行四边形，则满足对角线和互相平分， 即点和点坐标相同，故， 令，则，解得或（舍去）， 所以，即， 由，联立，解得， 所以点坐标为或或或. 经验证当或时，四边形不是平行四边形， 所以点存在，点坐标为或或或.（10分） （ⅰⅰ）由（ⅰ）知，， 直线方程为， 根据题意知， 所以，（15分） 因为， 所以, 所以定值为.（17分） 19．（17分）若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． (1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； (2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 【解析】（1）对于，有. 如果存在，使得． 则必有， 令，则， 所以不是“3阶和函数”.（3分） （2）函数在区间上的值域为． 因为是在区间上的“2阶和函数”． 所以对任意，总存在唯一的，使得成立， 所以， 所以在上的值域必定包含区间，且当时，方程的解在上是唯一的.（5分） 又因为函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则必有，解得． 当时，在上单调递减，则必有，解得． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：. 综上所述，的取值范围为.（9分） （3）对，有． 如果存在，使得，则必有， 因为为区间上的“2阶和函数”， 所以，即，解得. 所以当时，函数， 所以函数的定义域为，且． 设， 则， 因为，所以． 所以在上单调递增，即在上单调递增，而．（12分） 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增． 而，当且时，． 所以. 设，则， 所以，又， 所以，所以． 因为且在上单调递增， 所以，即. 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，单调递增． 所以，则． 因为， 所以当时，，当时，. 所以， 整理得 由①②得，， 因为，所以，所以． 综上得证.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D．1 4．已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若函数是定义在上的奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 7．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点， 的内切圆圆心为 ，连接并延长交轴于点 ，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．4 8．在三棱锥中，平面平面，，是等腰直角三角形，，记三棱锥的内切球半径为，点到平面的距离为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某公司生产一种产品，为检测生产的某批产品质量是否达标，现从中随机抽取若干件，测量这些产品的质量指标值，得到频率分布直方图如下： 根据测量经验，这种产品的质量指标值近似服从正态分布，其中近似为样本平均值．记质量指标值内的产品为优等品，内的产品为一等品，公司规定一等品或者优等品为合格品，以各组数据的中间值为代表，以频率估计概率，下列说法正确的是（    ） （参考数据：，） A． B．该公司生产的产品为优等品的概率为13.59% C．该公司生产10000件这种产品，记表示这10000件产品中一等品的件数，则的数学期望为6827 D．若该公司计划销售该产品，一等品每件定价为2元，优等品每件定价为3元，则该公司生产该产品10000件并售出全部合格品的收入约为17731元 10．在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 11．已知三次函数，下列说法正确的是（    ） A．若的极大值为4，则 B．的极小值为0，则 C．，则 D．存在，使在的值域为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，则 ． 13．已知点，若为抛物线上的动点，则的最小值为 ． 14．若不等式 恒成立，则 的取值范围 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)若，求的最大值. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，,平面为棱上的点．    (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 17．（15分）某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． (1)若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 18．（17分）定义：在一个椭圆中，椭圆的任意两条相互垂直的切线，其交点的轨迹在一个圆上，这个圆是以椭圆的中心为圆心，以椭圆的长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根为半径的圆，称为蒙日圆． 已知椭圆． (1)利用定义写出的蒙日圆的标准方程．（不需要证明） (2)已知点为圆上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为,为坐标原点，直线交于两点，且点和点在点的同侧． （ⅰ）是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （ⅱ）设点到直线的距离分别为，，求证：为定值． 参考公式：椭圆上一点处的切线方程为． 19．（17分）若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． (1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； (2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B A A A C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD AD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．5 13．3 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）已知， 所以， 所以， 两边同除以，得， 因为，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列.（5分） （2）由（1）可知，所以， 当时，， 时，也满足， 因为，所以，解得， 又，所以的最大值为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）如图1，取棱的中点，连接，因为棱的中点，则． 又因为， 所以，则四边形为平行四边形，所以． 又因为平面平面，所以平面.（4分） （2）如图2，以点为坐标原点，分别以所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则． 则， 取线段的中点为，连接.因平面，平面，则， 又，则，因，平面，则平面， 因，则，可取平面的一个法向量为. 假设在棱上存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 设，则.（9分） 设为平面的一个法向量， 则，故可取. 设平面与平面的夹角为， 则． 解得（舍）或. 此时点为棱上靠近点的三等分点.（15分）    17．（15分） 【解析】（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B． 由题意得， 因为， 所以． 设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为， 根据题意可得，由此可得．（5分） （2）一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”， 所以． 令，设函数， ．（9分） 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 综上，的概率，其最大值．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由椭圆知，长半轴长与短半轴长， 由蒙日圆定义知，半径， 所以的蒙日圆的标准方程为.（3分） （2）（ⅰ）如图所示，设，，，，, 中点为，中点为， 依题意，切线，切线，则， 所以直线方程为， 联立，消去得， 则，即知， 所以中点. 当都不为0时，设直线方程为， 代入椭圆方程得，整理得，则， 解得， 由点和点在点的同侧，则，， 由，得中点.（6分） 若四边形为平行四边形，则满足对角线和互相平分， 即点和点坐标相同，故， 令，则，解得或（舍去）， 所以，即， 由，联立，解得， 所以点坐标为或或或. 经验证当或时，四边形不是平行四边形， 所以点存在，点坐标为或或或.（10分） （ⅰⅰ）由（ⅰ）知，， 直线方程为， 根据题意知， 所以，（15分） 因为， 所以, 所以定值为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）对于，有. 如果存在，使得． 则必有， 令，则， 所以不是“3阶和函数”.（3分） （2）函数在区间上的值域为． 因为是在区间上的“2阶和函数”． 所以对任意，总存在唯一的，使得成立， 所以， 所以在上的值域必定包含区间，且当时，方程的解在上是唯一的.（5分） 又因为函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则必有，解得． 当时，在上单调递减，则必有，解得． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：. 综上所述，的取值范围为.（9分） （3）对，有． 如果存在，使得，则必有， 因为为区间上的“2阶和函数”， 所以，即，解得. 所以当时，函数， 所以函数的定义域为，且． 设， 则， 因为，所以． 所以在上单调递增，即在上单调递增，而．（12分） 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增． 而，当且时，． 所以. 设，则， 所以，又， 所以，所以． 因为且在上单调递增， 所以，即. 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，单调递增． 所以，则． 因为， 所以当时，，当时，. 所以， 整理得 由①②得，， 因为，所以，所以． 综上得证.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 : 求的。 .: 1.己知复数z= 明) A.2 B. C.5 D. v3 2 3 : 2. O A.AUB={xx<-1) B.AUB={xx<1) C.A0B={xx<-1) D.AnB={-1<x<1 黑 3. 己知cos(a-B)= 4 sinasin6三2，则sin2 asin2p=()】 : B. C.3 D.1 : : 4.已知圆O:x2+y2=9,则“点M(a,b)在圆O外”是“直线ax+by=1与圆O相交”的() : A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 : C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 : 5.若函数f(x)=nx+√a+x2)是定义在R上的奇函数，则不等式f(x2)+f(x-2a)<0的解集是() K A.（-2,1) B.(0,1) c.(-1,2) D.(-0,-1)U(2,+∞) : 6.若2025225-a能被7整除，则a的一个值可能为（) A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 试题第1页（共4页） .: 可学科网·学易金卷做概德：然限是鲁普 知双曲线：1b>0)的左、右焦点分别为，乃，P为双曲线右支上一点，6PR乃的内切圆圆 心为I,连接PI并延长交x轴于点2，若P7=√3⑨，F2=2Q,则双曲线的离心率为() A.√2 B.2√5 C.5 D.4 8.在三棱锥S-ABC中，平面SBC⊥平面ABC,SB=SC,△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=√2， 记三棱锥S-ABC的内切球半径为，点S到平面4BC的距离为，则23的最小值为() Tx A.√6+1 B.6-1 C.6-2 D.√6+2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某公司生产一种产品，为检测生产的某批产品质量是否达标，现从中随机抽取若干件，测量这些产品的 质量指标值，得到频率分布直方图如下： 频率组距 0.04------- 0.02 0.015 0.01 0.005 0'95105115125135145155质量指标值 根据测量经验，这种产品的质量指标值X近似服从正态分布N(4,144),其中近似为样本平均值x.记质 量指标值X∈[u+σ，u+2σ]内的产品为优等品，X∈[-o,u+σ]内的产品为一等品，公司规定一等品或者 优等品为合格品，以各组数据的中间值为代表，以频率估计概率，下列说法正确的是() (参考数据：P(u-o≤X≤+o)≈0.6827，P(u-2o≤X≤+2o)≈0.9545) A.4=128 B.该公司生产的产品为优等品的概率为13.59% C.该公司生产10000件这种产品，记Y表示这10000件产品中一等品的件数，则Y的数学期望为6827 D.若该公司计划销售该产品，一等品每件定价为2元，优等品每件定价为3元，则该公司生产该产品 10000件并售出全部合格品的收入约为17731元 2 10.在△ABC中，内角AB,C的对边分别为a,b,c,且， bc +c2a=3.c0s24+2sinBsinc =1,() 试题第2页（共4页) 可学科网·学易金卷做好德：就限是鲁普 3 A.CosA= B.b=2c C.sin2B+sin2C<1 D.sinB+sinC>1 11.已知三次函数f(x)=a(x3-6x2+9x),下列说法正确的是() A.若f(x)的极大值为4，则a=1 B.f(x)的极小值为0，则a<0 c.a>1,则f(a)<f(a+3) D.存在a<3,使f(x)在[a,3]的值域为[a,3] 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知向量ā=(2,1)，万=(m,-4),若a16,则a+b= 1g.已蜘知点4 若P为抛物线y=x2+1上的动点，则PA+PF例的最小值为 14.若不等式e-x-。-ln(x-1)≥nx+a恒成立，则a的取值范围 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知数列{a}的前n项和为Sa,4=1,且Sn=a1-n(n+1) (1)证明： S. 是等差数列； n (2)若Sn<2an+7,求n的最大值. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD, AD/BC,AD=AP=2,AB=BC=1,PA⊥平面ABC,E为棱PD上的点. P B (1)当E为棱PD的中点时，证明：EC/平面PAB: ②在棱PD上是否存在点B,使得平面PAC与平面EAC的夹角的余弦值为5？若存在，请确定点B的位 3 试题第3页（共4页） 置：若不存在，请说明理由. O .: 17.(15分)某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节.在育苗环节，每粒种子的成活率为p.在育苗 成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q.若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植 成功.每粒种子种植是否成功互不影响， & (①)若一粒种子种植成功的概率为}，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为疗，现播撒30粒种子，设 兵 育苗成功的种子数量为5，求(5)： (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X,求X=5的概率P,并求P的最大值. % 18.(17分)定义：在一个椭圆中，椭圆的任意两条相互垂直的切线，其交点的轨迹在一个圆上，这个圆是 以椭圆的中心为圆心，以椭圆的长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根为半径的圆，称为蒙日圆. 己知椭圆E:+y=1. 数 4 游 (1)利用定义写出E的蒙日圆F的标准方程.（不需要证明） (2)已知点P为圆F上任意一点，过点P作E的两条切线，切点分别为A,B,O为坐标原点，直线OP交E于 S C,D两点，且点O和点P在点D的同侧. ()是否存在点P,使得四边形DAPB为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理 由. (ii)设点C,D到直线AB的距离分别为d,d2,求证：dd为定值. 参考公式：联四云1a>6>0)上一点（网处的切线方程为警+答-1. : 19.(17分)若函数f(x),g(x)对任意x∈D,总存在唯一的x2∈D,使∫(：)+g(x2)=k成立，则称f(x) 是g(x)在区间D上的“k阶和函数”.特别地，当∫(x)=g(x)时，称∫(x)为区间D上的“k阶和函数” (1)判断函数∫(x)=1og,(x+1)是否为区间[2,26]上的3阶和函数”： ②活函数f()-x十2是g()=r-2ax+a-1在区同Q,2习上的2阶和商数，求实数a的取值范国： (3)若函数f(x)=2为区间[a,a+1]上的2阶和函数”，当b>1时，函数 ()=(x-a-lo83)hx+(6-2-2x)有两个零点3，证明：2<x+x,<3- b : O 试题第4页（共4页）西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第二次模拟考试 数学 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 已知复数z3+,则归三()】 A.V互 B.2 C.5 D 2 3 2已知统合4攻.B{p司则《) A.AUB={xx<-1) B.AUB={xx<1 C.A∩B={dx<-1} D.A⌒B={-1<x<1 1 os(a-B)=3,sinasin=7，则sim2asin2 41 A. B.2 c. D.1 4.已知圆0：x2+y2=9,则点M(a,b)在圆O外”是“直线ax+by=1与圆O相交”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若函数f(x)=h(x+Va+x2)是定义在R上的奇函数，则不等式f(x2)+f(x-2a)<0的解集是() A.（-2,1) B.(0,1) C.(-1,2) D.（-∞，-1)U(2,+w) 6.若20252025-a能被7整除，则a的一个值可能为() A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 115 耐学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1已知双曲线菁茶-b~的东、右张点分别为？P为双唐线吉支上一点，P5区的内切员园 心为I,连接PI并延长交x轴于点Q,若P7=√3I②，FQ=2QE,,则双曲线的离心率为() A.√2 B.25 C.5 D.4 8.在三棱锥S-ABC中，平面SBC⊥平面ABC,SB=SC,△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=√2， 记棱锥S-ABC的内切球半径为，点s到平面ABC的距离为x,则2-3的最小值为《) 1北 A.√6+1 B.√6-1 C.√6-2 D.√6+2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某公司生产一种产品，为检测生产的某批产品质量是否达标，现从中随机抽取若干件，测量这些产品 的质量指标值，得到频率分布直方图如下： 频率组距 0.04------- 0.02 0.015 0.01 0.005 95105115125135145155质量指标值 根据测量经验，这种产品的质量指标值X近似服从正态分布N(4,144),其中u近似为样本平均值x,记 质量指标值X∈[u+o,4+2σ]内的产品为优等品，X∈[u-o,μ+o]内的产品为一等品，公司规定一等品 或者优等品为合格品，以各组数据的中间值为代表，以频率估计概率，下列说法正确的是() (参考数据：P(u-σ≤X≤u+σ)≈0.6827，P(u-2o≤X≤u+2c)≈0.9545) A.u=128 B.该公司生产的产品为优等品的概率为13.59% C.该公司生产10000件这种产品，记Y表示这10000件产品中一等品的件数，则Y的数学期望为6827 D.若该公司计划销售该产品，一等品每件定价为2元，优等品每件定价为3元，则该公司生产该产品 10000件并售出全部合格品的收入约为17731元 10.在△4BC中，内角4B.C的对边分别为ab,c,且+C-a bc 2 二，cos2A+2 sinBsinC=1,则() 215 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.c034= 4 B.b=2c C.sin'B+sin'C<1 D.sinB+sinC>1 11.已知三次函数f(x)=a(x3-6x2+9x),下列说法正确的是() A.若f(x)的极大值为4，则a=1 B.f(x)的极小值为0，则a<0 C.a>1,则f(a)<f(a+3) D.存在a<3,使f(x)在[a,3]的值域为[a,3] 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量ā=(2,1)，五=(m,-4),若a1i,则a+= B.已知点4P0 若P为抛物线y=+子上的动点，则PA+P列的最小值为 14.若不等式e-a-n(x-1)≥lnx+a恒成立，则a的取值范围 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知数列{a}的前n项和为Sn,a=1,且Sn=na-n(n+1). ()证明： 是等差数列： (2)若Sn<2an+7,求n的最大值. 315 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD, AD/1BC,AD=AP=2,AB=BC=1,PA⊥平面ABC,E为棱PD上的点. D B (I)当E为棱PD的中点时，证明：EC/1平面PAB: ②在棱PD上是否存在点B,使得平面PAC与平面4C的夹角的余弦值为5？若存在，请确定点B的位 置；若不存在，请说明理由. 17.(15分)某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节.在育苗环节，每粒种子的成活率为p.在育 苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q.若该农作物育苗成功且移栽成活则认为 种植成功.每粒种子种植是否成功互不影响. (四)若一粒种子种植成功的概率为；，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为：，现播撒300粒种子，设 育苗成功的种子数量为5，求(5)： (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X,求X=5的概率P,并求P的最大值. 415 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(17分)定义：在一个椭圆中，椭圆的任意两条相互垂直的切线，其交点的轨迹在一个圆上，这个圆 是以椭圆的中心为圆心，以椭圆的长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根为半径的圆，称为蒙日圆. 己知椭圆B:+y=1. 4 (1)利用定义写出E的蒙日圆F的标准方程.（不需要证明） (2)己知点P为圆F上任意一点，过点P作E的两条切线，切点分别为A,B,O为坐标原点，直线OP交E于 C,D两点，且点O和点P在点D的同侧. ()是否存在点P,使得四边形DAPB为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理 由. (i)设点C,D到直线AB的距离分别为d,d,求证：dd,为定值. 公式：椭圆一X1(@>b>0上一点Mmm处的切线方程为g+ 19.(17分)若函数f(x),g(x)对任意x1∈D,总存在唯一的x2∈D,使f(:)+g(x2)=k成立，则称 ∫(x)是g(x)在区间D上的“k阶和函数”.特别地，当f(x)=g(x)时，称f(x)为区间D上的“k阶和函 数”。 (1)判断函数f(x)=l1og(x+1)是否为区间[2,26]上的3阶和函数”： 回若两数()=手2是g)=r-2m+a-1在区间02习上的2阶和函数，求实数a的取值范国， (3)若函数f(x)=2*为区间[a,a+1]上的“2阶和函数”，当b>1时，函数 p()=(K-a-l1o,3)lhx+(6-1(2-2x)有两个零点，x,证明：2<飞+x,<3- 515………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D．1 4．已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若函数是定义在上的奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 7．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点， 的内切圆圆心为 ，连接并延长交轴于点 ，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．4 8．在三棱锥中，平面平面，，是等腰直角三角形，，记三棱锥的内切球半径为，点到平面的距离为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某公司生产一种产品，为检测生产的某批产品质量是否达标，现从中随机抽取若干件，测量这些产品的质量指标值，得到频率分布直方图如下： 根据测量经验，这种产品的质量指标值近似服从正态分布，其中近似为样本平均值．记质量指标值内的产品为优等品，内的产品为一等品，公司规定一等品或者优等品为合格品，以各组数据的中间值为代表，以频率估计概率，下列说法正确的是（    ） （参考数据：，） A． B．该公司生产的产品为优等品的概率为13.59% C．该公司生产10000件这种产品，记表示这10000件产品中一等品的件数，则的数学期望为6827 D．若该公司计划销售该产品，一等品每件定价为2元，优等品每件定价为3元，则该公司生产该产品10000件并售出全部合格品的收入约为17731元 10．在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 11．已知三次函数，下列说法正确的是（    ） A．若的极大值为4，则 B．的极小值为0，则 C．，则 D．存在，使在的值域为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，则 ． 13．已知点，若为抛物线上的动点，则的最小值为 ． 14．若不等式 恒成立，则 的取值范围 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)若，求的最大值. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，,平面为棱上的点．    (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 17．（15分）某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． (1)若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 18．（17分）定义：在一个椭圆中，椭圆的任意两条相互垂直的切线，其交点的轨迹在一个圆上，这个圆是以椭圆的中心为圆心，以椭圆的长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根为半径的圆，称为蒙日圆． 已知椭圆． (1)利用定义写出的蒙日圆的标准方程．（不需要证明） (2)已知点为圆上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为,为坐标原点，直线交于两点，且点和点在点的同侧． （ⅰ）是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （ⅱ）设点到直线的距离分别为，，求证：为定值． 参考公式：椭圆上一点处的切线方程为． 19．（17分）若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． (1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； (2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][CI[D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 相 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 4 D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）