5.2.3简单复合函数的导数教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

学科网(北京)股份有限公司 教学设计 课程基本信息 学科 高中数学 年级 高二 学期 秋季 课题 5.2.3简单复合函数的导数 教科书 书 名:选择性必修第二册 出版社:人民教育出版社 出版日期:2020年5月 教学目标 1. 理解复合函数的概念; 2. 掌握复合函数求导法则,会用复合函数求导法则求简单复合函数的导数,提升学生运算核心素养. 教学内容 教学重点: 会用复合函数求导法则求简单复合函数的导数的过程 教学难点: 记忆复合函数求导法则的公式结构 教学过程 复习回顾 导数的四则运算法则 ; . 学习新知 问题1:试求下列函数的导数 (1); (2); 解:(1),; (2)现有方法无法求出它的导数. ①用定义不能求出极限; ②不是基本初等函数,没有求导公式; ③不是基本初等函数的和、差、积、商,不能用导数的四则运算法则解决问题. 追问:函数可以用哪些基本初等函数表示? 设,则. 那么y=ln(2x−1)可以看做y=lnu和u=2x−1(x>12)经过“复合”得到. 如果把y与u的关系记作y=f(u),u与x的关系记作u=g(x),那么这个“复合”过程可表示为: y=f(u)=f(g(x))=ln(2x−1) 复合函数: 一般地,对于两个函数y=fu和u=gx,如果通过中间变量u, y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=fu和u=gx的复合函数,记作y=f(g(x)). 例如:函数是由和复合而成. 课堂练习 例1、判断下列函数哪些是复合函数 (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); 解答:(1)是;(2)不是;(3)不是;(4)是;(5)不是;(6)是;(7)是;(8)不是 问题2:如何求复合函数的导数? 以函数y=sin2x为例,研究其导数. yx'=sin2x'=(2sinxcosx)'=2[sinx'⋅cosx+sinx⋅(cosx)' =2[cos2x−sin2x]=2cos2x. 猜想y=sin2x的导数与函数y=sinu, u=2x的导数有关, 以yx'表示y对x的导数,yu'表示y对u的导数,ux'表示u对x的导数. 可以得到y=sinu, u=2x的导数为:yu'=cosu, ux'=2. 我们可以发现:yx'=2cos2x=2cosu=yu'⋅ux'. 追问:换个函数试试,还能发现类似的结论吗? 以函数y=ln2x为例,研究其导数. yx'=ln2x'=(lnx+ln2)'=(lnx)'+(ln2)'=1x+0=1x. 猜想y=ln2x的导数与函数y=lnu和u=2x的导数有关, 以yx'表示y对x的导数,yu'表示y对u的导数,ux'表示u对x的导数. 可以先得到y=lnu, u=2x的导数为:yu'=1u, ux'=2. 我们可以发现:yx'=yu'⋅ux'. 复合函数的求导法则 一般地,对于由函数y=fu和u=gx复合而成的函数y=fg(x),它的导数与函数y=fu和u=gx 的导数之间的关系为: yx'=yu'⋅ux'. 问题3.现在可以用复合函数的求导法则求函数y=ln(2x−1)的导数了吗? 解析:函数y=ln(2x−1)可以看作函数y=lnu和u=2x−1的复合函数, 所以yx'=yu'⋅ux'=(lnu)'⋅(2x−1)'=2u=22x−1. 例2.求下列函数的导数: (1)y=(3x+5)3; (2)y=e−2x+3; (1)解:函数可以看作y=u3和u=3x+5的复合函数. 根据复合函数的求导法则,有 yx'=yu'⋅ux'=(u3)'⋅(3x+5)'=3u2 3=9u2=9(3x+5)2. (2)解:函数可以看作y=eu和u=−2x+3的复合函数. 根据复合函数的求导法则,有 yx'=yu'⋅ux'=(eu)'⋅(−2x+3)'=eu −2=−2eu=−2e−2x+3. 例3.某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位:mm)与时间t(单位:s)之间的关系为:y=18sin(2 3t− 2) . 求函数y在t=3时的导数,并解释它的实际意义. 解:函数y=18sin (2 3t− 2)可以看作函数y=18sinu与u=2 3t− 2的复合函数, 根据复合函数的求导法则,有 yt'=yu'⋅ut'=(18sinu)'⋅(2 3t− 2)'=18cosu 2 3=12 cos(2 3t− 2). 当t=3时, yt'=12 cos(2 3 3− 2)=0. 所以,弹簧振子在3s时的瞬时速度为0mm/s. 课堂小结 复合函数的求导步骤