5.1导数的概念及其意义（讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 知识点一 导数的概念 ①平均变化率：对于函数，设自变量从变换到，相应的函数值就从变换到，这时的变化量为，的变化量为。则比值叫做函数从到的平均变化率。 ②导数的概念（瞬时变化率）：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做函数在处的导数(也称瞬时变化率)，记作或，即 即学即练 1．（25-26高二下·全国·课后作业）函数在x从1变到3时的平均变化率等于（   ） A．12 B．24 C．2 D． 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数在点处的瞬时变化率为 ． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在处可导，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 知识点二 导数的几何意义 ①平均变化率 表示的是割线的斜率 ②函数就是函数图像在点处切线的斜率，即，切线方程为。 即学即练 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 题型01 平均变化率 / 求平均变化率的步骤： 1、先计算改变量． 2、再求平均变化率． 注意：的值可正、可负，但是不能为0，的值可正、可负、可为0 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·天津河西·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．0.21 B．0.21 C．2.1 D．2.1 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）求函数在到之间的平均变化率，并求当时该函数的平均变化率． 2．（2026高二·全国·专题练习）一物体做直线运动，其位移与时间t的关系是，求到的平均速度． 3．（2026高二·全国·专题练习）函数的图象如下图，则函数在区间上平均变化率最大的是 ． 题型02 求瞬时变化率 / 求瞬时变化率的步骤： 1、先计算改变量，求平均变化率． 2、求趋于0，平均变化率的极限值 注意：瞬时变化率是平均变化率的极限（） 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·上海·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则该质点在时的瞬时速度为 . 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 2．（25-26高三上·上海·期中）竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）求函数在点处的瞬时变化率． 题型03 图像比较导数大小 / 函数就是函数图像在点处切线的斜率，所以可以通过图像上切线倾斜角的大小判定斜率大小，从而判断导数的大小 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·陕西·期末）在一款保温杯中注入一定质量的温水，一段时间内杯中水的温度关于时间t的函数的图象如图所示，在这段时间内任取三个时间点，，，其中，且，记为的导函数，则下列判断错误的是（    ）．    A． B． C． D．的解析式可能是 2．（2025高二·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二下·江西南昌·月考）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型04 平均变化率与导数的几何意义 / 可以从图像上去理解平均变化率与瞬时变化率（导数）的几何意义： 平均变化率可以理解为割线的斜率，瞬时变化率可以理解为切线的斜率，可以通过斜率来比较平均变化率与瞬时变化率的变换以及比较两者之间的大小。 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地气温的因素均一致，则下列结论中正确的是（    ） A．甲地的绿化好于乙地 B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·重庆·期末）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高三上·福建福州·月考）设是函数的导数，若，且对任意的，有，则下列各项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南昆明·期末）如图是跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象．根据图象，下列说法中正确的是（   ） A．当时，切线平行于轴，此时运动员的瞬时速度为零 B．和均小于零，，说明时刻下降更快 C．连接点和点的割线斜率可表示时刻的瞬时速度 D．在附近，曲线上升，因此函数在处的导数 题型05 求某点的导数值 / 根据导数的定义，理解这里的增量（）与的增量(的一致性。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知，则的值为 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·陕西·月考）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 2．（多选）（25-26高二下·全国·单元测试）已知：函数的自变量处的改变量，函数值的改变量为在处的导数值，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 题型06 求切线斜率 / 根据切线斜率与导数关系，根据导数求切线斜率或者根据切线斜率得出该点的导数值。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·云南昆明·月考）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A．3， B．，3 C．2， D．，2 2．（25-26高二上·江苏连云港·期末）若函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知曲线在点处的切线方程是，则（   ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 知识点一 导数的概念 ①平均变化率：对于函数，设自变量从变换到，相应的函数值就从变换到，这时的变化量为，的变化量为。则比值叫做函数从到的平均变化率。 ②导数的概念（瞬时变化率）：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做函数在处的导数(也称瞬时变化率)，记作或，即 即学即练 1．（25-26高二下·全国·课后作业）函数在x从1变到3时的平均变化率等于（   ） A．12 B．24 C．2 D． 【答案】A 【分析】由函数的平均变化率进行求解． 【详解】， 则． 故选：A． 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数在点处的瞬时变化率为 ． 【答案】3 【分析】利用瞬时变化率的定义即可求解. 【详解】，则， 所以当趋于0时，趋于3． 故答案为：3 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在处可导，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】应用导数定义计算求解. 【详解】因为 ，所以. 故选：A. 知识点二 导数的几何意义 ①平均变化率 表示的是割线的斜率 ②函数就是函数图像在点处切线的斜率，即，切线方程为。 即学即练 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线的斜率公式和导数的几何意义结合图象即可判断. 【详解】根据导数的几何意义，如图可知，分别表示在点处切线的斜率， 又，由图可知. 故选：B. 题型01 平均变化率 / 求平均变化率的步骤： 1、先计算改变量． 2、再求平均变化率． 注意：的值可正、可负，但是不能为0，的值可正、可负、可为0 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·天津河西·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．0.21 B．0.21 C．2.1 D．2.1 【答案】D 【分析】直接求解即可. 【详解】平均变化率. 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）求函数在到之间的平均变化率，并求当时该函数的平均变化率． 【答案】，7 【分析】利用平均变化率的定义计算即可求解. 【详解】当自变量从变化到时，函数的平均变化率为 ． 当时，平均变化率的值为． 2．（2026高二·全国·专题练习）一物体做直线运动，其位移与时间t的关系是，求到的平均速度． 【答案】2. 【分析】根据给定条件，利用平均速度的定义列式计算. 【详解】由位移与时间t的关系是，得， 所以到的平均速度为2. 3．（2026高二·全国·专题练习）函数的图象如下图，则函数在区间上平均变化率最大的是 ． 【答案】 【分析】函数的平均变化率为，由图可知，函数在区间上最陡，可得答案． 【详解】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得， 在区间上，即函数在区间上的平均变化率小于0； 在区间、、上，且相同， 由图象可知函数在区间上的最大． 所以函数在区间上的平均变化率最大． 故答案为： 题型02 求瞬时变化率 / 求瞬时变化率的步骤： 1、先计算改变量，求平均变化率． 2、求趋于0，平均变化率的极限值 注意：瞬时变化率是平均变化率的极限（） 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·上海·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则该质点在时的瞬时速度为 . 【答案】 【分析】先求，再求，最后取极限即可求解. 【详解】令， 所以，， 所以， 所以， 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 【答案】A 【分析】利用导数求出的值，即可得出答案. 【详解】因为，则，故. 当时，该质点的瞬时速度为. 故选：A. 2．（25-26高三上·上海·期中）竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 【答案】 【分析】由瞬时变化速度计算公式计算即可得. 【详解】， 则火箭在时的瞬时速度为. 故答案为：. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）求函数在点处的瞬时变化率． 【答案】7 【分析】利用瞬时变化率的定义计算即可. 【详解】解： ． ． 当趋于0时，趋于． ∴函数在点处的瞬时变化率为7． 题型03 图像比较导数大小 / 函数就是函数图像在点处切线的斜率，所以可以通过图像上切线倾斜角的大小判定斜率大小，从而判断导数的大小 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义直接判断. 【详解】由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即， 在点的切线斜率大于，即， 所以. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·陕西·期末）在一款保温杯中注入一定质量的温水，一段时间内杯中水的温度关于时间t的函数的图象如图所示，在这段时间内任取三个时间点，，，其中，且，记为的导函数，则下列判断错误的是（    ）．    A． B． C． D．的解析式可能是 【答案】C 【分析】根据函数的图象，结合导数的几何意义、指数型函数的特征逐一判断即可. 【详解】由图可知是减函数，故A正确； 的下降幅度随t增大而逐渐平缓，区间内温度下降的量比内温度下降的量更大， 即，所以，故B正确； 由曲线的切线斜率可知，故C错误； 曲线的变化趋势符合指数型函数，故D正确． 故选：C 2．（2025高二·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切线的几何意义,根据图形中函数图象在点处的切线下降和陡峭程度判断即可. 【详解】和分别表示函数图象在点处的切线斜率， 由图知: 函数图象在点处的切线斜率均为负,且处切线更陡, 故． 故选:B． 3．（多选）（24-25高二下·江西南昌·月考）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数的图象确定在，处切线的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D错误. 故选：AC 题型04 平均变化率与导数的几何意义 / 可以从图像上去理解平均变化率与瞬时变化率（导数）的几何意义： 平均变化率可以理解为割线的斜率，瞬时变化率可以理解为切线的斜率，可以通过斜率来比较平均变化率与瞬时变化率的变换以及比较两者之间的大小。 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地气温的因素均一致，则下列结论中正确的是（    ） A．甲地的绿化好于乙地 B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】AB 【分析】根据曲线图直接判断A，结合题目数据根据平均变化率的概念判断BC，结合题目数据根据切线斜率判断D. 【详解】列表解析，直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 由题图可知，甲地气温的日较差明显小于乙地气温的日较差，所以甲地的绿化好于乙地． B √ 由题图可知，当日6时到12时，甲、乙两地气温的平均变化率为正数，且乙地气温的变化量更大，所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率． C × 由题图可知，当日12时到18时，甲、乙两地气温的平均变化率为负数，且乙地气温的变化量的绝对值更大，所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率． D × 由题图可知，两曲线在当日12时处的切线斜率不相等，即当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率不相同． 故选：AB 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·重庆·期末）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义以及割线斜率结合图形可判断. 【详解】表示两点所在直线的斜率， 而分别表示在处的切线斜率， 由图可知，. 故选：B 2．（多选）（25-26高三上·福建福州·月考）设是函数的导数，若，且对任意的，有，则下列各项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用导数的几何意义，通过数形结合来作出各选项判断. 【详解】因为，所以在上是单调递增函数，即，故A正确； 因为对任意的，有， 所以在上是一个上凸函数，如图： 根据导数的几何意义，结合图象和可知：随着的增大，在点处的切线斜率越来越小，即在上单调递减，即，故B错误； 由上图可知：在的切线斜率大于两点的斜率，即， 又由图可知：在的切线斜率小于两点的斜率，即，故C正确； 根据导数的几何意义，结合图象和可知：随着的增大，在点处的切线斜率越来越小，且斜率变化率越来越慢，所以是一个下凹函数， 根据图象可知斜率小于斜率，即有，故D错误； 故选：AC 3．（25-26高二上·云南昆明·期末）如图是跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象．根据图象，下列说法中正确的是（   ） A．当时，切线平行于轴，此时运动员的瞬时速度为零 B．和均小于零，，说明时刻下降更快 C．连接点和点的割线斜率可表示时刻的瞬时速度 D．在附近，曲线上升，因此函数在处的导数 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义及物理意义判断A；根据导数的物理意义判断B；由割线斜率对应平均速度判断C；由曲线上升可知，切线的斜率大于零，所以导数大于零，判断D. 【详解】由导数的几何意义知，当时，切线平行于轴，所以，由导数的物理意义知，此时运动员的瞬时速度为零.所以A正确； 由和均小于零，，所以，说明时刻速率较小，下降较慢.所以B错误； 连接点和点的割线斜率可表示到的平均速度，所以C错误； 在附近，曲线上升，因此函数在处的切线斜率大于零，所以此处的导数.所以D错误. 故选：A. 题型05 求某点的导数值 / 根据导数的定义，理解这里的增量（）与的增量(的一致性。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知，则的值为 【答案】 【分析】利用导数的定义式直接求解即可. 【详解】由题意得， 则. 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·陕西·月考）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】因为函数可导，且满足， 所以 ，所以， 所以函数在处的导数为. 故答案为： 2．（多选）（25-26高二下·全国·单元测试）已知：函数的自变量处的改变量，函数值的改变量为在处的导数值，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算即可判断. 【详解】根据导数的定义可知，A正确； 若令，当，则， 则，B正确； 根据导数的定义，C错误； 根据导数的定义可知，D正确． 故选：ABD. 3．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 题型06 求切线斜率 / 根据切线斜率与导数关系，根据导数求切线斜率或者根据切线斜率得出该点的导数值。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·云南昆明·月考）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【分析】根据垂直得出斜率关系结合导数的几何意义得出导数值. 【详解】曲线在点处的切线与直线垂直， 可得曲线在点处的切线的斜率为，所以. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A．3， B．，3 C．2， D．，2 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义分别代入计算可得结果. 【详解】将代入直线方程可得， 因为切线的斜率为，所以， 因此与分别为3，. 故选：A 2．（25-26高二上·江苏连云港·期末）若函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解. 【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得， 因此，. 故选：C. 3．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知曲线在点处的切线方程是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义即可求解. 【详解】曲线在点处的切线方程的斜率为， 根据导数的几何意义得． 故选：A． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $